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河北省衡水中学2017届高三（上）五调数学试卷（解析版）（文科）
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这是一份河北省衡水中学2017届高三（上）五调数学试卷（解析版）（文科），共22页。试卷主要包含了选择题，填空题已知函数f则a= ．，解答题等内容，欢迎下载使用。
2016-2017学年河北省衡水中学高三（上）五调数学试卷（文科）
一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1．已知集合A={x|2＜x＜4}，B={x|（x﹣1）（x﹣3）＜0}，则A∩B=（ ）
A．（1，3） B．（1，4） C．（2，3） D．（2，4）
2．已知Z=（i为虚数单位），则Z的共轭复数在复平面内对应的点位于（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
3．若sin=，则cosα=（ ）
A．﹣ B．﹣ C． D．
4．若向量，满足，，则•=（ ）
A．1 B．2 C．3 D．5
5．要得到函数y=sin（4x﹣）的图象，只需将函数y=sin4x的图象（ ）
A．向左平移单位 B．向右平移单位
C．向左平移单位 D．向右平移单位
6．执行如图所示的程序框图，输出的结果是（ ）
A．13 B．11 C．9 D．7
7．已知P（x，y）为平面区域内的任意一点，当该区域的面积为3时，z=2x﹣y的最大值是（ ）
A．6 B．3 C．2 D．1
8．已知实数a＜0，函数，若f（1﹣a）≥f（1+a），则实数a的取值范围是（ ）
A．（﹣∞，﹣2] B．[﹣2，﹣1] C．[﹣1，0） D．（﹣∞，0）
9．《九章算术》是我国数学史上堪与欧几里得《几何原本》相媲美的数学名著．其第五卷《商功》中有如下问题：“今有圆堢壔，周四丈八尺，高一丈一尺，问积几何？”这里所说的圆堢壔就是圆柱体，其底面周长是4丈8尺，高1丈1尺，问它的体积是多少？若π取3，估算该圆堢壔的体积为（ ）
A．1998立方尺 B．2012立方尺 C．2112立方尺 D．2324立方尺
10．一个几何体的三视图及尺寸如图所示，则该几何体的体积为（ ）
A．24 B．30 C．48 D．72
11．若实数数列：﹣1，a1，a2，a3，﹣81成等比数列，则圆锥曲线x2+=1的离心率是（ ）
A．或 B．或 C． D．
12．设函数y=f（x）的图象与y=2x+a的图象关于直线y=x对称，且f（2）+f（4）=﹣1，则a=（ ）
A．﹣1 B．1 C．2 D．4
二、填空题已知函数f（x）=ax3﹣2x的图象过点（﹣1，4）则a= ．
14．已知抛物线C：y2=4x，直线l与抛物线C交于A，B两点，若线段AB的中点坐标为（2，2），则直线l的方程为 ．
15．若log4（3a+4b）=log2，则a+b的最小值是 ．
16．数列{an}满足（an+1﹣1）（1﹣an）=an，a8=2，则S2017= ．
三、解答题（本大题共5小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）
17．（12分）在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c， asinB+bcosA=c．
（Ⅰ）求B；
（Ⅱ）若a=2c，S△ABC=2，求b．
18．（12分）已知等差数列{an}的前三项为a﹣1，4，2a，记前n项和为Sn．
（Ⅰ）设Sk=2550，求a和k的值；
（Ⅱ）设bn=，求b3+b7+b11+…+b4n﹣1的值．
19．（12分）如图，在四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD为菱形，∠BAD=60°，PA=PD=AD=2，点M在线段PC上，且PM=2MC，N为AD的中点．
（1）求证：AD⊥平面PNB；
（2）若平面PAD⊥平面ABCD，求三棱锥P﹣NBM的体积．
20．（12分）已知抛物线C1：y2=4x的焦点F也是椭圆的一个焦点，C1与C2的公共弦长为，过点F的直线l与C1相交于A，B两点，与C2相交于C，D两点，且与同向．
（1）求C2的方程；
（2）若|AC|=|BD|，求直线l的斜率．
21．（12分）设函数f（x）=emx+x2﹣mx．
（1）讨论f（x）的单调性；
（2）若对于任意x1，x2∈[﹣1，1]，都有f（x1）﹣f（x2）≤e﹣1，求m的取值范围．
[选修4-4：坐标系与参数方程]
22．（10分）已知曲线C的极坐标方程是ρ=2，以极点为原点，极轴为x轴的正半轴建立平面直角坐标系，直线L的参数方程为（t为参数）
（1）写出直线L的普通方程与Q曲线C的直角坐标方程；
（2）设曲线C经过伸缩变换得到曲线C′，设M（x，y）为C′上任意一点，求x2﹣xy+2y2的最小值，并求相应的点M的坐标．
[选修4-5：不等式选讲]
23．已知实数a＞0，b＞0，函数f（x）=|x﹣a|﹣|x+b|的最大值为3．
（I） 求a+b的值；
（Ⅱ）设函数g（x）=﹣x2﹣ax﹣b，若对于∀x≥a均有g（x）＜f（x），求a的取值范围．
2016-2017学年河北省衡水中学高三（上）五调数学试卷（文科）
参考答案与试题解析
一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1．已知集合A={x|2＜x＜4}，B={x|（x﹣1）（x﹣3）＜0}，则A∩B=（ ）
A．（1，3） B．（1，4） C．（2，3） D．（2，4）
【考点】交集及其运算．
【分析】求出集合B，然后求解集合的交集．
【解答】解：B={x|（x﹣1）（x﹣3）＜0}={x|1＜x＜3}，A={x|2＜x＜4}，
∴A∩B={x|2＜x＜3}=（2，3）．
故选：C．
【点评】本题考查集合的交集的求法，考查计算能力．
2．已知Z=（i为虚数单位），则Z的共轭复数在复平面内对应的点位于（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
【考点】复数代数形式的乘除运算．
【分析】把已知的等式变形，然后直接利用复数代数形式的乘除运算化简，求出，得到其坐标得答案．
【解答】解：∵Z=（i为虚数单位），
∴=1﹣i，对应的点为（1，﹣1）在第四象限．
故选：D．
【点评】本题考查了复数代数形式的乘除运算，考查了复数的代数表示法及其几何意义，是基础题．
3．若sin=，则cosα=（ ）
A．﹣ B．﹣ C． D．
【考点】二倍角的余弦．
【分析】由二倍角的余弦公式可得cosα=1﹣2sin2，代入已知化简即可．
【解答】解：由二倍角的余弦公式可得cosa=1﹣2sin2
=1﹣2×=1﹣=
故选C
【点评】本题考查二倍角的余弦公式，把α看做的二倍角是解决问题的关键，属基础题．
4．若向量，满足，，则•=（ ）
A．1 B．2 C．3 D．5
【考点】平面向量数量积的运算．
【分析】通过将、两边平方，利用||2=，相减即得结论．
【解答】解：∵，，
∴（+）2=10，（﹣）2=6，
两者相减得：4•=4，
∴•=1，
故选：A．
【点评】本题考查向量数量积运算，注意解题方法的积累，属于基础题．
5．要得到函数y=sin（4x﹣）的图象，只需将函数y=sin4x的图象（ ）
A．向左平移单位 B．向右平移单位
C．向左平移单位 D．向右平移单位
【考点】函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换．
【分析】直接利用三角函数的平移原则推出结果即可．
【解答】解：因为函数y=sin（4x﹣）=sin[4（x﹣）]，
要得到函数y=sin（4x﹣）的图象，只需将函数y=sin4x的图象向右平移单位．
故选：B．
【点评】本题考查三角函数的图象的平移，值域平移变换中x的系数是易错点．
6．执行如图所示的程序框图，输出的结果是（ ）
A．13 B．11 C．9 D．7
【考点】程序框图．
【分析】执行程序框图，依次写出每次循环得到的S，i的值，满足条件S＜1，退出循环，输出i的值．
【解答】解：执行程序框图，有
S=2+lg＞1，i=3
S=2+lg+lg＞1，i=5
S=2+lg+lg+lg＞1，i=7
S=2+lg+lg+lg+lg＞1，i=9
S=2+lg+lg+lg+lg+lg＜1，
退出循环，输出i的值为9．
故选C．
【点评】本题主要考查了程序框图和算法，正确理解循环结构的功能是解题的关键，属于基本知识的考查．
7．已知P（x，y）为平面区域内的任意一点，当该区域的面积为3时，z=2x﹣y的最大值是（ ）
A．6 B．3 C．2 D．1
【考点】简单线性规划．
【分析】由约束条件作出可行域，求出使可行域面积为3的a值，化目标函数为直线方程的斜截式，数形结合可得最优解，求出最优解的坐标，代入目标函数得答案．
【解答】解：由作出可行域如图，
由图可得A（a，a），D（a，a），B（a+1，a+1），C（a+1，﹣a﹣1）
由该区域的面积为3时，×1=3，得a=1．
∴A（1，1），C（2，﹣2）
化目标函数z=2x﹣y为y=2x﹣z，
∴当y=2x﹣z过C点时，z最大，等于2×2﹣（﹣2）=6．
故选：A．
【点评】本题考查了简单的线性规划，考查了数形结合的解题思想方法，是中档题．
8．已知实数a＜0，函数，若f（1﹣a）≥f（1+a），则实数a的取值范围是（ ）
A．（﹣∞，﹣2] B．[﹣2，﹣1] C．[﹣1，0） D．（﹣∞，0）
【考点】函数的值．
【分析】根据条件判断1﹣a和1+a的范围，结合分段函数的表达式进行转化求解即可．
【解答】解：∵a＜0，则1﹣a＞1，1+a＜1，
则f（1﹣a）≥f（1+a）等价为﹣（1﹣a）≥（1+a）2+2a，
即a2+3a+2≤0，
得﹣2≤a≤﹣1，
即实数a的取值范围是[﹣2，﹣1]，
故选：B
【点评】本题主要考查不等式的求解，根据分段函数的表达式判断变量1﹣a和1+a的范围是解决本题的关键．
9．《九章算术》是我国数学史上堪与欧几里得《几何原本》相媲美的数学名著．其第五卷《商功》中有如下问题：“今有圆堢壔，周四丈八尺，高一丈一尺，问积几何？”这里所说的圆堢壔就是圆柱体，其底面周长是4丈8尺，高1丈1尺，问它的体积是多少？若π取3，估算该圆堢壔的体积为（ ）
A．1998立方尺 B．2012立方尺 C．2112立方尺 D．2324立方尺
【考点】棱柱、棱锥、棱台的体积．
【分析】根据周长求出圆堢壔的底面半径，代入圆柱的体积公式计算．
【解答】解：设圆柱形圆堢壔的底面半径为r，则由题意得2πr=48，
∴r=≈8尺，又圆堢壔的高h=11尺，
∴圆堢壔的体积V=πr2h=π×64×11≈2112立方尺．
故选：C．
【点评】本题考查了圆柱的体积计算，属于基础题．
10．一个几何体的三视图及尺寸如图所示，则该几何体的体积为（ ）
A．24 B．30 C．48 D．72
【考点】由三视图求面积、体积．
【分析】由已知中三视图可得该几何体为一个以俯视图为底面的三棱锥，求出底面积和高后，代入锥体体积公式，可得答案．
【解答】解：由已知中三视图可得该几何体为一个以俯视图为底面的三棱锥，
其底面面积S=×6×6=18，其高h==4，
故该几何体的体积V==24，
故选：A．
【点评】本题考查的知识点是由三视图，求体积，其中根据已知分析出几何体的形状是解答的关键．
11．若实数数列：﹣1，a1，a2，a3，﹣81成等比数列，则圆锥曲线x2+=1的离心率是（ ）
A．或 B．或 C． D．
【考点】双曲线的简单性质；等比数列的通项公式．
【分析】利用等比数列求出a2，然后代入曲线方程，求解双曲线的离心率即可．
【解答】解：因为﹣1，a1，a2，a3，﹣81成等比数列，所以a22=﹣1×（﹣81）=81，a2=﹣9（等比数列的奇数项同号），所以圆锥曲线的方程为x2﹣=1，其中a=1，b=3，c==，离心率为e==，
故选：D．
【点评】本题考查双曲线的简单性质的应用，等比数列的应用，考查计算能力．
12．设函数y=f（x）的图象与y=2x+a的图象关于直线y=x对称，且f（2）+f（4）=﹣1，则a=（ ）
A．﹣1 B．1 C．2 D．4
【考点】函数的图象．
【分析】求出函数的解析式，利用由条件列出方程求解即可．
【解答】解：函数y=f（x）的图象与y=2x+a的图象关于直线y=x对称，
可得f（x）=﹣a+log2x，
由f（2）+f（4）=1，
可得：﹣a+log22﹣a+log24=﹣1，
解得a=2．
故选C．
【点评】本题考查函数的解析式的应用，函数值的求法，考查计算能力．
二、填空题（2015•新课标Ⅱ）已知函数f（x）=ax3﹣2x的图象过点（﹣1，4）则a= ﹣2 ．
【考点】函数解析式的求解及常用方法．
【分析】f（x）是图象过点（﹣1，4），从而该点坐标满足函数f（x）解析式，从而将点（﹣1，4）带入函数f（x）解析式即可求出a．
【解答】解：根据条件得：4=﹣a+2；
∴a=﹣2．
故答案为：﹣2．
【点评】考查函数图象上的点的坐标和函数解析式的关系，考查学生的计算能力，比较基础．
14．已知抛物线C：y2=4x，直线l与抛物线C交于A，B两点，若线段AB的中点坐标为（2，2），则直线l的方程为 x﹣y=0 ．
【考点】抛物线的简单性质．
【分析】设A（x1，y1），B（x2，y2），则y12=4x1，y22=4x2，两式相减，可求直线AB的斜率，进而可求直线AB的方程
【解答】解：设A（x1，y1），B（x2，y2），
由中点坐标公式可得，y1+y2=4，
则y12=4x1，y22=4x2，
两式相减可得（y1﹣y2）（y1+y2）=4（x1﹣x2），
∴kAB=1，
∴直线AB的方程为y﹣2=1×（x﹣2）即x﹣y=0．
故答案为：x﹣y=0．
【点评】本题考查直线与抛物线的位置关系的应用，考查抛物线的性质，考查运算求解能力，解题时要认真审题，注意韦达定理的灵活运用．属于基础题．
15．若log4（3a+4b）=log2，则a+b的最小值是 7+4 ．
【考点】基本不等式．
【分析】log4（3a+4b）=log2，可得3a+4b=ab，a，b＞0.＞0，解得a＞4．于是a+b=a+=+7，再利用基本不等式的性质即可得出．
【解答】解：∵log4（3a+4b）=log2，
∴=，
∴，
∴3a+4b=ab，a，b＞0．
∴＞0，解得a＞4．
a+b=a+=+7≥7+=，当且仅当a=4+2时取等号．
∴a+b的最小值是7+4．
故答案为：7+4．
【点评】本题考查了对数的运算性质、基本不等式的性质，考查了计算能力，属于基础题．
16．数列{an}满足（an+1﹣1）（1﹣an）=an，a8=2，则S2017= ．
【考点】数列的求和．
【分析】（an+1﹣1）（1﹣an）=an，a8=2，∴（2﹣1）（1﹣a7）=a7，解得a7=，同理可得a6=﹣1，a5=2，…，a1=．可得an+3=an．S2017=a1+672（a6+a7+a8）．
【解答】解：∵（an+1﹣1）（1﹣an）=an，a8=2，
∴（2﹣1）（1﹣a7）=a7，解得a7=，
同理可得a6=﹣1，a5=2，…，a1=．∴an+3=an．
则S2017=a1+672（a6+a7+a8）=+672×=．
故答案为：．
【点评】本题考查了数列递推关系、数列的周期性、数列求和，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．
三、解答题（本大题共5小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）
17．（12分）（2016•唐山三模）在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c， asinB+bcosA=c．
（Ⅰ）求B；
（Ⅱ）若a=2c，S△ABC=2，求b．
【考点】正弦定理；余弦定理．
【分析】（Ⅰ）由正弦定理化简已知的式子，由内角的范围和特殊角的三角函数值求出B；
（Ⅱ）根据条件和三角形的面积公式求出c、a，再由余弦定理求出b．
【解答】解：（Ⅰ）由题意得， asinB+bcosA=c，
由正弦定理得sinAsinB+sinBcosA=sinC
所以sinAsinB+sinBcosA=sin（A+B），
即sinAsinB=sinAcosB，
由sinA≠0得， sinB=cosB，则tanB=，
又0＜B＜π，所以B=30°．…（6分）
（Ⅱ）由（Ⅰ）和a=2c得，
S△ABC=acsinB=c2=2，解得c=2，a=4．
由余弦定理得b2=a2+c2﹣ac=28，
所以b=2．…（12分）
【点评】本题考查正弦定理和余弦定理的应用，以及三角形的面积公式，考查化简、计算能力，属于中档题．
18．（12分）（2015春•温州校级期中）已知等差数列{an}的前三项为a﹣1，4，2a，记前n项和为Sn．
（Ⅰ）设Sk=2550，求a和k的值；
（Ⅱ）设bn=，求b3+b7+b11+…+b4n﹣1的值．
【考点】数列的求和．
【分析】（Ⅰ）由等差数列的前三项可求该数列的首项a1、公差d，再由等差数列的前n 项和公式算出Sn，进一步得Sk=2550，解出k的值
（Ⅱ）由（Ⅰ）可知数列{bn}为等差数列，利用等差数列的前n项公式求值．
【解答】解：（Ⅰ）由已知得a1=a﹣1，a2=4，a3=2a，又a1+a3=2a2，
∴（a﹣1）+2a=8，即a=3．（2分）
∴a1=2，公差d=a2﹣a1=2．
由Sk=ka1+，得（4分）
2k+×2=2550
即k2+k﹣2550=0．解得k=50或k=﹣51（舍去）．
∴a=3，k=50．（6分）
（Ⅱ）由Sn=na1+，得
Sn=2n+×2=n2+n（8分）
∴bn==n+1（9分）
∴{bn}是等差数列．
则b3+b7+b11+…+b4n﹣1=（3+1）+（7+1）+（11+1）+…+（4n﹣1+1）
=（3+7+11+…+4n﹣1）+n
=
=+n（11分）
∴b3+b7+b11+…+b4n﹣1=2n2+2n（12分）
【点评】本题主要考查等差数列的通项公式及前n和公式，考查基本运算．
19．（12分）（2015•南宁二模）如图，在四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD为菱形，∠BAD=60°，PA=PD=AD=2，点M在线段PC上，且PM=2MC，N为AD的中点．
（1）求证：AD⊥平面PNB；
（2）若平面PAD⊥平面ABCD，求三棱锥P﹣NBM的体积．
【考点】棱柱、棱锥、棱台的体积；直线与平面垂直的判定．
【分析】（1）由N为AD的中点及PA=PD可得PN⊥AD，在底面菱形中结合已知条件证得AD⊥BN，然后由线面垂直的判断得到AD⊥平面PNB；
（2）由平面PAD⊥平面ABCD结合面面垂直的性质得到PN⊥NB，再由已知求得PN=NB=，把三棱锥P﹣NBM的体积转化为倍的三棱锥C﹣PNB的体积求解．
【解答】（1）证明：如图，
∵PA=PD，N为AD的中点，∴PN⊥AD
∵底面ABCD为菱形，∠BAD=60°，∴BN⊥AD
∵PN∩BN=N，∴AD⊥平面PNB
（2）解：∵平面PAD⊥平面ABCD，平面PAD∩平面ABCD=AD，PN⊥AD，
∴PN⊥平面ABCD，
∵PN⊥NB，PA=PD=AD=2，
∴PN=NB=，点到P平面ABCD的距离为．
∴．
∵AD⊥平面PNB，AD∥BC，∴BC⊥平面PNB．
∵PM=2MC，∴ =．
【点评】本小题主要考查空间线面关系、几何体的体积等知识，考查数形结合、化归与转化的数学思想方法，以及空间想象能力、推理论证能力和运算求解能力，是中档题．
20．（12分）（2016秋•桃城区校级月考）已知抛物线C1：y2=4x的焦点F也是椭圆的一个焦点，C1与C2的公共弦长为，过点F的直线l与C1相交于A，B两点，与C2相交于C，D两点，且与同向．
（1）求C2的方程；
（2）若|AC|=|BD|，求直线l的斜率．
【考点】统筹图的关键路求法及其重要性；直线与椭圆的位置关系．
【分析】（1）求出抛物线的焦点坐标，利用已知条件列出方程组，求出椭圆的几何量即可得到椭圆方程．
（2）设A（x1，y1），B（x2，y2），C（x3，y3），D（x4，y4），AB=CD，设直线l的斜率为k，则l的方程为y=k（x﹣1），联立，利用韦达定理求出AB，由求出CD，然后求解直线的斜率．
【解答】（本题满分12分）
解：（1）由知其焦点F的坐标为（1，0），
因为F也是椭圆C2的一个焦点，所以a2﹣b2①；
又C1与C2的公共弦长为与C2都关于x轴对称，
且C1的方程为，由此易知C1与C2的公共点的坐标为，
∴②，
联立①②得a2=9，b2=8，
故C2的方程为．
（2）如图，设A（x1，y1），B（x2，y2），C（x3，y3），D（x4，y4），
因与同向，且|AC|=|BD|知AB=CD，
设直线l的斜率为k，则l的方程为y=k（x﹣1），
由得k2x2﹣（2k2+4）x+k2=0，由x1，x2是这个方程的两根，
，从而，
由得（8+9k2）x2﹣18k2x+9k2﹣72=0，而x3，x4是这个方程的两根，
，从而，
由AB=CD得：3k2=8，解得，即直线l的斜率为．
【点评】本题考查抛物线与椭圆的位置关系，直线与椭圆以及抛物线的位置关系的应用，考查转化思想以及计算能力．
21．（12分）（2016秋•桃城区校级月考）设函数f（x）=emx+x2﹣mx．
（1）讨论f（x）的单调性；
（2）若对于任意x1，x2∈[﹣1，1]，都有f（x1）﹣f（x2）≤e﹣1，求m的取值范围．
【考点】利用导数研究函数的单调性；导数在最大值、最小值问题中的应用．
【分析】（1）求出函数的导数，通过m的范围，判断导函数的符号，推出函数的单调区间．
（2）利用函数的单调性，判断函数的极值，转化对于任意x1，x2∈[﹣1，1]，都有f（x1）﹣f（x2）≤e﹣1，得到不等式组，即可求解m的范围．
【解答】（本题满分12分）
解：（1）函数f（x）=emx+x2﹣mx，可得f′（x）=m（emx﹣1）+2x．
若m≥0，则当x∈（﹣∞，0）时，emx﹣1≤0，f′（x）＜0；
当x∈（0，+∞）时，emx﹣1≥0，f′（x）＞0．
若m＜0，则当x∈（﹣∞，0）时，emx﹣1＞0，f′（x）＜0；
当x∈（0，+∞）时，emx﹣1＜0，f′（x）＞0．
所以，f（x）在（﹣∞，0）时单调递减，在（0，+∞）单调递增．
（2）由（1）知，对任意的m，f（x）在[﹣1，0]单调递减，在[0，1]单调递增，故f（x）在x=0处取得最小值．
所以对于任意x1，x2∈[﹣1，1]，|f（x1）﹣f（x2）|≤e﹣1的要条件是，
即，①
令g（x）=ex﹣x，则g（x）=ex﹣1，g（x）在（0，+∞）单调递增，在（﹣∞，0单调递减，不妨设g（x0）=e﹣1，因为，所以x0∈（﹣2，﹣1），
所以，综上，m的取值范围为[﹣1，1]．
【点评】本题考查导数与函数的单调性的判断单调区间的求法，考查分析问题解决问题的能力、转化思想以及分类讨论思想的应用．
[选修4-4：坐标系与参数方程]
22．（10分）（2016•洛阳模拟）已知曲线C的极坐标方程是ρ=2，以极点为原点，极轴为x轴的正半轴建立平面直角坐标系，直线L的参数方程为（t为参数）
（1）写出直线L的普通方程与Q曲线C的直角坐标方程；
（2）设曲线C经过伸缩变换得到曲线C′，设M（x，y）为C′上任意一点，求x2﹣xy+2y2的最小值，并求相应的点M的坐标．
【考点】椭圆的参数方程．
【分析】（1）直接消去参数t得直线l的普通方程，根据ρ2=x2+y2可得曲线C的直角坐标方程；
（2）先根据伸缩变换得到曲线C′的方程，然后设M（2cosθ，sinθ），则x=2cosθ，y=sinθ代入，根据三角函数的性质可求出所求．
【解答】解：（1）∵直线l的参数方程为（t为参数），
∴消去参数t得直线l的普通方程为，
∵ρ=2，
∴曲线C的直角坐标方程为x2+y2=4；
（2）∵曲线C：x2+y2=4经过伸缩变换得到曲线C'，
∴C′：，
设M（2cosθ，sinθ）则x=2cosθ，y=sinθ，
∴，
∴当θ=+kπ，k∈Z时，即M为（）或时的最小值为1．
【点评】本题主要考查了极坐标方程，参数方程化直角坐标方程，以及椭圆的参数方程在求最值上的应用和三角函数求出最值，同时考查了运算求解的能力，属于中档题．
[选修4-5：不等式选讲]
23．（2016•江西模拟）已知实数a＞0，b＞0，函数f（x）=|x﹣a|﹣|x+b|的最大值为3．
（I） 求a+b的值；
（Ⅱ）设函数g（x）=﹣x2﹣ax﹣b，若对于∀x≥a均有g（x）＜f（x），求a的取值范围．
【考点】绝对值不等式的解法；函数恒成立问题．
【分析】（Ⅰ）根据绝对值的性质求出f（x）的最大值是a+b，从而求出a+b的值即可；
（Ⅱ）根据a，b的范围，问题转化为x2+ax﹣a＞0在[a，+∞）恒成立，结合函数的单调性求出a的范围即可．
【解答】解：（Ⅰ）f（x）=|x﹣a|﹣|x+b|≤|x﹣a﹣x﹣b|=|a+b|=3，
∵a＞0，b＞0，∴a+b=3；
（Ⅱ）由（Ⅰ）得，0＜a＜3，0＜b＜3，
∴∀x≥a，x﹣a≥0，x+b＞0，
此时，f（x）=x﹣a﹣x﹣b=﹣3，
若对于∀x≥a均有g（x）＜f（x），
即x2+ax+b﹣3＞0在[a，+∞）恒成立，
即x2+ax﹣a＞0在[a，+∞）恒成立，
对称轴x=﹣＜0，
故只需a2+a2﹣a＞0即可，
解得：a＞，
故＜a＜3．
【点评】本题考查了绝对值的性质，考查绝对值不等式的解法以及函数恒成立问题，考查二次函数的性质，是一道中档题．
2016-2017学年河北省衡水中学高三（上）五调数学试卷（文科）
一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1．已知集合A={x|2＜x＜4}，B={x|（x﹣1）（x﹣3）＜0}，则A∩B=（ ）
A．（1，3） B．（1，4） C．（2，3） D．（2，4）
2．已知Z=（i为虚数单位），则Z的共轭复数在复平面内对应的点位于（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
3．若sin=，则cosα=（ ）
A．﹣ B．﹣ C． D．
4．若向量，满足，，则•=（ ）
A．1 B．2 C．3 D．5
5．要得到函数y=sin（4x﹣）的图象，只需将函数y=sin4x的图象（ ）
A．向左平移单位 B．向右平移单位
C．向左平移单位 D．向右平移单位
6．执行如图所示的程序框图，输出的结果是（ ）
A．13 B．11 C．9 D．7
7．已知P（x，y）为平面区域内的任意一点，当该区域的面积为3时，z=2x﹣y的最大值是（ ）
A．6 B．3 C．2 D．1
8．已知实数a＜0，函数，若f（1﹣a）≥f（1+a），则实数a的取值范围是（ ）
A．（﹣∞，﹣2] B．[﹣2，﹣1] C．[﹣1，0） D．（﹣∞，0）
9．《九章算术》是我国数学史上堪与欧几里得《几何原本》相媲美的数学名著．其第五卷《商功》中有如下问题：“今有圆堢壔，周四丈八尺，高一丈一尺，问积几何？”这里所说的圆堢壔就是圆柱体，其底面周长是4丈8尺，高1丈1尺，问它的体积是多少？若π取3，估算该圆堢壔的体积为（ ）
A．1998立方尺 B．2012立方尺 C．2112立方尺 D．2324立方尺
10．一个几何体的三视图及尺寸如图所示，则该几何体的体积为（ ）
A．24 B．30 C．48 D．72
11．若实数数列：﹣1，a1，a2，a3，﹣81成等比数列，则圆锥曲线x2+=1的离心率是（ ）
A．或 B．或 C． D．
12．设函数y=f（x）的图象与y=2x+a的图象关于直线y=x对称，且f（2）+f（4）=﹣1，则a=（ ）
A．﹣1 B．1 C．2 D．4
二、填空题已知函数f（x）=ax3﹣2x的图象过点（﹣1，4）则a= ．
14．已知抛物线C：y2=4x，直线l与抛物线C交于A，B两点，若线段AB的中点坐标为（2，2），则直线l的方程为 ．
15．若log4（3a+4b）=log2，则a+b的最小值是 ．
16．数列{an}满足（an+1﹣1）（1﹣an）=an，a8=2，则S2017= ．
三、解答题（本大题共5小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）
17．（12分）在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c， asinB+bcosA=c．
（Ⅰ）求B；
（Ⅱ）若a=2c，S△ABC=2，求b．
18．（12分）已知等差数列{an}的前三项为a﹣1，4，2a，记前n项和为Sn．
（Ⅰ）设Sk=2550，求a和k的值；
（Ⅱ）设bn=，求b3+b7+b11+…+b4n﹣1的值．
19．（12分）如图，在四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD为菱形，∠BAD=60°，PA=PD=AD=2，点M在线段PC上，且PM=2MC，N为AD的中点．
（1）求证：AD⊥平面PNB；
（2）若平面PAD⊥平面ABCD，求三棱锥P﹣NBM的体积．
20．（12分）已知抛物线C1：y2=4x的焦点F也是椭圆的一个焦点，C1与C2的公共弦长为，过点F的直线l与C1相交于A，B两点，与C2相交于C，D两点，且与同向．
（1）求C2的方程；
（2）若|AC|=|BD|，求直线l的斜率．
21．（12分）设函数f（x）=emx+x2﹣mx．
（1）讨论f（x）的单调性；
（2）若对于任意x1，x2∈[﹣1，1]，都有f（x1）﹣f（x2）≤e﹣1，求m的取值范围．
[选修4-4：坐标系与参数方程]
22．（10分）已知曲线C的极坐标方程是ρ=2，以极点为原点，极轴为x轴的正半轴建立平面直角坐标系，直线L的参数方程为（t为参数）
（1）写出直线L的普通方程与Q曲线C的直角坐标方程；
（2）设曲线C经过伸缩变换得到曲线C′，设M（x，y）为C′上任意一点，求x2﹣xy+2y2的最小值，并求相应的点M的坐标．
[选修4-5：不等式选讲]
23．已知实数a＞0，b＞0，函数f（x）=|x﹣a|﹣|x+b|的最大值为3．
（I） 求a+b的值；
（Ⅱ）设函数g（x）=﹣x2﹣ax﹣b，若对于∀x≥a均有g（x）＜f（x），求a的取值范围．
2016-2017学年河北省衡水中学高三（上）五调数学试卷（文科）
参考答案与试题解析
一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1．已知集合A={x|2＜x＜4}，B={x|（x﹣1）（x﹣3）＜0}，则A∩B=（ ）
A．（1，3） B．（1，4） C．（2，3） D．（2，4）
【考点】交集及其运算．
【分析】求出集合B，然后求解集合的交集．
【解答】解：B={x|（x﹣1）（x﹣3）＜0}={x|1＜x＜3}，A={x|2＜x＜4}，
∴A∩B={x|2＜x＜3}=（2，3）．
故选：C．
【点评】本题考查集合的交集的求法，考查计算能力．
2．已知Z=（i为虚数单位），则Z的共轭复数在复平面内对应的点位于（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
【考点】复数代数形式的乘除运算．
【分析】把已知的等式变形，然后直接利用复数代数形式的乘除运算化简，求出，得到其坐标得答案．
【解答】解：∵Z=（i为虚数单位），
∴=1﹣i，对应的点为（1，﹣1）在第四象限．
故选：D．
【点评】本题考查了复数代数形式的乘除运算，考查了复数的代数表示法及其几何意义，是基础题．
3．若sin=，则cosα=（ ）
A．﹣ B．﹣ C． D．
【考点】二倍角的余弦．
【分析】由二倍角的余弦公式可得cosα=1﹣2sin2，代入已知化简即可．
【解答】解：由二倍角的余弦公式可得cosa=1﹣2sin2
=1﹣2×=1﹣=
故选C
【点评】本题考查二倍角的余弦公式，把α看做的二倍角是解决问题的关键，属基础题．
4．若向量，满足，，则•=（ ）
A．1 B．2 C．3 D．5
【考点】平面向量数量积的运算．
【分析】通过将、两边平方，利用||2=，相减即得结论．
【解答】解：∵，，
∴（+）2=10，（﹣）2=6，
两者相减得：4•=4，
∴•=1，
故选：A．
【点评】本题考查向量数量积运算，注意解题方法的积累，属于基础题．
5．要得到函数y=sin（4x﹣）的图象，只需将函数y=sin4x的图象（ ）
A．向左平移单位 B．向右平移单位
C．向左平移单位 D．向右平移单位
【考点】函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换．
【分析】直接利用三角函数的平移原则推出结果即可．
【解答】解：因为函数y=sin（4x﹣）=sin[4（x﹣）]，
要得到函数y=sin（4x﹣）的图象，只需将函数y=sin4x的图象向右平移单位．
故选：B．
【点评】本题考查三角函数的图象的平移，值域平移变换中x的系数是易错点．
6．执行如图所示的程序框图，输出的结果是（ ）
A．13 B．11 C．9 D．7
【考点】程序框图．
【分析】执行程序框图，依次写出每次循环得到的S，i的值，满足条件S＜1，退出循环，输出i的值．
【解答】解：执行程序框图，有
S=2+lg＞1，i=3
S=2+lg+lg＞1，i=5
S=2+lg+lg+lg＞1，i=7
S=2+lg+lg+lg+lg＞1，i=9
S=2+lg+lg+lg+lg+lg＜1，
退出循环，输出i的值为9．
故选C．
【点评】本题主要考查了程序框图和算法，正确理解循环结构的功能是解题的关键，属于基本知识的考查．
7．已知P（x，y）为平面区域内的任意一点，当该区域的面积为3时，z=2x﹣y的最大值是（ ）
A．6 B．3 C．2 D．1
【考点】简单线性规划．
【分析】由约束条件作出可行域，求出使可行域面积为3的a值，化目标函数为直线方程的斜截式，数形结合可得最优解，求出最优解的坐标，代入目标函数得答案．
【解答】解：由作出可行域如图，
由图可得A（a，a），D（a，a），B（a+1，a+1），C（a+1，﹣a﹣1）
由该区域的面积为3时，×1=3，得a=1．
∴A（1，1），C（2，﹣2）
化目标函数z=2x﹣y为y=2x﹣z，
∴当y=2x﹣z过C点时，z最大，等于2×2﹣（﹣2）=6．
故选：A．
【点评】本题考查了简单的线性规划，考查了数形结合的解题思想方法，是中档题．
8．已知实数a＜0，函数，若f（1﹣a）≥f（1+a），则实数a的取值范围是（ ）
A．（﹣∞，﹣2] B．[﹣2，﹣1] C．[﹣1，0） D．（﹣∞，0）
【考点】函数的值．
【分析】根据条件判断1﹣a和1+a的范围，结合分段函数的表达式进行转化求解即可．
【解答】解：∵a＜0，则1﹣a＞1，1+a＜1，
则f（1﹣a）≥f（1+a）等价为﹣（1﹣a）≥（1+a）2+2a，
即a2+3a+2≤0，
得﹣2≤a≤﹣1，
即实数a的取值范围是[﹣2，﹣1]，
故选：B
【点评】本题主要考查不等式的求解，根据分段函数的表达式判断变量1﹣a和1+a的范围是解决本题的关键．
9．《九章算术》是我国数学史上堪与欧几里得《几何原本》相媲美的数学名著．其第五卷《商功》中有如下问题：“今有圆堢壔，周四丈八尺，高一丈一尺，问积几何？”这里所说的圆堢壔就是圆柱体，其底面周长是4丈8尺，高1丈1尺，问它的体积是多少？若π取3，估算该圆堢壔的体积为（ ）
A．1998立方尺 B．2012立方尺 C．2112立方尺 D．2324立方尺
【考点】棱柱、棱锥、棱台的体积．
【分析】根据周长求出圆堢壔的底面半径，代入圆柱的体积公式计算．
【解答】解：设圆柱形圆堢壔的底面半径为r，则由题意得2πr=48，
∴r=≈8尺，又圆堢壔的高h=11尺，
∴圆堢壔的体积V=πr2h=π×64×11≈2112立方尺．
故选：C．
【点评】本题考查了圆柱的体积计算，属于基础题．
10．一个几何体的三视图及尺寸如图所示，则该几何体的体积为（ ）
A．24 B．30 C．48 D．72
【考点】由三视图求面积、体积．
【分析】由已知中三视图可得该几何体为一个以俯视图为底面的三棱锥，求出底面积和高后，代入锥体体积公式，可得答案．
【解答】解：由已知中三视图可得该几何体为一个以俯视图为底面的三棱锥，
其底面面积S=×6×6=18，其高h==4，
故该几何体的体积V==24，
故选：A．
【点评】本题考查的知识点是由三视图，求体积，其中根据已知分析出几何体的形状是解答的关键．
11．若实数数列：﹣1，a1，a2，a3，﹣81成等比数列，则圆锥曲线x2+=1的离心率是（ ）
A．或 B．或 C． D．
【考点】双曲线的简单性质；等比数列的通项公式．
【分析】利用等比数列求出a2，然后代入曲线方程，求解双曲线的离心率即可．
【解答】解：因为﹣1，a1，a2，a3，﹣81成等比数列，所以a22=﹣1×（﹣81）=81，a2=﹣9（等比数列的奇数项同号），所以圆锥曲线的方程为x2﹣=1，其中a=1，b=3，c==，离心率为e==，
故选：D．
【点评】本题考查双曲线的简单性质的应用，等比数列的应用，考查计算能力．
12．设函数y=f（x）的图象与y=2x+a的图象关于直线y=x对称，且f（2）+f（4）=﹣1，则a=（ ）
A．﹣1 B．1 C．2 D．4
【考点】函数的图象．
【分析】求出函数的解析式，利用由条件列出方程求解即可．
【解答】解：函数y=f（x）的图象与y=2x+a的图象关于直线y=x对称，
可得f（x）=﹣a+log2x，
由f（2）+f（4）=1，
可得：﹣a+log22﹣a+log24=﹣1，
解得a=2．
故选C．
【点评】本题考查函数的解析式的应用，函数值的求法，考查计算能力．
二、填空题（2015•新课标Ⅱ）已知函数f（x）=ax3﹣2x的图象过点（﹣1，4）则a= ﹣2 ．
【考点】函数解析式的求解及常用方法．
【分析】f（x）是图象过点（﹣1，4），从而该点坐标满足函数f（x）解析式，从而将点（﹣1，4）带入函数f（x）解析式即可求出a．
【解答】解：根据条件得：4=﹣a+2；
∴a=﹣2．
故答案为：﹣2．
【点评】考查函数图象上的点的坐标和函数解析式的关系，考查学生的计算能力，比较基础．
14．已知抛物线C：y2=4x，直线l与抛物线C交于A，B两点，若线段AB的中点坐标为（2，2），则直线l的方程为 x﹣y=0 ．
【考点】抛物线的简单性质．
【分析】设A（x1，y1），B（x2，y2），则y12=4x1，y22=4x2，两式相减，可求直线AB的斜率，进而可求直线AB的方程
【解答】解：设A（x1，y1），B（x2，y2），
由中点坐标公式可得，y1+y2=4，
则y12=4x1，y22=4x2，
两式相减可得（y1﹣y2）（y1+y2）=4（x1﹣x2），
∴kAB=1，
∴直线AB的方程为y﹣2=1×（x﹣2）即x﹣y=0．
故答案为：x﹣y=0．
【点评】本题考查直线与抛物线的位置关系的应用，考查抛物线的性质，考查运算求解能力，解题时要认真审题，注意韦达定理的灵活运用．属于基础题．
15．若log4（3a+4b）=log2，则a+b的最小值是 7+4 ．
【考点】基本不等式．
【分析】log4（3a+4b）=log2，可得3a+4b=ab，a，b＞0.＞0，解得a＞4．于是a+b=a+=+7，再利用基本不等式的性质即可得出．
【解答】解：∵log4（3a+4b）=log2，
∴=，
∴，
∴3a+4b=ab，a，b＞0．
∴＞0，解得a＞4．
a+b=a+=+7≥7+=，当且仅当a=4+2时取等号．
∴a+b的最小值是7+4．
故答案为：7+4．
【点评】本题考查了对数的运算性质、基本不等式的性质，考查了计算能力，属于基础题．
16．数列{an}满足（an+1﹣1）（1﹣an）=an，a8=2，则S2017= ．
【考点】数列的求和．
【分析】（an+1﹣1）（1﹣an）=an，a8=2，∴（2﹣1）（1﹣a7）=a7，解得a7=，同理可得a6=﹣1，a5=2，…，a1=．可得an+3=an．S2017=a1+672（a6+a7+a8）．
【解答】解：∵（an+1﹣1）（1﹣an）=an，a8=2，
∴（2﹣1）（1﹣a7）=a7，解得a7=，
同理可得a6=﹣1，a5=2，…，a1=．∴an+3=an．
则S2017=a1+672（a6+a7+a8）=+672×=．
故答案为：．
【点评】本题考查了数列递推关系、数列的周期性、数列求和，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．
三、解答题（本大题共5小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）
17．（12分）（2016•唐山三模）在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c， asinB+bcosA=c．
（Ⅰ）求B；
（Ⅱ）若a=2c，S△ABC=2，求b．
【考点】正弦定理；余弦定理．
【分析】（Ⅰ）由正弦定理化简已知的式子，由内角的范围和特殊角的三角函数值求出B；
（Ⅱ）根据条件和三角形的面积公式求出c、a，再由余弦定理求出b．
【解答】解：（Ⅰ）由题意得， asinB+bcosA=c，
由正弦定理得sinAsinB+sinBcosA=sinC
所以sinAsinB+sinBcosA=sin（A+B），
即sinAsinB=sinAcosB，
由sinA≠0得， sinB=cosB，则tanB=，
又0＜B＜π，所以B=30°．…（6分）
（Ⅱ）由（Ⅰ）和a=2c得，
S△ABC=acsinB=c2=2，解得c=2，a=4．
由余弦定理得b2=a2+c2﹣ac=28，
所以b=2．…（12分）
【点评】本题考查正弦定理和余弦定理的应用，以及三角形的面积公式，考查化简、计算能力，属于中档题．
18．（12分）（2015春•温州校级期中）已知等差数列{an}的前三项为a﹣1，4，2a，记前n项和为Sn．
（Ⅰ）设Sk=2550，求a和k的值；
（Ⅱ）设bn=，求b3+b7+b11+…+b4n﹣1的值．
【考点】数列的求和．
【分析】（Ⅰ）由等差数列的前三项可求该数列的首项a1、公差d，再由等差数列的前n 项和公式算出Sn，进一步得Sk=2550，解出k的值
（Ⅱ）由（Ⅰ）可知数列{bn}为等差数列，利用等差数列的前n项公式求值．
【解答】解：（Ⅰ）由已知得a1=a﹣1，a2=4，a3=2a，又a1+a3=2a2，
∴（a﹣1）+2a=8，即a=3．（2分）
∴a1=2，公差d=a2﹣a1=2．
由Sk=ka1+，得（4分）
2k+×2=2550
即k2+k﹣2550=0．解得k=50或k=﹣51（舍去）．
∴a=3，k=50．（6分）
（Ⅱ）由Sn=na1+，得
Sn=2n+×2=n2+n（8分）
∴bn==n+1（9分）
∴{bn}是等差数列．
则b3+b7+b11+…+b4n﹣1=（3+1）+（7+1）+（11+1）+…+（4n﹣1+1）
=（3+7+11+…+4n﹣1）+n
=
=+n（11分）
∴b3+b7+b11+…+b4n﹣1=2n2+2n（12分）
【点评】本题主要考查等差数列的通项公式及前n和公式，考查基本运算．
19．（12分）（2015•南宁二模）如图，在四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD为菱形，∠BAD=60°，PA=PD=AD=2，点M在线段PC上，且PM=2MC，N为AD的中点．
（1）求证：AD⊥平面PNB；
（2）若平面PAD⊥平面ABCD，求三棱锥P﹣NBM的体积．
【考点】棱柱、棱锥、棱台的体积；直线与平面垂直的判定．
【分析】（1）由N为AD的中点及PA=PD可得PN⊥AD，在底面菱形中结合已知条件证得AD⊥BN，然后由线面垂直的判断得到AD⊥平面PNB；
（2）由平面PAD⊥平面ABCD结合面面垂直的性质得到PN⊥NB，再由已知求得PN=NB=，把三棱锥P﹣NBM的体积转化为倍的三棱锥C﹣PNB的体积求解．
【解答】（1）证明：如图，
∵PA=PD，N为AD的中点，∴PN⊥AD
∵底面ABCD为菱形，∠BAD=60°，∴BN⊥AD
∵PN∩BN=N，∴AD⊥平面PNB
（2）解：∵平面PAD⊥平面ABCD，平面PAD∩平面ABCD=AD，PN⊥AD，
∴PN⊥平面ABCD，
∵PN⊥NB，PA=PD=AD=2，
∴PN=NB=，点到P平面ABCD的距离为．
∴．
∵AD⊥平面PNB，AD∥BC，∴BC⊥平面PNB．
∵PM=2MC，∴ =．
【点评】本小题主要考查空间线面关系、几何体的体积等知识，考查数形结合、化归与转化的数学思想方法，以及空间想象能力、推理论证能力和运算求解能力，是中档题．
20．（12分）（2016秋•桃城区校级月考）已知抛物线C1：y2=4x的焦点F也是椭圆的一个焦点，C1与C2的公共弦长为，过点F的直线l与C1相交于A，B两点，与C2相交于C，D两点，且与同向．
（1）求C2的方程；
（2）若|AC|=|BD|，求直线l的斜率．
【考点】统筹图的关键路求法及其重要性；直线与椭圆的位置关系．
【分析】（1）求出抛物线的焦点坐标，利用已知条件列出方程组，求出椭圆的几何量即可得到椭圆方程．
（2）设A（x1，y1），B（x2，y2），C（x3，y3），D（x4，y4），AB=CD，设直线l的斜率为k，则l的方程为y=k（x﹣1），联立，利用韦达定理求出AB，由求出CD，然后求解直线的斜率．
【解答】（本题满分12分）
解：（1）由知其焦点F的坐标为（1，0），
因为F也是椭圆C2的一个焦点，所以a2﹣b2①；
又C1与C2的公共弦长为与C2都关于x轴对称，
且C1的方程为，由此易知C1与C2的公共点的坐标为，
∴②，
联立①②得a2=9，b2=8，
故C2的方程为．
（2）如图，设A（x1，y1），B（x2，y2），C（x3，y3），D（x4，y4），
因与同向，且|AC|=|BD|知AB=CD，
设直线l的斜率为k，则l的方程为y=k（x﹣1），
由得k2x2﹣（2k2+4）x+k2=0，由x1，x2是这个方程的两根，
，从而，
由得（8+9k2）x2﹣18k2x+9k2﹣72=0，而x3，x4是这个方程的两根，
，从而，
由AB=CD得：3k2=8，解得，即直线l的斜率为．
【点评】本题考查抛物线与椭圆的位置关系，直线与椭圆以及抛物线的位置关系的应用，考查转化思想以及计算能力．
21．（12分）（2016秋•桃城区校级月考）设函数f（x）=emx+x2﹣mx．
（1）讨论f（x）的单调性；
（2）若对于任意x1，x2∈[﹣1，1]，都有f（x1）﹣f（x2）≤e﹣1，求m的取值范围．
【考点】利用导数研究函数的单调性；导数在最大值、最小值问题中的应用．
【分析】（1）求出函数的导数，通过m的范围，判断导函数的符号，推出函数的单调区间．
（2）利用函数的单调性，判断函数的极值，转化对于任意x1，x2∈[﹣1，1]，都有f（x1）﹣f（x2）≤e﹣1，得到不等式组，即可求解m的范围．
【解答】（本题满分12分）
解：（1）函数f（x）=emx+x2﹣mx，可得f′（x）=m（emx﹣1）+2x．
若m≥0，则当x∈（﹣∞，0）时，emx﹣1≤0，f′（x）＜0；
当x∈（0，+∞）时，emx﹣1≥0，f′（x）＞0．
若m＜0，则当x∈（﹣∞，0）时，emx﹣1＞0，f′（x）＜0；
当x∈（0，+∞）时，emx﹣1＜0，f′（x）＞0．
所以，f（x）在（﹣∞，0）时单调递减，在（0，+∞）单调递增．
（2）由（1）知，对任意的m，f（x）在[﹣1，0]单调递减，在[0，1]单调递增，故f（x）在x=0处取得最小值．
所以对于任意x1，x2∈[﹣1，1]，|f（x1）﹣f（x2）|≤e﹣1的要条件是，
即，①
令g（x）=ex﹣x，则g（x）=ex﹣1，g（x）在（0，+∞）单调递增，在（﹣∞，0单调递减，不妨设g（x0）=e﹣1，因为，所以x0∈（﹣2，﹣1），
所以，综上，m的取值范围为[﹣1，1]．
【点评】本题考查导数与函数的单调性的判断单调区间的求法，考查分析问题解决问题的能力、转化思想以及分类讨论思想的应用．
[选修4-4：坐标系与参数方程]
22．（10分）（2016•洛阳模拟）已知曲线C的极坐标方程是ρ=2，以极点为原点，极轴为x轴的正半轴建立平面直角坐标系，直线L的参数方程为（t为参数）
（1）写出直线L的普通方程与Q曲线C的直角坐标方程；
（2）设曲线C经过伸缩变换得到曲线C′，设M（x，y）为C′上任意一点，求x2﹣xy+2y2的最小值，并求相应的点M的坐标．
【考点】椭圆的参数方程．
【分析】（1）直接消去参数t得直线l的普通方程，根据ρ2=x2+y2可得曲线C的直角坐标方程；
（2）先根据伸缩变换得到曲线C′的方程，然后设M（2cosθ，sinθ），则x=2cosθ，y=sinθ代入，根据三角函数的性质可求出所求．
【解答】解：（1）∵直线l的参数方程为（t为参数），
∴消去参数t得直线l的普通方程为，
∵ρ=2，
∴曲线C的直角坐标方程为x2+y2=4；
（2）∵曲线C：x2+y2=4经过伸缩变换得到曲线C'，
∴C′：，
设M（2cosθ，sinθ）则x=2cosθ，y=sinθ，
∴，
∴当θ=+kπ，k∈Z时，即M为（）或时的最小值为1．
【点评】本题主要考查了极坐标方程，参数方程化直角坐标方程，以及椭圆的参数方程在求最值上的应用和三角函数求出最值，同时考查了运算求解的能力，属于中档题．
[选修4-5：不等式选讲]
23．（2016•江西模拟）已知实数a＞0，b＞0，函数f（x）=|x﹣a|﹣|x+b|的最大值为3．
（I） 求a+b的值；
（Ⅱ）设函数g（x）=﹣x2﹣ax﹣b，若对于∀x≥a均有g（x）＜f（x），求a的取值范围．
【考点】绝对值不等式的解法；函数恒成立问题．
【分析】（Ⅰ）根据绝对值的性质求出f（x）的最大值是a+b，从而求出a+b的值即可；
（Ⅱ）根据a，b的范围，问题转化为x2+ax﹣a＞0在[a，+∞）恒成立，结合函数的单调性求出a的范围即可．
【解答】解：（Ⅰ）f（x）=|x﹣a|﹣|x+b|≤|x﹣a﹣x﹣b|=|a+b|=3，
∵a＞0，b＞0，∴a+b=3；
（Ⅱ）由（Ⅰ）得，0＜a＜3，0＜b＜3，
∴∀x≥a，x﹣a≥0，x+b＞0，
此时，f（x）=x﹣a﹣x﹣b=﹣3，
若对于∀x≥a均有g（x）＜f（x），
即x2+ax+b﹣3＞0在[a，+∞）恒成立，
即x2+ax﹣a＞0在[a，+∞）恒成立，
对称轴x=﹣＜0，
故只需a2+a2﹣a＞0即可，
解得：a＞，
故＜a＜3．
【点评】本题考查了绝对值的性质，考查绝对值不等式的解法以及函数恒成立问题，考查二次函数的性质，是一道中档题．
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