2015-2016学年河北省衡水中学高三（上）四调数学试卷（文科）（解析版）

这是一份2015-2016学年河北省衡水中学高三（上）四调数学试卷（文科）（解析版），共23页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。


2015-2016学年河北省衡水中学高三（上）四调数学试卷（文科）
　
一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分．在下列四个选项中，只有一个是符合题目要求的．）
1．在空间，下列命题错误的是（　　）
A．一条直线与两个平行平面中的一个相交，则必与另一个相交
B．一个平面与两个平行平面相交，交线平行
C．平行于同一平面的两个平面平行
D．平行于同一直线的两个平面平行
　
2．设集合P={x|}，m=30.5，则下列关系中正确的是（　　）
A．m⊈P B．m∉P C．m∈P D．m⊄P
　
3．如图所示，为测一建筑物的高度，在地面上选取A，B两点，从A，B两点分别测得建筑物顶端的仰角为30°，45°，且A，B两点间的距离为60m，则该建筑物的高度为（　　）

A．（30+30）m B．（30+15）m C．（15+30）m D．（15+15）m
　
4．某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（　　）

A． + B．1+ C． D．1
　
5．已知正数组成的等比数列{an}，若a1•a20=100，那么a7+a14的最小值为（　　）
A．20 B．25 C．50 D．不存在
　
6．设x，y满足不等式组，若z=ax+y的最大值为2a+4，最小值为a+1，则实数a的取值范围为（　　）
A．[﹣1，2] B．[﹣2，1] C．[﹣3，﹣2] D．[﹣3，1]
　
7．若函数y=f（x）的导函数为y=f′（x），且，则y=f（x）在[0，π]上的单调增区间为（　　）
A． B． C．和 D．和
　
8．已知不等式|y+4|﹣|y|≤2x+对任意实数x，y都成立，则常数a的最小值为（　　）
A．1 B．2 C．3 D．4
　
9．己知球的直径SC=4，A，B是该球球面上的两点．AB=2，∠ASC=∠BSC=45°，则棱锥S﹣ABC的体积为（　　）
A． B． C． D．
　
10．已知，，与的夹角为，那么等于（　　）
A．2 B．6 C． D．12
　
11．设过曲线f（x）=﹣ex﹣x（e为自然对数的底数）上任意一点处的切线为l1，总存在过曲线g（x）=ax+2cosx上一点处的切线l2，使得l1⊥l2，则实数a的取值范围为（　　）
A．[﹣1，2] B．（﹣1，2） C．[﹣2，1] D．（﹣2，1）
　
12．设函数f（x）满足x2f′（x）+2xf（x）=，f（2）=，则x＞0时，f（x）（　　）
A．有极大值，无极小值 B．有极小值，无极大值
C．既有极大值又有极小值 D．既无极大值也无极小值
　
　
二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分．）
13．已知α，β表示两个不同的平面，m为平面α内的一条直线，则“α⊥β”是“m⊥β”的　　　　　　条件（从“充分不必要”、“必要不充分”、“充要”、“既不充分也不必要”中选出一种填空．）
　
14．已知函数f（x）=，则f（）+f（﹣1）=　　　　　　．
　
15．设向量，（n∈N*），若，设数列{an}的前n项和为Sn，则Sn的最小值为　　　　　　．
　
16．某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为　　　　　　．

　
　
三、解答题（本大题共5小题，共70分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．）
17．已知函数f（x）=2sin2（x+）﹣cos2x，x∈[，]．设x=α时f（x）取到最大值．
（1）求f（x）的最大值及α的值；
（2）在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，A=α﹣，且sinBsinC=sin2A，求b﹣c的值．
　
18．如图，四棱锥P﹣ABCD，侧面PAD是边长为2的正三角形，且与底面垂直，底面ABCD是∠ABC=60°的菱形，M为PC的中点．
（1）求证：PC⊥AD；
（2）求点D到平面PAM的距离．

　
19．已知等比数列{an}的公比q＞1，a1=2且a1，a2，a3﹣8成等差数列．数列{bn}的前n项和为Sn，且Sn=n2﹣8n．
（Ⅰ）分别求出数列{an}和数列{bn}的通项公式；
（Ⅱ）设cn=，若cn≤m，对于∀n∈N*恒成立，求实数m的最小值．
　
20．如图，直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，D，E分别是AB，BB1的中点，AA1=AC=CB=．
（1）证明：BC1∥平面A1CD；
（2）求异面直线BC1和A1D所成角的大小；
（3）当AB=时，求三棱锥C﹣A1DE的体积．

　
21．已知f（x）=xlnx，g（x）=，直线l：y=（k﹣3）x﹣k+2
（1）函数f（x）在x=e处的切线与直线l平行，求实数k的值
（2）若至少存在一个x0∈[1，e]使f（x0）＜g（x0）成立，求实数a的取值范围
（3）设k∈Z，当x＞1时f（x）的图象恒在直线l的上方，求k的最大值．
　
　
选做题1
22．如图，⊙O的直径AB的延长线与弦CD的延长线相交于点P，E为⊙O上一点，AE=AC，DE交AB于点F，且AB=2BP=4，
（1）求PF的长度．
（2）若圆F与圆O内切，直线PT与圆F切于点T，求线段PT的长度．

　
　
选做题2
23．（2012•邯郸一模）选修4﹣5：不等式选讲
已知函数f（x）=log2（|x﹣1|+|x+2|﹣a）．
（Ⅰ）当a=7时，求函数f（x）的定义域；
（Ⅱ）若关于x的不等式f（x）≥3的解集是R，求实数a的取值范围．
　
　

2015-2016学年河北省衡水中学高三（上）四调数学试卷（文科）
参考答案与试题解析
　
一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分．在下列四个选项中，只有一个是符合题目要求的．）
1．在空间，下列命题错误的是（　　）
A．一条直线与两个平行平面中的一个相交，则必与另一个相交
B．一个平面与两个平行平面相交，交线平行
C．平行于同一平面的两个平面平行
D．平行于同一直线的两个平面平行
【考点】命题的真假判断与应用．
【专题】空间位置关系与距离．
【分析】根据面面平行的性质可判断A；根据面面平行的性质定理可判断B；根据面面平行的性质可判断C；根据空间线面平行的几何特征及面面位置关系的定义和分类，可判断D．
【解答】解：根据面面平行的性质可得：一条直线与两个平行平面中的一个相交，则必与另一个相交，故A正确；
根据面面平行的性质定理可得：一个平面与两个平行平面相交，交线平行，故B正确；
根据面面平行的性质可得：平行于同一平面的两个平面平行，故C正确；
平行于同一直线的两个平面，可能平行也可能相交，故D错误；
故选：D
【点评】本题以命题的真假判断为载体，考查了空间直线与平面的位置关系，难度中档．
　
2．设集合P={x|}，m=30.5，则下列关系中正确的是（　　）
A．m⊈P B．m∉P C．m∈P D．m⊄P
【考点】集合关系中的参数取值问题；元素与集合关系的判断．
【专题】计算题．
【分析】解出集合P中元素的取值范围，判断m的值的范围，确定m与P的关系，从而得到答案．
【解答】解：∵P={x|x2﹣x≤0}，
∴，
又m=30.5=
故m∉P，
故选B．
【点评】本题考查元素与集合的关系，一元二次不等式的解法．
　
3．如图所示，为测一建筑物的高度，在地面上选取A，B两点，从A，B两点分别测得建筑物顶端的仰角为30°，45°，且A，B两点间的距离为60m，则该建筑物的高度为（　　）

A．（30+30）m B．（30+15）m C．（15+30）m D．（15+15）m
【考点】解三角形的实际应用．
【专题】应用题；解三角形．
【分析】要求建筑物的高度，需求PB长度，要求PB的长度，在△PAB由正弦定理可得．
【解答】解：在△PAB，∠PAB=30°，∠APB=15°，AB=60，
sin15°=sin（45°﹣30°）=sin45°cos30°﹣cos45°sin30°=
由正弦定理得： =30（+），
∴建筑物的高度为PBsin45°=30（+）×=（30+30）m，
故选A．
【点评】此题是实际应用题用到正弦定理和特殊角的三角函数值，正弦定理在解三角形时，用于下面两种情况：一是知两边一对角，二是知两角和一边．
　
4．某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（　　）

A． + B．1+ C． D．1
【考点】由三视图求面积、体积．
【专题】计算题；转化思想；空间位置关系与距离；立体几何．
【分析】根据已知可得该几何体是一个四分之一圆锥，与三棱柱的组合体，分别求出它们的体积，相加可得答案．
【解答】解：根据已知可得该几何体是一个四分之一圆锥，与三棱柱的组合体，
四分之一圆锥的底面半径为1，高为1，故体积为： =，
三棱柱的底面是两直角边分别为1和2的直角三角形，高为1，故体积为：×1×2×1=1，
故组合体的体积V=1+，
故选：B
【点评】本题考查的知识点是由三视图求体积和表面积，根据三视图判断出几何体的形状是解答的关键．
　
5．已知正数组成的等比数列{an}，若a1•a20=100，那么a7+a14的最小值为（　　）
A．20 B．25 C．50 D．不存在
【考点】等比数列的通项公式．
【专题】等差数列与等比数列．
【分析】根据等比数列的性质以及基本不等式得a7+a14≥2=2=2=20．
【解答】解：∵正数组成的等比数列{an}，a1•a20=100，
∴a1•a20=a7•a14=100，
∴a7+a14≥2=2=2=20．
当且仅当a7=a14时，a7+a14取最小值20．
故选：A．
【点评】本题考查等比数列性质的应用，结合基本不等式是解决本题的关键．注意均值定理的合理运用．
　
6．设x，y满足不等式组，若z=ax+y的最大值为2a+4，最小值为a+1，则实数a的取值范围为（　　）
A．[﹣1，2] B．[﹣2，1] C．[﹣3，﹣2] D．[﹣3，1]
【考点】简单线性规划．
【专题】不等式的解法及应用．
【分析】作出不等式组对应的平面区域，利用目标函数的几何意义，利用数形结合进行求解即可．
【解答】解：由z=ax+y得y=﹣ax+z，直线y=﹣ax+z是斜率为﹣a，y轴上的截距为z的直线，
作出不等式组对应的平面区域如图：
则A（1，1），B（2，4），
∵z=ax+y的最大值为2a+4，最小值为a+1，
∴直线z=ax+y过点B时，取得最大值为2a+4，
经过点A时取得最小值为a+1，
若a=0，则y=z，此时满足条件，
若a＞0，则目标函数斜率k=﹣a＜0，
要使目标函数在A处取得最小值，在B处取得最大值，
则目标函数的斜率满足﹣a≥kBC=﹣1，
即0＜a≤1，
若a＜0，则目标函数斜率k=﹣a＞0，
要使目标函数在A处取得最小值，在B处取得最大值，
则目标函数的斜率满足﹣a≤kAC=2，
即﹣2≤a＜0，
综上﹣2≤a≤1，
故选：B．

【点评】本题主要考查线性规划的应用，根据条件确定A，B是最优解是解决本题的关键．注意要进行分类讨论．
　
7．若函数y=f（x）的导函数为y=f′（x），且，则y=f（x）在[0，π]上的单调增区间为（　　）
A． B． C．和 D．和
【考点】复合三角函数的单调性；利用导数研究函数的单调性．
【专题】导数的综合应用．
【分析】为了求函数的一个单调递增区间，必须考虑到，据此即可求得单调区间，再利用自变量x的取值范围[0，π]，即可得到答案．
【解答】解：由于，
得到，
解得，
取k=0，k=1，又x∈[0，π]，
则和．
故答案为：D
【点评】本题以余弦函数为载体，考查复合函数的单调性，关键是利用导函数求函数的单调增区间．
　
8．已知不等式|y+4|﹣|y|≤2x+对任意实数x，y都成立，则常数a的最小值为（　　）
A．1 B．2 C．3 D．4
【考点】绝对值不等式的解法．
【专题】不等式的解法及应用．
【分析】令f（y）=|y+4|﹣|y|，利用绝对值不等式可得|y+4|﹣|y|≤|y+4﹣y|=4，从而将问题转化为2x+≥f（y）max=4，令g（x）=﹣（2x）2+4×2x，则a≥g（x）max=4，从而可得答案．
【解答】解：令f（y）=|y+4|﹣|y|，
则f（y）≤|y+4﹣y|=4，
即f（y）max=4．
∵不等式|y+4|﹣|y|≤2x+对任意实数x，y都成立，
∴2x+≥f（y）max=4，
∴a≥﹣（2x）2+4×2x=﹣（2x﹣2）2+4恒成立；
令g（x）=﹣（2x）2+4×2x，
则a≥g（x）max=4，
∴常数a的最小值为4，
故选：D．
【点评】本题考查绝对值不等式的解法，着重考查化归思想与构造函数思想，突出恒成立问题的考查，属于中档题．
　
9．己知球的直径SC=4，A，B是该球球面上的两点．AB=2，∠ASC=∠BSC=45°，则棱锥S﹣ABC的体积为（　　）
A． B． C． D．
【考点】棱柱、棱锥、棱台的体积；球内接多面体．
【专题】计算题．
【分析】由题意求出SA=AC=SB=BC=2，∠SAC=∠SBC=90°，说明球心O与AB的平面与SC垂直，求出OAB的面积，即可求出棱锥S﹣ABC的体积．
【解答】解：如图：由题意球的直径SC=4，A，B是该球球面上的两点．AB=2，∠ASC=∠BSC=45°，求出SA=AC=SB=BC=2，
∠SAC=∠SBC=90°，所以平面ABO与SC垂直，则
进而可得：VS﹣ABC=VC﹣AOB+VS﹣AOB，
所以棱锥S﹣ABC的体积为： =．
故选C．

【点评】本题是基础题，考查球的内接三棱锥的体积，考查空间想象能力，计算能力，球心O与AB的平面与SC垂直是本题的解题关键，常考题型．
　
10．已知，，与的夹角为，那么等于（　　）
A．2 B．6 C． D．12
【考点】平面向量数量积的运算．
【专题】整体思想；综合法；平面向量及应用．
【分析】求出（4﹣）2，开方得出答案．
【解答】解： =1×=1，
（4﹣）2=162﹣8+=12．
∴|4﹣|=2．
故选：C．
【点评】本题考查了向量的模与向量的数量积运算，是基础题．
　
11．设过曲线f（x）=﹣ex﹣x（e为自然对数的底数）上任意一点处的切线为l1，总存在过曲线g（x）=ax+2cosx上一点处的切线l2，使得l1⊥l2，则实数a的取值范围为（　　）
A．[﹣1，2] B．（﹣1，2） C．[﹣2，1] D．（﹣2，1）
【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程．
【专题】导数的综合应用．
【分析】求出函数f（x）=﹣ex﹣x的导函数，进一步求得∈（0，1），再求出g（x）的导函数的范围，然后把过曲线f（x）=﹣ex﹣x上任意一点的切线为l1，总存在过曲线g（x）=ax+2cosx上一点处的切线l2，使得l1⊥l2转化为集合间的关系求解．
【解答】解：由f（x）=﹣ex﹣x，得f′（x）=﹣ex﹣1，
∵ex+1＞1，∴∈（0，1），
由g（x）=ax+2cosx，得g′（x）=a﹣2sinx，
又﹣2sinx∈[﹣2，2]，
∴a﹣2sinx∈[﹣2+a，2+a]，
要使过曲线f（x）=﹣ex﹣x上任意一点的切线为l1，
总存在过曲线g（x）=ax+2cosx上一点处的切线l2，使得l1⊥l2，
则，解得﹣1≤a≤2．
即a的取值范围为﹣1≤a≤2．
故选：A．
【点评】本题考查了利用导数研究过曲线上的某点的切线方程，考查了数学转化思想方法，解答此题的关键是把问题转化为集合间的关系求解，是中档题．
　
12．设函数f（x）满足x2f′（x）+2xf（x）=，f（2）=，则x＞0时，f（x）（　　）
A．有极大值，无极小值 B．有极小值，无极大值
C．既有极大值又有极小值 D．既无极大值也无极小值
【考点】函数在某点取得极值的条件；导数的运算．
【专题】压轴题；导数的综合应用．
【分析】令F（x）=x2f（x），利用导数的运算法则，确定f′（x）=，再构造新函数，确定函数的单调性，即可求得结论．
【解答】解：∵函数f（x）满足，
∴
令F（x）=x2f（x），则F′（x）=，
F（2）=4•f（2）=．
由，得f′（x）=，
令φ（x）=ex﹣2F（x），则φ′（x）=ex﹣2F′（x）=．
∴φ（x）在（0，2）上单调递减，在（2，+∞）上单调递增，
∴φ（x）的最小值为φ（2）=e2﹣2F（2）=0．
∴φ（x）≥0．
又x＞0，∴f′（x）≥0．
∴f（x）在（0，+∞）单调递增．
∴f（x）既无极大值也无极小值．
故选D．
【点评】本题考查导数知识的运用，考查函数的单调性与极值，考查学生分析解决问题的能力，难度较大．
　
二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分．）
13．已知α，β表示两个不同的平面，m为平面α内的一条直线，则“α⊥β”是“m⊥β”的　必要不充分　条件（从“充分不必要”、“必要不充分”、“充要”、“既不充分也不必要”中选出一种填空．）
【考点】充要条件．
【专题】空间位置关系与距离；简易逻辑．
【分析】可以想象两平面垂直，平面内的直线和另一平面的位置有：和平面平行，和平面斜交，和平面垂直，在平面内，所以由α⊥β得不出m⊥β，而由m⊥β，能得到α⊥β，这根据面面垂直的判定定理即可得到，所以α⊥β是m⊥β的必要不充分条件．
【解答】解：由m⊂α，α⊥β得不出m⊥β，因为两平面垂直，其中一平面内的直线可以和另一平面平行；
若m⊂a，m⊥β，则根据面面垂直的判定定理得到α⊥β；
∴α⊥β，是m⊥β的必要不充分条件．
故答案为必要不充分．
【点评】考查面面垂直时平面内的直线和另一平面的位置关系，面面垂直的判定定理，以及充分条件、必要条件、必要不充分条件的概念．
　
14．已知函数f（x）=，则f（）+f（﹣1）=　3　．
【考点】函数的值．
【专题】函数的性质及应用．
【分析】直接利用导函数求解函数值即．
【解答】解：函数f（x）=，
则f（）+f（﹣1）=log3（10﹣1）+2﹣1+1=2+1=3．
故答案为：3．
【点评】本题考查分段函数的应用，函数值的求法，考查计算能力．
　
15．设向量，（n∈N*），若，设数列{an}的前n项和为Sn，则Sn的最小值为　1　．
【考点】数列与向量的综合．
【专题】计算题；函数思想；转化思想；平面向量及应用．
【分析】利用向量共线求出数列的通项公式，然后求解数列的前n项和．
【解答】解：向量，（n∈N*），若，
可得an==2（）．
Sn=a1+a2+a3+…+an=2[1+…+]=．
数列{Sn}是递增数列，
Sn的最小值为：S1=1．
故答案为：1．
【点评】本题考查向量与数列相结合，数列的函数特征，考查分析问题解决问题的能力．
　
16．某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为　　．

【考点】由三视图求面积、体积．
【专题】数形结合；分割补形法；空间位置关系与距离．
【分析】根据几何体的三视图，得出该几何体是四棱锥，把该四棱锥放入棱长为2的正方体中，结合图形求出它的体积．
【解答】解：根据几何体的三视图，得；
该几何体是四棱锥M﹣PSQN，
把该四棱锥放入棱长为2的正方体中，如图所示；
所以该四棱锥的体积为
V=V三棱柱﹣V三棱锥=×22×2﹣××22×2=．


故答案为：．
【点评】本题考查了空间几何体三视图的应用问题，解题的关键是根据三视图得出几何体的结构特征，是基础题目．
　
三、解答题（本大题共5小题，共70分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．）
17．已知函数f（x）=2sin2（x+）﹣cos2x，x∈[，]．设x=α时f（x）取到最大值．
（1）求f（x）的最大值及α的值；
（2）在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，A=α﹣，且sinBsinC=sin2A，求b﹣c的值．
【考点】正弦定理；三角函数中的恒等变换应用．
【专题】三角函数的求值．
【分析】（1）利用二倍角公式对函数解析式化简利用x的范围判断出2x﹣的范围，利用正弦函数的性质求得函数的最大值及α的值．
（2）利用正弦定理把已知角的正弦等式转化成变化的等式，进而利用余弦定理求得b﹣c的值．
【解答】解：（1）依题．
又，则，
故当即时，f（x）max=3．
（2）由（1）知，由sinBsinC=sin2A即bc=a2，
又a2=b2+c2﹣2bccosA=b2+c2﹣bc，
则b2+c2﹣bc=bc即（b﹣c）2=0，
故b﹣c=0．
【点评】本题主要考查了余弦定理的应用，三角函数图象与性质．是对三角函数基础知识的综合考查．
　
18．如图，四棱锥P﹣ABCD，侧面PAD是边长为2的正三角形，且与底面垂直，底面ABCD是∠ABC=60°的菱形，M为PC的中点．
（1）求证：PC⊥AD；
（2）求点D到平面PAM的距离．

【考点】点、线、面间的距离计算；棱锥的结构特征．
【专题】空间位置关系与距离．
【分析】（1）取AD中点O，由题意可证AD⊥平面POC，可证PC⊥AD；
（2）点D到平面PAM的距离即点D到平面PAC的距离，可证PO为三棱锥P﹣ACD的体高．设点D到平面PAC的距离为h，由VD﹣PAC=VP﹣ACD可得h的方程，解方程可得．
【解答】解：（1）取AD中点O，连结OP，OC，AC，依题意可知△PAD，△ACD均为正三角形，
∴OC⊥AD，OP⊥AD，又OC∩OP=O，OC⊂平面POC，OP⊂平面POC，
∴AD⊥平面POC，又PC⊂平面POC，∴PC⊥AD．
（2）点D到平面PAM的距离即点D到平面PAC的距离，
由（1）可知PO⊥AD，又平面PAD⊥平面ABCD，
平面PAD∩平面ABCD=AD，PO⊂平面PAD，
∴PO⊥平面ABCD，即PO为三棱锥P﹣ACD的体高．
在Rt△POC中，，，
在△PAC中，PA=AC=2，，边PC上的高AM=，
∴△PAC的面积，
设点D到平面PAC的距离为h，由VD﹣PAC=VP﹣ACD得，
又，∴，
解得，∴点D到平面PAM的距离为．

【点评】本题考查点线面间的距离计算，涉及棱锥的结构特征以及垂直关系的证明和应用，属中档题．
　
19．已知等比数列{an}的公比q＞1，a1=2且a1，a2，a3﹣8成等差数列．数列{bn}的前n项和为Sn，且Sn=n2﹣8n．
（Ⅰ）分别求出数列{an}和数列{bn}的通项公式；
（Ⅱ）设cn=，若cn≤m，对于∀n∈N*恒成立，求实数m的最小值．
【考点】数列的求和；等比数列的前n项和．
【专题】等差数列与等比数列．
【分析】（I）利用等差数列与等比数列的通项公式可得an，再利用递推式可得bn．
（II），由cn≤m，对于∀n∈N*恒成立，即m≥cn的最大值，作差cn+1﹣cn对n分类讨论即可得出．
【解答】（Ⅰ）解：∵a1=2且a1，a2，a3﹣8成等差数列，
∴2a2=a1+a3﹣8，
∴，
化为q2﹣2q﹣3=0，
∴q1=3，q2=﹣1，
∵q＞1，∴q=3，
∴，
当n=1时，．
当n≥2时，，
当n=1时，2×1﹣9=b1满足上式，
∴．
（Ⅱ），
若cn≤m，对于∀n∈N*恒成立，
即m≥cn的最大值，
，
当cn+1=cn时，即n=5时，c5=c6，
当cn+1＞cn时，即n＜5，n∈N*时，c1＜c2＜c3＜c4＜c5，
当cn+1＜cn时，即n＞5，n∈N*时，c6＞c7＞c8＞c9＞…，
∴cn的最大值为，即．
∴m的最小值为．
【点评】本题考查了等差数列与等比数列的通项公式、递推式的应用、数列的单调性，考查了分类讨论思想方法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．
　
20．如图，直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，D，E分别是AB，BB1的中点，AA1=AC=CB=．
（1）证明：BC1∥平面A1CD；
（2）求异面直线BC1和A1D所成角的大小；
（3）当AB=时，求三棱锥C﹣A1DE的体积．

【考点】棱柱、棱锥、棱台的体积；异面直线及其所成的角．
【专题】空间位置关系与距离．
【分析】（1）连接AC1与A1C相交于点F，连接DF，利用矩形的性质、三角形中位线定理可得：DF∥BC1，再利用线面平行的判定定理即可证明．
（2）由（1）可得∠A1DF或其补角为异面直线BC1和A1D所成角．不妨取AB=2，在△A1DF中，由余弦定理即可得出．
（3）利用面面垂直的性质定理可得：CD⊥平面ABB1A1，利用=﹣S△BDE﹣﹣可得，再利用三棱锥C﹣A1DE的体积V=即可得出．
【解答】（1）证明：连接AC1与A1C相交于点F，连接DF，
由矩形ACC1A1可得点F是AC1的中点，又D是AB的中点，
∴DF∥BC1，
∵BC1⊄平面A1CD，DF⊂平面A1CD，
∴BC1∥平面A1CD；
（2）解：由（1）可得∠A1DF或其补角为异面直线BC1和A1D所成角．不妨取AB=2，
═==1，
A1D===，
=1．
在△A1DF中，由余弦定理可得：cos∠A1DF==，
∠A1DF∈（0，π），
∴∠A1DF=，
∴异面直线BC1和A1D所成角的大小；
（3）解：∵AC=BC，D为AB的中点，
∴CD⊥AB，
∵平面ABB1A1∩平面ABC=AB，
∴CD⊥平面ABB1A1，
CD==．
=﹣S△BDE﹣﹣
=﹣﹣﹣=，
∴三棱锥C﹣A1DE的体积V===1．

【点评】本题考查了直三棱柱的性质、矩形的性质、三角形中位线定理、线面平行的判定定理、异面直线所成角、余弦定理、勾股定理、线面面面垂直的性质定理、三棱锥的体积计算公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．
　
21．已知f（x）=xlnx，g（x）=，直线l：y=（k﹣3）x﹣k+2
（1）函数f（x）在x=e处的切线与直线l平行，求实数k的值
（2）若至少存在一个x0∈[1，e]使f（x0）＜g（x0）成立，求实数a的取值范围
（3）设k∈Z，当x＞1时f（x）的图象恒在直线l的上方，求k的最大值．
【考点】导数在最大值、最小值问题中的应用；利用导数求闭区间上函数的最值；利用导数研究曲线上某点切线方程．
【专题】导数的综合应用．
【分析】（1）先求导，根据导数的几何意义得到关于k的方程解得即可．
（2）由于存在x0∈[1，e]，使f（x0）＜g（x0），则kx0＞2lnx0⇒a＞，只需要k大于h（x）=的最小值即可．
（3）分离参数，得到k＜，构造函数，求函数的最小值即可．
【解答】解：（1）∵f′（x）=1+lnx，
∴f′（e）=1+lne=k﹣3
∴k=5，
（2）由于存在x0∈[1，e]，使f（x0）＜g（x0），
则ax02＞x0lnx0，
∴a＞
设h（x）=
则h′（x）=，
当x∈[1，e]时，h′（x）≥0（仅当x=e时取等号）
∴h（x）在[1，e]上单调递增，
∴h（x）min=h（1）=0，因此a＞0．
（3）由题意xlnx＞（k﹣3）x﹣k+2在x＞1时恒成立
即k＜，
设F（x）=，
∴F′（x）=，
令m（x）=x﹣lnx﹣2，则m′（x）=1﹣=＞0在x＞1时恒成立
所以m（x）在（1，+∞）上单调递增，且m（3）=1﹣ln3＜0，m（4）=2﹣ln4＞0，
所以在（1，+∞）上存在唯一实数x0（x0∈（3，4））使m（x）=0
当1＜x＜x0时m（x）＜0即F′（x）＜0，
当x＞＜x0时m（x）＞0即F′（x）＞0，
所以F（x）在（1，x0）上单调递减，在（x0，+∞）上单调递增，
F（x）min=F（x0）===x0+2∈（5，6）
故k＜x0+2又k∈Z，所以k的最大值为5
【点评】本题考查导数在研究函数的单调性、函数恒成立的问题，考查等价转化的思想方法以及分析问题的能力，属于难题．
　
选做题1
22．如图，⊙O的直径AB的延长线与弦CD的延长线相交于点P，E为⊙O上一点，AE=AC，DE交AB于点F，且AB=2BP=4，
（1）求PF的长度．
（2）若圆F与圆O内切，直线PT与圆F切于点T，求线段PT的长度．

【考点】圆的切线的判定定理的证明．
【专题】计算题．
【分析】（1）连接OC，OD，OE，由同弧对应的圆周角与圆心角之间的关系，结合题中条件弧长AE等于弧长AC可得∠CDE=∠AOC，从而得到△PFD∽△PCO，最后再结合割线定理即可求得PF的长度；
（2）根据圆F与圆O内切，求得圆F的半径为r，由PT为圆F的切线结合割线定理即可求得线段PT的长度．
【解答】解：（1）连接OC，OD，OE，由同弧对应的圆周角与圆心角之间的关系
结合题中条件弧长AE等于弧长AC可得∠CDE=∠AOC，
又∠CDE=∠P+∠PFD，∠AOC=∠P+∠OCP，
从而∠PFD=∠OCP，故△PFD∽△PCO，∴
由割线定理知PC•PD=PA•PB=12，故．

（2）若圆F与圆O内切，设圆F的半径为r，因为OF=2﹣r=1即r=1
所以OB是圆F的直径，且过P点圆F的切线为PT
则PT2=PB•PO=2×4=8，即

【点评】本小题主要考查圆的切线的判定定理的证明、同弧对应的圆周角与圆心角之间的关系、割线定理等基础知识，考查运算求解能力转化思想．属于基础题．
　
选做题2
23．（2012•邯郸一模）选修4﹣5：不等式选讲
已知函数f（x）=log2（|x﹣1|+|x+2|﹣a）．
（Ⅰ）当a=7时，求函数f（x）的定义域；
（Ⅱ）若关于x的不等式f（x）≥3的解集是R，求实数a的取值范围．
【考点】指、对数不等式的解法；对数函数图象与性质的综合应用．
【专题】计算题；压轴题．
【分析】（Ⅰ）由题意可得，|x﹣1|+|x+2|＞7，故有：，或，或，把各个不等式组的解集取并集，即得所求．
（Ⅱ）由不等式可得|x﹣1|+|x+2|≥a+8恒成立，再由|x﹣1|+|x+2|的最小值等于3，故有a+8≤3，由此求得实数a的取值范围．
【解答】解：（Ⅰ）由题设知：|x﹣1|+|x+2|＞7，
不等式的解集是以下不等式组解集的并集：，或，或…（3分）
解得函数f（x）的定义域为（﹣∞，﹣4）∪（3，+∞）； …（5分）
（Ⅱ）不等式f（x）≥3，即|x﹣1|+|x+2|≥a+8，
∵x∈R时，恒有|x﹣1|+|x+2|≥|（x﹣1）﹣（x+2）|=3，…（8分）
∵不等式|x﹣1|+|x+2|≥a+8解集是R，
∴a+8≤3，
∴a的取值范围是（﹣∞，﹣5]． …（10分）
【点评】本题主要考查绝对值不等式的解法，函数的恒成立问题，体现了分类讨论的数学思想，属于中档题．