河北省邯郸市永年区第二中学2024-2025学年高三上学期开学检测数学试卷（原卷版+解析版）

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时量：120分钟 分值：150分
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1. 已知集合，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】先确定集合，再求交集.
【详解】根据题意，，
所以.
故选：C
2. 若正数x，y满足 则的最小值是（ ）
A. B. C. 4D. 6
【答案】C
【解析】
【分析】根据已知条件及基本不等式即可求解.
【详解】由题设及，可得 .
所以，
当且仅当，即时，等号成立，此时符合题意.
所以的最小值为4.
故选：C.
3. 已知，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】利用两角和与差的余弦公式代入计算可得结果.
【详解】因为，又，
则可得.
所以，
故选：A.
4. 函数的部分图象如图所示，则可以为（ ）

A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】由排除D，由奇偶性排除B，由在时的单调性即可排除C，最后验证A符合题意即可.
【详解】对于D，函数中，，所以排除D；
对于B，显然，都为奇函数，为偶函数，
且也是奇函数，理由如下：
的定义域为全体实数，且，所以是奇函数
所以，为偶函数，为奇函数，所以排除B；
对于C，当时，（由复合函数单调性可判断），同时单调递增，且同时非负，
所以在时也单调递增，所以排除C；
经检验A选项符合题意.
故选：A.
5. 下列函数中，其图像与函数的图像关于直线对称的是
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【详解】分析：确定函数过定点（1，0）关于x=1对称点，代入选项验证即可．
详解：函数过定点（1，0），（1，0）关于x=1对称的点还是（1，0），只有过此点．
故选项B正确
点睛：本题主要考查函数的对称性和函数的图像，属于中档题．
6. 设是定义在上的奇函数，且f2+x=f-x，当时，，则的值为（ ）
A. 2B. 1C. -1D. -2
【答案】D
【解析】
【分析】由题意求出函数的周期，再利用奇偶性代入求值即可.
【详解】因为是定义在R上的奇函数，且f2+x=f-x，
则，所以，
所以函数的周期为，
所以.
故选：D.
7. 已知，是函数的图象上两个不同的点，则（ ）
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根据指数函数和对数函数的单调性结合基本不等式分析判断AB；举例判断CD即可.
【详解】由题意不妨设，因为函数是增函数，所以，即，
对于选项AB：可得，即，
根据函数是增函数，所以，故B正确，A错误；
对于选项D：例如，则，
可得，即，故D错误；
对于选项C：例如，则，
可得，即，故C错误，
故选：B
8. 已知定义域为的函数，其导函数为，且满足，，则（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】构造函数，由得，进而判断函数的单调性，判断各选项不等式.
【详解】依题意令，则，
因为在上恒成立，
所以在上恒成立，
故在上单调递减，
所以，，故A不正确；
所以，即，即，故B不正确；
又，即，即，故C错误；
因为，即，即，故D正确；
故选：D.
【点睛】关键点点睛：本题解答的关键是根据题意构造函数，利用导数说明函数的单调性，即可比较函数值的大小.
二、多选题：本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.
9. 设，其中为的共轭复数，则（ ）
A. 的实部为2B. 的虚部是
C. D. 在复平面内，对应的点在第二象限
【答案】AC
【解析】
【分析】首先由共轭复数的概念复数相等求得即可判断AB，结合模的计算公式以及复数的几何意义可依次判断CD.
【详解】设，因为，所以，
所以，所以，
所以，，所以，，
对于A，所以的实部为2，所以A正确；
对于B，的虚部是，所以B错误；
对于C，，所以C正确；
对于D，，所以在复平面内对应的点在第四象限，所以D错误.
故选：AC.
10. 下列论述正确的有（ ）
A. 若两组成对数据的样本相关系数分别为，则组数据比组数据的相关性较强
B. 数据的第60百分位数为38
C. 若随机变量，且，则
D. 若样本数据的方差为1，则数据的方差为4
【答案】BCD
【解析】
【分析】结合相关性的含义，可判定A不正确.根据百分位数的概念及求法，可判定B正确；根据正态分布曲线的对称性，可判定C正确；根据数据的方差性质的计算公式，可判定D正确；
【详解】对于A中，若两组成对数据的样本相关系数分别为，因为，所以组数据比组数据的相关性较强，A错误；
对于B，数据排序，共8个数据，则，所以数据的第60百分位数为38，B正确；
对于C，若随机变量，且，根据正态分布的对称性，，则，C正确；
对于D，样本数据的方差为1，则数据的方差为，D正确.
故选：BCD.
11. 已知函数，则下列说法错误的是（ ）
A. 有三个极值点B. 有三个零点
C. 点是曲线的对称中心D. 直线是曲线的切线
【答案】ABD
【解析】
【分析】对于A选项，对求导后判断函数单调性，即可判断极值点个数；对于B选项，结合A选项求解的函数单调性和极值点的值，根据零点存在定理可判断零点个数；对于C选项利用函数平移，构造，判断的奇偶性，进一步得到对称中心；对于D选项，根据条件直接求出切线方程即可判断结果；
【详解】对于A选项，由，定义域为R，可得，
令，可得，
因为，得或，
，得，
即在单调递减，在，单调递增，
即是有极大值点，是有极小值点，故A选项错误；
对于B选项，由A可知极大值为f-33=23+99>0，
极小值，，
由在单调递增和零点存在定理可知，
在存在1个零点，
因为在单调递减和单调递增，
极小值f33>0，所以在恒大于0，
所以有一个零点，故B选项错误；
对于C选项，
可设，得，则为奇函数，
所以图像关于对称，
将向上平移1个单位可得，故函数关于对称，故C选项正确；
对于D选项，由A知
，令，解得，则，，所以切线方程为
和，即和，故D选项错误；
故选：ABD.
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.
12. 函数的单调递增区间是_____________.
【答案】
【解析】
【分析】根据复合函数“同增异减”的方法即可求函数的单调递增区间，注意函数的定义域.
【详解】由对数函数的定义域可得，解得或，
由于是单调递增函数，所以要求的递增区间，
只需求二次函数的递增区间即可，
由二次函数的性质可得的递增区间为，
结合函数定义域可得的递增区间为，
故答案为：.
13. 某同学参加学校组织的数学知识竞赛，在4道四选一的单选题中，有3道有思路，有1道完全没有思路，有思路的题每道做对的概率均为，没有思路的题只好任意猜一个答案．若从这4道题中任选2题作答，则该同学2道题都做对的概率为________．
【答案】
【解析】
【分析】根据排列组合以及概率的乘法公式，再分两个题目都有思路和一个有思路一个没有思路讨论即可求解.
【详解】设事件A表示“两道题全做对”，
若两个题目都有思路，则；
若两个题目中一个有思路一个没有思路，则；
故.
故答案为：.
14. 已知定义在R上的函数满足，则曲线y=fx在点处的切线方程为_____________.
【答案】
【解析】
【分析】利用方程组法求出函数解析式，然后利用导数求切线斜率，由点斜式可得切线方程.
【详解】因为，所以，
联立可解得，所以，
所以.
所以曲线在点处的切线方程为，
故所求的切线方程为.
故答案为：.
四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15. 已知函数与函数，其中.
（1）求的单调区间；
（2）若，求的取值范围；
【答案】（1）单调减区间是，单调增区间是
（2）
【解析】
【分析】（1）借助导数研究其导函数的正负即可得其单调区间；
（2）若，可得不等式恒成立，若，即，构造函数后借助导函数求出其最大值即可解.
小问1详解】
的定义域为，
又已知，，
令，得，即的单调减区间为，
令，则，即的单调增区间为；
【小问2详解】
由题意得gx=eax-x>0，即，
若，不等式恒成立，若，即，
令hx=lnxx(x>0)，，
当时，，hx单调递增，
当时，，hx单调递减，
故，故的取值范围为.
16. 增强青少年体质，促进青少年健康成长，是关系国家和民族未来的大事.某高中为了解本校高一年级学生体育锻炼情况，随机抽取体育锻炼时间在（单位：分钟）的50名学生，统计他们每天体育锻炼的时间作为样本并绘制成如下的频率分布直方图，已知样本中体育锻炼时间在60,70的有5名学生.
（1）求a，b的值；
（2）若从样本中体育锻炼时间在的学生中随机抽取4人，设X表示在的人数，求X的分布列和均值.
【答案】（1），
（2）分布列见解析，
【解析】
【分析】（1）体育锻炼时间在的频率为，可求，利用面积和等于，可求；
（2）样本中体育锻炼时间在有5名学生，在的有3名学生，可得，利用超几何分布可求分布列与数学期望.
【小问1详解】
因为体育锻炼时间在的频率为，
所以，
又因为，
所以
【小问2详解】
样本中体育锻炼时间在的有5名学生，在的有3名学生
则
，，
，，
所以X的分布列为
所以.
17. 如图，在三棱柱中，为底面的重心，点分别在棱上，且

（1）求证：平面；
（2）若底面，且三棱柱的各棱长均相等，求平面与平面DOG的夹角的余弦值．
【答案】（1）证明见解析
（2）
【解析】
【分析】（1）根据线面平行的判断定理，转化为证明线线平行，利用平行线比例关系，构造辅助线，即可证明；
（2）根据底面特点，建立空间直角坐标系，分别求平面与平面的法向量，根据向量公式求二面角的余弦值.
【小问1详解】
如图，连接并延长，交于，延长线段，交于，连接．
因为为底面的重心，所以，
又，
所以，所以，
所以．
因为，所以，
所以．
因为平面，平面，
所以平面．
【小问2详解】
取的中点为，连接．
因为底面，且三棱柱的各棱长均相等，
所以直线两两互相垂直．
以为坐标原点，所在直线分别为轴建立如图所示的空间直角坐标系，
设三棱柱的棱长为6，则，
所以．
设平面的法向量为n=x,y,z，
则，即，可取
易知平面的一个法向量为．
设平面与平面的夹角为，
则，
即平面与平面的夹角的余弦值为．
18. 已知函数fx=lnx-ax2+ax.
（1）当时，求曲线y=fx在点1,f1处的切线方程.
（2）若函数gx=fx-ax有两个零点，求实数的取值范围.
【答案】（1）
（2）0,12e
【解析】
【分析】（1）求出f'1、f1，利用直线的点斜式方程可得答案；
（2）转化为y=a,y=lnxx2的图象有2个交点，令hx=lnxx2x>0，利用导数求出hx值域，结合图象可得答案.
【小问1详解】
当时，fx=lnx-2x2+2x，所以f'x=1x-4x+2,
f'1=1-4+2=-1，f1=ln1-2+2=0，
所以曲线y=fx在点1,f1处的切线方程为y=-x-1，
即；
【小问2详解】
gx=fx-ax=lnx-ax2x>0，
由gx=0得，
y=a,y=lnxx2的图象有2个交点，
令hx=lnxx2x>0，
h'x=1-2lnxx3，当时，h'x>0，hx单调递增，
当时，h'x<0，hx单调递减，所以hx≤he=12e，
且时，hx>0，h1=0，
所以0所以若函数gx=fx-ax有两个零点，
则0所以实数的取值范围为0,12e.
19. 已知函数.
（1）若当且仅当，求的值.
（2）若，且，求的最小值；
（3）证明：曲线是中心对称图形.
【答案】（1）
（2）的最小值为-2 （3）证明见解析
【解析】
【分析】（1）根据题设可判断即；
（2）求出后根据可求的最小值；
（3）设为图象上任意一点，可证关于的对称点为也在函数的图像上，从而可证对称性；.
【小问1详解】
因为，
所以，解得，所以的定义域为，
当且仅当，由于的图象是连续的，
故为的一个解，
所以即；
小问2详解】
时，，其中，
则，
因为，当且仅当时等号成立，
故，而成立，故即，
所以的最小值为.
【小问3详解】
的定义域为，
设为图象上任意一点，
关于的对称点为，
因为在图象上，故，
而，
，
所以也在图象上，
由任意性可得图象为中心对称图形，且对称中心为.
【点睛】方法点睛：一个函数不等式成立的充分必要条件就是函数不等式对应的解，而解的端点为函数对一个方程的根或定义域的端点，另外，根据函数不等式的解确定参数范围时，可先由恒成立得到参数的范围，再根据得到的参数的范围重新考虑不等式的解的情况.
X
0
1
2
3
P