2022-2023学年河北省衡水中学高一（上）期中数学试卷（解析版）

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这是一份2022-2023学年河北省衡水中学高一（上）期中数学试卷（解析版），共15页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

第I卷（选择题）
一、单选题（本大题共8小题，共40.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）
已知集合A={-1,0,1,2}，B={x|-1A. {0,1}B. {-1,1}C. {-1,0,1}D. {0,1,2}
下列各组函数中，两个函数相同的是( )
A. y=(3x)3和y=xB. y=(x)2和y=x
C. y=x2和y=(x)2D. y=3x3和y=x2x
命题“∀a∈R,x-ax=0有实数解”的否定是( )
A. ∀a∈R,x-ax=0无实数解B. ∃a∈R,x-ax≠0有实数解
C. ∀a∈R,x-ax≠0有实数解D. ∃a∈R,x-ax=0无实数解
已知函数y=f(x)的对应关系如下表所示，函数y=g(x)的图像是如图所示的曲线ABC，则f[g(2)+1]的值为( )
A. 3
B. 2
C. 1
D. 0
已知y=f(2x+1)定义域为(1,3]，则y=f(x+1)的定义域为( )
A. (2,6]B. (0,1]C. (1,2]D. (1,3]
下列说法正确的是( )
A. 不等式(2x-1)(1-x)<0的解集为{x|12B. 若x∈R，则函数y=x2+4+1x2+4的最小值为2
C. 若实数a，b，c满足ac2>bc2，则a>b
D. 当x∈R时，不等式kx2-kx+1>0恒成立，则k的取值范围是(0,4)
因为疫情原因，某校实行凭证入校，凡是不带出入证者一律不准进入校园，某学生早上上学，早上他骑自行车从家里出发离开家不久，发现出入证忘在家里了，于是回家取上出入证，然后改为乘坐出租车以更快的速度赶往学校，令x(单位：分钟)表示离开家的时间，y(单位：千米)表示离开家的距离，其中等待红绿灯及在家取出入证的时间忽略不计，下列图像上与上述事件吻合最好的是( )
A. B.
C. D.
已知函数f(x)=x|x|，若对任意x∈[t,t+1]，不等式f(x2+t)≤4f(x)恒成立，则实数t的取值范围是( )
A. [-1-52,0]B. [0,-1+52]
C. [-1-52,-1+52]D. [-1+52,1]
二、多选题（本大题共4小题，共20.0分。在每小题有多项符合题目要求）
设函数f(x)=ax-1,xA. 2B. -1C. 12D. 1
某校学习兴趣小组通过研究发现形如y=ax+bcx+d(ac≠0,b,d不同时为0)的函数图象可以通过反比例函数的图象通过平移变换而得到，则对于函数y=x+2x-1的图象及性质的下列表述正确的是( )
A. 图象上点的纵坐标不可能为1B. 图象关于点(1,1)成中心对称
C. 图象与x轴无交点D. 函数在区间(1,+∞)上是减函数
已知x，y是正数，且2x+y=1，下列叙述正确的是( )
A. 2xy的最大值为14B. 4x2+y2的最小值为12
C. x(x+y)的最大值为14D. yx+1y的最小值为1+22
德国著名数学家狄利克雷(Dirichlet,1805～1859)在数学领域成就显著.19世纪，狄利克雷定义了一个“奇怪的函数”y=f(x)=1,x∈Q0,x∈∁RQ.其中R为实数集，Q为有理数集.则关于函数f(x)有如下四个命题，正确的为( )
A. 对任意x∈R，都有f(-x)+f(x)=0
B. 对任意x1∈R，都存在x2∈Q，f(x1+x2)=f(x1)
C. 若a<0，b>1，则有{x|f(x)>a}={x|f(x)D. 存在三个点A(x1,f(x1))，B(x2,f(x2))，C(x3,f(x3))，使△ABC为等腰直角三角形
第II卷（非选择题）
三、填空题（本大题共4小题，共20.0分）
“2已知α∈{-2,-1,12,1,2}，若函数y=xα在(0,+∞)上y随x增大而减小，且图像关于y轴对称，则α=______．
函数f(x)=x5-ax3+1在区间[-5,5]上有f(m)=5，则f(-m)=______．
已知函数f(x)为定义在R上的奇函数，满足对∀x1，x2∈[0,+∞)，其中x1≠x2，都有(x1-x2)[x1f(x1)-x2f(x2)]>0，且f(2)=3，则不等式xf(x)>6的解集为______.(写成集合或区间的形式)
四、解答题（本大题共6小题，共70.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
(本小题10.0分)
已知函数f(x)=4-x+1x+3的定义域为A，集合B={x|1-a(1)当a=2时，求A∩(∁RB)；
(2)若B⊆A，求a的取值范围．
(本小题12.0分)
已知函数f(x)=xm2-4m(实数m∈Z)的图象关于y轴对称，且f(2)>f(3)．
(1)求m的值及函数f(x)的解析式；
(2)若f(a+2)(本小题12.0分)
已知函数f(x)=a(x2+1)-4x+3．
(Ⅰ)若函数f(x)定义域为R，求a的取值范围；
(Ⅱ)若函数f(x)值域为[0,+∞)，求a的取值范围．
(本小题12.0分)
已知函数f(x)是定义在R上的偶函数，当x≤0时，f(x)是一个二次函数的一部分，其图像如图所示．
(1)求f(x)在R上的解析式；
(2)若函数g(x)=f(x)+(4a-6)x，x∈[2,4]，求g(x)的最大值．
(本小题12.0分)
某群体的人均通勤时间，是指单日内该群体中成员从居住地到工作地的平均用时，某地上班族S中的成员仅以自驾或公交方式通勤，分析显示：当S中x%(0试根据上述分析结果回答下列问题：
(1)当x在什么范围内时，公交群体的人均通勤时间少于自驾群体的人均通勤时间？
(2)求该地上班族S的人均通勤时间g(x)的表达式；并求出g(x)的最小值．
(本小题12.0分)
设函数f(x)的定义域是(0,+∞)，且对任意的正实数x、y都有f(xy)=f(x)+f(y)恒成立，已知f(16)=4，且0(1)求f(1)与f(2)的值；
(2)求证：函数f(x)在(0,+∞)上单调递增；
(3)解不等式f(x)+1>12f(12x-8)．
答案和解析
1.【答案】A
【解析】解：由已知集合A={-1,0,1,2}，B={x|-1则A∩B={0,1}．
故选：A．
根据题意利用交集定义即可得到答案．
本题考查集合的交集，属于基础题．
2.【答案】A
【解析】
【分析】
本题主要考查判断两个函数是否为同一函数，判断的标准就是判断两个函数的定义域和对应法则是否一致，否则不是同一函数．
逐项判断两个函数的定义域和对应关系是否相同即可得解．
【解答】
解：对于A，函数y=(3x)3=x(x∈R)，与y=x(x∈R)的定义域相同，对应关系也相同，所以是相同函数；
对于B，函数y=(x)2=x(x≥0)，与y=x(x∈R)的定义域不同，所以不是相同函数；
对于C，函数y=x2=|x|(x∈R)，与y=(x)2=x(x≥0)的定义域不同，所以不是相同函数；
对于D，函数y=3x3=x(x∈R)，与y=x2x=x(x≠0)的定义域不同，所以不是相同函数．
故选：A．

3.【答案】D
【解析】解：因为全称量词命题的否定是存在量词命题，
只需将“任意”变成“存在”，同时，命题加以否定，
所以“∀a∈R,x-ax=0有实数解”的否定是“∃a∈R,x-ax=0无实数解”．
故选：D．
根据全称量词命题的否定是存在量词命题即可求解．
本题考查含有全称量词命题的否定，属于基础题．
4.【答案】A
【解析】解：根据题意，由函数y=g(x)的图象，可得g(2)=1，
则f[g(2)+1]=f(2)=3，
故选：A．
根据题意，由g(x)的图象求出g(2)的值，再由f[g(2)+1]=f(2)求解即可．
本题考查函数值的计算，属于基础题．
5.【答案】A
【解析】解：∵y=f(2x+1)定义域为(1,3]，即1∴f(x)的定义域为(3,7]，
由3可得y=f(x+1)的定义域为(2,6]．
故选：A．
由已知求得f(x)的定义域，再由x+1在f(x)的定义域中，求解x的范围得答案．
本题考查函数的定义域及其求法，关键是掌握该类问题的求解方法，是基础题．
6.【答案】C
【解析】解：对于A，解不等式(2x-1)(1-x)<0得，x<12或x>1，即不等式的解集为{x|x<12或x>1}，故A错误，
对于B，函数y=x2+4+1x2+4≥2x2+4⋅1x2+4=2，当且仅当x2+4=1x2+4，即x2=-3时，等号成立，
显然x2=-3无解，所以函数y=x2+4+1x2+4的最小值取不到2，故B错误，
对于C，若实数a，b，c满足ac2>bc2，则a>b，故C正确，
对于D，当x∈R时，不等式kx2-kx+1>0恒成立，
当k=0时，1>0恒成立，符合题意，
当k≠0时，则Δ=(-k)2-4k<0k>0，解得0综上，k的取值范围是[0,4)，故D错误，
故选：C．
由一元二次不等式的解法可判断A，由基本不等式可判断B，由不等式的性质可判断C，由二次函数的性质可判断D．
本题主要考查了一元二次不等式的解法，考查了基本不等式的应用，以及二次函数的性质，属于基础题．
7.【答案】B
【解析】解：由题意，学生离开家，y是x的一次函数，且斜率为正，
返回家的过程中，y是x的一次函数，斜率为负，
再次由家坐出租车到学校，y是x的一次函数，斜率为正且比第一点的斜率增大，
结合图象可知，选项B符合题意．
故选：B．
由已知分析各阶段函数变换规律，结合选项即可．
本题主要考查了函数图象变换，属于基础题．
8.【答案】B
【解析】解：f(x)=x|x|=x2,x≥0-x2,x<0，
因为y=x2在x≥0上单调递增，y=-x2在x<0上单调递增，
所以f(x)=x|x|在R上单调递增，
因为4f(x)=4x|x|=2x|2x|=f(2x)，且f(x2+t)≤4f(x)，
所以f(x2+t)≤f(2x)，所以x2+t≤2x，即x2-2x+t=(x-1)2+t-1≤0在x∈[t,t+1]恒成立，
所以t2-2t+t≤0(t+1)2-2(t+1)+t≤0，即t2-t≤0t2+t-1≤0，解得0≤t≤-1+52，
所以实数t的取值范围是[0,-1+52]'
故选：B．
先由解析式得到f(x)=x|x|在R上单调递增，由于4f(x)=f(2x)，结合f(x2+t)≤4f(x)可得到x2-2x+t=(x-1)2+t-1≤0在x∈[t,t+1]恒成立，即可得到答案．
本题考查了函数的恒成立问题，属于中档题．
9.【答案】CD
【解析】解：当x0，①
当x≥a时，f(x)=x2-2ax+1为增函数，
因为函数f(x)为增函数，
所以a×a-1≤a2-2a×a+1，②
由①②解得0故选：CD．
根据题意可得a>0①，a×a-1≤a2-2a×a+1②，由①②解得答案．
本题考查函数的单调性，解题中需要理清思路，属于中档题．
10.【答案】ABD
【解析】
【分析】
本题考查了函数图象的变换以及函数的性质，属于基础题．
函数y=x+2x-1的图象，由y=3x的图象先向右平移一个单位，再向上平移一个单位得到，即可判断各个选项．
【解答】
解：y=x+2x-1=x-1+3x-1=1+3x-1，
则函数y=x+2x-1的图象，由y=3x的图象先向右平移一个单位，再向上平移一个单位得到，
∴图象上点的纵坐标不可能为1，图象关于点(1,1)成中心对称，图象与x轴交点为(-2,0)，
函数在区间(1,+∞)上是减函数，
故选：ABD．

11.【答案】ABD
【解析】解：对于A，∵x>0，y>0，2x+y=1，
∴2xy≤(2x+y)24=14，当且仅当2x=y，即x=14，y=12时，等号成立，
即2xy的最大值为14，故A正确，
对于B，∵x>0，y>0，2x+y=1，
∴4x2+y2=(2x+y)2-4xy=1-4xy，
由A可知，xy≤18，∴4x2+y2≥1-4×18=12，当且仅当x=14，y=12时，等号成立，
即4x2+y2的最小值为12，故B正确，
对于C，∵x>0，y>0，2x+y=1，
∴x(x+y)≤[x+(x+y)2]4=(2x+y)24=14，当且仅当x=x+y，即x=12，y=0时，等号成立，
显然y=0不成立，所以x(x+y)的最大值取不到14，故C错误，
对于D，∵x>0，y>0，2x+y=1，
∴yx+1y=yx+2x+yy=yx+2xy+1≥2yx⋅2xy+1=22+1，当且仅当yx=2xy，即x=2-22，y=2-1时，等号成立，
即yx+1y的最小值为22+1，故D正确，
故选：ABD．
利用基本不等式逐个判断各个选项即可．
本题主要考查了基本不等式的应用，使用时要注意“一正，二定，三相等”三个条件缺一不可，属于中档题．
12.【答案】BC
【解析】
【分析】
本题考查函数的新定义问题，考查了函数的基本概念，属拔高题．
用特值法判断A，分类讨论法判断B，求集合判断C，反证法判断D．
【解答】
解：对于A，当x=1时，f(-1)=f(1)=1，f(-1)+f(1)=2≠0，所以A错；
对于B，分情况讨论，①当x1∈Q时，x2∈Q，x1+x2∈Q，有f(x1+x2)=1=f(x1)；
②当x1∈∁RQ时，x2∈Q，x1+x2∈∁RQ，有f(x1+x2)=0=f(x1)；
由①和②知，对任意x1∈R，都存在x2∈Q，f(x1+x2)=f(x1)，所以B对；
对于C，因为a<0，f(x)=0或1，所以f(x)>a，从而{x|f(x)>a}=R；
因为b>1，f(x)=0或1，所以f(x)则有{x|f(x)>a}={x|f(x)对于D，假设存在三个点A(x1,f(x1))，B(x2,f(x2))，C(x3,f(x3))，
使△ABC为等腰直角三角形，
不妨设∠C=90°，分两类情况，①斜边AB平行x轴或在x轴上，
②斜边AB不平行x轴也不在x轴上，
如图所示．
第①种情况：不妨设斜边AB在x轴上，即x3∈Q，
此时，AD=DB=1，x1，x2∈Q⇒f(x2)=f(x1)=1，与假设矛盾；
第②种情况：不妨设C点在x轴上，即x3∈∁RQ，
此时，x1=x3∈∁RQ⇒f(x1)=f(x3)=0，与假设矛盾；
由①和②知，D错；
故选：BC．

13.【答案】充要
【解析】解：∵x2-6x+5<0⇔2∴2故答案为：充要．
先解不等式，再利用充要条件的定义判断即可．
本题考查了不等式的解法、简易逻辑的应用，属于基础题．
14.【答案】-2
【解析】解：∵函数y=xα在(0,+∞)上y随x增大而减小，且图像关于y轴对称，
∴α<0，且α为偶数，
故α=-2，
故答案为：-2．
由幂函数的性质可得α<0，且α为偶数，进而求得结论．
本题考查了幂函数的奇偶性与单调性，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．
15.【答案】-3
【解析】解：f(x)=x5-ax3+1，设g(x)=x5-ax3，定义域[-5,5]上时，g(-x)=(-x)5-a(-x)3=-g(x)，所以g(x)为奇函数，
则g(m)+g(-m)=0，
而f(m)=5=g(m)+1，可得g(m)=4，
所以f(-m)=g(-m)+1=-g(m)+1=-4+1=-3，
故答案为：-3．
由题意设g(x)=x5-ax3，定义域[-5,5]上时，可判断g(x)为奇函数，由题意可得g(m)的值，进而求出f(-m)的值．
本题考查奇函数的性质的应用，属于基础题．
16.【答案】(-∞,-2)∪(2,+∞)
【解析】解：因为f(x)为定义在R上的奇函数，
所以g(x)=xf(x)为R上的偶函数，
又对∀x1，x2∈[0,+∞)，其中x1≠x2，都有(x1-x2)[x1f(x1)-x2f(x2)]>0，
所以g(x)=xf(x)在[0,+∞)上单调递增，
由f(2)=3，得2f(2)=6，即g(2)=6，
所以不等式xf(x)>6等价于g(x)>g(2)，即g(|x|)>g(2)，
所以|x|>2，解得x>2或x<-2，
故答案为：(-∞,-2)∪(2,+∞)．
令g(x)=xf(x)，结合题意，可得g(x)=xf(x)为偶函数，且在[0,+∞)上单调递增，原不等式可等价转化为g(|x|)>g(2)，解之即可．
本题考查函数的单调性与奇偶性的综合应用，考查等价转化思想及逻辑推理能力、运算求解能力，属于中档题．
17.【答案】解：(1)要使函数f(x)=4-x+1x+3有意义，
则4-x≥0x+3>0，解得-3当a=2时，B={x|-1∴∁RB={x|x≤-1或x≥3}，
则A∩(∁RB)={x|-3(2)∵B⊆A，
①当B=⌀时，1-a≥1+a，即a≤0，满足题意，
②当B≠⌀时，则1-a<1+a1-a≥-31+a≤4，解得0综上，a的取值范围为{a|a≤3}．
【解析】(1)先求出集合A，B，再根据集合的基本运算即可求解．
(2)根据B⊆A，建立条件关系即可求实数a的取值范围．
本题主要考查集合的基本运算，分类讨论思想的应用，属于中档题．
18.【答案】解：(1)∵函数f(x)=xm2-4m(实数m∈Z)的图象关于y轴对称，且f(2)>f(3)．
∴函数f(x)在区间(0,+∞)为减函数，
∴m2-4m<0，解得0∵m∈Z，函数f(x)=xm2-4m(m∈Z)的图象关于y轴对称，
∴m2-4m为偶数，∴m=2，
函数f(x)的解析式为：f(x)=x-4．
(2)不等式f(a+2)∴|1-2a|<|a+2|，解得a∈(-13,3)，
又∵1-2a≠0，a+2≠0，
∴实数a的取值范围是(-13,12)∪(12,3)．
【解析】本题考查函数的解析式的求法，考查实数的取值范围的求法，是中档题．
(1)由f(2)>f(3)，得到m2-4m<0，从而0(2)由已知得|1-2a|<|a+2|，且1-2a≠0，a+2≠0，由此能求出实数a的取值范围．
19.【答案】解：(Ⅰ)当a=0时，f(x)=-4x+3的定义域不为R，不符合题意；
当a≠0时，若函数f(x)定义域为R，则a(x2+1)-4x+3≥0恒成立，即ax2-4x+a+3≥0恒成立，
所以a>016-4a(a+3)≤0，解得a≥1，即a的取值范围是[1,+∞)．
(Ⅱ)若函数f(x)值域为[0,+∞)，
则g(x)=a(x2+1)-4x+3可取一切非负实数，
当a=0时，f(x)=-4x+3的值域为[0,+∞)，
当a≠0时，a>016-4a(a+3)≥0，解得0综上可得a的取值范围是[0,1]．
【解析】(Ⅰ)分a=0和a≠0两种情况讨论，即可求解a的取值范围；
(Ⅱ)若f(x)的值域为[0,+∞)，则函数g(x)=a(x2+1)-4x+3可取一切非负实数，分a=0和a≠0两种情况讨论，结合一次函数和二次函数的图象和性质，综合可得答案．
本题考查的知识点是函数的定义域，函数的值域，转化思想，熟练掌握一次函数和二次函数的图象和性质是解答的关键．
20.【答案】解：(1)当x≤0时，由题意可设f(x)=a(x+1)2+5，
由f(0)=a+5=4可得a=-1，即f(x)=-(x+1)2+5=-x2-2x+4，
当x>0时，-x<0，f(-x)=f(x)=-x2+2x+4
故f(x)=-x2+2x+4,x>0-x2-2x+4,x≤0；
(2)由(1)得g(x)=f(x)+(4a-6)x=-x2+(4a-4)x+4，x∈[2,4]，
g(x)的开口向下，对称轴x=2a-2，
当2a-2≤2时，即a≤2时，g(x)在[2,4]上单调递减，g(x)max=g(2)=8a-8，
当2<2a-2<4，即2当2a-2≥4，即a≥3时，g(x)在[2,4]上单调递增，g(x)max=g(4)=16a-28，
综上，g(x)max=8a-8,a≤24a2-8a+8,2【解析】(1)由已知函数图象求出当x≤0时的函数解析式，然后结合偶函数定义即可求解；
(2)先求出g(x)，然后结合对称轴与已知区间的位置关系进行分类讨论即可求解．
本题主要考查了函数的奇偶性在函数解析式求解中的应用，还考查了二次函数闭区间上的最值求解，体现了分类讨论思想的应用，属于中档题．
21.【答案】解：(1)当0当3050，解得x<20(舍)或x>45；
所以当45(2)设该地上班族总人数为n，则自驾人数为n⋅x%，乘公交人数为n⋅(1-x%)．
因此人均通勤时间整理得：g(x)=50-x5,0因为g(x)在(0,30]和(30,32.5]为减函数，在(32.5,100]为增函数，
g(30)=44，g(32.5)=46.875，
所以g(x)的最小值为44．
【解析】(1)根据题意分0(2)根据题意整理求解g(x)，结合单调性求最值．
本题主要考查根据实际问题选择合适的函数模型，属于中档题．
22.【答案】解：由题意：f(x)的定义域是(0,+∞)，且对任意的正实数x、y都有f(xy)=f(x)+f(y)恒成立，已知f(16)=4，
(1)令x=y=1，则f(1)=2f(1)，故f(1)=0，
令x=y=2，则f(4)=2f(2)，再令x=y=4，则f(16)=2f(4)=4f(2)=4，故f(2)=1；
(2)证明：任取0故f(x2)-f(x1)>0，即f(x1)(3)f(x)+1>12f(12x-8)，该式可化为：2[f(x)+f(2)]>f(12x-8)，
即2f(2x)>f(12x-8)，即f(4x2)>f(12x-8)，
结合(2)的结论，可知0<12x-8<4x2，即12x-8>04x2>12x-8，
解得342，
故原不等式的解集为{x|342}．
【解析】(1)赋值法，令x=y=1求出f(1)，令x=y=4，求出f(4)，再令x=y=2求出f(2)；
(2)结合定义和第一问的结论证明即可；
(3)将不等式的两边构造成一个函数值的形式，然后利用单调性求解．
本题考查抽象函数的单调性和应用，同时考查了赋值法的应用以及学生的逻辑推理能力等核心素养，属于中档题．
x
1
2
3
f(x)
2
3
0

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