【期中单元压轴题专练】（人教版）2023-2024学年八年级数学上册单元 第十二章 全等三角形（测试卷）

第十二章 全等三角形（压轴题专练）

【题型一 四边形中构造全等三角形】

例题：如图，在四边形ABCD中，于点B，于点D，点E，F分别在AB，AD上，，．

(1)若，，求四边形AECF的面积；

(2)猜想∠DAB，∠ECF，∠DFC三者之间的数量关系，并证明你的猜想．

【变式训练】

1．在四边形ABDC中，AC=AB，DC=DB，∠CAB=60°，∠CDB=120°，E是AC上一点，F是AB延长线上一点，且CE=BF．

(1)试说明：DE=DF：

(2)在图中，若G在AB上且∠EDG=60°，试猜想CE，EG，BG之间的数量关系并证明所归纳结论．

(3)若题中条件“∠CAB=60°，∠CDB=120°改为∠CAB=α，∠CDB=180°﹣α，G在AB上，∠EDG满足什么条件时，（2）中结论仍然成立？

【题型二 一线三等角模型】

例题：【探究】如图①，点B、C在的边上，点E、F在内部的射线上，分别是、的外角．若，，求证：．

【应用】如图②，在等腰三角形ABC中，，，点D在边上，，点E、F在线段上，，若的面积为9，则与的面积之和为    ．

【变式训练】

1．（1）问题发现：如图1，射线在的内部，点B、C分别在的边、上，且，若，求证：；

（2）类比探究：如图 2，，且． （1）中的结论是否仍然成立，请说明理由；

（3）拓展延伸：如图3，在中，，．点E在边上，，点D、F在线段上，．若 的面积为，，求与的面积之比．

2．在直线上依次取互不重合的三个点，在直线上方有，且满足．

(1)如图1，当时，猜想线段之间的数量关系是____________；

(2)如图2，当时，问题（1）中结论是否仍然成立？如成立，请你给出证明；若不成立，请说明理由；

(3)应用：如图3，在中，是钝角，，，直线与的延长线交于点，若，的面积是12，求与的面积之和．

【题型三 三垂直模型】

例题：问题1：在数学课本中我们研究过这样一道题目：如图1，∠ACB＝90°，AC＝BC，BE⊥MN，AD⊥MN，垂足分别为E、D．图中哪条线段与AD相等？并说明理由．

问题2：试问在这种情况下线段DE、AD、BE具有怎样的等量关系？请写出来，不需要说明理由．

问题3：当直线CE绕点C旋转到图2中直线MN的位置时，试问DE、AD、BE具有怎样的等量关系？请写出这个等量关系，并说明理由．

【变式训练】

1．在△ABC中，∠BAC=90°，AC=AB，直线MN经过点A，且CD⊥MN于D，BE⊥MN于E．

(1)当直线MN绕点A旋转到图1的位置时，       度；

(2)求证：DE=CD+BE；

(3)当直线MN绕点A旋转到图2的位置时，试问DE、CD、BE具有怎样的等量关系？请写出这个等量关系，并加以证明．

【题型四 倍长中线模型】

例题：阅读理解

在通过构造全等三角形解决的问题中，有一种典型的方法是倍延中线法．

如图1，是的中线，，，求的取值范围．我们可以延长到点，使，连接，易证，所以．接下来，在中利用三角形的三边关系可求得的取值范围，从而得到中线的取值范围是______；

类比应用

如图2，在四边形中，，点是的中点．若是的平分线，试判断，，之间的等量关系，并说明理由；

拓展创新

如图3，在四边形中，，与的延长线交于点，点是的中点，若是的平分线，试探究，，之间的数量关系，请直接写出你的结论．

【变式训练】

1．为了进一步探究三角形中线的作用，数学兴趣小组合作交流时，小丽在组内做了如下尝试：如图1，在中，是边上的中线，延长到M，使，连接．

【探究发现】

（1）图1中与的数量关系是______，位置关系是______．

【初步应用】

（2）如图2，在中，若，，求边上的中线的取值范围．

【探究提升】

（3）如图3，是的中线，过点A分别向外作、，使得，延长交于点P，判断线段与的数量关系和位置关系，请说明理由．

【题型五 旋转模型】

例题：【尝试探究】如图1，已知在正方形中（四边相等，四个内角均为90°），点、分别在边、上运动，当时，探究、和的数量关系，并加以说明；

【模型建立】如图2，若将直角三角形沿斜边翻折得到，且，点、分别在边、上运动，且，试猜想（2）中的结论还成立吗？请加以说明；

【拓展应用】如图3，已知是边长为8的等边三角形（三边相等，三个内角均为60°），，，，以为顶点作一个60°角，使其角的两边分别交边、于点、，连接，直接写出的周长．

【变式训练】

1．如图，在△ABC中，AB＝BC，∠ABC＝120°，点D在边AC上，且线段BD绕着点B按逆时针方向旋转120°能与BE重合，点F是ED与AB的交点．

（1）求证：AE＝CD；

（2）若∠DBC＝45°，求∠BFE的度数．

2．在四边形中，，，，、分别是，上的点，且，在探究图1中线段，，之间的数量关系过程中．

(1)你尝试添加了怎样的辅助线？成功了吗？（真实大胆作答即可得分）

(2)小亮同学认为：延长到点，使，连接，先证明，再证明，即可得出，，之间的数量关系是 ．

(3)如图3，在四边形中，，，、分别是，上的点，且，上述结论是否仍然成立？并证明；

(4)如图4，在某次军事演习中，舰艇甲在指挥中心（处）北偏西的处，舰艇乙在指挥中心南偏东的处，且两舰艇到指挥中心的距离相等接到行动指令后，舰艇甲向正东方向以60海里/小时的速度前进，舰艇乙沿北偏东的方向以70海里/小时的速度前进，1.5小时后，指挥中心观测到甲、乙两舰艇分别到达，处，且两舰艇之间的夹角为，试求此时两舰艇之间的距离．