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高考物理一轮复习重难点逐个突破专题71旋转圆模型放缩圆模型平移圆模型(原卷版+解析)
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这是一份高考物理一轮复习重难点逐个突破专题71旋转圆模型放缩圆模型平移圆模型(原卷版+解析)，共37页。
考点三 平移圆模型（17-22T）
考点一 旋转圆模型
1.旋转圆：如下图所示，粒子源发射速度大小一定、方向不同的带电粒子进入匀强磁场时，它们在磁场中做匀速圆周运动的半径相同，若射入初速度为v0，则圆周运动半径为R＝eq \f(mv0,qB).分析这类问题时将一半径为R＝eq \f(mv0,qB)的圆以入射点为圆心进行旋转，从而探索临界条件的方法称为“旋转圆”法.
2.结合具体情境，可以通过分析圆心角、速度偏向角、弦切角、弧长、弦长的大小来分析带电粒子的运动时间.
3.常见的三种情景
1)如上图所示，粒子源从直线磁场边界上的P点发射速度大小一定、方向不同的带电粒子垂直进入匀强磁场区域，所有从直线边界射出的粒子，其出射点与P点的连线都是轨迹圆的圆弧所对的弦，其中入射的速度方向垂直于直线边界的粒子，在磁场中运动半个周期从M点射出，因为PM是圆的直径，所以M点是粒子打到直线边界上的最远点(所有的弦长中直径最长)．
2)粒子源从圆形磁场边界上的某一点发射速度大小一定、方向不同的带电粒子垂直进入匀强磁场区域时，因为所有的弦长中直径最长，则当粒子的轨迹圆和磁场边界圆的公共弦为小圆直径时，粒子打到边界圆上的点距入射点最远。分两种情况分析如下：
如图甲，若轨迹圆半径大于磁场边界圆半径，当入射点P和出射点M为边界圆直径的两个端点时，粒子打到边界圆上的点M距入射点P最远(所有的弦长中直径最长)，此时轨迹所对的弦长最长弧长最长，时间也就最长。
如图乙，若轨迹圆半径小于磁场边界圆半径，当入射点P和出射点M为轨迹圆直径的两个端点时，粒子打到边界圆上的点M距入射点P最远(所有的弦长中直径最长)，此时粒子在磁场中运动的时间为半个周期。但是由于轨迹圆半径小于边界圆半径，因而粒子在磁场中可以做完整的圆周运动，所以粒子从M点射出磁场的时间并不是粒子在磁场中运动的最长时间．
3)粒子在磁场中运动的弧长最短、弦长最短时运动时间最短．(弧长最短时运动时间最短普遍适用，弦长最短时运动时间最短仅限于粒子在磁场中的轨迹为劣弧)
如下图，P点的粒子源发射出速度大小一定、方向不同的带电粒子，当M点为出射点时弧长最短弦长最短，粒子在磁场中运动时最短．
1．（2022·宁波·模拟预测）如图所示，在屏MN的上方有磁感应强度为B的匀强磁场，磁场方向垂直纸面向里。P为屏上的一小孔，PC与MN垂直．一群质量为m、带电荷量为-q的粒子（不计重力），以相同的速率v，从P处沿垂直于磁场的方向射入磁场区域。粒子入射方向在与磁场B垂直的平面内，且散开在与PC夹角为θ的范围内。则在屏MN上被粒子打中的区域的长度为（ ）
A．2mvqBB．2mvcsθqBC．2mv1−sinθqBD．2mv1−csθqB
2．（2022·山东·模拟预测）如图所示，在一挡板MN的上方，有磁感应强度为B的匀强磁场，磁场方向垂直纸面向里．P为MN上的一个粒子发射源，它能连续垂直磁场方向发射速率为v、质量为m、带电量为q的粒子，不计粒子的重力和粒子间的相互作用，粒子打到挡板上时均被挡板吸收．则在垂直于磁场的平面内，有粒子经过的区域面积是（ ）
A．πm2v2q2B2B．2πm2v2q2B2C．3πm2v22q2B2D．πm2v24q2B2
3.(2017·全国卷)如图，虚线所示的圆形区域内存在一垂直于纸面的匀强磁场，P为磁场边界上的一点，大量相同的带电粒子以相同的速率经过P点，在纸面内沿不同的方向射入磁场，若粒子射入速率为v1，这些粒子在磁场边界的出射点分布在六分之一圆周上；若粒子射入速率为v2，相应的出射点分布在三分之一圆周上．不计重力及带电粒子之间的相互作用，则v2∶v1 为( )
A.eq \r(3)∶2 B.eq \r(2)∶1
C.eq \r(3)∶1 D．3∶eq \r(2)
甲 乙
4．（2022·全国·高三专题练习）(多选) 如图所示，在边长为L的等边三角形区域ABC内存在着垂直纸面的匀强磁场（未画出），磁感应强度大小为B=23mv03qL，大量质量为m、带电荷量为q的粒子从BC边中点O沿不同的方向垂直于磁场以速率v0射入该磁场区域，不计粒子重力，则下列说法正确的是（ ）
A．所有粒子在磁场中做匀速圆周运动的轨迹半径为2L2
B．所有粒子在磁场中做匀速圆周运动的周期为3πLv0
C．对于从AB和AC边射出的粒子，在磁场中运动的最长时间为3πL6v0
D．对于从AB和AC边射出的粒子，在磁场中运动的最短时间为3πL12v0
5．（2023·全国·高三专题练习）如图所示，在0≤x≤b、0≤y≤a的长方形区域中有一磁感应强度大小B的匀强磁场，磁场的方向垂直于xOy平面向外。O处有一个粒子源，在某时刻发射大量质量为m、电荷量为q的带正电粒子，它们的速度大小相同，速度方向均在xOy平面内的第一象限内。已知粒子在磁场中做圆周运动的周期为T，最先从磁场上边界中飞出的粒子经历的时间为T12，最后从磁场中飞出的粒子经历的时间为T4。不计粒子的重力及粒子间的相互作用，则（ ）
A．粒子圆周运动的半径r=a
B．长方形区域的边长满足关系ba=2
C．长方形区域的边长满足关系ba=3+1
D．粒子射入磁场的速度大小v=4qBam
6．（2021·海南）(多选)如图，在平面直角坐标系的第一象限内，存在垂直纸面向外的匀强磁场，磁感应强度大小为B。大量质量为m、电量为q的相同粒子从y轴上的点，以相同的速率在纸面内沿不同方向先后射入磁场，设入射速度方向与y轴正方向的夹角为。当时，粒子垂直x轴离开磁场。不计粒子的重力。则（ ）
A．粒子一定带正电
B．当时，粒子也垂直x轴离开磁场
C．粒子入射速率为
D．粒子离开磁场的位置到O点的最大距离为
7．如图所示，在真空中板间r=3.0×10-2m的圆形区域内，有磁感应强度B=0.2T，方向如图的匀强磁场，一批带正电的粒子以初速度v0=1.0×106m/s，从磁场边界上直径ab的一端a沿着各个方向射入磁场，且初速度方向与磁场方向都垂直，该粒子的比荷为，不计粒子重力．求：
（1）粒子的轨迹半径；
（2）粒子在磁场中运动的最长时间；
（3）若射入磁场的速度改为，其他条件不变，试用斜线画出该批粒子在磁场中可能出现的区域．（sin37°=0.6，cs37°=0.8）
8．如图所示，在矩形区域内有垂直于纸面向外的匀强磁场，磁感应强度的大小为B＝5.0×10－2 T，矩形区域长为1.0 m，宽为0.2 m．在AD边中点O处有一放射源，某时刻，放射源沿纸面向磁场中各方向均匀地辐射出速率均为v＝2×106 m/s的某种带正电粒子．已知带电粒子的质量m＝1.6×10－27 kg，所带电荷量为q＝3.2×10－19 C(不计粒子重力)．
(1)求粒子在磁场中做圆周运动的半径为多大？
(2)求从BC边界射出的粒子，在磁场中运动的最短时间为多少？
9．（2022·河北石家庄·模拟预测）如图所示，在平面直角坐标系xOy内，以P(0,a)点为圆心、半径为a的圆形区域和III、IV象限内均存在垂直纸面向里、磁感应强度大小为B的匀强磁场，沿x轴负半轴固定一足够长的水平挡板。一宽度为a的电子束，中心正对P点平行x轴以一定的速度射入圆形磁场，偏转后所有电子都经过O点进入x轴下方磁场。已知电子质量为m、带电荷量为−e，忽略电子重力及电子间的相互作用，电子打在挡板上立即被挡板吸收。求：
（1）电子射入磁场时的动能Ek；
（2）挡板上被电子打中区域的长度d。
考点二 放缩圆模型
如下图，P点的粒子源发射速度方向一定,速度大小不同的带电粒子垂直进入匀强磁场时,带电粒子在磁场中做匀速圆周运动的轨迹半径随速度大小的变化而变化,这些轨迹圆均以入射点P为定点,圆心位于PP'直线上,将半径放缩作轨迹圆,从而探索临界条件的方法称为“放缩圆”法.
10．（2023·全国·高三专题练习）如图所示，横截面为正方形abcd的有界匀强磁场，磁场方向垂直纸面向里。一束电子以大小不同、方向垂直ad边界的速度飞入该磁场。对于从不同边界射出的电子，下列判断错误的是（ ）
A．从ad边射出的电子在磁场中运动的时间都相等
B．从c点离开的电子在磁场中运动时间最长
C．电子在磁场中运动的速度偏转角最大为π
D．从bc边射出的电子的速度一定大于从ad边射出的电子的速度
11.（2022·北京·海淀模拟预测）(多选)如图，有一截面为矩形的有界匀强磁场区域ABCD，AB＝3L，BC＝2L，在边界AB的中点上有一个粒子源，沿与边界AB平行并指向A点方向发射各种不同速率的同种正粒子，不计粒子重力，当粒子速率为v0时，粒子轨迹恰好与AD边界相切，则( )
A．速率小于v0的粒子全部从CD边界射出
B．当粒子速度满足eq \f(2v0,3)＜v＜v0时，从CD边界射出
C．在CD边界上只有上半部分有粒子通过
D．当粒子速度小于eq \f(2v0,3)时，粒子从BC边界射出
12．(2020·全国卷Ⅰ)一匀强磁场的磁感应强度大小为B、方向垂直于纸面向外，其边界如图中虚线所示，eq \x\t(ab)为半圆，ac、bd与直径ab共线，ac间的距离等于半圆的半径。一束质量为m、电荷量为q(q>0)的粒子，在纸面内从c点垂直于ac射入磁场，这些粒子具有各种速率。不计粒子之间的相互作用。在磁场中运动时间最长的粒子，其运动时间为( )
A．eq \f(7πm,6qB)B．eq \f(5πm,4qB)
C．eq \f(4πm,3qB)D．eq \f(3πm,2qB)
13．（2022·山西·运城模拟预测）(多选)如图，一长度为a的竖直薄挡板MN处在垂直纸面向里的匀强磁场(未画出)中，磁感应强度为B.O点有一粒子源在纸面内向各方向均匀发射电荷量为＋q、质量为m的带电粒子，所有粒子的初速度v(未知)大小相同．已知初速度与eq \x\t(ON)夹角为60°发射的粒子恰好经过N点(不被挡板吸收)，粒子与挡板碰撞则会被吸收，eq \x\t(ON)＝eq \r(3)a，eq \x\t(ON)⊥MN，不计粒子重力，不考虑粒子间的相互作用，则( )
A．粒子在磁场中做圆周运动的半径为eq \f(\r(3),2)a
B．挡板左侧能被粒子击中的竖直长度为a
C．能击中挡板右侧的粒子数占粒子总数的eq \f(1,6)
D．若调节初速度v大小使挡板的右侧被粒子击中的竖直长度为a，则v的最小值为eq \f(qBa,m)
14．（2023·全国·高三专题练习）(多选)如图所示,在边长L=10cm的正方形ABCD的CD边上方空间有垂直于纸面向里的匀强磁场,磁感应强度B=0.2T，在正方形的AD边中点处有一粒子源S，能够不断向纸面内各个方向发射速率不同的同种带正电粒子，粒子的比荷为1×108C/kg，不计粒子重力和粒子间的相互作用。下列说法中正确的是（ ）
A．经过B点的粒子速度不小于55×105m/s
B．水平向右射出的速率大于5×105m/s的粒子都能从AB所在直线穿过
C．水平向右发射的粒子从AB边射出正方形区域的最短时间为π2×10-7s
D．速率为1×106m/s的粒子可到达CD边上区域的长度为5cm
15.（2022·广东·模拟预测）(多选)如图所示，在一等腰直角三角形ACD区域内有垂直纸面向外的匀强磁场，磁场的磁感应强度大小为B，一质量为m、电荷量为q的带正电的粒子(重力不计)从AC边的中点O垂直于AC边射入该匀强磁场区域，若该三角形的两直角边长均为2l，则下列关于粒子运动的说法中正确的是( )
A．若该粒子的入射速度为v＝eq \f(qBl,m)，则粒子一定从CD边射出磁场，且距点C的距离为l
B．若要使粒子从CD边射出，则该粒子从O点入射的最大速度应为v＝eq \f(\r(2)＋1qBl,m)
C．若要使粒子从CD边射出，则该粒子从O点入射的最大速度应为v＝eq \f(\r(2)qBl,m)
D．当该粒子以不同的速度入射时，在磁场中运动的最长时间为eq \f(πm,qB)
16.如图所示，一足够长的矩形区域abcd内充满方向垂直纸面向里的、磁感应强度为B的匀强磁场，在ad边中点O，射入一个与ad边夹角θ=300、大小为v0（未知量）的带正电粒子，已知粒子质量为m，电量为q，ad边长为L，ab边足够长，粒子重力不计，求：
(1)求粒子从ad边射出的速度范围。
(2) 求粒子从ab边射出的速度范围。
(3)若带电粒子的速度v0大小可取任意值，求粒子在磁场中运动的最长时间。
考点三 平移圆模型
如下图，粒子源发射速度大小、方向一定,入射点不同但在同一直线的带电粒子垂直进入匀强磁场时,它们做匀速圆周运动的半径相同,若入射速度大小为v0,则半径R=mv0qB,将半径为R=mv0qB的圆进行平移,从而探索临界条件的方法叫“平移圆”法.
17.（2022·安徽合肥·模拟预测）如图所示为边长为L的正方形有界匀强磁场ABCD，带电粒子从A点沿AB方向射入磁场，恰好从C点飞出磁场；若带电粒子以相同的速度从AD的中点P垂直AD射入磁场，从DC边的M点飞出磁场(M点未画出)．设粒子从A点运动到C点所用的时间为t1，由P点运动到M点所用时间为t2(带电粒子重力不计)，则t1∶t2为( )
A．2∶1 B．2∶3
C．3∶2 D.eq \r(3)∶eq \r(2)
18．（2022·全国·高三课时练习）如图所示，在xOy平面的第Ⅰ、IV象限内有一圆心为O、半径为R的半圆形匀强磁场，线状粒子源从y轴左侧平行于x轴正方向不断射出质量为m、电荷量为q、速度大小为v0的带正电粒子。磁场的磁感应强度大小为mv02qR、方向垂直平面xOy向里。不考虑粒子间的相互作用，不计粒子受到的重力。所有从不同位置进入磁场的粒子中，在磁场中运动的时间最长为（ ）
A．πR6v0B．πR4v0C．πR3v0D．πR2v0
19．（2022·全国·高三课时练习）(多选)如图所示，在直角三角形ABC内充满垂直纸面向外的匀强磁场（图中未画出），AB边长度为d，∠B=π6。现垂直AB边射入一束质量均为m、电荷量均为q、速度大小均为v的带正电粒子。已知垂直AC边射出的粒子在磁场中运动的时间为t0，而运动时间最长的粒子在磁场中的运动时间为43t0（不计重力），则下列说法中正确的是（ ）
A．粒子在磁场中做匀速圆周运动的周期为4t0
B．该匀强磁场的磁感应强度大小为πm2qt0
C．粒子在磁场中运动的轨道半径为25d
D．粒子进入磁场时速度大小为3πd5t0
20．(多选)如图所示，C、D、E为以O为圆心、半径为R的圆周上的三点，∠COD=π2，A为CD的中点，在OCEDO内充满垂直于纸面向外的匀强磁场（图中未画出），磁感应强度大小为B。一群质量为m、电荷量为q的带正电粒子以速率v0=qBR2m从AC部分垂直于AC射向磁场区域，忽略粒子间的相互作用以及粒子的重力，则粒子在一次进出磁场中运动的时间可能是（ ）
A．πm3qBB．2πm3qBC．6πm5qBD．8πm5qB
21.（2022·山东烟台·高三阶段练习）(多选)如图所示，在Ⅰ、Ⅱ两个区域内存在磁感应强度大小均为B的匀强磁场，磁场方向分别垂直于纸面向外和向里，AD、AC边界的夹角∠DAC＝30°，边界AC与边界MN平行，Ⅱ区域宽度为d.质量为m、电荷量为＋q的粒子可在边界AD上的不同点射入，入射速度垂直AD且垂直磁场，若入射速度大小为eq \f(qBd,m)，不计粒子重力，则( )
A．粒子在磁场中运动的半径为eq \f(d,2)
B．粒子在距A点0.5d处射入，不会进入Ⅱ区域
C．粒子在距A点1.5d处射入，在Ⅰ区域内运动的时间为eq \f(πm,qB)
D．能够进入Ⅱ区域的粒子，在Ⅱ区域内运动的最短时间为eq \f(πm,3qB)
22．(多选)如图所示，以水平直线为分界线，上方区域充满垂直于纸面向里的匀强磁场，大量电子(质量为m、电荷量为e，重力不计)从长度为L的PQ区域以相同速度与水平方向成θ＝60°的角度斜射入磁场，已知电子的速度大小为v0，上方磁场的磁感应强度B＝eq \f(3mv0,eL).所有从上方磁场射出的电子再次经过水平分界线下方某一半圆形区域的匀强磁场(图中未画出)偏转后都能通过磁场边界的一个点处被收集．下列说法正确的是( )
A．水平分界线上电子射出区域的长度为eq \f(L,3)
B．若减小上方磁场的磁感应强度，电子射出区域的长度将保持不变
C．欲使水平分界线上电子的出射与入射区域不重叠，则上方磁场的磁感应强度应小于eq \f(\r(3)mv0,eL)
D．下方收集电子的半圆形区域匀强磁场的最大磁感应强度为eq \f(2\r(3)mv0,3eL)
专题71 旋转圆模型 放缩圆模型 平移圆模型
考点一 旋转圆模型（1-9T）
考点二 放缩圆模型（10-16T）
考点三 平移圆模型（17-22T）
考点一 旋转圆模型
1.旋转圆：如下图所示，粒子源发射速度大小一定、方向不同的带电粒子进入匀强磁场时，它们在磁场中做匀速圆周运动的半径相同，若射入初速度为v0，则圆周运动半径为R＝eq \f(mv0,qB).分析这类问题时将一半径为R＝eq \f(mv0,qB)的圆以入射点为圆心进行旋转，从而探索临界条件的方法称为“旋转圆”法.
2.结合具体情境，可以通过分析圆心角、速度偏向角、弦切角、弧长、弦长的大小来分析带电粒子的运动时间.
3.常见的三种情景
1)如上图所示，粒子源从直线磁场边界上的P点发射速度大小一定、方向不同的带电粒子垂直进入匀强磁场区域，所有从直线边界射出的粒子，其出射点与P点的连线都是轨迹圆的圆弧所对的弦，其中入射的速度方向垂直于直线边界的粒子，在磁场中运动半个周期从M点射出，因为PM是圆的直径，所以M点是粒子打到直线边界上的最远点(所有的弦长中直径最长)．
2)粒子源从圆形磁场边界上的某一点发射速度大小一定、方向不同的带电粒子垂直进入匀强磁场区域时，因为所有的弦长中直径最长，则当粒子的轨迹圆和磁场边界圆的公共弦为小圆直径时，粒子打到边界圆上的点距入射点最远。分两种情况分析如下：
如图甲，若轨迹圆半径大于磁场边界圆半径，当入射点P和出射点M为边界圆直径的两个端点时，粒子打到边界圆上的点M距入射点P最远(所有的弦长中直径最长)，此时轨迹所对的弦长最长弧长最长，时间也就最长。
如图乙，若轨迹圆半径小于磁场边界圆半径，当入射点P和出射点M为轨迹圆直径的两个端点时，粒子打到边界圆上的点M距入射点P最远(所有的弦长中直径最长)，此时粒子在磁场中运动的时间为半个周期。但是由于轨迹圆半径小于边界圆半径，因而粒子在磁场中可以做完整的圆周运动，所以粒子从M点射出磁场的时间并不是粒子在磁场中运动的最长时间．
3)粒子在磁场中运动的弧长最短、弦长最短时运动时间最短．(弧长最短时运动时间最短普遍适用，弦长最短时运动时间最短仅限于粒子在磁场中的轨迹为劣弧)
如下图，P点的粒子源发射出速度大小一定、方向不同的带电粒子，当M点为出射点时弧长最短弦长最短，粒子在磁场中运动时最短．
1．（2022·宁波·模拟预测）如图所示，在屏MN的上方有磁感应强度为B的匀强磁场，磁场方向垂直纸面向里。P为屏上的一小孔，PC与MN垂直．一群质量为m、带电荷量为-q的粒子（不计重力），以相同的速率v，从P处沿垂直于磁场的方向射入磁场区域。粒子入射方向在与磁场B垂直的平面内，且散开在与PC夹角为θ的范围内。则在屏MN上被粒子打中的区域的长度为（ ）
A．2mvqBB．2mvcsθqBC．2mv1−sinθqBD．2mv1−csθqB
【答案】D
【解析】任取一粒子分析，作出圆周运动的轨迹，则可得出粒子打在屏上的位置与粒子与PC夹角的关系，则可得出粒子打在屏上的最远点及最近点，即可得出打中的长度。
粒子做匀速圆周运动，洛伦兹力提供向心力，由牛顿第二定律得qvB=mv2R
解得粒子的轨迹半径为R=mvqB
粒子沿着右侧边界射入，轨迹如下面左图，此时出射点最近，边界交点与P间距为：2Rcsθ；
粒子沿着左侧边界射入，轨迹如下面右图，此时出射点最近，边界交点与P间距为：2Rcsθ；
粒子垂直边界MN射入，轨迹如下面中间图，此时出射点最远，边界交点与P间距为：2R；
故范围在荧光屏上P点右侧，将出现一条形亮线，其长度为2R−2Rcsθ=2mv1−csθqB
故选D。
【点睛】带电粒子在磁场运动区域的判断时，要注意寻找一般表达式，通过分析再找出可能的边界；另外本题中关于PC两边对称的粒子方向均可适合L=2Rcsα。
2．（2022·山东·模拟预测）如图所示，在一挡板MN的上方，有磁感应强度为B的匀强磁场，磁场方向垂直纸面向里．P为MN上的一个粒子发射源，它能连续垂直磁场方向发射速率为v、质量为m、带电量为q的粒子，不计粒子的重力和粒子间的相互作用，粒子打到挡板上时均被挡板吸收．则在垂直于磁场的平面内，有粒子经过的区域面积是（ ）
A．πm2v2q2B2B．2πm2v2q2B2C．3πm2v22q2B2D．πm2v24q2B2
【答案】C
【解析】由题意可知粒子在磁场中的运动半径R=mvqB，所有粒子在磁场中半径相同，
由图可知，由O点射入水平向右的粒子恰好应为最右端边界；随着粒子的速度方向偏转，粒子转动的轨迹圆可认为是以O点为圆心以2R为半径转动．如图所示：
由几何图形可知，带电粒子可能经过的区域的面积为：S=12πR2+14π2R2=3πm2v22q2B2，故C正确， ABD错误．
3.(2017·全国卷)如图，虚线所示的圆形区域内存在一垂直于纸面的匀强磁场，P为磁场边界上的一点，大量相同的带电粒子以相同的速率经过P点，在纸面内沿不同的方向射入磁场，若粒子射入速率为v1，这些粒子在磁场边界的出射点分布在六分之一圆周上；若粒子射入速率为v2，相应的出射点分布在三分之一圆周上．不计重力及带电粒子之间的相互作用，则v2∶v1 为( )
A.eq \r(3)∶2 B.eq \r(2)∶1
C.eq \r(3)∶1 D．3∶eq \r(2)
【答案】C
【解析】根据作图分析可知，当粒子在磁场中运动半个圆周时，打到圆形磁场边界的位置距P点最远，则当粒子射入的速率为v1，轨迹如图甲所示，设圆形磁场半径为R，由几何知识可知，粒子运动的轨道半径为r1＝Rcs 60°＝eq \f(1,2)R；若粒子射入的速率为v2，轨迹如图乙所示，由几何知识可知，粒子运动的轨道半径为r2＝Rcs 30°＝eq \f(\r(3),2)R；根据轨道半径公式r＝eq \f(mv,qB)可知，v2∶v1＝r2∶r1＝eq \r(3)∶1，故选项C正确．
甲 乙
4．（2022·全国·高三专题练习）(多选) 如图所示，在边长为L的等边三角形区域ABC内存在着垂直纸面的匀强磁场（未画出），磁感应强度大小为B=23mv03qL，大量质量为m、带电荷量为q的粒子从BC边中点O沿不同的方向垂直于磁场以速率v0射入该磁场区域，不计粒子重力，则下列说法正确的是（ ）
A．所有粒子在磁场中做匀速圆周运动的轨迹半径为2L2
B．所有粒子在磁场中做匀速圆周运动的周期为3πLv0
C．对于从AB和AC边射出的粒子，在磁场中运动的最长时间为3πL6v0
D．对于从AB和AC边射出的粒子，在磁场中运动的最短时间为3πL12v0
【答案】BC
【解析】A．所有粒子的初速度大小相等，它们在磁场中做匀速圆周运动的轨迹半径为 r=mv0qB=32L 故A错误；
B．粒子做圆周运动的周期为 T=2πrv0=3πLv0 故B正确；
C．当粒子运动轨迹对应的弦最长时，圆心角最大，粒子运动时间最长，当粒子运动轨迹对应的弦长最短时，对应的圆心角最小，粒子运动时间最短。对于从AB和AC边射出的粒子在磁场中的运动，可知最长的弦为OA=3L2，恰好等于轨迹半径，对应的圆心角为60°，因此最长运动时间 t=16T=3πL6v0 故C正确；
D．过O点作AC边的垂线，垂足为D，可知OD=3L4为最短的弦之一，由几何知识可知，对应的圆心角小于30°，因此粒子最短运动时间小于 T12=3πL12v0 故D错误。
故选BC。
5．（2023·全国·高三专题练习）如图所示，在0≤x≤b、0≤y≤a的长方形区域中有一磁感应强度大小B的匀强磁场，磁场的方向垂直于xOy平面向外。O处有一个粒子源，在某时刻发射大量质量为m、电荷量为q的带正电粒子，它们的速度大小相同，速度方向均在xOy平面内的第一象限内。已知粒子在磁场中做圆周运动的周期为T，最先从磁场上边界中飞出的粒子经历的时间为T12，最后从磁场中飞出的粒子经历的时间为T4。不计粒子的重力及粒子间的相互作用，则（ ）
A．粒子圆周运动的半径r=a
B．长方形区域的边长满足关系ba=2
C．长方形区域的边长满足关系ba=3+1
D．粒子射入磁场的速度大小v=4qBam
【答案】C
【解析】AD．最先从磁场上边界中飞出的粒子在磁场中的偏转角最小，对应的圆弧最短，可以判断出是沿y轴方向入射的粒子；其运动的轨迹如图甲，则由题意偏转角 θ=tT×360°=112×360°=30°
由几何关系得 R=asin30°=2a
带电粒子做圆周运动，洛伦兹力提供向心力，得 Bqv=mv2R 所以 v=2qaBm AD错误；
BC．当R由图可得 b=Rsinα+Rcsα=a+3a
解得 ba=1+3 B错误，C正确。
故选C。
6．（2021·海南）(多选)如图，在平面直角坐标系的第一象限内，存在垂直纸面向外的匀强磁场，磁感应强度大小为B。大量质量为m、电量为q的相同粒子从y轴上的点，以相同的速率在纸面内沿不同方向先后射入磁场，设入射速度方向与y轴正方向的夹角为。当时，粒子垂直x轴离开磁场。不计粒子的重力。则（ ）
A．粒子一定带正电
B．当时，粒子也垂直x轴离开磁场
C．粒子入射速率为
D．粒子离开磁场的位置到O点的最大距离为
【答案】ACD
【解析】 A．根据题意可知粒子垂直轴离开磁场，根据左手定则可知粒子带正电，A正确；
BC．当时，粒子垂直轴离开磁场，运动轨迹如图
粒子运动的半径为
洛伦兹力提供向心力
解得粒子入射速率
若，粒子运动轨迹如图
根据几何关系可知粒子离开磁场时与轴不垂直，B错误，C正确；
D．粒子离开磁场距离点距离最远时，粒子在磁场中的轨迹为半圆，如图
根据几何关系可知
解得 D正确。
故选ACD。
7．如图所示，在真空中板间r=3.0×10-2m的圆形区域内，有磁感应强度B=0.2T，方向如图的匀强磁场，一批带正电的粒子以初速度v0=1.0×106m/s，从磁场边界上直径ab的一端a沿着各个方向射入磁场，且初速度方向与磁场方向都垂直，该粒子的比荷为，不计粒子重力．求：
（1）粒子的轨迹半径；
（2）粒子在磁场中运动的最长时间；
（3）若射入磁场的速度改为，其他条件不变，试用斜线画出该批粒子在磁场中可能出现的区域．（sin37°=0.6，cs37°=0.8）
【答案】（1）5.0×10-2m （2）6.5×10-8s（3）如图；
【解析】（1）粒子在磁场中做匀速圆周运动，洛伦兹力提供向心力，由牛顿第二定律得：，
解得：．
（2）由于R＞r，要使粒子在磁场中运动的时间最长，则粒子在磁场中运动的圆弧所对应的弧长最长，从图甲中可以看出，以直径ab为弦、R为半径所作的圆周，粒子运动时间最长，粒子做圆周运动的周期，粒子的最长运动时间，
又，解得：．
（3）速度改为时，粒子的轨道半径，粒子在磁场中可能出现的区域：如图中以Oa为直径的半圆及以a为圆心、Oa为半径的圆与磁场相交的部分，如图所示．
点睛：解决带电粒子在匀强磁场中匀速圆周运动问题时，应首先确定圆心的位置，找出半径，做好草图，利用数学几何并结合运动规律进行求解．
8．如图所示，在矩形区域内有垂直于纸面向外的匀强磁场，磁感应强度的大小为B＝5.0×10－2 T，矩形区域长为1.0 m，宽为0.2 m．在AD边中点O处有一放射源，某时刻，放射源沿纸面向磁场中各方向均匀地辐射出速率均为v＝2×106 m/s的某种带正电粒子．已知带电粒子的质量m＝1.6×10－27 kg，所带电荷量为q＝3.2×10－19 C(不计粒子重力)．
(1)求粒子在磁场中做圆周运动的半径为多大？
(2)求从BC边界射出的粒子，在磁场中运动的最短时间为多少？
【答案】（1）0.2 m.（2）×10－7 s.
【解析】（1）粒子在磁场中做匀速圆周运动，由牛顿第二定律得：，
解得：R=0.2m；
（2）因为所有粒子的轨迹半径相同，所以弦最短的圆所对应的圆心角最小，运动时间最短，作EO⊥AD，EO弦最短，如图所示：
因为EO=0.2m，且R=0.2m，
所以对应的圆心角为θ=，
由牛顿第二定律得：qvB=m（）2R，
解得：
最短时间为：，
解得：t=×10-7s；
9．（2022·河北石家庄·模拟预测）如图所示，在平面直角坐标系xOy内，以P(0,a)点为圆心、半径为a的圆形区域和III、IV象限内均存在垂直纸面向里、磁感应强度大小为B的匀强磁场，沿x轴负半轴固定一足够长的水平挡板。一宽度为a的电子束，中心正对P点平行x轴以一定的速度射入圆形磁场，偏转后所有电子都经过O点进入x轴下方磁场。已知电子质量为m、带电荷量为−e，忽略电子重力及电子间的相互作用，电子打在挡板上立即被挡板吸收。求：
（1）电子射入磁场时的动能Ek；
（2）挡板上被电子打中区域的长度d。
【答案】（1）Ek=e2B2a22m；（2）(2−3)a
【解析】（1）根据题意，电子束运动轨迹如图，O1为最上面电子在圆磁场做匀速圆周运动的圆心，Q为入射点、O为出射点，由几何关系知，QO1OP是菱形，故电子束在原点O的正上方半径为a的磁场中做圆周运动的半径为R=a。设电子进入圆形磁场时的速度为v，根据牛顿第二定律有evB=mv2R
电子的动能 Ek=12mv2
联立解得 Ek=e2B2a22m
（2）由电子束运动轨迹图，经分析可知从正中心射入的电子在圆磁场运动14个圆弧垂直x轴射入III、IV象限的磁场，运动半个圆周垂直打中挡板，距O点最远。从最上面射入的电子在圆磁场中运动13个圆弧与x轴负方向成60°角射入III、IV象限的磁场，运动13个圆弧打在挡板上，而最下面射入的电子在圆磁场中运动16个圆弧与x轴正方向成60°角射入III、IV象限的磁场，运动23个圆弧打在挡板上，最上面和最下面电子打中挡板的位置相同，距O点最近，根据几何关系可得 Lmax=2a Lmin=2acs30°=3a
挡板上被电子打中区域的长度 d=Lmax−Lmin=(2−3)a
考点二 放缩圆模型
如下图，P点的粒子源发射速度方向一定,速度大小不同的带电粒子垂直进入匀强磁场时,带电粒子在磁场中做匀速圆周运动的轨迹半径随速度大小的变化而变化,这些轨迹圆均以入射点P为定点,圆心位于PP'直线上,将半径放缩作轨迹圆,从而探索临界条件的方法称为“放缩圆”法.
10．（2023·全国·高三专题练习）如图所示，横截面为正方形abcd的有界匀强磁场，磁场方向垂直纸面向里。一束电子以大小不同、方向垂直ad边界的速度飞入该磁场。对于从不同边界射出的电子，下列判断错误的是（ ）
A．从ad边射出的电子在磁场中运动的时间都相等
B．从c点离开的电子在磁场中运动时间最长
C．电子在磁场中运动的速度偏转角最大为π
D．从bc边射出的电子的速度一定大于从ad边射出的电子的速度
【答案】B
【详解】ABC．电子的速率不同，运动轨迹半径不同，如图，由周期公式 T=2πmqB
可知，周期与电子的速率无关，所以在磁场中的运动周期相同，根据 t=θ2πT
可得电子在磁场中运动时间与轨迹对应的圆心角成正比，所以电子在磁场中运动的时间越长，其轨迹线所对应的圆心角θ越大，故从ad边射出的电子在磁场中运动的时间都相等且运动时间最长，AC正确，B错误；
D．从bc边射出的轨道半径大于从ad边射出的电子的轨道半径，由半径公式 r=mvqB
可得轨迹半径与速率成正比，则电子的速率越大，在磁场中的运动轨迹半径越大，故从bc边射出的电子的速度一定大于从ad边射出的电子的速度，D正确。
本题选错误的，故选B。
11.（2022·北京·海淀模拟预测）(多选)如图，有一截面为矩形的有界匀强磁场区域ABCD，AB＝3L，BC＝2L，在边界AB的中点上有一个粒子源，沿与边界AB平行并指向A点方向发射各种不同速率的同种正粒子，不计粒子重力，当粒子速率为v0时，粒子轨迹恰好与AD边界相切，则( )
A．速率小于v0的粒子全部从CD边界射出
B．当粒子速度满足eq \f(2v0,3)＜v＜v0时，从CD边界射出
C．在CD边界上只有上半部分有粒子通过
D．当粒子速度小于eq \f(2v0,3)时，粒子从BC边界射出
【答案】BC
【解析】如图，由几何知识可知，与AD边界相切的轨迹半径为1．5L，与CD边界相切的轨迹半径为L；由半径公式R＝eq \f(mv,qB)可知轨迹与CD边界相切的粒子速度为eq \f(2v0,3)，由此可知，仅满足eq \f(2v0,3)＜v＜v0的粒子从CD边界的P、D间射出，选项A错误，B、C正确；由上述分析可知，速度小于eq \f(2v0,3)的粒子不能射出磁场，故选项D错误。
12．(2020·全国卷Ⅰ)一匀强磁场的磁感应强度大小为B、方向垂直于纸面向外，其边界如图中虚线所示，eq \x\t(ab)为半圆，ac、bd与直径ab共线，ac间的距离等于半圆的半径。一束质量为m、电荷量为q(q>0)的粒子，在纸面内从c点垂直于ac射入磁场，这些粒子具有各种速率。不计粒子之间的相互作用。在磁场中运动时间最长的粒子，其运动时间为( )
A．eq \f(7πm,6qB)B．eq \f(5πm,4qB)
C．eq \f(4πm,3qB)D．eq \f(3πm,2qB)
【答案】C
【解析】带电粒子在匀强磁场中运动，运动轨迹如图所示，由洛伦兹力提供向心力有qvB＝meq \f(v2,r)，解得r＝eq \f(mv,qB)，运动时间t＝eq \f(θr,v)＝eq \f(θm,qB)，θ为带电粒子在磁场中运动轨迹所对的圆心角，粒子在磁场中运动时间由轨迹所对圆心角决定。采用放缩法，粒子垂直ac射入磁场，则轨迹圆圆心必在直线ac上，将粒子的轨迹半径从零开始逐渐放大。当r≤0．5R(R为eq \x\t(ab)的半径)和r≥1．5R时，粒子从ac、bd区域射出磁场，运动时间等于半个周期。当0．5R13．（2022·山西·运城模拟预测）(多选)如图，一长度为a的竖直薄挡板MN处在垂直纸面向里的匀强磁场(未画出)中，磁感应强度为B.O点有一粒子源在纸面内向各方向均匀发射电荷量为＋q、质量为m的带电粒子，所有粒子的初速度v(未知)大小相同．已知初速度与eq \x\t(ON)夹角为60°发射的粒子恰好经过N点(不被挡板吸收)，粒子与挡板碰撞则会被吸收，eq \x\t(ON)＝eq \r(3)a，eq \x\t(ON)⊥MN，不计粒子重力，不考虑粒子间的相互作用，则( )
A．粒子在磁场中做圆周运动的半径为eq \f(\r(3),2)a
B．挡板左侧能被粒子击中的竖直长度为a
C．能击中挡板右侧的粒子数占粒子总数的eq \f(1,6)
D．若调节初速度v大小使挡板的右侧被粒子击中的竖直长度为a，则v的最小值为eq \f(qBa,m)
【答案】CD
【解析】粒子恰好经过N点，如图甲中轨迹1，设半径为R，由几何关系可知2Rsin 60°＝eq \r(3)a，解得R＝a，选项A错误；当轨迹刚好与MN相切时，粒子刚好能打到板上，如图甲中轨迹2，
设速度方向与ON夹角为θ，由几何关系得Rsin θ＋R＝eq \r(3)a，解得sin θ＝eq \r(3)－1，由此可得Rcs θ＝aeq \r(1－sin2θ)＝aeq \r(2\r(3)－3)，所以，挡板左侧能被粒子击中的竖直长度为aeq \r(2\r(3)－3)，选项B错误；要使粒子打到右侧，则有两个临界条件，如图甲轨迹1、3，初速度方向的夹角为60°，则比例为eq \f(60°,360°)＝eq \f(1,6)，选项C正确；由C选项可知使挡板的右侧被击中的竖直长度为a，粒子轨迹如图乙，速度方向与ON夹角为60°，由洛伦兹力提供向心力得qvB＝eq \f(mv2,a)，解得v＝eq \f(qBa,m)，选项D正确．
14．（2023·全国·高三专题练习）(多选)如图所示,在边长L=10cm的正方形ABCD的CD边上方空间有垂直于纸面向里的匀强磁场,磁感应强度B=0.2T，在正方形的AD边中点处有一粒子源S，能够不断向纸面内各个方向发射速率不同的同种带正电粒子，粒子的比荷为1×108C/kg，不计粒子重力和粒子间的相互作用。下列说法中正确的是（ ）
A．经过B点的粒子速度不小于55×105m/s
B．水平向右射出的速率大于5×105m/s的粒子都能从AB所在直线穿过
C．水平向右发射的粒子从AB边射出正方形区域的最短时间为π2×10-7s
D．速率为1×106m/s的粒子可到达CD边上区域的长度为5cm
【答案】ABD
【解析】A．根据洛伦兹力提供向心力 Bqv=mv2r 得 v=Bqrm
则经过B点的粒子，当轨迹刚好以SB为直径时，对应轨迹圆半径最小，速度也最小 r1=SB2=552cm
代入 v=Bqrm
此时速度为 v1=55×105m/s A正确；
B．沿水平方向射出的粒子半径r1'=2.5cm时，恰好能射出AB，将r1'=2.5cm代入 v=Bqrm
得最小速度为5×105m/s，B正确；
C．根据 t=θ2πT
可知，轨迹对应的圆心角θ 越小，时间越短。当粒子刚好从B点射出时，时间最短，根据几何关系
可求出 r2=0.125m
则由sinθ=0.8 ，圆心角的θ=53∘ ，故最短时间 tmin=53360×2πmBq= 53π36×10−7s 故C错误；
D．将v=1×106m/s代入公式 v=Bqrm
求出 r3=0.05m
如图
当速度方向沿SD方向时，轨迹与CD边的交点记为M，此种情况是速率为1×106 m/s的粒子到达CD边上且距离D点最远的位置。由几何关系可知 DM=r3=0.05m=5cm
当速度方向沿与SD方向成30∘角斜向左下方时，如图所示
由几何关系可知，此时粒子恰好运动到D点。速率为1×106 m/s的粒子可到达CD边上区域的长度为5 cm。D正确。
故选ABD。
15.（2022·广东·模拟预测）(多选)如图所示，在一等腰直角三角形ACD区域内有垂直纸面向外的匀强磁场，磁场的磁感应强度大小为B，一质量为m、电荷量为q的带正电的粒子(重力不计)从AC边的中点O垂直于AC边射入该匀强磁场区域，若该三角形的两直角边长均为2l，则下列关于粒子运动的说法中正确的是( )
A．若该粒子的入射速度为v＝eq \f(qBl,m)，则粒子一定从CD边射出磁场，且距点C的距离为l
B．若要使粒子从CD边射出，则该粒子从O点入射的最大速度应为v＝eq \f(\r(2)＋1qBl,m)
C．若要使粒子从CD边射出，则该粒子从O点入射的最大速度应为v＝eq \f(\r(2)qBl,m)
D．当该粒子以不同的速度入射时，在磁场中运动的最长时间为eq \f(πm,qB)
【答案】ABD
【解析】若粒子射入磁场时速度为v＝eq \f(qBl,m)，则由qvB＝meq \f(v2,r)可得r＝l，由几何关系可知，粒子一定从CD边上距C点为l的位置离开磁场，选项A正确；因为r＝eq \f(mv,qB)，所以v＝eq \f(qBr,m)，因此，粒子在磁场中运动的轨迹半径越大，速度就越大，由几何关系可知，当粒子在磁场中的运动轨迹与三角形的AD边相切时，能从CD边射出的轨迹半径最大，此时粒子在磁场中做圆周运动的轨迹半径r＝(eq \r(2)＋1)l，故其最大速度为v＝eq \f(\r(2)＋1qBl,m)，选项B正确，C错误；粒子在磁场中的运动周期为T＝eq \f(2πm,qB)，故当粒子从三角形的AC边射出时，粒子在磁场中运动的时间最长，由于此时粒子做圆周运动的圆心角为180°，故其最长时间应为t＝eq \f(πm,qB)，选项D正确。
16.如图所示，一足够长的矩形区域abcd内充满方向垂直纸面向里的、磁感应强度为B的匀强磁场，在ad边中点O，射入一个与ad边夹角θ=300、大小为v0（未知量）的带正电粒子，已知粒子质量为m，电量为q，ad边长为L，ab边足够长，粒子重力不计，求：
(1)求粒子从ad边射出的速度范围。
(2) 求粒子从ab边射出的速度范围。
(3)若带电粒子的速度v0大小可取任意值，求粒子在磁场中运动的最长时间。
【答案】(1)；(2)；(3)
【解析】(1)和(2)两种临界情况的运动轨迹如图所示
若粒子速度为，则 解得
设圆心在处对应圆弧与cd边相切，相应速度为
由几何关系得： 解得： 则有：
设圆心在处对应圆弧与ab边相切，相应速度为
由几何关系得： 解得： 则有：
故粒子从ad边射出的速度范围： 粒子从ab边射出的速度范围；；
粒子在磁场中经过的弧所对的圆心角α越大，在磁场中运动的时间也越长，则圆弧所对圆心角为
所以最长时间为
考点三 平移圆模型
如下图，粒子源发射速度大小、方向一定,入射点不同但在同一直线的带电粒子垂直进入匀强磁场时,它们做匀速圆周运动的半径相同,若入射速度大小为v0,则半径R=mv0qB,将半径为R=mv0qB的圆进行平移,从而探索临界条件的方法叫“平移圆”法.
17.（2022·安徽合肥·模拟预测）如图所示为边长为L的正方形有界匀强磁场ABCD，带电粒子从A点沿AB方向射入磁场，恰好从C点飞出磁场；若带电粒子以相同的速度从AD的中点P垂直AD射入磁场，从DC边的M点飞出磁场(M点未画出)．设粒子从A点运动到C点所用的时间为t1，由P点运动到M点所用时间为t2(带电粒子重力不计)，则t1∶t2为( )
A．2∶1 B．2∶3
C．3∶2 D.eq \r(3)∶eq \r(2)
【答案】C
【解析】画出粒子从A点射入磁场到从C点射出磁场的轨迹，并将该轨迹向下平移，粒子做圆周运动的半径为R＝L，从C点射出的粒子运动时间为t1＝eq \f(T,4)；由P点运动到M点所用时间为t2，圆心角为θ，cs θ＝eq \f(\f(R,2),R)＝eq \f(1,2)，则θ＝60°，故t2＝eq \f(T,6)，所以eq \f(t1,t2)＝eq \f(\f(T,4),\f(T,6))＝eq \f(3,2)，C正确．
18．（2022·全国·高三课时练习）如图所示，在xOy平面的第Ⅰ、IV象限内有一圆心为O、半径为R的半圆形匀强磁场，线状粒子源从y轴左侧平行于x轴正方向不断射出质量为m、电荷量为q、速度大小为v0的带正电粒子。磁场的磁感应强度大小为mv02qR、方向垂直平面xOy向里。不考虑粒子间的相互作用，不计粒子受到的重力。所有从不同位置进入磁场的粒子中，在磁场中运动的时间最长为（ ）
A．πR6v0B．πR4v0C．πR3v0D．πR2v0
【答案】C
【解析】粒子在磁场中做匀速圆周运动，有qv0B=mv02r 解得r=2R
如图所示，当粒子在磁场中的运动轨迹对应的圆心角最大时，粒子在磁场中运动的时间最长，由于sinα=FEr，要使圆心角α最大，FE最长，经分析可知，当粒子从y轴上的D′点射入、从x轴上的E′点射出磁场时，粒子在磁场中运动的时间最长，有 sinαm=OE′r 解得 αm=π6
从D′点射入磁场的粒子在磁场中运动的时间 tm=π62π⋅2πrv0 解得 tm=πR3v0
故选C。
19．（2022·全国·高三课时练习）(多选)如图所示，在直角三角形ABC内充满垂直纸面向外的匀强磁场（图中未画出），AB边长度为d，∠B=π6。现垂直AB边射入一束质量均为m、电荷量均为q、速度大小均为v的带正电粒子。已知垂直AC边射出的粒子在磁场中运动的时间为t0，而运动时间最长的粒子在磁场中的运动时间为43t0（不计重力），则下列说法中正确的是（ ）
A．粒子在磁场中做匀速圆周运动的周期为4t0
B．该匀强磁场的磁感应强度大小为πm2qt0
C．粒子在磁场中运动的轨道半径为25d
D．粒子进入磁场时速度大小为3πd5t0
【答案】ABC
【解析】A．根据题意垂直AB边进入，垂直AC边飞出，经过四分之一个周期，即 14T=t0
解得 T=4t0 A正确；
B．洛伦兹力提供向心力 qvB=mv2R
解得 R=mvqB
粒子运动的周期 T=2πRv=2πmqB=4t0
解得磁感应强度 B=πm2qt0 B正确；
C．粒子与BC边相切，运动时间最长，满足43t0=13T，在磁场中转过圆心角120°，如图
根据几何关系可知 Rsinπ6+Rsinπ6=d
解得 R=25d C正确；
D．根据T=2πRv可知 v=2πRT=2π⋅25d4t0=πd5t0 D错误。
故选ABC。
20．(多选)如图所示，C、D、E为以O为圆心、半径为R的圆周上的三点，∠COD=π2，A为CD的中点，在OCEDO内充满垂直于纸面向外的匀强磁场（图中未画出），磁感应强度大小为B。一群质量为m、电荷量为q的带正电粒子以速率v0=qBR2m从AC部分垂直于AC射向磁场区域，忽略粒子间的相互作用以及粒子的重力，则粒子在一次进出磁场中运动的时间可能是（ ）
A．πm3qBB．2πm3qBC．6πm5qBD．8πm5qB
【答案】BC
【解析】根据qv0B=mv02r
可得粒子在磁场中运动的轨道半径r=R2
粒子在磁场中做圆周运动的周期为T，则有T=2πrv0=2πmqB
运动轨迹如图所示
由图可知，部分粒子从OC边射入磁场，又从OC边射出磁场，由对称性可知，粒子偏转的圆心角为90°，运动时间最短，则最短时间为t1=14T=πm2qB
沿AO入射的粒子，与磁场圆在最低点内切，圆心角为270°，运动时间最长，最长时间为t2=34T=3πm2qB
故粒子在一次进出磁场中运动的时间范围为πm2qB≤t≤3πm2qB
故选BC。
21.（2022·山东烟台·高三阶段练习）(多选)如图所示，在Ⅰ、Ⅱ两个区域内存在磁感应强度大小均为B的匀强磁场，磁场方向分别垂直于纸面向外和向里，AD、AC边界的夹角∠DAC＝30°，边界AC与边界MN平行，Ⅱ区域宽度为d.质量为m、电荷量为＋q的粒子可在边界AD上的不同点射入，入射速度垂直AD且垂直磁场，若入射速度大小为eq \f(qBd,m)，不计粒子重力，则( )
A．粒子在磁场中运动的半径为eq \f(d,2)
B．粒子在距A点0.5d处射入，不会进入Ⅱ区域
C．粒子在距A点1.5d处射入，在Ⅰ区域内运动的时间为eq \f(πm,qB)
D．能够进入Ⅱ区域的粒子，在Ⅱ区域内运动的最短时间为eq \f(πm,3qB)
【答案】 CD
【解析】带电粒子在磁场中的运动半径r＝eq \f(mv,qB)＝d，选项A错误；设从某处E进入磁场的粒子，其轨迹恰好与AC相切(如图所示)，则E点距A点的距离为2d－d＝d，粒子在距A点0.5d处射入，会进入Ⅱ区域，选项B错误；粒子在距A点1.5d处射入，不会进入Ⅱ区域，在Ⅰ区域内的轨迹为半圆，运动的时间为t＝eq \f(T,2)＝eq \f(πm,qB)，选项C正确；进入Ⅱ区域的粒子，弦长最短的运动时间最短，且最短弦长为d，对应圆心角为60°，最短时间为tmin＝eq \f(T,6)＝eq \f(πm,3qB)，选项D正确．
22．(多选)如图所示，以水平直线为分界线，上方区域充满垂直于纸面向里的匀强磁场，大量电子(质量为m、电荷量为e，重力不计)从长度为L的PQ区域以相同速度与水平方向成θ＝60°的角度斜射入磁场，已知电子的速度大小为v0，上方磁场的磁感应强度B＝eq \f(3mv0,eL).所有从上方磁场射出的电子再次经过水平分界线下方某一半圆形区域的匀强磁场(图中未画出)偏转后都能通过磁场边界的一个点处被收集．下列说法正确的是( )
A．水平分界线上电子射出区域的长度为eq \f(L,3)
B．若减小上方磁场的磁感应强度，电子射出区域的长度将保持不变
C．欲使水平分界线上电子的出射与入射区域不重叠，则上方磁场的磁感应强度应小于eq \f(\r(3)mv0,eL)
D．下方收集电子的半圆形区域匀强磁场的最大磁感应强度为eq \f(2\r(3)mv0,3eL)
【答案】 BCD
【解析】所有电子运动轨迹相同，水平分界线上电子射出区域的长度为L，选项A错误；改变上方磁场的磁感应强度，电子运动轨迹改变但所有电子运动轨迹依然相同，电子射出区域的长度将保持不变，选项B正确；从P点入射的电子刚好到达Q点，即偏转对应的最小弦长为L，则r＝eq \f(mv0,eB)＝eq \f(L,\r(3))，B＝eq \f(\r(3)mv0,eL)，选项C正确；出射电子束的宽度(平行线间的距离)为eq \f(\r(3)L,2)，只要满足电子轨迹半径等于磁场区域圆的半径就可以实现收集(会聚)．设想以较大的磁场区域圆实现会聚，不断缩小磁场区域圆直至以出射电子束的宽度为半径对应最小的半圆形磁场区域，如图所示；可以是区域1、2组成的半圆，也可以是区域1、3组成的半圆，最小半径与最大的磁感应强度B′＝eq \f(2\r(3)mv0,3eL)相对应，选项D正确．
考点三 平移圆模型（17-22T）
考点一 旋转圆模型
1.旋转圆：如下图所示，粒子源发射速度大小一定、方向不同的带电粒子进入匀强磁场时，它们在磁场中做匀速圆周运动的半径相同，若射入初速度为v0，则圆周运动半径为R＝eq \f(mv0,qB).分析这类问题时将一半径为R＝eq \f(mv0,qB)的圆以入射点为圆心进行旋转，从而探索临界条件的方法称为“旋转圆”法.
2.结合具体情境，可以通过分析圆心角、速度偏向角、弦切角、弧长、弦长的大小来分析带电粒子的运动时间.
3.常见的三种情景
1)如上图所示，粒子源从直线磁场边界上的P点发射速度大小一定、方向不同的带电粒子垂直进入匀强磁场区域，所有从直线边界射出的粒子，其出射点与P点的连线都是轨迹圆的圆弧所对的弦，其中入射的速度方向垂直于直线边界的粒子，在磁场中运动半个周期从M点射出，因为PM是圆的直径，所以M点是粒子打到直线边界上的最远点(所有的弦长中直径最长)．
2)粒子源从圆形磁场边界上的某一点发射速度大小一定、方向不同的带电粒子垂直进入匀强磁场区域时，因为所有的弦长中直径最长，则当粒子的轨迹圆和磁场边界圆的公共弦为小圆直径时，粒子打到边界圆上的点距入射点最远。分两种情况分析如下：
如图甲，若轨迹圆半径大于磁场边界圆半径，当入射点P和出射点M为边界圆直径的两个端点时，粒子打到边界圆上的点M距入射点P最远(所有的弦长中直径最长)，此时轨迹所对的弦长最长弧长最长，时间也就最长。
如图乙，若轨迹圆半径小于磁场边界圆半径，当入射点P和出射点M为轨迹圆直径的两个端点时，粒子打到边界圆上的点M距入射点P最远(所有的弦长中直径最长)，此时粒子在磁场中运动的时间为半个周期。但是由于轨迹圆半径小于边界圆半径，因而粒子在磁场中可以做完整的圆周运动，所以粒子从M点射出磁场的时间并不是粒子在磁场中运动的最长时间．
3)粒子在磁场中运动的弧长最短、弦长最短时运动时间最短．(弧长最短时运动时间最短普遍适用，弦长最短时运动时间最短仅限于粒子在磁场中的轨迹为劣弧)
如下图，P点的粒子源发射出速度大小一定、方向不同的带电粒子，当M点为出射点时弧长最短弦长最短，粒子在磁场中运动时最短．
1．（2022·宁波·模拟预测）如图所示，在屏MN的上方有磁感应强度为B的匀强磁场，磁场方向垂直纸面向里。P为屏上的一小孔，PC与MN垂直．一群质量为m、带电荷量为-q的粒子（不计重力），以相同的速率v，从P处沿垂直于磁场的方向射入磁场区域。粒子入射方向在与磁场B垂直的平面内，且散开在与PC夹角为θ的范围内。则在屏MN上被粒子打中的区域的长度为（ ）
A．2mvqBB．2mvcsθqBC．2mv1−sinθqBD．2mv1−csθqB
2．（2022·山东·模拟预测）如图所示，在一挡板MN的上方，有磁感应强度为B的匀强磁场，磁场方向垂直纸面向里．P为MN上的一个粒子发射源，它能连续垂直磁场方向发射速率为v、质量为m、带电量为q的粒子，不计粒子的重力和粒子间的相互作用，粒子打到挡板上时均被挡板吸收．则在垂直于磁场的平面内，有粒子经过的区域面积是（ ）
A．πm2v2q2B2B．2πm2v2q2B2C．3πm2v22q2B2D．πm2v24q2B2
3.(2017·全国卷)如图，虚线所示的圆形区域内存在一垂直于纸面的匀强磁场，P为磁场边界上的一点，大量相同的带电粒子以相同的速率经过P点，在纸面内沿不同的方向射入磁场，若粒子射入速率为v1，这些粒子在磁场边界的出射点分布在六分之一圆周上；若粒子射入速率为v2，相应的出射点分布在三分之一圆周上．不计重力及带电粒子之间的相互作用，则v2∶v1 为( )
A.eq \r(3)∶2 B.eq \r(2)∶1
C.eq \r(3)∶1 D．3∶eq \r(2)
甲 乙
4．（2022·全国·高三专题练习）(多选) 如图所示，在边长为L的等边三角形区域ABC内存在着垂直纸面的匀强磁场（未画出），磁感应强度大小为B=23mv03qL，大量质量为m、带电荷量为q的粒子从BC边中点O沿不同的方向垂直于磁场以速率v0射入该磁场区域，不计粒子重力，则下列说法正确的是（ ）
A．所有粒子在磁场中做匀速圆周运动的轨迹半径为2L2
B．所有粒子在磁场中做匀速圆周运动的周期为3πLv0
C．对于从AB和AC边射出的粒子，在磁场中运动的最长时间为3πL6v0
D．对于从AB和AC边射出的粒子，在磁场中运动的最短时间为3πL12v0
5．（2023·全国·高三专题练习）如图所示，在0≤x≤b、0≤y≤a的长方形区域中有一磁感应强度大小B的匀强磁场，磁场的方向垂直于xOy平面向外。O处有一个粒子源，在某时刻发射大量质量为m、电荷量为q的带正电粒子，它们的速度大小相同，速度方向均在xOy平面内的第一象限内。已知粒子在磁场中做圆周运动的周期为T，最先从磁场上边界中飞出的粒子经历的时间为T12，最后从磁场中飞出的粒子经历的时间为T4。不计粒子的重力及粒子间的相互作用，则（ ）
A．粒子圆周运动的半径r=a
B．长方形区域的边长满足关系ba=2
C．长方形区域的边长满足关系ba=3+1
D．粒子射入磁场的速度大小v=4qBam
6．（2021·海南）(多选)如图，在平面直角坐标系的第一象限内，存在垂直纸面向外的匀强磁场，磁感应强度大小为B。大量质量为m、电量为q的相同粒子从y轴上的点，以相同的速率在纸面内沿不同方向先后射入磁场，设入射速度方向与y轴正方向的夹角为。当时，粒子垂直x轴离开磁场。不计粒子的重力。则（ ）
A．粒子一定带正电
B．当时，粒子也垂直x轴离开磁场
C．粒子入射速率为
D．粒子离开磁场的位置到O点的最大距离为
7．如图所示，在真空中板间r=3.0×10-2m的圆形区域内，有磁感应强度B=0.2T，方向如图的匀强磁场，一批带正电的粒子以初速度v0=1.0×106m/s，从磁场边界上直径ab的一端a沿着各个方向射入磁场，且初速度方向与磁场方向都垂直，该粒子的比荷为，不计粒子重力．求：
（1）粒子的轨迹半径；
（2）粒子在磁场中运动的最长时间；
（3）若射入磁场的速度改为，其他条件不变，试用斜线画出该批粒子在磁场中可能出现的区域．（sin37°=0.6，cs37°=0.8）
8．如图所示，在矩形区域内有垂直于纸面向外的匀强磁场，磁感应强度的大小为B＝5.0×10－2 T，矩形区域长为1.0 m，宽为0.2 m．在AD边中点O处有一放射源，某时刻，放射源沿纸面向磁场中各方向均匀地辐射出速率均为v＝2×106 m/s的某种带正电粒子．已知带电粒子的质量m＝1.6×10－27 kg，所带电荷量为q＝3.2×10－19 C(不计粒子重力)．
(1)求粒子在磁场中做圆周运动的半径为多大？
(2)求从BC边界射出的粒子，在磁场中运动的最短时间为多少？
9．（2022·河北石家庄·模拟预测）如图所示，在平面直角坐标系xOy内，以P(0,a)点为圆心、半径为a的圆形区域和III、IV象限内均存在垂直纸面向里、磁感应强度大小为B的匀强磁场，沿x轴负半轴固定一足够长的水平挡板。一宽度为a的电子束，中心正对P点平行x轴以一定的速度射入圆形磁场，偏转后所有电子都经过O点进入x轴下方磁场。已知电子质量为m、带电荷量为−e，忽略电子重力及电子间的相互作用，电子打在挡板上立即被挡板吸收。求：
（1）电子射入磁场时的动能Ek；
（2）挡板上被电子打中区域的长度d。
考点二 放缩圆模型
如下图，P点的粒子源发射速度方向一定,速度大小不同的带电粒子垂直进入匀强磁场时,带电粒子在磁场中做匀速圆周运动的轨迹半径随速度大小的变化而变化,这些轨迹圆均以入射点P为定点,圆心位于PP'直线上,将半径放缩作轨迹圆,从而探索临界条件的方法称为“放缩圆”法.
10．（2023·全国·高三专题练习）如图所示，横截面为正方形abcd的有界匀强磁场，磁场方向垂直纸面向里。一束电子以大小不同、方向垂直ad边界的速度飞入该磁场。对于从不同边界射出的电子，下列判断错误的是（ ）
A．从ad边射出的电子在磁场中运动的时间都相等
B．从c点离开的电子在磁场中运动时间最长
C．电子在磁场中运动的速度偏转角最大为π
D．从bc边射出的电子的速度一定大于从ad边射出的电子的速度
11.（2022·北京·海淀模拟预测）(多选)如图，有一截面为矩形的有界匀强磁场区域ABCD，AB＝3L，BC＝2L，在边界AB的中点上有一个粒子源，沿与边界AB平行并指向A点方向发射各种不同速率的同种正粒子，不计粒子重力，当粒子速率为v0时，粒子轨迹恰好与AD边界相切，则( )
A．速率小于v0的粒子全部从CD边界射出
B．当粒子速度满足eq \f(2v0,3)＜v＜v0时，从CD边界射出
C．在CD边界上只有上半部分有粒子通过
D．当粒子速度小于eq \f(2v0,3)时，粒子从BC边界射出
12．(2020·全国卷Ⅰ)一匀强磁场的磁感应强度大小为B、方向垂直于纸面向外，其边界如图中虚线所示，eq \x\t(ab)为半圆，ac、bd与直径ab共线，ac间的距离等于半圆的半径。一束质量为m、电荷量为q(q>0)的粒子，在纸面内从c点垂直于ac射入磁场，这些粒子具有各种速率。不计粒子之间的相互作用。在磁场中运动时间最长的粒子，其运动时间为( )
A．eq \f(7πm,6qB)B．eq \f(5πm,4qB)
C．eq \f(4πm,3qB)D．eq \f(3πm,2qB)
13．（2022·山西·运城模拟预测）(多选)如图，一长度为a的竖直薄挡板MN处在垂直纸面向里的匀强磁场(未画出)中，磁感应强度为B.O点有一粒子源在纸面内向各方向均匀发射电荷量为＋q、质量为m的带电粒子，所有粒子的初速度v(未知)大小相同．已知初速度与eq \x\t(ON)夹角为60°发射的粒子恰好经过N点(不被挡板吸收)，粒子与挡板碰撞则会被吸收，eq \x\t(ON)＝eq \r(3)a，eq \x\t(ON)⊥MN，不计粒子重力，不考虑粒子间的相互作用，则( )
A．粒子在磁场中做圆周运动的半径为eq \f(\r(3),2)a
B．挡板左侧能被粒子击中的竖直长度为a
C．能击中挡板右侧的粒子数占粒子总数的eq \f(1,6)
D．若调节初速度v大小使挡板的右侧被粒子击中的竖直长度为a，则v的最小值为eq \f(qBa,m)
14．（2023·全国·高三专题练习）(多选)如图所示,在边长L=10cm的正方形ABCD的CD边上方空间有垂直于纸面向里的匀强磁场,磁感应强度B=0.2T，在正方形的AD边中点处有一粒子源S，能够不断向纸面内各个方向发射速率不同的同种带正电粒子，粒子的比荷为1×108C/kg，不计粒子重力和粒子间的相互作用。下列说法中正确的是（ ）
A．经过B点的粒子速度不小于55×105m/s
B．水平向右射出的速率大于5×105m/s的粒子都能从AB所在直线穿过
C．水平向右发射的粒子从AB边射出正方形区域的最短时间为π2×10-7s
D．速率为1×106m/s的粒子可到达CD边上区域的长度为5cm
15.（2022·广东·模拟预测）(多选)如图所示，在一等腰直角三角形ACD区域内有垂直纸面向外的匀强磁场，磁场的磁感应强度大小为B，一质量为m、电荷量为q的带正电的粒子(重力不计)从AC边的中点O垂直于AC边射入该匀强磁场区域，若该三角形的两直角边长均为2l，则下列关于粒子运动的说法中正确的是( )
A．若该粒子的入射速度为v＝eq \f(qBl,m)，则粒子一定从CD边射出磁场，且距点C的距离为l
B．若要使粒子从CD边射出，则该粒子从O点入射的最大速度应为v＝eq \f(\r(2)＋1qBl,m)
C．若要使粒子从CD边射出，则该粒子从O点入射的最大速度应为v＝eq \f(\r(2)qBl,m)
D．当该粒子以不同的速度入射时，在磁场中运动的最长时间为eq \f(πm,qB)
16.如图所示，一足够长的矩形区域abcd内充满方向垂直纸面向里的、磁感应强度为B的匀强磁场，在ad边中点O，射入一个与ad边夹角θ=300、大小为v0（未知量）的带正电粒子，已知粒子质量为m，电量为q，ad边长为L，ab边足够长，粒子重力不计，求：
(1)求粒子从ad边射出的速度范围。
(2) 求粒子从ab边射出的速度范围。
(3)若带电粒子的速度v0大小可取任意值，求粒子在磁场中运动的最长时间。
考点三 平移圆模型
如下图，粒子源发射速度大小、方向一定,入射点不同但在同一直线的带电粒子垂直进入匀强磁场时,它们做匀速圆周运动的半径相同,若入射速度大小为v0,则半径R=mv0qB,将半径为R=mv0qB的圆进行平移,从而探索临界条件的方法叫“平移圆”法.
17.（2022·安徽合肥·模拟预测）如图所示为边长为L的正方形有界匀强磁场ABCD，带电粒子从A点沿AB方向射入磁场，恰好从C点飞出磁场；若带电粒子以相同的速度从AD的中点P垂直AD射入磁场，从DC边的M点飞出磁场(M点未画出)．设粒子从A点运动到C点所用的时间为t1，由P点运动到M点所用时间为t2(带电粒子重力不计)，则t1∶t2为( )
A．2∶1 B．2∶3
C．3∶2 D.eq \r(3)∶eq \r(2)
18．（2022·全国·高三课时练习）如图所示，在xOy平面的第Ⅰ、IV象限内有一圆心为O、半径为R的半圆形匀强磁场，线状粒子源从y轴左侧平行于x轴正方向不断射出质量为m、电荷量为q、速度大小为v0的带正电粒子。磁场的磁感应强度大小为mv02qR、方向垂直平面xOy向里。不考虑粒子间的相互作用，不计粒子受到的重力。所有从不同位置进入磁场的粒子中，在磁场中运动的时间最长为（ ）
A．πR6v0B．πR4v0C．πR3v0D．πR2v0
19．（2022·全国·高三课时练习）(多选)如图所示，在直角三角形ABC内充满垂直纸面向外的匀强磁场（图中未画出），AB边长度为d，∠B=π6。现垂直AB边射入一束质量均为m、电荷量均为q、速度大小均为v的带正电粒子。已知垂直AC边射出的粒子在磁场中运动的时间为t0，而运动时间最长的粒子在磁场中的运动时间为43t0（不计重力），则下列说法中正确的是（ ）
A．粒子在磁场中做匀速圆周运动的周期为4t0
B．该匀强磁场的磁感应强度大小为πm2qt0
C．粒子在磁场中运动的轨道半径为25d
D．粒子进入磁场时速度大小为3πd5t0
20．(多选)如图所示，C、D、E为以O为圆心、半径为R的圆周上的三点，∠COD=π2，A为CD的中点，在OCEDO内充满垂直于纸面向外的匀强磁场（图中未画出），磁感应强度大小为B。一群质量为m、电荷量为q的带正电粒子以速率v0=qBR2m从AC部分垂直于AC射向磁场区域，忽略粒子间的相互作用以及粒子的重力，则粒子在一次进出磁场中运动的时间可能是（ ）
A．πm3qBB．2πm3qBC．6πm5qBD．8πm5qB
21.（2022·山东烟台·高三阶段练习）(多选)如图所示，在Ⅰ、Ⅱ两个区域内存在磁感应强度大小均为B的匀强磁场，磁场方向分别垂直于纸面向外和向里，AD、AC边界的夹角∠DAC＝30°，边界AC与边界MN平行，Ⅱ区域宽度为d.质量为m、电荷量为＋q的粒子可在边界AD上的不同点射入，入射速度垂直AD且垂直磁场，若入射速度大小为eq \f(qBd,m)，不计粒子重力，则( )
A．粒子在磁场中运动的半径为eq \f(d,2)
B．粒子在距A点0.5d处射入，不会进入Ⅱ区域
C．粒子在距A点1.5d处射入，在Ⅰ区域内运动的时间为eq \f(πm,qB)
D．能够进入Ⅱ区域的粒子，在Ⅱ区域内运动的最短时间为eq \f(πm,3qB)
22．(多选)如图所示，以水平直线为分界线，上方区域充满垂直于纸面向里的匀强磁场，大量电子(质量为m、电荷量为e，重力不计)从长度为L的PQ区域以相同速度与水平方向成θ＝60°的角度斜射入磁场，已知电子的速度大小为v0，上方磁场的磁感应强度B＝eq \f(3mv0,eL).所有从上方磁场射出的电子再次经过水平分界线下方某一半圆形区域的匀强磁场(图中未画出)偏转后都能通过磁场边界的一个点处被收集．下列说法正确的是( )
A．水平分界线上电子射出区域的长度为eq \f(L,3)
B．若减小上方磁场的磁感应强度，电子射出区域的长度将保持不变
C．欲使水平分界线上电子的出射与入射区域不重叠，则上方磁场的磁感应强度应小于eq \f(\r(3)mv0,eL)
D．下方收集电子的半圆形区域匀强磁场的最大磁感应强度为eq \f(2\r(3)mv0,3eL)
专题71 旋转圆模型 放缩圆模型 平移圆模型
考点一 旋转圆模型（1-9T）
考点二 放缩圆模型（10-16T）
考点三 平移圆模型（17-22T）
考点一 旋转圆模型
1.旋转圆：如下图所示，粒子源发射速度大小一定、方向不同的带电粒子进入匀强磁场时，它们在磁场中做匀速圆周运动的半径相同，若射入初速度为v0，则圆周运动半径为R＝eq \f(mv0,qB).分析这类问题时将一半径为R＝eq \f(mv0,qB)的圆以入射点为圆心进行旋转，从而探索临界条件的方法称为“旋转圆”法.
2.结合具体情境，可以通过分析圆心角、速度偏向角、弦切角、弧长、弦长的大小来分析带电粒子的运动时间.
3.常见的三种情景
1)如上图所示，粒子源从直线磁场边界上的P点发射速度大小一定、方向不同的带电粒子垂直进入匀强磁场区域，所有从直线边界射出的粒子，其出射点与P点的连线都是轨迹圆的圆弧所对的弦，其中入射的速度方向垂直于直线边界的粒子，在磁场中运动半个周期从M点射出，因为PM是圆的直径，所以M点是粒子打到直线边界上的最远点(所有的弦长中直径最长)．
2)粒子源从圆形磁场边界上的某一点发射速度大小一定、方向不同的带电粒子垂直进入匀强磁场区域时，因为所有的弦长中直径最长，则当粒子的轨迹圆和磁场边界圆的公共弦为小圆直径时，粒子打到边界圆上的点距入射点最远。分两种情况分析如下：
如图甲，若轨迹圆半径大于磁场边界圆半径，当入射点P和出射点M为边界圆直径的两个端点时，粒子打到边界圆上的点M距入射点P最远(所有的弦长中直径最长)，此时轨迹所对的弦长最长弧长最长，时间也就最长。
如图乙，若轨迹圆半径小于磁场边界圆半径，当入射点P和出射点M为轨迹圆直径的两个端点时，粒子打到边界圆上的点M距入射点P最远(所有的弦长中直径最长)，此时粒子在磁场中运动的时间为半个周期。但是由于轨迹圆半径小于边界圆半径，因而粒子在磁场中可以做完整的圆周运动，所以粒子从M点射出磁场的时间并不是粒子在磁场中运动的最长时间．
3)粒子在磁场中运动的弧长最短、弦长最短时运动时间最短．(弧长最短时运动时间最短普遍适用，弦长最短时运动时间最短仅限于粒子在磁场中的轨迹为劣弧)
如下图，P点的粒子源发射出速度大小一定、方向不同的带电粒子，当M点为出射点时弧长最短弦长最短，粒子在磁场中运动时最短．
1．（2022·宁波·模拟预测）如图所示，在屏MN的上方有磁感应强度为B的匀强磁场，磁场方向垂直纸面向里。P为屏上的一小孔，PC与MN垂直．一群质量为m、带电荷量为-q的粒子（不计重力），以相同的速率v，从P处沿垂直于磁场的方向射入磁场区域。粒子入射方向在与磁场B垂直的平面内，且散开在与PC夹角为θ的范围内。则在屏MN上被粒子打中的区域的长度为（ ）
A．2mvqBB．2mvcsθqBC．2mv1−sinθqBD．2mv1−csθqB
【答案】D
【解析】任取一粒子分析，作出圆周运动的轨迹，则可得出粒子打在屏上的位置与粒子与PC夹角的关系，则可得出粒子打在屏上的最远点及最近点，即可得出打中的长度。
粒子做匀速圆周运动，洛伦兹力提供向心力，由牛顿第二定律得qvB=mv2R
解得粒子的轨迹半径为R=mvqB
粒子沿着右侧边界射入，轨迹如下面左图，此时出射点最近，边界交点与P间距为：2Rcsθ；
粒子沿着左侧边界射入，轨迹如下面右图，此时出射点最近，边界交点与P间距为：2Rcsθ；
粒子垂直边界MN射入，轨迹如下面中间图，此时出射点最远，边界交点与P间距为：2R；
故范围在荧光屏上P点右侧，将出现一条形亮线，其长度为2R−2Rcsθ=2mv1−csθqB
故选D。
【点睛】带电粒子在磁场运动区域的判断时，要注意寻找一般表达式，通过分析再找出可能的边界；另外本题中关于PC两边对称的粒子方向均可适合L=2Rcsα。
2．（2022·山东·模拟预测）如图所示，在一挡板MN的上方，有磁感应强度为B的匀强磁场，磁场方向垂直纸面向里．P为MN上的一个粒子发射源，它能连续垂直磁场方向发射速率为v、质量为m、带电量为q的粒子，不计粒子的重力和粒子间的相互作用，粒子打到挡板上时均被挡板吸收．则在垂直于磁场的平面内，有粒子经过的区域面积是（ ）
A．πm2v2q2B2B．2πm2v2q2B2C．3πm2v22q2B2D．πm2v24q2B2
【答案】C
【解析】由题意可知粒子在磁场中的运动半径R=mvqB，所有粒子在磁场中半径相同，
由图可知，由O点射入水平向右的粒子恰好应为最右端边界；随着粒子的速度方向偏转，粒子转动的轨迹圆可认为是以O点为圆心以2R为半径转动．如图所示：
由几何图形可知，带电粒子可能经过的区域的面积为：S=12πR2+14π2R2=3πm2v22q2B2，故C正确， ABD错误．
3.(2017·全国卷)如图，虚线所示的圆形区域内存在一垂直于纸面的匀强磁场，P为磁场边界上的一点，大量相同的带电粒子以相同的速率经过P点，在纸面内沿不同的方向射入磁场，若粒子射入速率为v1，这些粒子在磁场边界的出射点分布在六分之一圆周上；若粒子射入速率为v2，相应的出射点分布在三分之一圆周上．不计重力及带电粒子之间的相互作用，则v2∶v1 为( )
A.eq \r(3)∶2 B.eq \r(2)∶1
C.eq \r(3)∶1 D．3∶eq \r(2)
【答案】C
【解析】根据作图分析可知，当粒子在磁场中运动半个圆周时，打到圆形磁场边界的位置距P点最远，则当粒子射入的速率为v1，轨迹如图甲所示，设圆形磁场半径为R，由几何知识可知，粒子运动的轨道半径为r1＝Rcs 60°＝eq \f(1,2)R；若粒子射入的速率为v2，轨迹如图乙所示，由几何知识可知，粒子运动的轨道半径为r2＝Rcs 30°＝eq \f(\r(3),2)R；根据轨道半径公式r＝eq \f(mv,qB)可知，v2∶v1＝r2∶r1＝eq \r(3)∶1，故选项C正确．
甲 乙
4．（2022·全国·高三专题练习）(多选) 如图所示，在边长为L的等边三角形区域ABC内存在着垂直纸面的匀强磁场（未画出），磁感应强度大小为B=23mv03qL，大量质量为m、带电荷量为q的粒子从BC边中点O沿不同的方向垂直于磁场以速率v0射入该磁场区域，不计粒子重力，则下列说法正确的是（ ）
A．所有粒子在磁场中做匀速圆周运动的轨迹半径为2L2
B．所有粒子在磁场中做匀速圆周运动的周期为3πLv0
C．对于从AB和AC边射出的粒子，在磁场中运动的最长时间为3πL6v0
D．对于从AB和AC边射出的粒子，在磁场中运动的最短时间为3πL12v0
【答案】BC
【解析】A．所有粒子的初速度大小相等，它们在磁场中做匀速圆周运动的轨迹半径为 r=mv0qB=32L 故A错误；
B．粒子做圆周运动的周期为 T=2πrv0=3πLv0 故B正确；
C．当粒子运动轨迹对应的弦最长时，圆心角最大，粒子运动时间最长，当粒子运动轨迹对应的弦长最短时，对应的圆心角最小，粒子运动时间最短。对于从AB和AC边射出的粒子在磁场中的运动，可知最长的弦为OA=3L2，恰好等于轨迹半径，对应的圆心角为60°，因此最长运动时间 t=16T=3πL6v0 故C正确；
D．过O点作AC边的垂线，垂足为D，可知OD=3L4为最短的弦之一，由几何知识可知，对应的圆心角小于30°，因此粒子最短运动时间小于 T12=3πL12v0 故D错误。
故选BC。
5．（2023·全国·高三专题练习）如图所示，在0≤x≤b、0≤y≤a的长方形区域中有一磁感应强度大小B的匀强磁场，磁场的方向垂直于xOy平面向外。O处有一个粒子源，在某时刻发射大量质量为m、电荷量为q的带正电粒子，它们的速度大小相同，速度方向均在xOy平面内的第一象限内。已知粒子在磁场中做圆周运动的周期为T，最先从磁场上边界中飞出的粒子经历的时间为T12，最后从磁场中飞出的粒子经历的时间为T4。不计粒子的重力及粒子间的相互作用，则（ ）
A．粒子圆周运动的半径r=a
B．长方形区域的边长满足关系ba=2
C．长方形区域的边长满足关系ba=3+1
D．粒子射入磁场的速度大小v=4qBam
【答案】C
【解析】AD．最先从磁场上边界中飞出的粒子在磁场中的偏转角最小，对应的圆弧最短，可以判断出是沿y轴方向入射的粒子；其运动的轨迹如图甲，则由题意偏转角 θ=tT×360°=112×360°=30°
由几何关系得 R=asin30°=2a
带电粒子做圆周运动，洛伦兹力提供向心力，得 Bqv=mv2R 所以 v=2qaBm AD错误；
BC．当R
解得 ba=1+3 B错误，C正确。
故选C。
6．（2021·海南）(多选)如图，在平面直角坐标系的第一象限内，存在垂直纸面向外的匀强磁场，磁感应强度大小为B。大量质量为m、电量为q的相同粒子从y轴上的点，以相同的速率在纸面内沿不同方向先后射入磁场，设入射速度方向与y轴正方向的夹角为。当时，粒子垂直x轴离开磁场。不计粒子的重力。则（ ）
A．粒子一定带正电
B．当时，粒子也垂直x轴离开磁场
C．粒子入射速率为
D．粒子离开磁场的位置到O点的最大距离为
【答案】ACD
【解析】 A．根据题意可知粒子垂直轴离开磁场，根据左手定则可知粒子带正电，A正确；
BC．当时，粒子垂直轴离开磁场，运动轨迹如图
粒子运动的半径为
洛伦兹力提供向心力
解得粒子入射速率
若，粒子运动轨迹如图
根据几何关系可知粒子离开磁场时与轴不垂直，B错误，C正确；
D．粒子离开磁场距离点距离最远时，粒子在磁场中的轨迹为半圆，如图
根据几何关系可知
解得 D正确。
故选ACD。
7．如图所示，在真空中板间r=3.0×10-2m的圆形区域内，有磁感应强度B=0.2T，方向如图的匀强磁场，一批带正电的粒子以初速度v0=1.0×106m/s，从磁场边界上直径ab的一端a沿着各个方向射入磁场，且初速度方向与磁场方向都垂直，该粒子的比荷为，不计粒子重力．求：
（1）粒子的轨迹半径；
（2）粒子在磁场中运动的最长时间；
（3）若射入磁场的速度改为，其他条件不变，试用斜线画出该批粒子在磁场中可能出现的区域．（sin37°=0.6，cs37°=0.8）
【答案】（1）5.0×10-2m （2）6.5×10-8s（3）如图；
【解析】（1）粒子在磁场中做匀速圆周运动，洛伦兹力提供向心力，由牛顿第二定律得：，
解得：．
（2）由于R＞r，要使粒子在磁场中运动的时间最长，则粒子在磁场中运动的圆弧所对应的弧长最长，从图甲中可以看出，以直径ab为弦、R为半径所作的圆周，粒子运动时间最长，粒子做圆周运动的周期，粒子的最长运动时间，
又，解得：．
（3）速度改为时，粒子的轨道半径，粒子在磁场中可能出现的区域：如图中以Oa为直径的半圆及以a为圆心、Oa为半径的圆与磁场相交的部分，如图所示．
点睛：解决带电粒子在匀强磁场中匀速圆周运动问题时，应首先确定圆心的位置，找出半径，做好草图，利用数学几何并结合运动规律进行求解．
8．如图所示，在矩形区域内有垂直于纸面向外的匀强磁场，磁感应强度的大小为B＝5.0×10－2 T，矩形区域长为1.0 m，宽为0.2 m．在AD边中点O处有一放射源，某时刻，放射源沿纸面向磁场中各方向均匀地辐射出速率均为v＝2×106 m/s的某种带正电粒子．已知带电粒子的质量m＝1.6×10－27 kg，所带电荷量为q＝3.2×10－19 C(不计粒子重力)．
(1)求粒子在磁场中做圆周运动的半径为多大？
(2)求从BC边界射出的粒子，在磁场中运动的最短时间为多少？
【答案】（1）0.2 m.（2）×10－7 s.
【解析】（1）粒子在磁场中做匀速圆周运动，由牛顿第二定律得：，
解得：R=0.2m；
（2）因为所有粒子的轨迹半径相同，所以弦最短的圆所对应的圆心角最小，运动时间最短，作EO⊥AD，EO弦最短，如图所示：
因为EO=0.2m，且R=0.2m，
所以对应的圆心角为θ=，
由牛顿第二定律得：qvB=m（）2R，
解得：
最短时间为：，
解得：t=×10-7s；
9．（2022·河北石家庄·模拟预测）如图所示，在平面直角坐标系xOy内，以P(0,a)点为圆心、半径为a的圆形区域和III、IV象限内均存在垂直纸面向里、磁感应强度大小为B的匀强磁场，沿x轴负半轴固定一足够长的水平挡板。一宽度为a的电子束，中心正对P点平行x轴以一定的速度射入圆形磁场，偏转后所有电子都经过O点进入x轴下方磁场。已知电子质量为m、带电荷量为−e，忽略电子重力及电子间的相互作用，电子打在挡板上立即被挡板吸收。求：
（1）电子射入磁场时的动能Ek；
（2）挡板上被电子打中区域的长度d。
【答案】（1）Ek=e2B2a22m；（2）(2−3)a
【解析】（1）根据题意，电子束运动轨迹如图，O1为最上面电子在圆磁场做匀速圆周运动的圆心，Q为入射点、O为出射点，由几何关系知，QO1OP是菱形，故电子束在原点O的正上方半径为a的磁场中做圆周运动的半径为R=a。设电子进入圆形磁场时的速度为v，根据牛顿第二定律有evB=mv2R
电子的动能 Ek=12mv2
联立解得 Ek=e2B2a22m
（2）由电子束运动轨迹图，经分析可知从正中心射入的电子在圆磁场运动14个圆弧垂直x轴射入III、IV象限的磁场，运动半个圆周垂直打中挡板，距O点最远。从最上面射入的电子在圆磁场中运动13个圆弧与x轴负方向成60°角射入III、IV象限的磁场，运动13个圆弧打在挡板上，而最下面射入的电子在圆磁场中运动16个圆弧与x轴正方向成60°角射入III、IV象限的磁场，运动23个圆弧打在挡板上，最上面和最下面电子打中挡板的位置相同，距O点最近，根据几何关系可得 Lmax=2a Lmin=2acs30°=3a
挡板上被电子打中区域的长度 d=Lmax−Lmin=(2−3)a
考点二 放缩圆模型
如下图，P点的粒子源发射速度方向一定,速度大小不同的带电粒子垂直进入匀强磁场时,带电粒子在磁场中做匀速圆周运动的轨迹半径随速度大小的变化而变化,这些轨迹圆均以入射点P为定点,圆心位于PP'直线上,将半径放缩作轨迹圆,从而探索临界条件的方法称为“放缩圆”法.
10．（2023·全国·高三专题练习）如图所示，横截面为正方形abcd的有界匀强磁场，磁场方向垂直纸面向里。一束电子以大小不同、方向垂直ad边界的速度飞入该磁场。对于从不同边界射出的电子，下列判断错误的是（ ）
A．从ad边射出的电子在磁场中运动的时间都相等
B．从c点离开的电子在磁场中运动时间最长
C．电子在磁场中运动的速度偏转角最大为π
D．从bc边射出的电子的速度一定大于从ad边射出的电子的速度
【答案】B
【详解】ABC．电子的速率不同，运动轨迹半径不同，如图，由周期公式 T=2πmqB
可知，周期与电子的速率无关，所以在磁场中的运动周期相同，根据 t=θ2πT
可得电子在磁场中运动时间与轨迹对应的圆心角成正比，所以电子在磁场中运动的时间越长，其轨迹线所对应的圆心角θ越大，故从ad边射出的电子在磁场中运动的时间都相等且运动时间最长，AC正确，B错误；
D．从bc边射出的轨道半径大于从ad边射出的电子的轨道半径，由半径公式 r=mvqB
可得轨迹半径与速率成正比，则电子的速率越大，在磁场中的运动轨迹半径越大，故从bc边射出的电子的速度一定大于从ad边射出的电子的速度，D正确。
本题选错误的，故选B。
11.（2022·北京·海淀模拟预测）(多选)如图，有一截面为矩形的有界匀强磁场区域ABCD，AB＝3L，BC＝2L，在边界AB的中点上有一个粒子源，沿与边界AB平行并指向A点方向发射各种不同速率的同种正粒子，不计粒子重力，当粒子速率为v0时，粒子轨迹恰好与AD边界相切，则( )
A．速率小于v0的粒子全部从CD边界射出
B．当粒子速度满足eq \f(2v0,3)＜v＜v0时，从CD边界射出
C．在CD边界上只有上半部分有粒子通过
D．当粒子速度小于eq \f(2v0,3)时，粒子从BC边界射出
【答案】BC
【解析】如图，由几何知识可知，与AD边界相切的轨迹半径为1．5L，与CD边界相切的轨迹半径为L；由半径公式R＝eq \f(mv,qB)可知轨迹与CD边界相切的粒子速度为eq \f(2v0,3)，由此可知，仅满足eq \f(2v0,3)＜v＜v0的粒子从CD边界的P、D间射出，选项A错误，B、C正确；由上述分析可知，速度小于eq \f(2v0,3)的粒子不能射出磁场，故选项D错误。
12．(2020·全国卷Ⅰ)一匀强磁场的磁感应强度大小为B、方向垂直于纸面向外，其边界如图中虚线所示，eq \x\t(ab)为半圆，ac、bd与直径ab共线，ac间的距离等于半圆的半径。一束质量为m、电荷量为q(q>0)的粒子，在纸面内从c点垂直于ac射入磁场，这些粒子具有各种速率。不计粒子之间的相互作用。在磁场中运动时间最长的粒子，其运动时间为( )
A．eq \f(7πm,6qB)B．eq \f(5πm,4qB)
C．eq \f(4πm,3qB)D．eq \f(3πm,2qB)
【答案】C
【解析】带电粒子在匀强磁场中运动，运动轨迹如图所示，由洛伦兹力提供向心力有qvB＝meq \f(v2,r)，解得r＝eq \f(mv,qB)，运动时间t＝eq \f(θr,v)＝eq \f(θm,qB)，θ为带电粒子在磁场中运动轨迹所对的圆心角，粒子在磁场中运动时间由轨迹所对圆心角决定。采用放缩法，粒子垂直ac射入磁场，则轨迹圆圆心必在直线ac上，将粒子的轨迹半径从零开始逐渐放大。当r≤0．5R(R为eq \x\t(ab)的半径)和r≥1．5R时，粒子从ac、bd区域射出磁场，运动时间等于半个周期。当0．5R
A．粒子在磁场中做圆周运动的半径为eq \f(\r(3),2)a
B．挡板左侧能被粒子击中的竖直长度为a
C．能击中挡板右侧的粒子数占粒子总数的eq \f(1,6)
D．若调节初速度v大小使挡板的右侧被粒子击中的竖直长度为a，则v的最小值为eq \f(qBa,m)
【答案】CD
【解析】粒子恰好经过N点，如图甲中轨迹1，设半径为R，由几何关系可知2Rsin 60°＝eq \r(3)a，解得R＝a，选项A错误；当轨迹刚好与MN相切时，粒子刚好能打到板上，如图甲中轨迹2，
设速度方向与ON夹角为θ，由几何关系得Rsin θ＋R＝eq \r(3)a，解得sin θ＝eq \r(3)－1，由此可得Rcs θ＝aeq \r(1－sin2θ)＝aeq \r(2\r(3)－3)，所以，挡板左侧能被粒子击中的竖直长度为aeq \r(2\r(3)－3)，选项B错误；要使粒子打到右侧，则有两个临界条件，如图甲轨迹1、3，初速度方向的夹角为60°，则比例为eq \f(60°,360°)＝eq \f(1,6)，选项C正确；由C选项可知使挡板的右侧被击中的竖直长度为a，粒子轨迹如图乙，速度方向与ON夹角为60°，由洛伦兹力提供向心力得qvB＝eq \f(mv2,a)，解得v＝eq \f(qBa,m)，选项D正确．
14．（2023·全国·高三专题练习）(多选)如图所示,在边长L=10cm的正方形ABCD的CD边上方空间有垂直于纸面向里的匀强磁场,磁感应强度B=0.2T，在正方形的AD边中点处有一粒子源S，能够不断向纸面内各个方向发射速率不同的同种带正电粒子，粒子的比荷为1×108C/kg，不计粒子重力和粒子间的相互作用。下列说法中正确的是（ ）
A．经过B点的粒子速度不小于55×105m/s
B．水平向右射出的速率大于5×105m/s的粒子都能从AB所在直线穿过
C．水平向右发射的粒子从AB边射出正方形区域的最短时间为π2×10-7s
D．速率为1×106m/s的粒子可到达CD边上区域的长度为5cm
【答案】ABD
【解析】A．根据洛伦兹力提供向心力 Bqv=mv2r 得 v=Bqrm
则经过B点的粒子，当轨迹刚好以SB为直径时，对应轨迹圆半径最小，速度也最小 r1=SB2=552cm
代入 v=Bqrm
此时速度为 v1=55×105m/s A正确；
B．沿水平方向射出的粒子半径r1'=2.5cm时，恰好能射出AB，将r1'=2.5cm代入 v=Bqrm
得最小速度为5×105m/s，B正确；
C．根据 t=θ2πT
可知，轨迹对应的圆心角θ 越小，时间越短。当粒子刚好从B点射出时，时间最短，根据几何关系
可求出 r2=0.125m
则由sinθ=0.8 ，圆心角的θ=53∘ ，故最短时间 tmin=53360×2πmBq= 53π36×10−7s 故C错误；
D．将v=1×106m/s代入公式 v=Bqrm
求出 r3=0.05m
如图
当速度方向沿SD方向时，轨迹与CD边的交点记为M，此种情况是速率为1×106 m/s的粒子到达CD边上且距离D点最远的位置。由几何关系可知 DM=r3=0.05m=5cm
当速度方向沿与SD方向成30∘角斜向左下方时，如图所示
由几何关系可知，此时粒子恰好运动到D点。速率为1×106 m/s的粒子可到达CD边上区域的长度为5 cm。D正确。
故选ABD。
15.（2022·广东·模拟预测）(多选)如图所示，在一等腰直角三角形ACD区域内有垂直纸面向外的匀强磁场，磁场的磁感应强度大小为B，一质量为m、电荷量为q的带正电的粒子(重力不计)从AC边的中点O垂直于AC边射入该匀强磁场区域，若该三角形的两直角边长均为2l，则下列关于粒子运动的说法中正确的是( )
A．若该粒子的入射速度为v＝eq \f(qBl,m)，则粒子一定从CD边射出磁场，且距点C的距离为l
B．若要使粒子从CD边射出，则该粒子从O点入射的最大速度应为v＝eq \f(\r(2)＋1qBl,m)
C．若要使粒子从CD边射出，则该粒子从O点入射的最大速度应为v＝eq \f(\r(2)qBl,m)
D．当该粒子以不同的速度入射时，在磁场中运动的最长时间为eq \f(πm,qB)
【答案】ABD
【解析】若粒子射入磁场时速度为v＝eq \f(qBl,m)，则由qvB＝meq \f(v2,r)可得r＝l，由几何关系可知，粒子一定从CD边上距C点为l的位置离开磁场，选项A正确；因为r＝eq \f(mv,qB)，所以v＝eq \f(qBr,m)，因此，粒子在磁场中运动的轨迹半径越大，速度就越大，由几何关系可知，当粒子在磁场中的运动轨迹与三角形的AD边相切时，能从CD边射出的轨迹半径最大，此时粒子在磁场中做圆周运动的轨迹半径r＝(eq \r(2)＋1)l，故其最大速度为v＝eq \f(\r(2)＋1qBl,m)，选项B正确，C错误；粒子在磁场中的运动周期为T＝eq \f(2πm,qB)，故当粒子从三角形的AC边射出时，粒子在磁场中运动的时间最长，由于此时粒子做圆周运动的圆心角为180°，故其最长时间应为t＝eq \f(πm,qB)，选项D正确。
16.如图所示，一足够长的矩形区域abcd内充满方向垂直纸面向里的、磁感应强度为B的匀强磁场，在ad边中点O，射入一个与ad边夹角θ=300、大小为v0（未知量）的带正电粒子，已知粒子质量为m，电量为q，ad边长为L，ab边足够长，粒子重力不计，求：
(1)求粒子从ad边射出的速度范围。
(2) 求粒子从ab边射出的速度范围。
(3)若带电粒子的速度v0大小可取任意值，求粒子在磁场中运动的最长时间。
【答案】(1)；(2)；(3)
【解析】(1)和(2)两种临界情况的运动轨迹如图所示
若粒子速度为，则 解得
设圆心在处对应圆弧与cd边相切，相应速度为
由几何关系得： 解得： 则有：
设圆心在处对应圆弧与ab边相切，相应速度为
由几何关系得： 解得： 则有：
故粒子从ad边射出的速度范围： 粒子从ab边射出的速度范围；；
粒子在磁场中经过的弧所对的圆心角α越大，在磁场中运动的时间也越长，则圆弧所对圆心角为
所以最长时间为
考点三 平移圆模型
如下图，粒子源发射速度大小、方向一定,入射点不同但在同一直线的带电粒子垂直进入匀强磁场时,它们做匀速圆周运动的半径相同,若入射速度大小为v0,则半径R=mv0qB,将半径为R=mv0qB的圆进行平移,从而探索临界条件的方法叫“平移圆”法.
17.（2022·安徽合肥·模拟预测）如图所示为边长为L的正方形有界匀强磁场ABCD，带电粒子从A点沿AB方向射入磁场，恰好从C点飞出磁场；若带电粒子以相同的速度从AD的中点P垂直AD射入磁场，从DC边的M点飞出磁场(M点未画出)．设粒子从A点运动到C点所用的时间为t1，由P点运动到M点所用时间为t2(带电粒子重力不计)，则t1∶t2为( )
A．2∶1 B．2∶3
C．3∶2 D.eq \r(3)∶eq \r(2)
【答案】C
【解析】画出粒子从A点射入磁场到从C点射出磁场的轨迹，并将该轨迹向下平移，粒子做圆周运动的半径为R＝L，从C点射出的粒子运动时间为t1＝eq \f(T,4)；由P点运动到M点所用时间为t2，圆心角为θ，cs θ＝eq \f(\f(R,2),R)＝eq \f(1,2)，则θ＝60°，故t2＝eq \f(T,6)，所以eq \f(t1,t2)＝eq \f(\f(T,4),\f(T,6))＝eq \f(3,2)，C正确．
18．（2022·全国·高三课时练习）如图所示，在xOy平面的第Ⅰ、IV象限内有一圆心为O、半径为R的半圆形匀强磁场，线状粒子源从y轴左侧平行于x轴正方向不断射出质量为m、电荷量为q、速度大小为v0的带正电粒子。磁场的磁感应强度大小为mv02qR、方向垂直平面xOy向里。不考虑粒子间的相互作用，不计粒子受到的重力。所有从不同位置进入磁场的粒子中，在磁场中运动的时间最长为（ ）
A．πR6v0B．πR4v0C．πR3v0D．πR2v0
【答案】C
【解析】粒子在磁场中做匀速圆周运动，有qv0B=mv02r 解得r=2R
如图所示，当粒子在磁场中的运动轨迹对应的圆心角最大时，粒子在磁场中运动的时间最长，由于sinα=FEr，要使圆心角α最大，FE最长，经分析可知，当粒子从y轴上的D′点射入、从x轴上的E′点射出磁场时，粒子在磁场中运动的时间最长，有 sinαm=OE′r 解得 αm=π6
从D′点射入磁场的粒子在磁场中运动的时间 tm=π62π⋅2πrv0 解得 tm=πR3v0
故选C。
19．（2022·全国·高三课时练习）(多选)如图所示，在直角三角形ABC内充满垂直纸面向外的匀强磁场（图中未画出），AB边长度为d，∠B=π6。现垂直AB边射入一束质量均为m、电荷量均为q、速度大小均为v的带正电粒子。已知垂直AC边射出的粒子在磁场中运动的时间为t0，而运动时间最长的粒子在磁场中的运动时间为43t0（不计重力），则下列说法中正确的是（ ）
A．粒子在磁场中做匀速圆周运动的周期为4t0
B．该匀强磁场的磁感应强度大小为πm2qt0
C．粒子在磁场中运动的轨道半径为25d
D．粒子进入磁场时速度大小为3πd5t0
【答案】ABC
【解析】A．根据题意垂直AB边进入，垂直AC边飞出，经过四分之一个周期，即 14T=t0
解得 T=4t0 A正确；
B．洛伦兹力提供向心力 qvB=mv2R
解得 R=mvqB
粒子运动的周期 T=2πRv=2πmqB=4t0
解得磁感应强度 B=πm2qt0 B正确；
C．粒子与BC边相切，运动时间最长，满足43t0=13T，在磁场中转过圆心角120°，如图
根据几何关系可知 Rsinπ6+Rsinπ6=d
解得 R=25d C正确；
D．根据T=2πRv可知 v=2πRT=2π⋅25d4t0=πd5t0 D错误。
故选ABC。
20．(多选)如图所示，C、D、E为以O为圆心、半径为R的圆周上的三点，∠COD=π2，A为CD的中点，在OCEDO内充满垂直于纸面向外的匀强磁场（图中未画出），磁感应强度大小为B。一群质量为m、电荷量为q的带正电粒子以速率v0=qBR2m从AC部分垂直于AC射向磁场区域，忽略粒子间的相互作用以及粒子的重力，则粒子在一次进出磁场中运动的时间可能是（ ）
A．πm3qBB．2πm3qBC．6πm5qBD．8πm5qB
【答案】BC
【解析】根据qv0B=mv02r
可得粒子在磁场中运动的轨道半径r=R2
粒子在磁场中做圆周运动的周期为T，则有T=2πrv0=2πmqB
运动轨迹如图所示
由图可知，部分粒子从OC边射入磁场，又从OC边射出磁场，由对称性可知，粒子偏转的圆心角为90°，运动时间最短，则最短时间为t1=14T=πm2qB
沿AO入射的粒子，与磁场圆在最低点内切，圆心角为270°，运动时间最长，最长时间为t2=34T=3πm2qB
故粒子在一次进出磁场中运动的时间范围为πm2qB≤t≤3πm2qB
故选BC。
21.（2022·山东烟台·高三阶段练习）(多选)如图所示，在Ⅰ、Ⅱ两个区域内存在磁感应强度大小均为B的匀强磁场，磁场方向分别垂直于纸面向外和向里，AD、AC边界的夹角∠DAC＝30°，边界AC与边界MN平行，Ⅱ区域宽度为d.质量为m、电荷量为＋q的粒子可在边界AD上的不同点射入，入射速度垂直AD且垂直磁场，若入射速度大小为eq \f(qBd,m)，不计粒子重力，则( )
A．粒子在磁场中运动的半径为eq \f(d,2)
B．粒子在距A点0.5d处射入，不会进入Ⅱ区域
C．粒子在距A点1.5d处射入，在Ⅰ区域内运动的时间为eq \f(πm,qB)
D．能够进入Ⅱ区域的粒子，在Ⅱ区域内运动的最短时间为eq \f(πm,3qB)
【答案】 CD
【解析】带电粒子在磁场中的运动半径r＝eq \f(mv,qB)＝d，选项A错误；设从某处E进入磁场的粒子，其轨迹恰好与AC相切(如图所示)，则E点距A点的距离为2d－d＝d，粒子在距A点0.5d处射入，会进入Ⅱ区域，选项B错误；粒子在距A点1.5d处射入，不会进入Ⅱ区域，在Ⅰ区域内的轨迹为半圆，运动的时间为t＝eq \f(T,2)＝eq \f(πm,qB)，选项C正确；进入Ⅱ区域的粒子，弦长最短的运动时间最短，且最短弦长为d，对应圆心角为60°，最短时间为tmin＝eq \f(T,6)＝eq \f(πm,3qB)，选项D正确．
22．(多选)如图所示，以水平直线为分界线，上方区域充满垂直于纸面向里的匀强磁场，大量电子(质量为m、电荷量为e，重力不计)从长度为L的PQ区域以相同速度与水平方向成θ＝60°的角度斜射入磁场，已知电子的速度大小为v0，上方磁场的磁感应强度B＝eq \f(3mv0,eL).所有从上方磁场射出的电子再次经过水平分界线下方某一半圆形区域的匀强磁场(图中未画出)偏转后都能通过磁场边界的一个点处被收集．下列说法正确的是( )
A．水平分界线上电子射出区域的长度为eq \f(L,3)
B．若减小上方磁场的磁感应强度，电子射出区域的长度将保持不变
C．欲使水平分界线上电子的出射与入射区域不重叠，则上方磁场的磁感应强度应小于eq \f(\r(3)mv0,eL)
D．下方收集电子的半圆形区域匀强磁场的最大磁感应强度为eq \f(2\r(3)mv0,3eL)
【答案】 BCD
【解析】所有电子运动轨迹相同，水平分界线上电子射出区域的长度为L，选项A错误；改变上方磁场的磁感应强度，电子运动轨迹改变但所有电子运动轨迹依然相同，电子射出区域的长度将保持不变，选项B正确；从P点入射的电子刚好到达Q点，即偏转对应的最小弦长为L，则r＝eq \f(mv0,eB)＝eq \f(L,\r(3))，B＝eq \f(\r(3)mv0,eL)，选项C正确；出射电子束的宽度(平行线间的距离)为eq \f(\r(3)L,2)，只要满足电子轨迹半径等于磁场区域圆的半径就可以实现收集(会聚)．设想以较大的磁场区域圆实现会聚，不断缩小磁场区域圆直至以出射电子束的宽度为半径对应最小的半圆形磁场区域，如图所示；可以是区域1、2组成的半圆，也可以是区域1、3组成的半圆，最小半径与最大的磁感应强度B′＝eq \f(2\r(3)mv0,3eL)相对应，选项D正确．
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