数学选择性必修 第一册4.3 用向量方法研究立体几何中的度量关系说课课件ppt

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知识点1　点到平面的距离
如图,设点P是平面α外一点,点A是平面α内的已知点,n0是平面α的单位法向量.过点P作PP'⊥平面α,垂足为点P',则线段PP'的长度就是点P到平面α的就等于线段PP'的长度.
点P到平面α的距离,等于点P与平面α内任意一点A连线所得向量 ,在平面α的单位法向量n0方向上所作投影向量的长度,即d=| ·n0|.

名师点睛1.如果一条直线l与一个平面α平行,可在直线l上任取一点P,将线面距离转化为点P到平面α的距离求解.2.两个平行平面之间的距离如果两个平面α,β互相平行,在其中一个平面α内任取一点P,可将两个平行平面的距离转化为点P到平面β的距离求解.
过关自诊1.[人教A版教材习题]在棱长为1的正方体ABCD-A1B1C1D1中,点A到平面B1C的距离等于　　　　　;直线DC到平面AB1的距离等于　　　　　;平面DA1到平面CB1的距离等于　　　　　. 
解析 如图,点A到平面B1C的距离等于线段AB的长,又AB=1,∴点A到平面B1C的距离为1.∵直线DC∥平面AB1,故直线DC到平面AB1的距离即为点C到平面AB1的距离.又点C到平面AB1的距离为BC的长,BC=1,∴直线DC到平面AB1的距离为1.∵平面DA1∥平面CB1,∴平面DA1到平面CB1的距离即为点A到平面CB1的距离,为线段AB的长,又AB=1,∴两平行平面的距离为1.
2.线面距、面面距与点面距有什么关系?
3.[人教B版教材习题]已知A(2,2,0),B(1,4,2),C(0,0,5),求原点O到平面ABC的距离.
知识点2　点到直线的距离如图,设点P是直线l外一点,l0是直线l的单位方向向量,过点P作直线l的垂线,垂足为点P',则垂线段PP'的长度就是点P到直线l的距离.如何求这个距离呢?按照前面的思路,若能求出垂线段PP'的方向向量,则可在直线l上任取一点A,求 方向上的投影向量的长度即可.事实上,在平面向量中就是这样做的.
然而在空间中,求垂线段的方向向量较为困难.但直线l的方向向量已知,所以可先求出 在l0方向上的投影数量,然后在Rt△PP'A中运用勾股定理求得|PP'|即可.
若点P是直线l外一点,l0是直线l的单位方向向量,点A是直线l上任意一点,则点P到直线l的距离为
过关自诊1.判断正误.(正确的画√,错误的画×)(1)点到直线的距离就是点和直线上任意一点之间的距离.(　　)(2)当点在直线上时,点到直线的距离为0.(　　)(3)点A到直线l的距离就是点A与直线l上所有点连线的长度的最小值.(　　)
2.已知点A在直线l外,点P是直线l上的一个动点,AP是否存在最小值?
提示 存在.当AP⊥l时,AP存在最小值.
3.[人教A版教材习题]如图,在棱长为1的正方体ABCD-A1B1C1D1中,E为线段DD1的中点,F为线段BB1的中点.(1)求点A1到直线B1E的距离;(2)求点A1到平面AB1E的距离;(3)求直线FC1到平面AB1E的距离.
(3)∵FC1∥AE,FC1⊄平面AB1E,∴FC1∥平面AB1E,∴FC1到平面AB1E的距离即为F到平面AB1E的距离.
探究点一　　利用空间向量求点线距
【例1】 已知直三棱柱ABC-A1B1C1中,AA1=1,AB=4,BC=3,∠ABC=90°,求点B到直线A1C1的距离.
解 以B为坐标原点,BA,BC,BB1所在直线分别为x轴、y轴、z轴建立如图所示的空间直角坐标系,则A1(4,0,1),C1(0,3,1),所以直线A1C1的方向向量
变式探究1例1中的条件不变,若M,N分别是A1B1,AC的中点,试求点C1到直线MN的距离.
变式探究2将例1条件中直三棱柱改为所有棱长均为2的直三棱柱,求点B到A1C1的距离.
规律方法　用向量法求点到直线的距离时需注意以下几点:(1)不必找点在直线上的垂足以及垂线段;(2)在直线上可以任意选点,但一般选易求得坐标的特殊点;(3)直线的方向向量可以任取,但必须保证计算正确.
探究点二　　利用空间向量求点面距
【例2】 如图所示,在直三棱柱ABC-A1B1C1中,底面是等腰直角三角形, ∠ACB=90°,侧棱AA1=2,CA=2,D是CC1的中点,试问在线段A1B上是否存在一点E(异于A1,B两点)使得点A1到平面AED的距离为 ?如果存在,请说明E点位置;如果不存在,请说明理由.
解 以点C为坐标原点,CA,CB,CC1所在直线分别为x轴、y轴、z轴建立如图所示的空间直角坐标系,则A(2,0,0),A1(2,0,2),D(0,0,1),B(0,2,0).
规律方法　求点到平面的距离的方法(1)作点到平面的垂线,点到垂足的距离即点到平面的距离.(2)在三棱锥中利用等体积法求解.(3)向量法.步骤如下:
变式训练如图,四棱锥P-ABCD中,四边形ABCD为正方形,PD⊥平面ABCD,PD=DA=2,F,E分别为AD,PC的中点.(1)证明:DE∥平面PFB;(2)求点E到平面PFB的距离.
(1)证明 以D为原点,DA,DC,DP所在直线分别为x轴、y轴、z轴建立如图所示的空间直角坐标系.
1.两平行平面α,β分别经过坐标原点O和点A(2,1,1),且两平面的一个法向量n=(-1,0,1),则两平面间的距离是(　　)
2.(多选题)若平面α∥平面β,直线l⊂α,且平面α与β之间的距离为d,下面给出了四个命题,其中是真命题的是(　　)A.β内有且仅有一条直线与l的距离等于dB.β内所有直线与l的距离等于dC.β内无数条直线与l的距离等于dD.β内所有的直线与α的距离都等于d
3.如图,已知ABC-A1B1C1是各条棱长均等于a的正三棱柱,D是侧棱CC1的中点,则点C1到平面AB1D的距离为(　　)
解析 以点A为原点,以垂直AC的直线为x轴,以AC为y轴,以AA1为z轴,建立空间直角坐标系,∵ABC-A1B1C1是各条棱长均等于a的正三棱柱,D是
4.Rt△ABC的两条直角边BC=3,AC=4,PC⊥平面ABC,PC= ,则点P到斜边AB的距离是　　　　　. 
5.如图,在三棱柱ABC-A1B1C1中,所有棱长均为1,且AA1⊥底面ABC,则
(1)点B1到平面ABC1的距离为　　　　 　; (2)点C到平面ABC1的距离为　 .