2021年湖北省黄冈市十校联考中考数学一模试卷

这是一份2021年湖北省黄冈市十校联考中考数学一模试卷，共27页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

2021年湖北省黄冈市十校联考中考数学一模试卷
一、选择题（共8小题，每题3分，共24分）
1．（3分）﹣5的相反数是（　　）
A．5 B．﹣5 C． D．
2．（3分）下列计算正确的是（　　）
A．a2+a2＝a4 B．（a2）3＝a5
C．（﹣a2b）3＝a6b3 D．（b+2a）（2a﹣b）＝4a2﹣b2
3．（3分）已知：直线l1∥l2，一块含30°角的直角三角板如图所示放置，∠1＝25°，则∠2等于（　　）

A．30° B．35° C．40° D．45°
4．（3分）已知：如图，四边形ABCD是⊙O的内接正方形，点P是劣弧上不同于点C的任意一点，则∠BPC的度数是（　　）

A．45° B．60° C．75° D．90°
5．（3分）下列立体图形中，主视图是三角形的是（　　）
A． B．
C． D．
6．（3分）若一元二次方程x2﹣2x+m＝0有两个不相同的实数根，则实数m的取值范围是（　　）
A．m≥1 B．m≤1 C．m＞1 D．m＜1
7．（3分）一组数据，6、4、a、3、2的平均数是5，这组数据的方差为（　　）
A．8 B．5 C． D．3
8．（3分）如图，矩形ABCD中，AC＝2AB，将矩形ABCD绕点A旋转得到矩形AB′C′D′，使点B的对应点B'落在AC上，B'C'交AD于点E，在B'C′上取点F，使B'F＝AB．若AB＝2，则BF的长为（　　）

A． B． C． D．2
二、填空题（共8题，每小题3分，共24分）
9．（3分）计算：|﹣2|+2＝　 　．
10．（3分）一种花瓣的花粉颗粒直径约为0.0000065米，将数据0.0000065用科学记数法表示为　 　．
11．（3分）要使式子有意义，则a的取值范围为　 　．
12．（3分）如图A（﹣4，0.5），B（﹣1，2）是一次函数y＝kx+b与反比例函数y＝（m＜0）图象的两个交点，AC⊥x轴于C，BD⊥y轴于D．P是线段AB上的一点，连接PC，PD，若△PCA和△PDB面积相等，则点P坐标为　 　．

13．（3分）一位小朋友在粗糙不打滑的“Z”字形平面轨道上滚动一个半径为10cm的圆盘，如图所示，AB与CD是水平的，BC与水平面的夹角为60°，其中AB＝60cm，CD＝40cm，BC＝40cm，那么该小朋友将圆盘从A点滚动到D点其圆心所经过的路线长为　 　cm．

14．（3分）某农场租用播种机播种小麦，在甲播种机播种2天后，又调来乙播种机参与播种，直至完成800亩的播种任务，播种亩数与天数之间的函数关系如图所示，那么乙播种机参与播种的天数是　 　天．

15．（3分）如图，MN为⊙O的直径，A、B是⊙O上的两点，过A作AC⊥MN于点C，过B作BD⊥MN于点D，P为DC上的任意一点，若MN＝20，AC＝8，BD＝6，则PA+PB的最小值是　 　．

16．（3分）如图，一次函数的图象与x轴、y轴分别相交于点A、B，将△AOB沿直线AB翻折，得△ACB．若C（，），则该一次函数的解析式为　 　．

三、解答题（共9小题，满分72分）
17．（6分）计算：÷（x+2﹣）．
18．（6分）解方程：＝﹣．
19．（6分）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠B＝30°，将△ABC绕点C按顺时针方向旋转n度后，得到△DEC，点D刚好落在AB边上．
（1）求n的值；
（2）若F是DE的中点，判断四边形ACFD的形状，并说明理由．

20．（7分）暑期中，哥哥和弟弟二人分别编织28个中国结，已知弟弟单独编织一周（7天）不能完成，而哥哥单独编织不到一周就已完成．哥哥平均每天比弟弟多编2个．
求：（1）哥哥和弟弟平均每天各编多少个中国结？（答案取整数）
（2）若弟弟先工作2天，哥哥才开始工作，那么哥哥工作几天，两人所编中国结数量相同？
21．（8分）某市“创建文明城市”活动如火如荼的展开．某中学为了搞好“创城”活动的宣传，校学生会就本校学生对当地“市情市况”的了解程度进行了一次调查测试．经过对测试成绩的分析，得到如图所示的两幅不完整的统计图（A：59分及以下；B：60﹣69分；C：70﹣79分；D：80﹣89分；E：90﹣100分）．请你根据图中提供的信息解答以下问题：

（1）求该校共有多少名学生；
（2）将条形统计图补充完整；
（3）在扇形统计图中，计算出“70﹣79分”部分所对应的圆心角的度数；
（4）从该校中任选一名学生，其测试成绩为“90﹣100分”的概率是多少？
22．（8分）如图，CE是⊙O的直径，BD切⊙O于点D，DE∥BO，CE的延长线交BD于点A．
（1）求证：直线BC是⊙O的切线；
（2）若AE＝2，tan∠DEO＝，求AO的长．

23．（7分）小明准备测量学校旗杆的高度，他发现斜坡正对着太阳时，旗杆AB影子恰好落在水平地面BC和斜坡面CD上，测得旗杆在水平地面上的影长BC＝20m，在斜坡坡面上的影长CD＝8m，太阳光线AD与水平地面成30°角，且太阳光线AD与斜坡坡面互相垂直，请你帮小明求出旗杆AB的高度（结果保留根号）．

24．（11分）为鼓励大学毕业生自主创业，某市政府出台了相关政策：由政府协调，本市企业按成本价提供产品给大学毕业生自主销售，成本价与出厂价之间的差价由政府承担．李明按照相关政策投资销售本市生产的一种新型节能灯．已知这种节能灯的成本价为每件8元，出厂价为每件10元，每月销售量y（件）与销售单价x（元）之间的关系近似满足一次函数：y＝﹣10x+500．
（1）李明在开始创业的第一个月将销售单价定为20元，那么政府这个月为他承担的总差价为多少元？
（2）设李明获得的利润为w（元），当销售单价定为多少元时，每月可获得最大利润？
（3）物价部门规定，这种节能灯的销售单价不得高于25元．如果李明想要每月获得的利润不低于3410元，那么政府为他承担的总差价最少为多少元？
25．（13分）如图，抛物线y＝﹣x2+bx+c与x轴分别相交于点A（﹣2，0），B（4，0），与y轴交于点C，顶点为点P．
（1）求抛物线的解析式；
（2）动点M、N从点O同时出发，都以每秒1个单位长度的速度分别在线段OB、OC上向点B、C方向运动，过点M作x轴的垂线交BC于点F，交抛物线于点H．
①当四边形OMHN为矩形时，求点H的坐标；
②是否存在这样的点F，使△PFB为直角三角形？若存在，求出点F的坐标；若不存在，请说明理由．


2021年湖北省黄冈市十校联考中考数学一模试卷
参考答案与试题解析
一、选择题（共8小题，每题3分，共24分）
1．（3分）﹣5的相反数是（　　）
A．5 B．﹣5 C． D．
【分析】根据只有符号不同两个数互为相反数，可得﹣5的相反数．
【解答】解：﹣5的相反数是5，
故选：A．
【点评】本题考查了相反数，理解只有符号不同的数是相反数是解题关键．
2．（3分）下列计算正确的是（　　）
A．a2+a2＝a4 B．（a2）3＝a5
C．（﹣a2b）3＝a6b3 D．（b+2a）（2a﹣b）＝4a2﹣b2
【分析】根据合并同类项法则，幂的乘方的运算法则，积的乘方的运算法则，平方差公式计算得到结果，即可作出判断．
【解答】解：A、原式＝2a2，原计算错误，故此选项不符合题意；
B、原式＝a6，原计算错误，故此选项不符合题意；
C、原式＝﹣a6b3，原计算错误，故此选项不符合题意；
D、原式＝4a2﹣b2，原计算正确，故此选项符合题意．
故选：D．
【点评】此题考查了整式的混合运算，熟练掌握运算法则及公式是解本题的关键．
3．（3分）已知：直线l1∥l2，一块含30°角的直角三角板如图所示放置，∠1＝25°，则∠2等于（　　）

A．30° B．35° C．40° D．45°
【分析】先根据三角形外角的性质求出∠3的度数，再由平行线的性质得出∠4的度数，由直角三角形的性质即可得出结论．
【解答】解：∵∠3是△ADG的外角，
∴∠3＝∠A+∠1＝30°+25°＝55°，
∵l1∥l2，
∴∠3＝∠4＝55°，
∵∠4+∠EFC＝90°，
∴∠EFC＝90°﹣55°＝35°，
∴∠2＝35°．
故选：B．

【点评】本题考查的是平行线的性质及三角形外角的性质，用到的知识点为：两直线平行，同位角相等．
4．（3分）已知：如图，四边形ABCD是⊙O的内接正方形，点P是劣弧上不同于点C的任意一点，则∠BPC的度数是（　　）

A．45° B．60° C．75° D．90°
【分析】连接OB、OC，首先根据正方形的性质，得∠BOC＝90°，再根据圆周角定理，得∠BPC＝45°．
【解答】解：如图，连接OB、OC，则∠BOC＝90°，
根据圆周角定理，得：∠BPC＝∠BOC＝45°．
故选：A．

【点评】本题主要考查了正方形的性质和圆周角定理的应用．
这里注意：根据90°的圆周角所对的弦是直径，知正方形对角线的交点即为其外接圆的圆心．
5．（3分）下列立体图形中，主视图是三角形的是（　　）
A． B．
C． D．
【分析】根据从正面看得到的图形是主视图，可得图形的主视图．
【解答】解：A、主视图是矩形，故A不符合题意；
B、C、主视图是正方形，故B、C不符合题意；
D、主视图是三角形，故D正确．
故选：D．
【点评】本题考查了简单几何体的三视图，圆锥的主视图是三角形．
6．（3分）若一元二次方程x2﹣2x+m＝0有两个不相同的实数根，则实数m的取值范围是（　　）
A．m≥1 B．m≤1 C．m＞1 D．m＜1
【分析】根据方程的系数结合根的判别式△＞0，即可得出关于m的一元一次不等式，解之即可得出实数m的取值范围．
【解答】解：∵方程x2﹣2x+m＝0有两个不相同的实数根，
∴△＝（﹣2）2﹣4m＞0，
解得：m＜1．
故选：D．
【点评】本题考查了根的判别式，牢记“当△＞0时，方程有两个不相等的实数根”是解题的关键．
7．（3分）一组数据，6、4、a、3、2的平均数是5，这组数据的方差为（　　）
A．8 B．5 C． D．3
【分析】根据平均数的计算公式先求出a的值，再根据方差公式S2＝[（x1﹣）2+（x2﹣）2+…+（xn﹣）2]，代数计算即可．
【解答】解：∵6、4、a、3、2的平均数是5，
∴（6+4+a+3+2）÷5＝5，
解得：a＝10，
则这组数据的方差S2＝[（6﹣5）2+（4﹣5）2+（10﹣5）2+（3﹣5）2+（2﹣5）2]＝8；
故选：A．
【点评】本题考查了方差，一般地设n个数据，x1，x2，…xn的平均数为，则方差S2＝[（x1﹣）2+（x2﹣）2+…+（xn﹣）2]．
8．（3分）如图，矩形ABCD中，AC＝2AB，将矩形ABCD绕点A旋转得到矩形AB′C′D′，使点B的对应点B'落在AC上，B'C'交AD于点E，在B'C′上取点F，使B'F＝AB．若AB＝2，则BF的长为（　　）

A． B． C． D．2
【分析】连接AF，过A作AM⊥BF，可得△AB′F是等腰直角三角形，△AB′B为等边三角形，分别求出BM，FM可得结论．
【解答】解：连接AF，过A作AM⊥BF，

∵在Rt△ABC中，AC＝2AB，
∴∠ACB＝∠AC′B′＝30°，∠BAC＝60°，
∵AB＝AB′
∴△AB′B为等边三角形，
∵AB′＝BB′＝B′F，∠AB′F＝90°，
∴△AB′F是等腰直角三角形，
∴∠AFB′＝45°，
∴∠AFM＝30°，∠ABF＝45°，
在Rt△AMF中，AM＝BM＝AB•cos∠ABM＝2×＝，
在Rt△AMF中，MF＝＝＝，
则BF＝+．
故选：A．
【点评】此题考查了旋转的性质，矩形的性质，锐角三角函数定义，等边三角形、等腰直角三角形的性质，熟练掌握旋转的性质是解本题的关键．
二、填空题（共8题，每小题3分，共24分）
9．（3分）计算：|﹣2|+2＝　4　．
【分析】先计算|﹣2|，再加上2即可．
【解答】解：原式＝2+2
＝4．
故答案为4．
【点评】本题考查了有理数的加法，以及绝对值的求法，负数的绝对值等于它的相反数．
10．（3分）一种花瓣的花粉颗粒直径约为0.0000065米，将数据0.0000065用科学记数法表示为　6.5×10﹣6　．
【分析】根据科学记数法和负整数指数的意义求解．
【解答】解：0.0000065＝6.5×10﹣6．
故答案为：6.5×10﹣6．
【点评】本题考查了科学记数法﹣表示较小的数，关键是用a×10n（1≤a＜10，n为负整数）表示较小的数．
11．（3分）要使式子有意义，则a的取值范围为　a≥﹣2且a≠0　．
【分析】根据二次根式的性质和分式的意义，被开方数大于或等于0，分母不等于0，可以求出x的范围．
【解答】解：根据题意得：a+2≥0且a≠0，
解得：a≥﹣2且a≠0．
故答案为：a≥﹣2且a≠0．
【点评】本题考查的知识点为：分式有意义，分母不为0；二次根式的被开方数是非负数．
12．（3分）如图A（﹣4，0.5），B（﹣1，2）是一次函数y＝kx+b与反比例函数y＝（m＜0）图象的两个交点，AC⊥x轴于C，BD⊥y轴于D．P是线段AB上的一点，连接PC，PD，若△PCA和△PDB面积相等，则点P坐标为　（﹣，）　．

【分析】先利用待定系数法求一次函数解析式，设出P点坐标，利用三角形面积公式可得到关于t的方程，解方程得到t的值，从而可确定P点坐标．
【解答】解：把A（﹣4，0.5），B（﹣1，2）代入y＝kx+b得，，
解得，
所以一次函数解析式为y＝x+
连接PC、PD，如图，设P点坐标为（t，t+）．
∵△PCA和△PDB面积相等，
∴••（t+4）＝•1•（2﹣t﹣），
解得t＝﹣，
∴P点坐标为（﹣，），
故答案为（﹣，）．

【点评】本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题：反比例函数与一次函数图象的交点坐标满足两函数解析式．也考查了待定系数法求函数解析式以及观察函数图象的能力．
13．（3分）一位小朋友在粗糙不打滑的“Z”字形平面轨道上滚动一个半径为10cm的圆盘，如图所示，AB与CD是水平的，BC与水平面的夹角为60°，其中AB＝60cm，CD＝40cm，BC＝40cm，那么该小朋友将圆盘从A点滚动到D点其圆心所经过的路线长为　（）　cm．

【分析】A点滚动到D点其圆心所经过的路线在点B处少走了一段，在点C处又多求了一段弧长，所以A点滚动到D点其圆心所经过的路线＝（60+40+40）﹣+＝（cm）．
【解答】解：A点滚动到D点其圆心所经过的路线＝（60+40+40）﹣+
＝（cm）．
故答案为：（）．

【点评】本题的关键是弄明白圆中心所走的路线是由哪几段组成的．
14．（3分）某农场租用播种机播种小麦，在甲播种机播种2天后，又调来乙播种机参与播种，直至完成800亩的播种任务，播种亩数与天数之间的函数关系如图所示，那么乙播种机参与播种的天数是　4　天．

【分析】根据题意和分析图象可知，甲乙合作的播种速度是150亩/天，所以600÷150＝4天，由此即可求出答案．
【解答】解：由图形可得：甲播种速度200÷2＝100亩/天，乙播种速度为（350﹣300）÷1＝50亩/天，
∴甲乙合作的播种速度为150亩/天，
则乙播种参与的天数是600÷150＝4天．
【点评】主要考查了函数图象的读图能力．要能根据函数图象的性质和图象上的数据分析得出函数的类型和所需要的条件，结合实际意义得到正确的结论．
15．（3分）如图，MN为⊙O的直径，A、B是⊙O上的两点，过A作AC⊥MN于点C，过B作BD⊥MN于点D，P为DC上的任意一点，若MN＝20，AC＝8，BD＝6，则PA+PB的最小值是　14　．

【分析】先由MN＝20求出⊙O的半径，再连接OA、OB，由勾股定理得出OD、OC的长，作点B关于MN的对称点B′，连接AB′，则AB′即为PA+PB的最小值，B′D＝BD＝6，过点B′作AC的垂线，交AC的延长线于点E，在Rt△AB′E中利用勾股定理即可求出AB′的值．
【解答】解：∵MN＝20，
∴⊙O的半径＝10，
连接OA、OB，
在Rt△OBD中，OB＝10，BD＝6，
∴OD＝＝＝8；
同理，在Rt△AOC中，OA＝10，AC＝8，
∴OC＝＝＝6，
∴CD＝8+6＝14，
作点B关于MN的对称点B′，连接AB′，则AB′即为PA+PB的最小值，B′D＝BD＝6，过点B′作AC的垂线，交AC的延长线于点E，
在Rt△AB′E中，
∵AE＝AC+CE＝8+6＝14，B′E＝CD＝14，
∴AB′＝＝＝14．
故答案为：14．

【点评】本题考查的是轴对称﹣最短路线问题、垂径定理及勾股定理，根据题意作出辅助线，构造出直角三角形，利用勾股定理求解是解答此题的关键．
16．（3分）如图，一次函数的图象与x轴、y轴分别相交于点A、B，将△AOB沿直线AB翻折，得△ACB．若C（，），则该一次函数的解析式为　y＝﹣x+　．

【分析】利用翻折变换的性质结合锐角三角函数关系得出CO，AO的长，进而得出A，B点坐标，再利用待定系数法求出直线AB的解析式．
【解答】解：连接OC，过点C作CD⊥x轴于点D，
∵将△AOB沿直线AB翻折，得△ACB，C（，），
∴AO＝AC，OD＝，DC＝，BO＝BC，
则tan∠COD＝＝，故∠COD＝30°，∠BOC＝60°，
∴△BOC是等边三角形，且∠CAD＝60°，
则sin60°＝，即AC＝＝1，
故A（1，0），
sin30°＝＝＝，
则CO＝，故BO＝，B点坐标为：（0，），
设直线AB的解析式为：y＝kx+b，
则，
解得：，
即直线AB的解析式为：y＝﹣x+．
故答案为：y＝﹣x+．

【点评】此题主要考查了翻折变换的性质以及锐角三角函数关系和待定系数法求一次函数解析式等知识，得出A，B点坐标是解题关键．
三、解答题（共9小题，满分72分）
17．（6分）计算：÷（x+2﹣）．
【分析】首先按分式的混合运算法则，先计算小括号内的，再把除法变为乘法，经因式分解后约分，再化简即可．
【解答】解：原式＝
＝
＝
＝．
【点评】此题考查的是分式的混合运算，掌握其运算法则是解决此题的关键．
18．（6分）解方程：＝﹣．
【分析】此方程在乘以最简公分母时，注意分式分母的符号，如1﹣x应化为﹣（x﹣1）再去分母．
【解答】解：方程两边都乘以（x+1）（x﹣1），得，2﹣（x+1）2＝﹣（x﹣1），
解得 x1＝0，x2＝﹣1，
检验：当x＝0时，（x+1）（x﹣1）＝﹣1≠0，当x＝﹣1时，（x+1）（x﹣1）＝0，
∴x＝﹣1不是原方程的解，
∴x＝0是原方程的解．
【点评】此题的重点是考查学生对分式方程解法的掌握情况，特别是学生会用转化分式方程为整式方程求得整式方程的解，而往往忽略检验环节，此题有一个结果不是原方程的解，这样安排便于学生引起注意．
19．（6分）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠B＝30°，将△ABC绕点C按顺时针方向旋转n度后，得到△DEC，点D刚好落在AB边上．
（1）求n的值；
（2）若F是DE的中点，判断四边形ACFD的形状，并说明理由．

【分析】（1）利用旋转的性质得出AC＝CD，进而得出△ADC是等边三角形，即可得出∠ACD的度数；
（2）利用直角三角形的性质得出FC＝DF，进而得出AD＝AC＝FC＝DF，即可得出答案．
【解答】解：（1）∵在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠B＝30°，将△ABC绕点C按顺时针方向旋转n度后，得到△DEC，
∴AC＝DC，∠A＝60°，
∴△ADC是等边三角形，
∴∠ACD＝60°，
∴n的值是60；

（2）四边形ACFD是菱形；
理由：∵∠DCE＝∠ACB＝90°，F是DE的中点，
∴FC＝DF＝FE，
∵∠CDF＝∠A＝60°，
∴△DFC是等边三角形，
∴DF＝DC＝FC，
∵△ADC是等边三角形，
∴AD＝AC＝DC，
∴AD＝AC＝FC＝DF，
∴四边形ACFD是菱形．
【点评】此题主要考查了菱形的判定以及旋转的性质和直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半等知识，得出△DFC是等边三角形是解题关键．
20．（7分）暑期中，哥哥和弟弟二人分别编织28个中国结，已知弟弟单独编织一周（7天）不能完成，而哥哥单独编织不到一周就已完成．哥哥平均每天比弟弟多编2个．
求：（1）哥哥和弟弟平均每天各编多少个中国结？（答案取整数）
（2）若弟弟先工作2天，哥哥才开始工作，那么哥哥工作几天，两人所编中国结数量相同？
【分析】（1）设弟弟每天编x个中国结，根据弟弟单独工作一周（7天）不能完成，得7x＜28；根据哥哥单独工作不到一周就已完成，得7（x+2）＞28，列不等式组进行求解；
（2）设哥哥工作m天，两人所编中国结数量相同，结合（1）中求得的结果，列方程求解．
【解答】解：（1）设弟弟每天编x个中国结，则哥哥每天编（x+2）个中国结．
依题意得：，
解得：2＜x＜4．
∵x取正整数，
∴x＝3；x+2＝5，
答：弟弟每天编3个中国结，哥哥每天编5个中国结．

（2）设哥哥工作m天，两人所编中国结数量相同，
依题意得：3（m+2）＝5m，
解得：m＝3．
答：弟弟每天编3个中国结；若弟弟先工作2天，哥哥才开始工作，那么哥哥工作3天，两人所编中国结数量相同．
【点评】本题考查一元一次不等式组和一元一次方程的应用，解决问题的关键是读懂题意，找到关键描述语，进而找到所求的量的等量关系和不等关系．
21．（8分）某市“创建文明城市”活动如火如荼的展开．某中学为了搞好“创城”活动的宣传，校学生会就本校学生对当地“市情市况”的了解程度进行了一次调查测试．经过对测试成绩的分析，得到如图所示的两幅不完整的统计图（A：59分及以下；B：60﹣69分；C：70﹣79分；D：80﹣89分；E：90﹣100分）．请你根据图中提供的信息解答以下问题：

（1）求该校共有多少名学生；
（2）将条形统计图补充完整；
（3）在扇形统计图中，计算出“70﹣79分”部分所对应的圆心角的度数；
（4）从该校中任选一名学生，其测试成绩为“90﹣100分”的概率是多少？
【分析】（1）根据C的人数和所占的百分比列式计算即可得解；
（2）求出D的总人数，然后补全统计图即可；
（3）用360°乘以C所占的百分比计算即可得解；
（4）根据全校总人数和E的人数，计算即可求出概率．
【解答】解：（1）该校共有学生：300÷30%＝1000名；

（2）D的人数为：1000×35%＝350名，
补全条形统计图如图所示；

（3）“70﹣79分”部分所对应的圆心角的度数360°×30%＝108°；

（4）成绩为“90﹣100分”的概率是：＝．

【点评】本题考查了概率的意义，明确概率的意义是解答的关键，用到的知识点为：概率等于所求情况数与总情况数之比，还考查了条形统计图与扇形统计图的知识．
22．（8分）如图，CE是⊙O的直径，BD切⊙O于点D，DE∥BO，CE的延长线交BD于点A．
（1）求证：直线BC是⊙O的切线；
（2）若AE＝2，tan∠DEO＝，求AO的长．

【分析】（1）连接OD，由DE∥BO，得到∠1＝∠4，∠2＝∠3，通过△DOB≌△COB，得到∠OCB＝∠ODB，问题得证；
（2）根据三角函数tan∠DEO＝tan∠2＝，设；OC＝r，BC＝r，得到BD＝BC＝r，由切割线定理得到AD＝2，再根据平行线分线段成比例得到比例式即可求得结果．
【解答】解：（1）连接OD，
∵DE∥BO，
∴∠1＝∠4，∠2＝∠3，
∵OD＝OE，
∴∠3＝∠4，
∴∠1＝∠2，
在△DOB与△COB中，
，
∴△DOB≌△COB，
∴∠OCB＝∠ODB，
∵BD切⊙O于点D，
∴∠ODB＝90°，
∴∠OCB＝90°，
∴AC⊥BC，
∴直线BC是⊙O的切线；

（2）∵∠DEO＝∠2，
∴tan∠DEO＝tan∠2＝，
设；OC＝r，BC＝r，
由（1）证得△DOB≌△COB，
∴BD＝BC＝r，
由切割线定理得：AD2＝AE•AC＝2（2+2r），
∴AD＝2，
∵DE∥BO，
∴，
∴，
∴r＝1，
∴AO＝3．

【点评】本题考查了切线的判定和性质，全等三角形的判定与性质．切割线定理，平行线分线段成比例，掌握定理是解题的关键．
23．（7分）小明准备测量学校旗杆的高度，他发现斜坡正对着太阳时，旗杆AB影子恰好落在水平地面BC和斜坡面CD上，测得旗杆在水平地面上的影长BC＝20m，在斜坡坡面上的影长CD＝8m，太阳光线AD与水平地面成30°角，且太阳光线AD与斜坡坡面互相垂直，请你帮小明求出旗杆AB的高度（结果保留根号）．

【分析】设AD与BC的延长线交于E，在Rt△CDE中，由含30°角的直角三角形的性质求出CE＝16m，得出BE，再由三角函数求出AB即可．
【解答】解：作AD与BC的延长线，交于E点．如图所示：
根据平行线的性质得：∠E＝30°，
∴CE＝2CD＝2×8＝16（m）
则BE＝BC+CE＝20+16＝36（m），
在直角△ABE中，tan∠E＝，
∴AB＝BE•tan30°＝36×＝12（m）．
即旗杆AB的高度是12m．

【点评】此题考查了解直角三角形的应用、含30°角的直角三角形的性质；由含30°角的直角三角形的性质求出CE，得出BE是解决问题的关键．
24．（11分）为鼓励大学毕业生自主创业，某市政府出台了相关政策：由政府协调，本市企业按成本价提供产品给大学毕业生自主销售，成本价与出厂价之间的差价由政府承担．李明按照相关政策投资销售本市生产的一种新型节能灯．已知这种节能灯的成本价为每件8元，出厂价为每件10元，每月销售量y（件）与销售单价x（元）之间的关系近似满足一次函数：y＝﹣10x+500．
（1）李明在开始创业的第一个月将销售单价定为20元，那么政府这个月为他承担的总差价为多少元？
（2）设李明获得的利润为w（元），当销售单价定为多少元时，每月可获得最大利润？
（3）物价部门规定，这种节能灯的销售单价不得高于25元．如果李明想要每月获得的利润不低于3410元，那么政府为他承担的总差价最少为多少元？
【分析】（1）把x＝20代入y＝﹣10x+500求出销售的件数，然后求出政府承担的成本价与出厂价之间的差价；
（2）由总利润＝销售量•每件纯赚利润，得w＝（x﹣8）（﹣10x+500），把函数转化成顶点坐标式，根据二次函数的性质求出最大利润；
（3）令﹣10x2+600x﹣5000＝3000，求出x的值，结合图象求出利润的范围，然后设政府每个月为他承担的总差价为p元，根据一次函数的性质求出总差价的最小值．
【解答】解：（1）当x＝20时，y＝﹣10x+500＝﹣10×20+500＝300，
300×（10﹣8）＝300×2＝600元，
即政府这个月为他承担的总差价为600元．
（2）由题意得，w＝（x﹣8）（﹣10x+500），
＝﹣10x2+580x﹣4000，
＝﹣10（x﹣29）2+4410，
∵a＝﹣10＜0，
∴当x＝29时，w有最大值4410元．
即当销售单价定为29元时，每月可获得最大利润4410元．
（3）由题意得：
﹣10（x﹣29）2+4410≥3410，
当﹣10（x﹣29）2+4410＝3410时，
解得：x1＝19，x2＝39．
∵a＝﹣10＜0，抛物线开口向下，
∴结合图象可知：当19≤x≤39时，每月获得的利润不低于3410元，
又∵x≤25，
∴当19≤x≤25时，每月获得的利润不低于3410元，
设政府每个月为他承担的总差价为p元，
∴p＝（10﹣8）×（﹣10x+500）
＝﹣20x+1000．
∵k＝﹣20＜0．
∴p随x的增大而减小，
∴当x＝25时，p有最小值500元．
即销售单价定为25元时，政府每个月为他承担的总差价最少为500元．
【点评】本题考查二次函数的应用、一次函数的应用、利润、销售量、单价之间的关系等知识，解题的关键是理解题意，学会构建二次函数解决最值问题，学会利用一次函数的增减性，解决实际问题中的最值问题，属于中考常考题型．
25．（13分）如图，抛物线y＝﹣x2+bx+c与x轴分别相交于点A（﹣2，0），B（4，0），与y轴交于点C，顶点为点P．
（1）求抛物线的解析式；
（2）动点M、N从点O同时出发，都以每秒1个单位长度的速度分别在线段OB、OC上向点B、C方向运动，过点M作x轴的垂线交BC于点F，交抛物线于点H．
①当四边形OMHN为矩形时，求点H的坐标；
②是否存在这样的点F，使△PFB为直角三角形？若存在，求出点F的坐标；若不存在，请说明理由．

【分析】（1）把A（﹣2，0），B（4，0），代入抛物线y＝﹣x2+bx+c，求出b、c即可；
（2）①表示出ON、MH，运用ON＝MH，列方程求解即可；
②存在，先求出BC的解析式，根据互相垂直的直线一次项系数积等于﹣1，直线经过点P，待定系数法求出直线PF的解析式，求直线BC与直线PF的交点坐标即可．
【解答】解：（1）把A（﹣2，0），B（4，0），代入抛物线y＝﹣x2+bx+c得：

解得：b＝1，c＝4，
∴y＝﹣x2+x+4；

（2）点C的坐标为（0，4），B（4，0）
∴直线BC的解析式为y＝﹣x+4，
①根据题意，ON＝OM＝t，MH＝﹣t2+t+4
∵ON∥MH
∴当ON＝MH时，四边形OMHN为矩形，
即t＝﹣t2+t+4
解得：t＝2或t＝﹣2（不合题意舍去）
把t＝2代入y＝﹣t2+t+4得：y＝2
∴H（2，2）；
②存在，
当PF⊥BC时，
∵直线BC的解析式为y＝﹣x+4，
∴设PF的解析式为y＝x+b，又点P（1，）代入求得b＝，
∴根据题意列方程组：

解得：
∴F（，）
当PF⊥BP时，
∵点P（1，），B（4，0），
∴直线BP的解析式为：y＝﹣x+6，
∴设PF的解析式为y＝x+b，又点P（1，）代入求得b＝，
∴根据题意列方程组：
解得：，
∴F（，），
综上所述：△PFB为直角三角形时，点F的坐标为（，）或（，）．
解法二：设F（m，﹣m+4），
当PF⊥BC时，PF2+BF2＝PB2，
∴（1﹣m）2+（+m﹣4）2+（4﹣m）2+（﹣m+4）2＝32+（）2，
解得m＝（不符合题意的已经舍弃），
∴F（，），
当PF⊥PB时，同法可得F（，）．

【点评】本题考查了待定系数法求直线和抛物线解析式，求顶点坐标，矩形的判定与性质以及两直线互相垂直的性质，本题有一定的综合性，难度不大，关键是掌握两直线互相垂直的性质．
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日期：2021/5/30 8:11:15；用户：陈松林；邮箱：15874759326；学号：31293223