数学北师大版 (2019)第三章 空间向量与立体几何3 空间向量基本定理及向量的直角坐标运算3.1 空间向量基本定理课后测评

这是一份数学北师大版 (2019)第三章 空间向量与立体几何3 空间向量基本定理及向量的直角坐标运算3.1 空间向量基本定理课后测评，共6页。试卷主要包含了1　空间向量基本定理，给出下列命题,其中正确的有等内容，欢迎下载使用。

基础过关练
题组一 空间向量的基向量
1.(2020江西南昌八一中学高二下期末){a,b,c}为空间的一组基,则下列各项中,能构成空间的一组基的是( )
A.a,a+b,a-b B.b,a+b,a-b
C.c,a+b,a-b D.a+b,a-b,a+2b
2.(多选题)(2021福建南平高级中学高二上期中)给出下列命题,其中正确的有( )
A.空间任意三个向量都可以作为一组基
B.已知向量a∥b,则a、b与任何向量都不能构成空间的一组基
C.A、B、M、N是空间四点,若BA、BM、BN不能构成空间的一组基,则A、B、M、N共面
D.已知{a,b,c}是空间的一组基,若m=a+c,则{a,b,m}也是空间的一组基
题组二 用基向量表示向量
3.(2021北京教师进修学校高二10月月考)如图,在四面体OABC中,点P为棱BC的中点.设OA=a,OB=b,OC=c,那么向量AP用a,b,c可表示为( )
A.-12a+12b+12c
B.-a+12b+12c
C.a+12b+12c
D.12a+12b+12c
4.(多选题)(2021山东滨州博兴第三中学高二上第一次月考)如图所示,M是四面体OABC的棱BC的中点,点N在线段OM上,点P在线段AN上,且|AP|=3|PN|,ON=23OM,设OA=a,OB=b,OC=c,则下列等式成立的是( )
A.OM=12b-12c
B.AN=13b+13c-a
C.AP=14b-14c-34a
D.OP=14a+14b+14c
5.(2021广东珠海第二中学高二上期中)如图,四棱锥P-ABCD中,四边形ABCD为平行四边形,AC与BD交于点O,点G为BD上一点,且|BG|=2|GD|,PA=a,PB=b,PC=c,用a,b,c表示向量PG= .
6.(2021山东枣庄第八中学东校区高二9月月考)在正方体ABCD-A1B1C1D1中,已知A1A=a,A1B1=b,A1D1=c,O为底面ABCD的中心,G为△D1C1O的重心,则AG= .(用a,b,c表示AG)
题组三 空间向量基本定理的应用
7.(2021山东肥城高二上期中)如图,梯形ABCD中,AB∥CD,|AB|=2|CD|,点O为空间内任意一点,OA=a,OB=b,OC=c,向量OD=xa+yb+zc,则x,y,z分别是( )
A.1,-1,2
B.-12,12,1
C.12,-12,1
D.12,-12,-1
8.已知E,F,G,H分别是空间四边形ABCD的边AB,BC,CD,DA的中点.
(1)求证:E,F,G,H四点共面;
(2)求证:BD∥平面EFGH;
(3)设M是EG和FH的交点,求证:对空间任一点O,有OM=14(OA+OB+OC+OD).
答案全解全析
基础过关练
1.C 对于A,因为(a+b)+(a-b)=2a,所以a,a+b,a-b共面,不能构成空间的一组基,排除A;
对于B,因为(a+b)-(a-b)=2b,所以b,a+b,a-b共面,不能构成空间的一组基,排除B;
对于C,若c,a+b,a-b共面,则c=λ(a+b)+μ(a-b)=(λ+μ)a+(λ-μ)b,则a,b,c共面,与{a,b,c}为空间的一组基相矛盾,故c,a+b,a-b可以构成空间的一组基;
对于D,因为a+2b=32(a+b)-12(a-b),所以a+b,a-b,a+2b共面,不能构成空间的一组基,排除D.
故选C.
2.BCD 空间任意的三个不共面的向量才可以作为一组基,故A错误;
若a∥b,则a、b与任何向量都共面,故不能构成空间的一组基,故B正确;
若BA、BM、BN不能构成空间的一组基,则BA、BM、BN共面,
∴A、B、M、N四点共面,故C正确;
∵{a,b,c}是空间的一组基,
∴a、b与向量m=a+c一定不共面,
∴{a,b,m}也是空间的一组基,故D正确.
故选BCD.
3.B 连接OP,∵点P为棱BC的中点,
∴OP=12(OB+OC),
∴AP=OP-OA=12(OB+OC)-OA,
又∵OA=a,OB=b,OC=c,
∴AP=-a+12b+12c,故选B.
4.BD 对于A,利用向量的平行四边形法则,得OM=12OB+12OC=12b+12c,A错误;
对于B,利用向量的三角形法则,得
AN=ON-OA=23OM-OA=13b+13c-a,B正确;
对于C,因为|AP|=3|PN|,所以AP=34AN=3413b+13c-a=14b+14c-34a,C错误;
对于D,OP=OA+AP=a+14b+14c-34a=14a+14b+14c,D正确.
故选BD.
5.答案 23a-13b+23c
解析 因为|BG|=2|GD|,所以BG=23BD.
又BD=BA+BC=PA-PB+PC-PB=a+c-2b,
所以PG=PB+BG=b+23(a+c-2b)
=23a-13b+23c.
6.答案 -23a+12b+56c
解析 如图,连接OG并延长,交C1D1于E.由题意得AG=AO+OG
=12(AB+AD)+13(OD1+OC1)
=12(b+c)+1312(BA+BC)+DD1+12(AB+AD)+CC1
=12(b+c)+16(-b+c)-13a+16(b+c)-13a=-23a+12b+56c.
7.C OD=OC+CD=OC+12BA=OC+12(OA-OB)=12OA-12OB+OC=12a-12b+c,
因此,x=12,y=-12,z=1.故选C.
8.证明 (1)连接BG,
则EG=EB+BG=EB+12(BC+BD)=EB+BF+EH=EF+EH,
由空间向量基本定理,知E,F,G,H四点共面.
(2)∵E,H分别是边AB,DA的中点,即EH为△ABD的中位线,∴EH∥BD,
又EH⊂平面EFGH,BD⊄平面EFGH,
∴BD∥平面EFGH.
(3)易知EH=12BD,FG=12BD,
∴EH=FG,即四边形EFGH是平行四边形.
∴M为EG,FH的中点.
在空间中任取一点O,并连接OM,OA,OB,OC,OD,OE,OG,如图所示.
∴OM=12(OE+OG)=12OE+12OG,
OE=12(OA+OB),OG=12(OC+OD),
∴OM=12×12(OA+OB)+12×12(OC+OD)=14(OA+OB+OC+OD).