新教材2023_2024学年高中数学第二章导数及其应用综合训练北师大版选择性必修第二册

这是一份新教材2023_2024学年高中数学第二章导数及其应用综合训练北师大版选择性必修第二册，共14页。

第二章综合训练
一、选择题:本题共8小题.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.
1.若f(x)=ln x,则=(　　)
A.1 B.2 C.4 D.8
2.[2023广东佛山荣山中学校考期中]函数y=(ax+1)ex在x=0处的瞬时变化率为-1,则a=(　　)
A.1 B.2 C.-1 D.-2
3.奇函数f(x)=ax3+bx2+cx在x=处有极值,则ac+2b的值为(　　)
A.3 B.-3 C.0 D.1
4.[2023吉林长春东北师大附中校考期中]在下列函数中,在(0,+∞)内单调递增的是(　　)
A.y=sin x-x B.y=x-ln x
C.y=ex-x D.y=x+
5.曲线f(x)=ln(2x-1)上的点到直线2x-y+3=0的最短距离是(　　)
A.1 B.2 C. D.3
6.[2023河北统考模拟预测]已知函数f(x)=若y=f(x)-kx恰有两个零点,则k的取值范围为(　　)
A. B.
C. D.∪(1,+∞)
7.设函数f(x)=x-ln x(x>0),则f(x)(　　)
A.在区间,1,(1,e)内均有零点
B.在区间,1,(1,e)内均无零点
C.在区间,1内无零点,在区间(1,e)内有零点
D.在区间,1内有零点,在区间(1,e)内无零点
8.f(x)是定义在非零实数集上的函数,f'(x)为其导函数,且当x>0时,xf'(x)-f(x)<0,记a=,b=,c=,则(　　)
A.a 二、选择题:本题共4小题.在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求.
9.如图是导函数y=f'(x)的图象,则下列说法错误的是 (　　)

A.函数f(x)的一个单调递增区间是(-1,3)
B.函数f(x)的单调递减区间是(0,5)
C.函数f(x)在x=0处取得极大值
D.函数f(x)在x=5处取得极小值
10.已知函数f(x)=xcos x的导函数为f'(x),则(　　)
A.f'(x)为偶函数
B.f'(x)为奇函数
C.f'(0)=1
D.f+f'
11.国家统计局公布的全国夏粮生产数据显示,2021年全国夏粮总产量达14 281万吨,创历史新高.粮食储藏工作关系着军需民食,也关系着国家安全和社会稳定.某粮食加工企业设计了一种容积为63 000π立方米的粮食储藏容器,已知该容器分为上、下两部分,上部分是底面半径和高都为r(r≥10)米的圆锥,下部分是底面半径为r米、高为h米的圆柱体,如图所示.经测算,圆锥的侧面每平方米的建造费用为a元,圆柱的侧面、底面每平方米的建造费用为a元,设每个容器的制造总费用为y元,则下面说法正确的是(　　)

A.10≤r<40
B.h的最大值为
C.当r=21时,y=7 029aπ
D.当r=30时,y有最小值,最小值为6 300aπ
12.若函数y=f(x)的图象上存在两点,使得函数的图象在这两点处的切线互相垂直,则称y=f(x)具有T性质,下列函数中具有T性质的是(　　)
A.y=cos x B.y=ln x
C.y=ex D.y=x2
三、填空题
13.在平面直角坐标系xOy中,点P在曲线C:y=x3-10x+3上,且在第二象限内,已知曲线C在点P处的切线的斜率为2,则点P的坐标为　　　　　　　. 
14.已知奇函数f(x)的导函数为f'(x)=5+cos x,x∈(-1,1),若f(1-t)+f(1-t2)<0,则实数t的取值范围为　　　　　. 
15.写出一个同时具有性质①f(x1x2)=f(x1)+f(x2),②当x∈(0,+∞)时,f'(x)>0的函数f(x)=　　　　　. 
16.定义方程f(x)=f'(x)的实数根x0叫作函数f(x)的“新驻点”.
(1)设f(x)=sin x,则f(x)在(0,π)内的“新驻点”为　　　　　. 
(2)如果函数g(x)=ln(x+1)与h(x)=x+ex的“新驻点”分别为α,β,那么α和β的大小关系是　. 
四、解答题:本题共6小题.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
17.[2023山东泰安高二统考期中]已知函数f(x)=ax3+bx2+cx+2在x=2处有极值,其图象经过点(2,-6),且f'(0)=-4.
(1)求函数f(x)的解析式;
(2)求函数f(x)在x=-1处的切线方程.





















18.[2023北京东城北京二中校考期中]已知函数f(x)=ln x-ax(a∈R).
(1)a=1时,求函数f(x)在x=1处的切线方程;
(2)讨论函数f(x)的单调性;
(3)证明:不等式ex-2-ax>f(x)恒成立.















19.[2023甘肃金昌统考模拟预测]已知函数f(x)=ln x-(a∈R).
(1)若a=-2,求函数f(x)的图象在(1,f(1))处的切线方程;
(2)若x1,x2是函数f(x)的两个极值点,求a的取值范围,并证明:f(x1)+f(x2)=2f(1).









20.为迎接某网购狂欢节,某厂商拟投入适当的广告费,对网上所售产品进行促销.经调查测算,该促销产品在狂欢节的销售量P(单位:万件)与促销费用x(单位:万元)满足P=3-(其中0≤x≤a,a为正常数).已知生产该批产品P万件还需投入成本(10+2P)万元(不含促销费用),产品的销售价格定为4+元/件,假定厂家的生产能力完全能满足市场的销售需求.
(1)将该产品的利润y(单位:万元)表示为促销费用x(单位:万元)的函数;
(2)促销费用投入多少万元时,厂家的利润最大?



























21.已知函数f(x)=(m∈R).
(1)若m=2,求f(x)的极值;
(2)若f(x)在(4,6)内单调递增,求m的取值范围.




















22.设函数f(x)=x2-a(ln x+1)(a>0).
(1)当a=2时,求函数f(x)的极值;
(2)若函数f(x)有2个零点,求实数a的取值范围.












参考答案
第二章综合训练
1.B　由f(x)=lnx,得f'(x)=,则f'(1)=1,
所以=2=2f'(1)=2.故选B.
2.D　因为y=(ax+1)ex,则y'=(ax+a+1)ex,
因为函数y=(ax+1)ex在x=0处的瞬时变化率为-1,则y'|x=0=a+1=-1,解得a=-2.故选D.
3.B　∵函数f(x)=ax3+bx2+cx为奇函数,
∴b=0,则f'(x)=3ax2+c,
由题意得f'=0,即+c=0,
则ac=-3,所以ac+2b=-3.
4.C　对于A,y=sinx-x,则y'=cosx-1≤0,则y=sinx-x在定义域R上单调递减,故A错误;
对于B,y=x-lnx,则y'=1-,所以当x>1时,y'>0,当0 对于C,y=ex-x,则y'=ex-1,当x>0时,y'>0,所以函数在(0,+∞)内单调递增,故C正确;
对于D,y=x+,则y'=1-,当x>1时,y'>0,当0 5.C　直线2x-y+3=0的斜率为2,f'(x)=,
令=2,解得x=1,
由于f(1)=ln(2-1)=0,故曲线f(x)在点(1,0)处的切线斜率为2,则点(1,0)到直线2x-y+3=0的距离d=,即曲线f(x)=ln(2x-1)上的点到直线2x-y+3=0的最短距离是,故选C.
6.D　y=f(x)-kx恰有两个零点,即f(x)-kx=0恰有两个实数根,由于x≠0,所以f(x)-kx=0恰有两个实数根等价于=k恰有两个实数根,
令g(x)=,则g(x)=
当x>0时,g(x)=1-,g'(x)=,
令g'(x)=0,解得x=e.
故当x>e时,g'(x)>0,此时g(x)单调递增,当0 故当x=e时,g(x)取极小值也是最小值,g(e)=1-,且当x>1时,>0,∴g(x)=1-<1,
当x<0时,g(x)=1+>1,且g(x)单调递增,
在直角坐标系中画出g(x)的大致图象如图,

要使g(x)=k有两个交点,则k∈∪(1,+∞),故选D.
7.C　由题意得f'(x)=(x>0),
令f'(x)>0,得x>3;
令f'(x)<0,得0 令f'(x)=0,得x=3,
故知函数f(x)在区间(0,3)内单调递减,在区间(3,+∞)内单调递增,在点x=3处有极小值1-ln3<0;
又f(1)=>0,f(e)=-1<0,f=+1>0,
所以f(x)在区间,1内无零点,在区间(1,e)内有零点.
8.C　令g(x)=,则g'(x)=,
当x>0时,xf'(x)-f(x)<0,则g'(x)<0,所以g(x)在(0,+∞)内单调递减,
又因为log25>log24=2,1<20.2<2,0<0.22=0.04<1,
所以log25>20.2>0.22,
故g(log25) 故选C.
9.BC　由图可知,当x∈(-∞,-1)时,f'(x)<0,f(x)单调递减;当x∈(-1,3)时,f'(x)>0,f(x)单调递增;
当x∈(3,5)时,f'(x)<0,f(x)单调递减;当x∈(5,+∞)时,f'(x)>0,f(x)单调递增,
且f'(-1)=0,f'(3)=0,f'(5)=0,
则该函数在x=-1和x=5处取得极小值;在x=3处取得极大值.
故选BC.
10.AC　f'(x)=cosx-xsinx.
对于选项A,B,因为f(x)=xcosx是奇函数,所以f'(x)是偶函数,故A正确,B错误;
对于选项C,f'(0)=cos0-0sin0=1,故C正确;
对于选项D,f+f'cos+cossin=0+0-=-,故D错误.
故选AC.
11.BCD　由题意可得πr2×r+πr2h=63000π,所以h=r,
由h>0,则r>0,解得r<30,
所以10≤r<30,故A选项不正确.
易知h随r的增大而减小,所以当r=10时,h取得最大值,且最大值为,故B选项正确.
圆锥的母线长l=r,
故圆锥的侧面积S1=πrl=πr×r=πr2,
圆柱的侧面积S2=2πrh=2πrr2,圆柱的底面积S3=πr2,
所以总费用y=aS1+a(S2+S3)=a×πr2+ar2+πr2=r2+.
当r=21时,y=×212+=7029aπ,C选项正确.
y'=r-,
当10≤r<30时,y'<0,函数y=r2+单调递减,
当300,函数y=r2+单调递增,
所以当r=30时,y取得最小值,最小值为×302+=6300aπ,D选项正确.
故选BCD.
12.AD　由题意函数y=f(x)具有T性质,则存在x1,x2,使得f'(x1)f'(x2)=-1.
y=cosx的导数为y'=-sinx,存在x1=,x2=-,使得f'(x1)f'(x2)=-1;
y=lnx的导数为y'=>0,不存在x1,x2,使得f'(x1)f'(x2)=-1;
y=ex的导数y'=ex>0,不存在x1,x2,使得f'(x1)f'(x2)=-1;
y=x2的导数为y'=2x,存在x1=1,x2=-,使得f'(x1)f'(x2)=-1.
综上,具有性质T的函数为AD.
13.(-2,15)　令y'=3x2-10=2,得x=±2,
又点P在第二象限内,
∴x=-2,得点P的坐标为(-2,15).
14.(1,)　因为当x∈(-1,1)时,f'(x)=5+cosx>0,
所以f(x)在(-1,1)内单调递增.
又因为f(x)是奇函数,由f(1-t)+f(1-t2)<0,得f(1-t)<-f(1-t2)=f(t2-1),
所以
解得1 所以实数t的取值范围为(1,).
15.ln x(答案不唯一)　若函数f(x)=lnx,则f(x1x2)=ln(x1x2)=lnx1+lnx2=f(x1)+f(x2),满足①;f(x)=lnx的定义域为(0,+∞),且f'(x)=>0,满足②,故f(x)=lnx符合题意.
16.(1)　(2)α<β　(1)f'(x)=cosx,
令sinx=cosx,即tanx=1,
因为x∈(0,π),故x=.
(2)g'(x)=,
由题意可得,g(α)=g'(α),即=ln(1+α),
设H(x)=-ln(1+x),则易得H(x)在(-1,+∞)内单调递减且H(1)=-ln2=ln<0,
故α<1,h'(x)=1+ex,
由1+eβ=β+eβ,故β=1,所以α<β.
17.解(1)由题意f'(x)=3ax2+2bx+c,
∵f'(0)=-4,∴c=-4.
∵f(x)在x=2处有极值,
∴f'(2)=12a+4b+c=0,即3a+b=1.
∵f(x)的图象过点(2,-6),
∴8a+4b+2c+2=-6,即2a+b=0.
由
解得
∴f(x)=x3-2x2-4x+2,
故f'(x)=3x2-4x-4.
令f'(x)=0,解得x=-或x=2.
当x<-时,f'(x)>0,当-2时,f'(x)>0,
即f(x)在内单调递增,在内单调递减,在(2,+∞)内单调递增,
故f(x)在x=2处取极小值,符合题意,
故f(x)=x3-2x2-4x+2.
(2)由(1)知f'(x)=3x2-4x-4,
∴f'(-1)=3,
又f(-1)=3,
∴函数f(x)在x=-1处的切线方程为y-3=3(x+1),
即3x-y+6=0.
18.(1)解当a=1时,f(x)=lnx-x,根据题意切点坐标为(1,-1),
f'(x)=-1,所以函数f(x)在x=1处的切线的斜率为f'(1)=0,
故函数f(x)在x=1处的切线方程为y+1=0.
(2)解f(x)的定义域为(0,+∞),f'(x)=-a,
当a≤0时,f'(x)>0恒成立,所以f(x)在(0,+∞)内单调递增;
当a>0时,令f'(x)=0,解得x=,
当x∈时,f'(x)>0,f(x)单调递增,
当x∈时,f'(x)<0,f(x)单调递减.
综上所述,当a≤0时,f(x)在(0,+∞)内单调递增;
当a>0时,f(x)在内单调递增,在内单调递减.
(3)证明要证ex-2-ax>f(x)恒成立,即证ex-2>lnx恒成立,令a=1,f(x)=lnx-x,
由(2)可知,f(x)在(0,1)内单调递增,在(1,+∞)内单调递减,所以f(x)≤f(1)=-1恒成立,
即有当x>0时,x-1≥lnx恒成立,当且仅当x=1时等号成立,亦有ex-1≥lnex即ex≥x+1恒成立,当且仅当ex=0,即x=1时等号成立.
所以ex-2≥x-2+1=x-1,当且仅当x-2=0,即x=2时等号成立,
又因为x-1≥lnx恒成立,当且仅当x=1时等号成立,
所以ex-2>lnx(等号不同时成立)恒成立,原不等式得证.
19.解(1)当a=-2时,f(x)=lnx+,f'(x)=,
所以f(1)=1,f'(1)=,
所以函数f(x)的图象在(1,f(1))处的切线方程为y-1=(x-1),即x-2y+1=0.
(2)因为f(x)=lnx-,
所以f'(x)=(x>0),
由题意知x1,x2是方程f'(x)=0在(0,+∞)内的两个不同的实数根,
令h(x)=x2+(2+a)x+1,
又因为h(0)=1>0,且函数h(x)图象的对称轴为直线x=-,
所以只需
解得a<-4,即实数a的取值范围为(-∞,-4).
由x1,x2是方程x2+(2+a)x+1=0的两根,
得x1+x2=-2-a,x1x2=1,
f(x1)+f(x2)=
=ln(x1x2)-a
=-a=-a,
又因为f(1)=-,
所以f(x1)+f(x2)=2f(1).
20.解(1)由题意知,y=4+P-x-(10+2P),
将P=3-代入化简,
得y=16--x(0≤x≤a).
(2)y'=-1+=-=-.
①当a>1,x∈(0,1)时,y'>0,
所以函数y=16-x-在(0,1)内单调递增;
x∈(1,a)时,y'<0,所以函数y=16-x-在(1,a)内单调递减,
故促销费用投入1万元时,厂家的利润最大;
②当a≤1时,因为函数y=16-x-在[0,a]上单调递增,
所以x=a时,函数有最大值,即促销费用投入a万元时,厂家的利润最大.
综上,当a>1时,促销费用投入1万元,厂家的利润最大;
当a≤1时,促销费用投入a万元,厂家的利润最大.
21.解(1)f(x)的定义域为R,
由f(x)=得f'(x)=,
当m=2时,f'(x)=-,
由f'(x)=0,解得x=-1,
当x<-1时,f'(x)>0,当x>-1时,f'(x)<0,
即f(x)在(-∞,-1)内单调递增,在(-1,+∞)内单调递减,
则f(-1)=e,
所以f(x)的极大值为e,无极小值.
(2)由f(x)在(4,6)内单调递增可知f'(x)≥0在(4,6)内恒成立,
即≥0在(4,6)内恒成立,
所以m≤1-x,
所以m≤-5,即m的取值范围为(-∞,-5].
22.解(1)f(x)的定义域是(0,+∞),
当a=2时,f(x)=x2-2(lnx+1),f'(x)=2x-.
令f'(x)=0,解得x=1或x=-1(舍去).
所以f(x)在(0,1)内单调递减,在(1,+∞)内单调递增,
即f(x)在x=1处取得极小值,极小值为f(1)=-1,无极大值.
(2)f(x)的定义域为(0,+∞),a>0.
令f'(x)=2x-=0,
解得x=或x=-(舍去),
所以当x∈时,f'(x)<0;
当x∈时,f'(x)>0,
所以f(x)的单调递增区间是,单调递减区间是.
①令f=0,解得a=,
当a=时,f(x)=x2-(lnx+1)的最小值为f=0,
即f(x)=x2-(lnx+1)有唯一的零点x=;
②当0 且f=->0,
即f(x)=x2-a(lnx+1)不存在零点;
③当a>时,f(x)的最小值f=-ln+1<0,
又因为,f>0,
所以函数f(x)在内有唯一的零点,
又因为当a>时,a>,f(a)=a2-a(lna+1)=a(a-lna-1),
令g(x)=x-lnx-1,则g'(x)=1-=0,解得x=1,
可知g(x)在内单调递减,在(1,+∞)内单调递增,
所以g(x)≥g(1)=0,所以f(a)≥0,
所以函数f(x)在内有唯一的零点,
所以当a>时,f(x)有2个不同的零点.
综上所述,实数a的取值范围是.