2022-2023学年河北省衡水市第二中学高一上学期期中数学试题（解析版）

高一2022-2023学年上学期学科素养评估（期中）

数学学科试题

一､单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）

1. 已知集合，集合，则（    ）

A. 或 B. 或

C.  D.

【答案】C

【解析】

【分析】解一元二次不等式求得集合和A，根据补集的概念即可求得答案.

【详解】解不等式得,

由,可得，

，

故选：C.

2. 是（    ）

A 充分不必要条件 B. 必要不充分条件

C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件

【答案】B

【解析】

【分析】先解方程，进而判断出.是的必要不充分条件.

【详解】①当时，则，

充分性不成立，

②当时，则，

必要性成立，

∴是的必要不充分条件.

故选：B.

3. 若，则下列不等式成立的是（    ）

A.  B.

C.  D.

【答案】D

【解析】

【分析】通过反例，，可排除ABC；利用不等式的性质可证得D正确.

【详解】若，，则，，则A、B错误；

若，，则，则C错误；

，，又，，则D正确.

故选：D.

4. 设函数，若，则实数（    ）

A. 2 B. 或2 C. 或2 D.

【答案】B

【解析】

【分析】根据，分和 讨论求解.

【详解】解：，

当时，，则，

当时，令，则，

故实数或2，

故选：B.

5. 幂函数在区间上单调递增，则（    ）

A. 27 B.  C.  D.

【答案】A

【解析】

【分析】根据幂函数的概念及性质，求得实数的值，得到幂函数的解析式，即可求解.

【详解】由题意，令，即，解得或，

当时，可得函数，此时函数在上单调递增，符合题意；

当时，可得，此时函数在上单调递减，不符合题意，

即幂函数，则.

故选：A.

6. 下列函数中，既是其定义域上的单调函数，又是奇函数的是（    ）

A.  B.

C.  D.

【答案】D

【解析】

【分析】根据幂函数的单调性与奇偶性分析判断.

【详解】对于A：∵，则是偶函数，故A错误；

对于B：∵，则为奇函数，在单调递减，但在定义域上不单调，故B错误；

对于定义域为，在定义域上单调递增，但定义域不关于原点对称，即为非奇非偶函数，故错误；

对于在定义域上单调递增，且，即为奇函数，故D正确；

故选：D.

7. 若两个正实数满足，且不等式有解，则实数的取值范围为（    ）

A.  B.

C.  D.

【答案】B

【解析】

【分析】根据基本不等式，结合不等式有解的性质进行求解即可.

【详解】不等式有解，，且，，当且仅当，即时取“="，，故，即，解得或实数的取值范围是.

故选：B.

【点睛】关键点睛：利用的等式，结合基本不等式是解题的关键.

8. 已知函数的定义域是，且满足，如果对于，都有，则不等式的解集为（    ）

A.  B.

C.  D.

【答案】D

【解析】

【分析】由赋值法得，由函数的单调性转化后求解，

【详解】由于，令得，即，

则，由于，则，

即有，

由于对于，都有，则在上递减，

不等式即为.

则，解得或，即解集为.

故选：D

二､多项选择题（本大题共4小题，每小题5分，共20分.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分）

9. 已知， ，下列关系正确的是（    ）

A.  B.

C.  D.

【答案】CD

【解析】

【分析】根据集合A、B的特征，结合元素与集合的关系进行判断．

【详解】∵是数集；为点集，

∴，，，故A错误，C、D正确；

由知，时，∴,，故B错误．

故选：CD．

10. 已知关于的不等式的解集为，则下列说法正确的有（      ）

A.  B.

C. 的最小值为6 D. 不等式的解集为

【答案】BC

【解析】

【分析】由不等式与方程的关系得出，从而得到：，，且，再依次对四个选项判断即可得出答案.

【详解】不等式的解集为，

，解得：，，且，故选项A错误；

，故选项B正确；

，

当且仅当时等号成立，故选项C正确；

可化为：，即，

则解集为，故选项D错误；

综上所述选项B、C正确，

故选：BC.

11. 下列说法正确的是（    ）

A. 偶函数的定义域为，则

B. 若函数的定义域是，则的定义域是

C. 奇函数在上单调递增，且最大值为8，最小值为，则

D. 若集合中至多有一个元素，则

【答案】BC

【解析】

【分析】根据偶函数的定义域关于原点对称，可判断A项错误；根据抽象函数定义域的求解法则，以及使得分式根式有意义，可列出不等式组，可判断B项正确；根据条件可得，，根据奇函数的性质可求得与的值，代入即可得出C项正确；由题意可知，方程至多有一个解，对是否为0讨论，可得D项错误.

【详解】由偶函数的定义域为，可得，解得，A错；

因为函数的定义域是，所以，即.所以函数的定义域为.要使有意义，需满足：，解得，即的定义域为，B对；

因为，奇函数在上单调递增，且最大值为8，最小值为-1，

则，，

根据奇函数的性质可得，，，

则，则C项正确；

因为集合中至多有一个元素，

所以方程至多有一个解，

当时，方程只有一个解，符合题意；

当时，由方程至多有一个解，可得，解得.

所以，或，则D项错误.

故选：BC.

12. 已知定义在上的函数的图像是连续不断的，且满足以下条件：①；② ，当时，；③.则下列选项成立的是（    ）

A. 在上单调递减，

B.

C. 若，则

D. 若，则

【答案】AD

【解析】

【分析】由①可得，为偶函数.由②可得，在上单调递增.后分析选项可得答案.

【详解】由得：在上单调递增，由，得：函数是上的偶函数.

对于A选项，因在上单调递增，且为偶函数，则在上单调递减，故A正确.

对于B，C选项，因为偶函数，则.

又在上单调递增，则故B错误；

，又函数的图像是连续不断的，则有，解得故C错误；

对于D选项，由及得：

，解得或，

由得：，解得

则可化为：或，解得或，即，故D正确.

故选：AD

三､填空题：（本大题共4个小题，每小题5分，共20分.请将答案填在答题纸的横线上，答错位置，书写不清，模棱两可均不得分）

13. 已知为奇函数，当时，则______．

【答案】－12

【解析】

【分析】利用奇函数的性质即可得到答案.

【详解】因为为奇函数，所以，

故．

故答案为：－12.

14. 已知，则的最小值是__________．

【答案】9

【解析】

【分析】将目标式变形，利用基本不等式即可得出其最值．

【详解】，，，

当且仅当即时取等号，

时， 取最小值．

故答案为：．

15. 已知是定义域为的偶函数，且满足，则___________.

【答案】

【解析】

【分析】由知函数是周期为4的周期函数，再结合偶函数可求的值，从而可求的值.

【详解】由满足，则，即函数是周期为4的周期函数；

根据题意，是定义域为的偶函数，则有，

又由满足，则，所以，

由，可得，

则，

所以

.

故答案为：.

16. 已知函数，若，则的值域是__________；若的值域是，则实数的取值范围是__________.

【答案】    ①.     ②. .

【解析】

【分析】作出函数的图象，根据二次函数与反比例函数的图象与性质，结合图象，即可求解.

【详解】由时，函数，

当时，函数，

可得函数在上单调递减，在上单调递增，

且，所以函数的值为；

当时，函数为单调递减函数，其值域为，

综上可得，函数的值域为；

作出函数的图象，如图所示，

若函数的值域为，

当时，即，解得，

当时，即，解得或，

当时，可得，

结合图象，可得实数的取值范围是.

故答案为：；.

四､解答题：（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）

17. （1）某网店销售一批新款削笔器，每个削笔器的最低售价为15元.若按最低售价销售，每天能卖出30个；若一个削笔器的售价每提高1元，日销售量将减少2个.为了使这批削笔器每天获得400元以上的销售收入，应怎样制定这批削笔器的销售价格？

（2）根据定义证明函数在区间上单调递增.

【答案】（1）应将这批削笔器的销售价格制定在每个15元到20元之间（包括15元但不包括20元）；（2）证明见解析.

【解析】

【分析】（1）设这批削笔器的销售价格定为元/个，解不等式即得解；

（2）利用函数单调性的定义证明.

【详解】（1）设这批削笔器的销售价格定为元/个，

由题意得，即

方程的两个实数根为，

解集为，

又，

故应将这批削笔器销售价格制定在每个15元到20元之间（包括15元但不包括20元），才能使这批削笔器每天获得400元以上的销售收入.

（2）证明：，且，有.

由，得.所以.

又由，得.于是，即.

所以，函数在区间上单调递增.

18. 已知命题命题.

（1）若命题否定为真命题，求实数的取值范围；

（2）若命题为真命题，命题为假命题，求实数的取值范围.

【答案】（1）   

（2）

【解析】

【分析】（1）先求出，然后利用其为真命题，求出的取值范围即可；

（2）由（1）可知，命题为真命题时的取值范围，然后再求解为真命题时的取值范围，从而得到为真命题时的取值范围，即可得到答案．

【小问1详解】

根据题意，当时，，

：存在，为真命题，则，

所以实数取值范围是；

【小问2详解】

由（1）可知，命题为真命题时，，

命题为真命题时，，解得，

所以为真命题时，，

所以，解得，

所以实数的取值范围为，．

19. 已知函数的定义域为A，集合.

（1）当时，求；

（2）若，求a的取值范围.

【答案】（1）或   

（2）

【解析】

【分析】（1）求出定义域，得到，进而计算出及；

（2）分与，列出不等式，求出a的取值范围.

【小问1详解】

要使函数有意义，则，解得：，

所以集合.

，

∴，

∴或，

∴或；

【小问2详解】

，

①当时，，即，满足题意；

②当时，由，得，解得：，

综上所述：a的取值范围为.

20. 已知幂函数的图象关于点对称．

（1）求该幂函数的解析式；

（2）设函数，在如图的坐标系中作出函数的图象；

（3）直接写出函数的单调区间．

【答案】（1）   

（2）作图见解析    （3）递增区间是，递减区间是

【解析】

【分析】(1)利用幂函数的定义求出m值，再结合其图象性质即可得解.

(2)由(1)求出函数，再借助反比例函数、对称性作出的图象.

(3)根据(2)中图象特征写出函数的单调区间.

【小问1详解】

因幂函数，则，解得或，

当时，函数定义域是，是奇函数，图象关于原点对称，则，

当时，函数是R上的偶函数，其图象关于y轴对称，关于原点不对称，

所以幂函数的解析式是

【小问2详解】

因函数，由(1)知，，显然是定义域上的偶函数，

当时，在上单调递减，其图象是反比例函数在第一象限的图象，

作出函数第一象限的图象，再将其关于y翻折即可得在定义域上的图象，如图，

【小问3详解】

观察(2)中图象得，函数的递增区间是，递减区间是.

21. 已知函数.

（1）求不等式的解集；

（2）当时，函数的最小值为1，求当时，函数的最大值.

【答案】（1）   

（2）答案见解析

【解析】

【分析】（1）根据题意解一元二次不等式即可；（2）分类讨论函数单调区间，找到最小值点，由最小值为1，求出系数b，再求函数在区间内的最大值.

【小问1详解】

若，即，则，

∵，所以，

故不等式的解集为.

【小问2详解】

因为是开口向上，对称轴为的二次函数，

①若，则在上单调递增，

∴函数的最小值为，解得，

故函数的最大值为；

②若，则在上单调递减，

∴函数的最小值为，解得（舍去）；

③若，则在上单调递减，在上是单调递增，

∴函数的最小值为，解得或（舍去），

故函数的最大值为；

综上所述：

当时，的最大值为13；

当时，最大值为.

22. 设函数，

（1）若对任意的，存在使得，求实数的取值范围；

（2）若对任意的，存在使得，求实数的取值范围.

【答案】（1）   

（2）

【解析】

【分析】(1)根据题意，分别求出两个函数的最小值，将问题等价转化为，解不等式即可求解；

(2)根据题意，分别求出两个函数的值域，然后将问题等价转化为在上值域是在上值域的子集，结合集合的包含关系即可求解.

【小问1详解】

因为，利用函数图像性质可知在上单调递增，于是在处取得最小值，即，因为，注意到，则在上单调递增，于是在处取得最小值，即，由题意可得：，即得，所以实数的取值范围为.

【小问2详解】

由(1)可知：在处取得最大值，即

于是当时，的值域

在处取得最大值，即

于是当时，的值域

要使得对任意的，存在使得

根据与的连续性可知成立

则，解得，所以实数的取值范围为.