高中数学北师大版 (2019)选择性必修 第一册第三章 空间向量与立体几何3 空间向量基本定理及向量的直角坐标运算3.1 空间向量基本定理课后测评

第三章§3　空间向量基本定理及空间向量运算的坐标表示

3.1　空间向量基本定理

A级 必备知识基础练

1.已知a,b,c是不共面的三个向量,则能构成空间的一组基的向量是(　　)

A.3a,a-b,a+2b B.2b,b-2a,b+2a

C.a,2b,b-c D.c,a+c,a-c

2.[2023湖北孝感期中]如图所示,在三棱柱ABC-A1B1C1中,M,N分别是A1B和B1C1上的点,且BM=3A1M,C1N=2B1N.设=x+y+z(x,y,z∈R),则x+y+z的值为　　　　　. 

3.若a=e1+e2,b=e2+e3,c=e1+e3,d=e1+2e2+3e3,若e1,e2,e3不共面,当d=αa+βb+γc时,α+β+γ=　　　　. 

4.如图所示,已知平行六面体ABCD-A1B1C1D1,设=a,=b,=c,P是CA1的中点,M是CD1的中点.用一组基{a,b,c}表示以下向量:

(1);

(2).

B级 关键能力提升练

5.[2023北京朝阳校级期末]已知空间向量a,b,c,下列说法正确的个数是(　　)

①若a与b共线,b与c共线,则a与c共线;

②若a,b,c非零且共面,则它们所在的直线共面;

③若a,b,c不共面,那么对任意一个空间向量p,存在唯一有序实数组(x,y,z),使得p=xa+yb+zc;

④若a,b不共线,向量c=λa+μb(λ,μ∈R且λμ≠0),则{a,b,c}可以构成空间的一组基.

A.0 B.1 C.2 D.3

6.如图,在三棱锥O-ABC中,点D是棱AC的中点,若=a,=b,=c,则等于(　　)

A.a-b+c

B.a+b-c

C.a-b+c

D.-a+b-c

7.(多选题)已知{a,b,c}是空间的一组基,在下列向量中,可以与2a-b,a+b构成空间的一组基的向量是(　　)

A.2a B.-b C.c D.a+c

8.已知向量a,b,c可作为空间的一组基{a,b,c},若d=3a+4b+c,且d在一组基{a+2b,b+3c,c+a}下满足d=x(a+2b)+y(b+3c)+z(c+a),则x=　　　　　. 

9.平行六面体ABCD-A1B1C1D1中,向量两两的夹角均为60°,且||=1,||=2,||=3,则||等于　　　　　　　. 

10.在正方体ABCD-A1B1C1D1中,已知E,F,G,H分别是CC1,BC,CD和A1C1的中点.

证明:(1)AB1∥GE,AB1⊥EH;

(2)A1G⊥平面EFD.

C级 学科素养创新练

11.如图,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,E,F分别是BB1,D1B1的中点,求证:EF⊥平面B1AC.

参考答案

§3　空间向量基本定理及空间

向量运算的坐标表示

3.1　空间向量基本定理

1.C

2.1　在三棱柱ABC-A1B1C1中,M,N分别是A1B,B1C1上的点,且BM=3A1M,C1N=2B1N,

则=-)=

=x+y+z(x,y,z∈R),

∴x+y+z==1.

3.3

4.解 在平行六面体ABCD-A1B1C1D1中,

连接AC,AD1(图略).

(1))=)=(a+b+c)=a+b+c.

(2))=+2)=a+b+c.

5.B　对于①,若a与b共线,b与c共线,则当b=0时,a与c不一定共线,故①错误;对于②,共面向量的定义是平行于同一平面的向量,∴a,b,c非零且共面,则表示这些向量的有向线段所在的直线不一定共面,故②错误;对于③,由空间向量基本定理可知,若a,b,c不共面,那么对任意一个空间向量p,存在唯一有序实数组(x,y,z),使得p=xa+yb+zc,故③正确;对于④,若a,b不共线,向量c=λa+μb(λ,μ∈R且λμ≠0),则c,a,b共面,∴{a,b,c}不可以构成空间的一组基,故④错误.故选B.

6.A　7.CD

8.2　因为d=3a+4b+c,且d=x(a+2b)+y(b+3c)+z(c+a)=(x+z)a+(2x+y)b+(3y+z)c,

则解得

9.5

10.证明 (1)设正方体棱长为1,=i,=j,=k,则{i,j,k}构成空间的一组单位正交基.

=i+k,

i+k=,∴AB1∥GE.

k+(i+j)=-i-j+k,=(i+k)=-|i|2+|k|2=0,∴AB1⊥EH.

(2)=-k+j+i,=i-j,=i+k,=-|j|2+|i|2=0,

∴A1G⊥DF.

=-|k|2+|i|2=0,

∴A1G⊥DE.又DE∩DF=D,∴A1G⊥平面EFD.

11.证明 设=a,=c,=b,有a·b=0,a·c=0,b·c=0,则)=)=)=(-a+b+c),=a+b(-a+b+c)·(a+b)=(|b|2-|a|2)=0.

,即EF⊥AB1.同理EF⊥B1C.

∵AB1∩B1C=B1,∴EF⊥平面B1AC.