重庆市璧山来凤中学2023-2024学年高二数学上学期9月月考试题（Word版附解析）

2023-2024学年度高中数学9月月考卷

一、单选题

1. 已知，，则（    ）

A.  B.  C.  D.

【答案】D

【解析】

【分析】利用空间向量的坐标运算计算即可.

【详解】由题得

故选：D

2. 若向量和满足条件，则的值是（    ）

A. ﹣1 B. 0 C. 1 D. 2

【答案】D

【解析】

【分析】

直接代入数量积求解即可．

【详解】因为和满足条件，

即；

故选：D．

3. 直线的倾斜角是（    ）

A.  B.  C.  D.

【答案】D

【解析】

【分析】先求出直线的斜率，再求倾斜角.

【详解】设直线的倾斜角为.

因为直线的斜率为 = ，

所以.

又，得：．

故选：D．

4. 已知直线，，若，则（    ）

A.  B. 2 C.  D. 2或

【答案】A

【解析】

【分析】利用两条直线（一般式方程）相互平行的充要条件即可得出．

【详解】因为，所以，解得.

故选：A.

5. 如图，平行六面体中，与的交点为，设，，，则选项中与向量相等的是（    ）

A.  B.

C.  D.

【答案】A

【解析】

【分析】根据空间向量线性运算法则计算可得.

【详解】解：平行六面体中，与的交点为，设，，，

所以，

则，

所以．

故选：A．

6. 直线，，，的图象如图所示，则斜率最小的直线是（    ）

A.  B.  C.  D.

【答案】B

【解析】

【分析】由题图确定直线斜率的大小关系即可.

【详解】由图知：，故斜率最小的直线是.

故选：B

7. 已知两点，，过点的直线与线段AB有交点，则直线l的倾斜角的取值范围为（    ）．

A.  B.

C.  D.

【答案】A

【解析】

【分析】求出与线段端点所成直线的斜率，即可得直线l的斜率范围，再由倾斜角与斜率关系求倾斜角范围.

【详解】由题设，如下图示，

所以，，故，

若直线l的倾斜角，则，

所以.

故选：A

8. 如图，已知正三棱柱的所有棱长均为1，则线段上的动点P到直线的距离的最小值为（    ）

A.  B.  C.  D.

【答案】C

【解析】

【分析】根据给定条件，建立空间直角坐标系，利用空间向量求点到直线距离建立函数，再求出函数最小值作答.

【详解】在正三棱柱中，在平面内过A作，显然射线两两垂直，

以点A为原点，射线分别为轴建立空间直角坐标系，如图，

因正三棱柱的所有棱长均为1，则，

，因动点P在线段上，则令，

即有点，，，，

因此点P到直线的距离

，当且仅当时取等号，

所以线段上的动点P到直线的距离的最小值为.

故选：C

二、多选题

9. 空间直角坐标系中，坐标原点到下列各点的距离不大于的是（    ）

A.  B.  C.  D.

【答案】ABD

【解析】

【分析】根据空间两点的距离公式计算可得.

【详解】因为，故A正确，

，故B正确，

，故D正确，

，故C错误．

故选：ABD

10. 对于直线：，下列说法错误的是（    ）

A. 直线恒过定点

B. 直线斜率必定存在

C. 时直线与两坐标轴围成的三角形面积为

D. 时直线的倾斜角为

【答案】BD

【解析】

【分析】求出过的定点判断A；根据m的取值情况判断B；当时，求出直线的横纵截距计算判断C；当时，求出直线的斜率判断D作答.

【详解】对于A，直线：恒过定点，A正确；

对于B，当时，直线：垂直于x轴，倾斜角为，斜率不存在，B错误；

对于C，当时，直线：与x轴、y轴分别交于点，

此时直线与两坐标轴围成的三角形面积为，C正确；

对于D，当时，直线：的斜率，因此倾斜角为，D错误.

故选：BD

11. 如图，已知长方体的底面是边长为1的正方形，高为2，E是的中点，则下列结论错误的是（    ）

A.  B. 三棱锥的体积为

C. 三棱锥的外接球的表面积为8π D. 平面平面

【答案】ACD

【解析】

【分析】建立空间直角坐标系，利用空间向量求得位置关系判断选项A；求得平面与平面位置关系判断选项D；求得三棱锥的体积判断选项B；求得三棱锥的外接球的表面积判断选项D.

【详解】以A为原点分别以AB、AD、所在直线为x、y、z轴建立空间直角坐标系：

则,,,,,,,

选项A：由.

可得，

则两向量、不互相垂直，则与不互相垂直.判断错误；

选项B：三棱锥的体积

.判断正确；

选项C：三棱锥的外接球即长方体的外接球，

长方体的外接球直径为

则三棱锥的外接球的表面积为.判断错误；

选项D：

设为平面的一个法向量，

则，令，则，，则

设为平面的一个法向量，

则，令，则，，则

由，可得向量与向量不互相平行，

则平面与平面不互相平行.判断错误.

故选：ACD

12. 如图，矩形BDEF所在平面与正方形ABCD所在平面互相垂直，，G为线段AE上的动点，则（    ）

A. 若G为线段AE的中点，则平面CEF

B.

C. 的最小值为48

D. 点B到平面CEF的距离为

【答案】ABD

【解析】

【分析】根据面面垂直的性质可得平面ABCD，由线面垂直的性质可得，，又，建立如图空间直角坐标系，利用空间向量法证明线线、线面的位置关系和求解点到平面的距离，结合空间向量线性运算的坐标表示求出，利用二次函数的性质即可求解.

【详解】因为BDEF是矩形，所以，

又矩形BDEF所在平面与正方形ABCD所在平面互相垂直，矩形BDEF所在平面与正方形ABCD相交于BD，

且平面BDEF，所以平面ABCD，

而AD，平面ABCD，所以，，

而ABCD是正方形，所以，建立如图所示的空间直角坐标系，

则，，，，，

对于A，，，

当G为线段AE的中点时，，得，

设平面CEF的一个法向量为，

有，

因为，平面CEF，则平面CEF，故A正确；

对于B，，，

所以，故B正确；

对于C，设，则，

得有最小值44，故C错误；

对于D，，，

所以点B到平面CEF的距离为，故D正确.

故选：ABD..

三、填空题

13. 点在两点所连的直线上，则______________．

【答案】

【解析】

【分析】根据列方程，解方程求得的值.

【详解】由于点在两点所连的直线上，所以，

即，解得.

故答案为：

【点睛】本小题主要考查斜率公式的运用，属于基础题.

14. 已知，，则____．

【答案】

【解析】

【分析】cos，，由此能求出结果．

【详解】∵向量，，

∴cos，．

故答案为．

【点睛】本题考查空间向量的夹角的余弦值的求法，考查了空间向量的数量积及模的运算，是基础题．

15. 已知空间向量的模长分别为，且两两夹角均为.点为的重心，若，，则___________.

【答案】

【解析】

【分析】设中点为，可得，由向量线性运算可求得，由平面向量数量积定义和运算法则可求得，进而得到.

【详解】为的重心，设中点为，，

，

，

，

.

故答案为：.

16. 已知圆柱中，点在圆上，，，点、在圆上，且满足，则直线与平面所成角的正弦值的最大值为__________.

【答案】

【解析】

【分析】取中点，连接、，然后以点为坐标原点，为轴，为轴建立空间直角坐标系，设，利用空间向量法可得出直线与平面所成角的正弦值关于的表达式，由此可求得结果.

【详解】取中点，则， 以点为坐标原点，为轴，为轴建立如下图所示的空间直角坐标系，

则、、，

，，

设平面的法向量为，

则，取，则，，则，

设，直线的方向向量为，

所以直线与平面所成角的正弦值为，

即直线与平面所成角的正弦值的最大值为.

故答案为：.

四、解答题

17. 已知直线过点和两点

（1）求出该直线的直线方程(用点斜式表示)

（2）将（1）中直线方程化成斜截式，一般式以及截距式且写出直线在x轴和y轴上的截距.

【答案】（1）；（2）答案见解析.

【解析】

分析】

（1）先求斜率，再利用点斜式写出直线方程；

（2）由，得，可化，从而可得答案

【详解】解；（1）直线AB的斜率为

故直线AB的点斜式方程为：或.

（2）由，得，可化为，

当时，，当时，，

所以斜截式：，

一般式：，

截距式：，

在x轴上的截距为；在y轴上的截距为

18. 求满足下列条件的直线方程；

（1）过点，且与直线平行的直线方程；

（2）过点，且与直线垂直的直线方程；

（3）过点，且在两坐标轴上截距相等的直线方程．

【答案】（1）；（2）；（3）.

【解析】

【分析】

（1）根据平行直线的斜率相同即可求解；

（2）根据互相垂线直线的斜率乘积为，从而求解直线方程；

（3）由截距相等，可得，带入坐标解得，从而可得方程．当直线过原点时也是截距相等；

【详解】解：（1）设与直线平行的直线方程为；

由于所求直线过点，带入可得，

所求的直线方程为；

（2）设与直线垂直的直线方程为；

由于所求直线过点，带入可得，

所求的直线方程为；

（3）由截距相等，可得直线方程为，

由于所求直线过点，带入可得，

所求的直线方程为；

当直线过原点时也是截距相等，此时直线方程为：．

19. 已知长方体中，是对角线中点，化简下列表达式：

（1）；

（2）；

（3）.

【答案】（1）   

（2）   

（3）

【解析】

【分析】（1）根据，结合向量减法法则求解；

（2）根据向量加法法则求解即可；

（3）根据向量加法法求解即可.

【小问1详解】

解：

小问2详解】

解：

【小问3详解】

解：

20. 如图，在四棱锥中，平面，，，，，点是的中点.

（1）证明：；

（2）求直线与平面所成的角的正弦值.

【答案】（1）证明见解析   

（2）

【解析】

【分析】（1）取中点，证明得到四边形是正方形，进而得到平面，所以，根据直角三角形相关性质可得到；

（2）先建立空间直角坐标系，结合线段长度写出坐标，求平面的一个法向量，再结合线面角计算公式求出答案.

【小问1详解】

取中点，连接，则，

又因为，所以四边形是平行四边形，

因为，，所以四边形是正方形，

所以，即是等腰三角形，则，

所以，即，

因为平面，平面，所以，

又因为平面，，

所以平面，

因为平面，所以，

又因为点是的中点，所以由直角三角形性质易得

【小问2详解】

因为平面，平面，所以，，

又因为四边形是正方形，所以，

如图，以为正交基底建立空间直角坐标系，

则，

所以，

设平面的一个法向量为，

则，令，则，

设直线与平面所成的角为，

所以，

所以直线与平面所成的角的正弦值为.

21. 如图，且，，且，且，平面，．

（1）求平面与平面的夹角；

（2）求直线到平面的距离．

【答案】（1）   

（2）

【解析】

【分析】(1)建立空间直角坐标系，根据空间角的向量方法求解;(1)由线面平行可得直线上所有点到平面距离相等，再利用等体积法可求解.

【小问1详解】

因为，面，故可以为坐标原点，

为x轴，为y轴，为z轴建立空间直角坐标系，如图：

由题可知：，，，，，，，

易知面的一个法向量为，设面的法向量为，

，，故得，即，

不妨令y＝1，则，，

所以平面与平面的夹角为．

【小问2详解】

因为，面，则面，

所以直线到平面的距离与点到面的距离相等，

如图，连接，由（1）可知平面，平面，

所以，

又因为，所以，设点到平面EBC的距离为，

则，

，

又因为，所以，

所以直线AD到平面EBC的距离为．

22. 如图，在三棱柱中，，顶点在底面上的射影恰为点，且.

（1）求证：平面

（2）求棱与BC所成角的大小；

（3）在线段上确定一点P，使，并求出二面角的平面角的余弦值.

【答案】（1）证明见解析   

（2）   

（3）P为棱的中点，

【解析】

【分析】（1）由线面垂直得线线垂直，再由线面垂直的判断定理得到证明.

（2）建立空间直角坐标系，利用异面直线夹角的向量公式求解即可；

（3）利用已知条件求出点P的坐标，利用向量法求解平面角的余弦值.

【小问1详解】

因为三棱柱中，，所以，

因为顶点在底面上的射影恰为点，平面，所以，所以，

又，平面，平面，所以平面.

【小问2详解】

以A为原点，射线，，分别为x，y，z轴正半轴建立空间直角坐标系，如图，

则，，，，所以，，

设棱与BC所成的角为，

所以，又，所以，

故棱与BC所成的角为.

【小问3详解】

设，则.

于是，解得，

则P为棱的中点，其坐标为.

设平面的一个法向量，则，

令，得，

而平面的一个法向量，

则，