2023-2024学年河北省邯郸市永年二中高二（上）开学数学试卷（含解析）

这是一份2023-2024学年河北省邯郸市永年二中高二（上）开学数学试卷（含解析），共14页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1.已知复数z=1−2i，则z−在复平面上对应的点的坐标为( )
A. (1,2)B. (−1,2)C. (1,−2)D. (−1,−2)
2.已知向量a=(3,−2),b=(m,9)，若a⊥b，则实数m=( )
A. −8B. 8C. −6D. 6
3.某超市举行有奖促销活动，活动中设置一等奖、二等奖、幸运奖三个奖项，其中中幸运奖的概率为0.3，中二等奖的概率为0.2，不中奖的概率为0.38，则中一等奖的概率为( )
A. 0.16B. 0.22C. 0.12D. 0.1
4.在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且B=π3,b=3,a= 6，则A=( )
A. π6B. π4C. 5π12D. π2
5.若l为一条直线，α，β，γ为三个互不重合的平面，则下列命题正确的是( )
A. α⊥γ，β⊥γ⇒α⊥βB. 若l/​/α，α⊥β⇒l⊂β
C. α⊥γ，β//γ⇒α⊥βD. 若l/​/α，α⊥β⇒l⊥β
6.在△ABC中，csA=12，AB=2，AC=3，D是线段上BC靠近C的一个三等分点，则AD⋅BD=( )
A. 229B. −229C. 169D. −89
7.定义：我们把每个数字都比其左边数字大的正整数叫做“渐升数”，比如258，123等.在二位“渐升数”中任取一数，则该数比48小的概率为( )
A. 14B. 13C. 35D. 23
8.某钟楼的钟面部分是一个正方体，在该正方体的四个侧面分别有四个时钟，如果四个时钟都是准确的，那么从零点开始到十二点的过程中，相邻两个面上的时针所成的角为60°的位置有( )
A. 1个B. 2个C. 3个D. 4个
二、多选题（本大题共4小题，共20.0分。在每小题有多项符合题目要求）
9.下列各对向量中，共线的是( )
A. a=(2,3),b=(4,−6)B. a=(2,−3),b=(12,−34)
C. a=(1, 2),b=( 2,2)D. a=( 2,−1),b=(1, 2)
10.设z1，z2，z3为复数，z1≠0，则下列命题正确的是( )
A. 若|z2|=|z3|，则z2=±z3
B. 若z1z2=z1z3，则z2=z3
C. 若z1，z2互为共轭复数，则z1z2为实数
D. 若i为虚数单位，n为正整数，则i4n+3=i
11.一组数据按从小到大排列为2、3、3、x、10、13，若这组数据的平均数是中位数的32倍，则下列说法正确的是( )
A. x=5B. 众数为3C. 30%分位数为5D. 方差为503
12.已知一圆锥的母线长为2，底面半径为r，其侧面展开图是圆心角为 3π的扇形，A，B为底面圆的一条直径上的两个端点，则( )
A. r= 3
B. 从A点经过圆锥的表面到达B点的最短距离为2 3
C. 该圆锥的体积为π
D. 过该圆锥的顶点作圆锥的截面，则截面面积的最大值为 3
三、填空题（本大题共4小题，共20.0分）
13.已知向量a=(1, 3),b=(−2,2 3)，则向量a在向量b上的投影向量为______ ．
14.甲、乙两名同学进行篮球投篮练习，甲同学一次投篮命中的概率为45，乙同学一次投篮命中的概率为13，假设两人投篮命中与否互不影响，则甲、乙两人各投篮一次，恰有一人命中的概率是______ ．
15.在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且a=2，△ABC的面积为 5，c=3，则b= ______ ．
16.已知在三棱锥D−ABC中，AD⊥平面ABC，且BC=AD=2，∠BAC=π4，则三棱锥D−ABC的外接球的体积为______ ．
四、解答题（本大题共6小题，共70.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
17.(本小题10.0分)
已知向量a=(1,3),b=(2,−1)．
(1)若向量a+2b与ka+b垂直，求实数k的值；
(2)若向量c满足(a+b)//c且|c|= 26，求向量c的坐标．
18.(本小题12.0分)
某工厂在加大生产量的同时，狠抓质量管理，不定时抽查产品质量.该企业质检人员从所生产的产品中随机抽取了100个，将其质量指标值分成以下六组：[40,50)，[50,60)，[60,70)，…，[90,100].得到如下频率分布直方图．
(1)求出直方图中m的值；
(2)利用样本估计总体的思想，估计该企业所生产的口罩的质量指标值的平均数和60%分位数(同一组中的数据用该组区间中点值作代表，60%分位数精确到0.01)．
19.(本小题12.0分)
从条件①sinC= 63(0注：如果选择多个条件分别解答.按第一个解答计分
20.(本小题12.0分)
如图，在三棱台DEF−ABC中，AB=2DE，G，H分别为AC，BC的中点．
(1)求证：BD/​/平面FGH；
(2)若CF⊥平面ABC，AB⊥BC，CF=DE，∠BAC=45°，求二面角F−GH−C的大小．
21.(本小题12.0分)
甲、乙两位同学参加某知识闯关训练，最后一关只有两道题目，已知甲同学答对每道题的概率都为p，乙同学答对每道题的概率都为q(p>q)，且在考试中每人各题答题结果互不影响.已知同一题甲、乙至少一人答对的概率为56，两人都答对的概率为13．
(1)求p和q的值；
(2)试求最后一关甲同学答对的题数小于乙同学答对的题数的概率．
22.(本小题12.0分)
如图所示，在四棱锥P−ABCD中底面ABCD是边长为2的菱形，∠DAB=π3，面PAD⊥面ABCD，PA=PD= 10．
(1)证明：PB⊥BC；
(2)求点A到平面PBC的距离．
答案和解析
1.【答案】A
【解析】解：由z−=1+2i，得z−在复平面上对应的点的坐标为(1,2)．
故选：A．
根据共轭复数的定义与复数的几何意义求解即可．
本题主要考查共轭复数的定义与复数的几何意义，属于基础题．
2.【答案】D
【解析】解：由a=(3,−2),b=(m,9),a⊥b，得a⋅b=3m−18=0，
所以m=6．
故选：D．
由向量垂直的坐标运算计算可得结果．
本题主要考查向量垂直的性质，属于基础题．
3.【答案】C
【解析】解：由于奖项一等奖、二等奖，幸运奖和不中奖四个事件是相互互斥的，
且构成事件为必然事件，故中一等奖的概率为1−0.3−0.2−0.38=0.12．
故选：C．
根据事件间的关系，利用概率公式，可得答案．
本题主要考查互斥事件的概率加法，属于基础题．
4.【答案】B
【解析】解：因为B=π3,b=3,a= 6，
所以由正弦定理有：asinA=bsinB，
即 6sinA=3 32，
所以sinA= 22，
又因为a所以0故A=π4．
故选：B．
根据正弦定理结合三角形边角性质求解即可．
本题考查正弦定理的应用，属于基础题．
5.【答案】C
【解析】解：对A，若α⊥γ，β⊥γ，α，β可能相交也可能平行，故A项不正确；
对BD，l/​/α，α⊥β，则可能有l/​/β，故B，D项不正确；
对C，α⊥γ，β/​/γ，则必有α⊥β，故C项正确．
故选：C．
根据线面，面面的平行及垂直的性质与判定判断即可．
本题考查了线面，面面的平行及垂直的性质与判定，属于中档题．
6.【答案】A
【解析】解：建立如图坐标系，csA=12，AB=2，AC=3，所以A=60°，
则A(0,0)，B(2,0)，C(32,3 32)，BC=(−12,3 32)，
D是线段上BC靠近C的一个三等分点，BD=(−13, 3)，AD=(53, 3)，
所以AD⋅BD=(−13, 3)⋅(53, 3)
=229．
故选：A．
通过建系，求解B，C的坐标，然后利用向量的数量积公式求解即可．
本题考查向量的数量积的求法，是基础题．
7.【答案】D
【解析】解：十位是1的“渐升数”有12，13，…，19，共8个，
十位是2的“渐升数”有23，24，…，29，共7个，
…，
十位是7的“渐升数”有78，79，共2个，
十位是8的“渐升数”有89，共1个．
故二位“渐升数”共有8+7+…+1=36个，
比48小的共有3+8+7+6=24个，
所以由古典概率的计算公式得所求的概率为23．
故选：D．
根据古典概型公式求解概率即可．
本题主要考查了古典概率公式的应用，属于基础题．
8.【答案】D
【解析】解：在正方体中，相邻两个面的对角线所成的角为60°，如图所示：
所以这样的位置有4个．
故选：D．
根据题意，由正方体相邻两个面的对角线夹角为60°，即可得到结果．
本题考查了正方体的结构特征应用问题，也考查了空间中直线的位置关系应用问题，是基础题．
9.【答案】BC
【解析】解：设a=(x1,y1),b=(x2,y2)，则a//b⇔x1y2=x2y1，
选项A中，2×(−6)≠3×4；选项B中，2×(−34)=12×(−3)；
选项C中，1×2= 2× 2；选项D中， 2× 2≠(−1)×1，满足上述等式的只有B，C项．
故选：BC．
利用平面向量共线的条件即可解决．
本题考查的知识要点：向量的坐标运算，主要考查学生的理解能力和计算能力，属于中档题．
10.【答案】BC
【解析】解：对于A项，取z2=1，z3=i，满足|z2|=|z3|，但是z2=±z3不成立，故A项错误；
对于B项，当z1z2=z1z3时，有z1(z2−z3)=0，又z1≠0，所以z2=z3，故B项正确；
对于C项，z1=a+bi，z2=a−bi互为共轭复数，则(a+bi)(a−bi)=a2+b2，
即z1z2为实数，故C项正确；
对于D项，i4n+3=i3=−i，故D项错误．
故选：BC．
根据复数的模、复数乘法、共轭复数、复数的乘方等知识对选项进行分析，从而确定正确答案．
本题主要考查了复数的四则运算，属于基础题．
11.【答案】ABD
【解析】解：因为这组数据的平均数是中位数的32倍，
所以16(2+3+3+x+10+13)=32×3+x2，
解得x=5，故A项正确；
这组数据的众数为3，故B项正确；
由6×30%=1.8不是整数，故30%分位数为该组数据的第2个数字，即为3，故C项错误；
平均数为16×(2+3+3+5+10+13)=6，
方差为16[(2−6)2+(3−6)2+(3−6)2+(5−6)2+(10−6)2+(13−6)2]=503，故D项正确．
故选：ABD．
利用中位数的定义求出x的值，可判断A选项；利用众数的定义可判断B选项；利用百分位数的定义可判断C选项；利用方差公式可判断D选项．
本题主要考查了中位数、众数、方差和百分位数的定义，属于基础题．
12.【答案】AC
【解析】解：根据题意，依次分析选项：
对于A，一圆锥的母线长为2，底面半径为r，其侧面展开图是圆心角为 3π的扇形，由2πr2= 3π，得r= 3，所以A正确；
对于B，假设该圆锥的轴截面将该圆锥分成两部分，将其中的一部分展开，
则其侧面展开图是一个圆心角为 3π2的扇形，
所以从A点经过圆锥的表面到达B点的最短距离为2×2×sin 3π22=4sin 3π4≠2 3，故B不正确；
对于C，因为r= 3，母线长为2，所以该圆锥的高为1，所以其体积为13π( 3)2×1=π，故C正确；
对于D，过该圆锥的顶点作圆锥的截面，则截面为腰长为2的等腰三角形，
设其顶角为θ，则该三角形的面积为S=12×2×2sinθ．
故当θ=π2时，Smax=12×2×2×1=2≠ 3，故D不正确．
故选：AC．
根据题意，结合圆锥的几何性质逐项分析即可．
本题考查圆锥的结构特征，涉及圆锥的体积、表面积的计算，属于基础题．
13.【答案】(−12, 32)
【解析】解：由题意，|a|⋅a⋅b|a|⋅|b|⋅b|b|=a⋅b|b|2⋅b=−2+64+12(−2,2 3)=(−12, 32)，
故向量a在向量b上的投影向量为(−12, 32)．
故答案为：(−12, 32)．
由投影向量的定义，结合向量夹角公式计算可求结果．
本题主要考查投影向量的定义，基础题．
14.【答案】35
【解析】解：设A，B分别表示事件“一次投篮中甲命中”和“一次投篮中乙命中”
所以P(A)=45,P(B)=13
则恰有一人命中的概率为P(AB−∪A−B)=P(AB−)+P(A−B)=45×(1−13)+(1−45)×13=35．
故答案为：35．
根据互斥事件与独立事件的概率运算公式求解即可得所求事件的概率．
本题考查互斥事件与独立事件的概率运算公式，属于基础题．
15.【答案】 21或 5
【解析】解：因为a=2，△ABC的面积为 5，c=3，
所以△ABC的面积S=12acsinB=12×2×3sinB= 5，
可得sinB= 53，
可得csB=± 1−sin2B=±23，
由余弦定理可得b2=a2+c2−2a⋅c⋅csB=22+32−2×2×3×(±23)=13±8，
则b= 21或b= 5，经检验满足构成三角形．
所以b= 21或b= 5．
故答案为： 21或 5．
由已知利用三角形面积公式可得sinB= 53，平方关系求其余弦值，再利用余弦定理可求b的值．
本题考查了三角形的面积公式，余弦定理以及同角三角函数基本关系式在解三角形中的应用，属于基础题．
16.【答案】4 3π
【解析】解：底面三角形ABC的外接圆的半径为r，可得2r=2sinπ4=2 2，所以r= 2，
外接球的半径为R，R= 12+( 2)2= 3，
三棱锥D−ABC的外接球的体积为：4π3×R3=4 3π．
故答案为：4 3π．
求解外接球的半径，然后求解外接球的体积．
本题考查空间几何体的外接球的体积的求法，是中档题．
17.【答案】解：(1)因为向量a=(1,3),b=(2,−1)，
所以a+2b=(5,1),ka+b=(k+2,3k−1)，
又因为向量a+2b与ka+b垂直，所以(a+2b)⋅(ka+b)=0，
所以5k+10+3k−1=0，解得k=−98．
(2)设c=(m,n)，由a+b=(3,2)，且(a+b)//c，得3n=2m，
又|c|= 26，所以m2+n2=26，解得m=3 2n=2 2或m=−3 2n=−2 2，
所以c=(3 2,2 2)或c=(−3 2,−2 2)．
【解析】(1)根据平面向量坐标运算求得a+2b与ka+b的坐标，再根据向量垂直的坐标表示列方程求解即可得实数k的值；
(2)设c=(m,n)，根据平面向量平行的坐标运算及模长公式列方程即可得设m，n的值，从而得向量c的坐标．
本题考查了平面向量坐标运算应用问题，也考查了运算求解能力，是基础题．
18.【答案】解：(1)由10×(0.01+0.015+0.015+m+0.025+0.005)=1，得m=0.030．
(2)平均数x−=45×0.1+55×0.15+65×0.15+75×0.3+85×0.25+95×0.05=71，
设60%分位数为n，则由0.1+0.15+0.15=0.4<0.6，0.1+0.15+0.15+0.3=0.7>0.6，
可得n在[70,80)上，由0.1+0.15+0.15+(n−70)×0.03=0.6，得n≈76.67．
故可以估计该企业所生产口罩的质量指标值的平均数为71，60%分位数为76.67．
【解析】(1)根据频率分布直方图的性质，建立方程即可得答案；
(2)根据频率分布直方图的平均数与百分位数的计算方法即可得答案．
本题考查频率分布直方图、平均数、分位数，考查学生的运算能力，属中档题．
19.【答案】解：选条件①：由A+3C=π，得B=2C，
又sinC= 63(0所以csC= 1−sin2C= 33，
故sinB=sin2C=2sinCcsC=2× 63× 33=2 23，
所以由正弦定理得：b=csinBsinC=4 3；
选条件②：由A+3C=π，得B=2C，
因为c=6，a=10，
所以由正弦定理asinA=csinC，
得3sinA=5sinC，
因为A+B+C=π，
所以3sinA=3sin(B+C)=3sinBcsC+3csBsinC=5sinC，
因为B=2C，
所以3sin2CcsC+3cs2CsinC=5sinC，
因为0所以6cs2C+3cs2C=12cs2C−3=5，
解得cs2C=23，
由于0故0所以sinC= 33，
所以sinB=2sinCcsC=2 23，
由正弦定理得：b=csinBsinC=4 6．
【解析】选择条件后，根据三角恒等变换、正弦定理等知识求得b．
本题考查三角恒等变换和正弦定理，属于中档题．
20.【答案】解：(1)证明：在三棱台DEF−ABC中，由AB=2DE，知BC=2EF，又H为BC的中点，可得BH//EF，BH=EF，
故四边形BHFE为平行四边形，则BE//HF，因为BE⊄平面GHF，FH⊂平面GHF，故BE/​/平面GHF．
在△ABC中，G为AC的中点，H为BC的中点，
所以GH/​/AB，因为AB⊄平面GHF，GH⊂平面GHF，故AB/​/平面GHF．
又GH∩HF=H，AB，BE⊂平面ABED，
所以平面FGH//平面ABED．
因为BD⊂平面ABED，所以BD/​/平面FGH．
(2)由FC⊥平面ABC，GH⊂平面ABC，得GH⊥FC，
又AB⊥BC，GH/​/AB，则GH⊥BC，
又FC⋂BC=C，FC，BC⊂平面HCF，
所以GH⊥平面HCF，又FH，HC⊂平面HCF，故GH⊥FH，GH⊥HC．
又平面GHC⋂平面GHF=GH，故∠FHC为二面角F−GH−C的平面角．
又AB⊥BC，∠BAC=45°，所以CH=GH=12AB，又AB=2DE，CF=DE，所以CF=CH，
故tan∠FHC=1，即二面角F−GH−C的大小为45°．
【解析】(1)根据题意可得BH//EF，BH=EF，进而可得BE//HF，再根据面面垂直的判定可得平面FGH//平面ABED，再根据面面平行的性质证明即可；
(2)根据线面垂直的性质与判定可得∠FHC为二面角F−GH−C的平面角，再根据几何关系可得CF=CH即可得．
本题考查空间中直线与平面的平行的证明，考查二面角大小的求法，解题中需要理清思路，属于中档题．
21.【答案】解：(1)根据题意，设A={甲同学答对第一题}，B={乙同学答对第一题}，则P(A)=p，P(B)=q．
由于二人答题互不影响，且每人各题答题结果互不影响，所以A与B相互独立，
所以1−P(A−B−)=1−P(A−)P(B−)=56，P(AB)=P(A)P(B)=13，
即1−(1−q)(1−p)=56pq=13p>q，解得p=23q=12．
(2)设m，n分别表示最后一关甲、乙两位同学答对的题目数，
由题意得，P(m=(1−23)2×2×(1−12)×12+(1−23)2×(12)2+2×(1−23)×23×(12)2=736．
【解析】(1)根据设A={甲同学答对第一题}，B={乙同学答对第一题}，再根据所给概率列式求解即可；
(2)设m，n分别表示最后一关甲、乙两位同学答对的题目数，由题意得所求概率为P(m本题考查概率的应用，关键求出p、q的值，属于基础题．
22.【答案】证明：(1)如图，取AD中点H，连接PH，HB，BD，

∵ABCD是边长为2的菱形，∠DAB=π3，
由BH2=AB2−2AB⋅AH⋅csπ3+AH2，得BH2=3，
∵AH2+BH2=AB2，
∴BH⊥AD，∴H为AD的中点，
∵PA=PD，H为AD的中点，∴PH⊥AD，
而PH⋂BH=H，PH，BH⊂平面PHB，
∴AD⊥平面PHB，又PB⊂平面PHB，
∴AD⊥PB，
又∵AD/​/BC，∴PB⊥BC；
解：(2)因为AD//BC，BC⊂平面PBC，AD⊄平面PBC，
所以AD/​/平面PBC，
由AD/​/平面PBC知点A与点H到平面PBC距离相等，
由(1)知AD⊥平面PHB，AD//BC，
∴BC⊥平面PHB，而BC⊂平面PBC，
∴平面PBC⊥平面PHB，过点H作HM⊥PB于M，
又平面PHB⋂平面PBC=PB，∴HM⊥平面PBC，
∴HM即为点H到平面PBC的距离，
由平面PAD⊥平面ABCD，平面PAD∩平面ABCD=AD，PH⊂平面PAD，PH⊥AD，
∴PH⊥平面ABCD，而BH⊂平面ABCD，
∴PH⊥BH，
又PH= ( 10)2−12=3，∵∠PHB=90°，PB= 3+9=2 3，
∴HM=PH⋅BHPB=32．
【解析】(1)根据面面垂直以及等腰三角形的性质，可得线面垂直，进而可得线线垂直，根据菱形的性质，结合线面垂直性质定理，可得答案；
(2)根据线面平行，将问题等价转化，利用直角三角形的性质，可得答案．
本题主要考查了线面垂直的判定定理，考查了求点到平面的距离，属于中档题．