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2021年湖北省黄冈市中考数学一模试卷（word版 含答案）
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这是一份2021年湖北省黄冈市中考数学一模试卷（word版 含答案），共28页。试卷主要包含了单选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
2021年湖北省黄冈市中考数学一模试卷
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、单选题
1．方程化为一般形式后，的值分别是（ ）
A． B．
C． D．
2．某商场举行投资促销活动，对于“抽到一等奖的概率为”，下列说法正确的是（ ）
A．抽一次不可能抽到一等奖
B．抽次也可能没有抽到一等奖
C．抽次奖必有一次抽到一等奖
D．抽了次如果没有抽到一等奖，那么再抽一次肯定抽到一等奖
3．如图，在平面直角坐标系中，与位似，位似中心是原点，若与的相似比为，已知，则它对应点的坐标是（ ）
A． B． C．或 D．或
4．若点在反比例函数的图象上，则的大小关系是（ ）
A． B． C． D．
5．将抛物线向左平移1个单位长度，得到抛物线，抛物线与抛物线关于轴对称，则抛物线的解析式为（ ）
A． B． C． D．
6．如图，在△ABC中，点D，E分别在边AB，AC上，且，则的值为
A． B． C． D．
7．如图，CD为⊙O的直径，弦AB⊥CD，垂足为M，若AB=12，OM：MD=5：8，则⊙O的周长为（ ）
A．26π B．13π C． D．
8．如图，等边的边AB与正方形DEFG的边长均为2，且AB与DE在同一条直线上，开始时点B与点D重合，让沿这条直线向右平移，直到点B与点E重合为止，设BD的长为x，与正方形DEFG重叠部分（图中阴影部分）的面积为y，则y与x之间的函数关系的图象大致是（ ）
A． B． C． D．
二、填空题
9．抛物线的顶点坐标是_______
10．在平面直角坐标系中，若点A（x+1，2y+1）与点A'（y﹣2，x）关于原点O对称，则代数式x2﹣y2的值为_____．
11．设x1、x2是方程x2+mx﹣5＝0的两个根，且x1+x2﹣x1x2＝1，则m＝_____．
12．用半径为18,圆心角为120 º的扇形纸片围成一个圆锥的侧面，则这个圆锥的底面圆半径为_________.
13．如图，点在反比例函数的图象上，轴于点，点在轴的负半轴上，且，若的面积为18，则的值为_______．
14．在某市中考体考前，某初三学生对自己某次实心球训练的录像进行分析，发现实心球飞行高度y（米）与水平距离x（米）之间的关系为，由此可知该生此次实心球训练的成绩为_______米．
15．如图，正方形ABCD中，P为AD上一点，BP⊥PE交BC的延长线于点E，若AB=6，AP=4，则CE的长为_____．
16．如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，BC=4，AC=10，点D是AC上的一个动点，以CD为直径作⊙O，连接BD交⊙O于点E，则AE的最小值为________________．
三、解答题
17．解方程：
（1）（x-4）2=（5-2x）2； （2）2x2+3x=3．
18．如图，将等腰绕顶点逆时针方向旋转度到的位置，与相交于点与分别交于点．
（1）求证；．
（2）当度时，判定四边形的形状并说明理由．
19．如图，是的直径，弦于点，连接．
（1）求证；；
（2）若，求扇形（阴影部分）的面积．
20．某文具店去年8月底购进了一批文具1160件，预计在9月份进行试销．购进价格为每件10元．若售价为12元/件，则可全部售出．若每涨价0.1元．销售量就减少2件．
（1）求该文具店在9月份销售量不低于1100件，则售价应不高于多少元？
（2）由于销量好，10月份该文具进价比8月底的进价每件增加20%，该店主增加了进货量，并加强了宣传力度，结果10月份的销售量比9月份在（1）的条件下的最低销售量增加了m%，但售价比9月份在（1）的条件下的最高售价减少m%．结果10月份利润达到3388元，求m的值（m＞10）．
21．如图，在平面直角坐标系中，已知△ABC，∠ABC=90°，顶点A在第一象限，B、C在x轴的正半轴上（C在B的右侧），BC=3，AB=4，若双曲线交边AB于点E，交边AC于中点D．
（1）若OB=2，求k；
（2）若AE=， 求直线AC的解析式．
22．如图，是的直径，是的一条弦，是的切线．作并与交于点，延长交于点，交于点，连接．
（1）求证；；
（2）若的半径，求的长．
23．九年级复学复课后，某校为了了解学生的疫情防控意识情况，在全校九年级随机抽取部分学生进行问卷调查．根据调查结果，把学生的防控意识分成“A．很强”、“B．较强”、“C．一般”、“D．淡薄”四个层次，将调查的结果绘制如下两幅不完整的统计图，请根据图中的信息，解答下列问题：
（1）本次共调查了 名学生，并将条形统计图补充完整；
（2）如果把疫情防控意识“很强或较强”视为合格，该校九年级共有600名学生，请你估计合格的学生约有多少名？
（3）在“A．很强”的3人中，有2名女生，1名男生，老师想从这3人中任选两人做宣传员，请用列表或画树状图法求出被选中的两人恰好是一男生一女生的概率．
24．疫情期间，某销售商在网上销售A、B两种型号的电脑“手写板”，其进价、售价和每日销量如下表所示：
进价（元/个）
售价（元/个）
销量（个/日）
A型
400
600
200
B型
800
1200
400
根据市场行情，该销售商对A型手写板降价销售，同时对B型手写板提高售价，此时发现A型手写板每降低5元就可多卖1个，B型手写板每提高5元就少卖1个．销售时保持每天销售总量不变，设其中A型手写板每天多销售x个，每天获得的总利润为y元．
（1）求y与x之间的函数关系式，并直接写出x的取值范围；
（2）要使每天的利润不低于212000元，求出x的取值范围；
（3）该销售商决定每销售一个B型手写板，就捐助a元给受“新冠疫情”影响的困难学生，若当30≤x≤40时，每天的最大利润为203400元，求a的值．
25．如图，在平面直角坐标系中，矩形的边与x轴、y轴的交点分别为，抛物线过B，C两点，动点M从点D开始以每秒5个单位长度的速度沿的方向运动到达C点后停止运动．动点N从点O以每秒4个单位长度的速度沿方向运动，到达C点后，立即返回，向方向运动，到达O点后，又立即返回，依此在线段上反复运动，当点M停止运动时，点N也停止运动，设运动时间为．
（1）求抛物线的解析式；
（2）求点D的坐标；
（3）当点M，N同时开始运动时，若以点M，D，C为顶点的三角形与以点B，O，N为顶点的三角形相似，求t的值；
（4）过点D与x轴平行的直线，交抛物线的对称轴于点Q，将线段沿过点B的直线翻折，点A的对称点为，求的最小值．
参考答案
1．C
【分析】
先通过移项把方程化成一般形式，再找二次项系数､一次项系数和常数项即可．
【详解】
解：由原方程移项，得
，
所以．
故选：C．
【点睛】
本题考查一元二次方程的一般形式，确定二次项系数，一次项系数，常数项，解题关键是利用移项化一元二次方程一般式．
2．B
【分析】
根据大量反复试验时，某事件发生的频率会稳定在某个常数的附近，这个常数就叫做事件概率的估计值，而不是一种必然的结果，可得答案．
【详解】
A. “抽到一等奖的概率为”，抽一次也可能抽到一等奖，故错误；
B. “抽到一等奖的概率为”，抽10次也可能抽不到一等奖，故正确；
C. “抽到一等奖的概率为”，抽10次也可能抽不到一等奖，故错误；
D. “抽到一等奖的概率为”，抽第10次的结果跟前面的结果没有关系，再抽一次也不一定抽到一等奖，故错误；
故选B.
【点睛】
关键是理解概率是反映事件的可能性大小的量.概率小的有可能发生,概率大的有可能不发生.概率等于所求情况数与总情况数之比.
3．D
【分析】
直接利用位似图形的性质，如果位似变换是以原点为位似中心，相似比为，那么位似图形对应点的坐标的比等于或，进而得出答案．
【详解】
解；与位似，位似中心是原点，与的相似比为，
又∵，
当点B1在第三象限时，即，
当点B1在第一象限时，即，
∴它对应点的坐标是；或．
故选：D．
【点睛】
本题考查三角形位似，掌握三角形位似的性质是解题关键
4．A
【分析】
根据反比例函数图象上点的坐标特征，把三个点的坐标分别代入解析式计算出的值，然后比较大小即可．
【详解】
解：∵点在反比例函数的图象上，
∵点A，，点B，，点C，，
，
．
故选：A．
【点睛】
本题考查了反比例函数，熟练掌握函数值的计算是解题的关键．
5．A
【分析】
利用平移的规律:左加右减，上加下减.并用规律求函数解析式，再因为关于x轴对称的两个抛物线，自变量x的取值相同，函数值y互为相反数，由此可直接得出抛物线的解析式．
【详解】
解：抛物线向左平移1个单位长度，得到抛物线：，即抛物线：;
由于抛物线与抛物线关于轴对称，则抛物线的解析式为：.
故选：A．
【点睛】
主要考查了函数图象的平移、对称，要求熟练掌握平移的规律:左加右减，上加下减.并用规律求函数解析式以及关于x轴对称的两个抛物线，自变量x的取值相同，函数值y互为相反数．
6．C
【解析】
∵，∠A=∠A，
∴△ABC∽△AED．∴．
∴．故选C．
7．B
【解析】
试题分析：连接OA，根据垂径定理得到AM=AB=6，设OM=5x，DM=8x，得到OA=OD=13x，根据勾股定理得到OA=，则可求周长．
解：连接OA，
∵CD为⊙O的直径，AB⊥CD，
∴AM=AB=6，
∵OM：MD=5：8，
∴设OM=5x，DM=8x，
∴OA=OD=13x，
∴AM==12x=6，
∴x=，∴OA=，
∴⊙O的周长=2π•OA=13π.
故选B．
8．D
【分析】
此题可分为两段求解，即B从D点运动到DE的中点和A从DE的中点运动到E点，列出面积随动点变化的函数关系式即可．
【详解】
解：设BD的长为x，△ABC与正方形DEFG重合部分（图中阴影部分）的面积为y，
当B从D点运动到DE的中点时，即0≤x≤1时，y=×x×x=x2．
当B从DE中点运动到E点时，即1＜x≤2时，y=-（2-x）×（2-x）=-x2+2x-
由函数关系式可看出D中的函数图象与所求的分段函数对应．
故选D．
9．（1，2）．
【详解】
试题分析：已知抛物线的解析式是一般式，用配方法转化为顶点式，根据顶点式的坐标特点，直接写出顶点坐标．
试题解析：∵y=x2-2x+3=x2-2x+1-1+3=（x-1）2+2，
∴抛物线y=x2-2x+3的顶点坐标是（1，2）．
考点：二次函数的性质．
10．5
【分析】
直接利用关于原点对称点的性质得出关于x，y的方程组进而得出x，y的值，即可得出答案．
【详解】
解：∵点A（x+1，2y+1）与点A'（y﹣2，x）关于原点O对称，
∴ ，
解得： ，
故x2﹣y2＝9﹣4＝5．
故答案为5．
【点睛】
此题主要考查了关于原点对称点的性质，正确得出x，y的值是解题关键．
11．4
【分析】
利用根与系数的关系可得出x1+x2＝﹣m，x1x2＝﹣5，结合x1+x2﹣x1x2＝1，即可得出关于m的一元一次方程，解之即可得出m的值．
【详解】
解：∵x1、x2是方程x2+mx﹣5＝0的两个根，
∴x1+x2＝﹣m，x1x2＝﹣5．
∵x1+x2﹣x1x2＝1，
∴﹣m﹣（﹣5）＝1，
∴m＝4．
故答案为：4．
【点睛】
本题考查了根与系数的关系，牢记“两根之和等于﹣，两根之积等于”是解题的关键．
12．6
【分析】
根据图形可知，圆锥的侧面展开图为扇形，且其弧长等于圆锥底面圆的周长．
【详解】
设这个圆锥的底面半径是R,则有
解得：R=6.
故答案为6.
【点睛】
本题考查圆锥的侧面展开图．掌握圆锥的侧面展开图和圆锥底面圆的关系，圆锥底面圆的周长=侧面展开图中扇形的弧长.
13．24
【分析】
设出A点的坐标，用含的代数式表示出线段的长，根据三角形的面积为18，构建方程即可求出的值．
【详解】
解：设A点的坐标为，
则，
，
∴
的面积为；，
解得，
故答案为：24．
【点睛】
本题考查待定系数法求反比例函数解析式，利用三角形面积构造方程是解题关键．
14．10
【分析】
根据铅球落地时，高度，把实际问题可理解为当时，求x的值即可．
【详解】
解：当时，，
解得，（舍去），．
故答案为10．
【点睛】
本题考查了二次函数的实际应用，解析式中自变量与函数表达的实际意义；结合题意，选取函数或自变量的特殊值，列出方程求解是解题关键．
15．7
【分析】
利用同角的余角相等可得出∠ABP=∠DPF，结合∠A=∠D可得出△APB∽△DFP，利用相似三角形的性质可求出DF的长，进而可得出CF的长，由∠PFD=∠EFC，∠D=∠ECF可得出△PFD∽△EFC，再利用相似三角形的性质可求出CE的长．
【详解】
∵四边形ABCD为正方形，
∴∠A=∠D=∠ECF=90°，AB=AD=CD=6，
∴DP=AD﹣AP=2．
∵BP⊥PE，
∴∠BPE=90°，
∴∠APB+∠DPF=90°．
∵∠APB+∠ABP=90°，
∴∠ABP=∠DPF．
又∵∠A=∠D，
∴△APB∽△DFP，
∴，即，
∴DF=，
∴CF=．
∵∠PFD=∠EFC，∠D=∠ECF，
∴△PFD∽△EFC，
∴=，即，
∴CE=7．
故答案为：7．
【点睛】
此题考查相似三角形判定与性质以及正方形的性质，利用相似三角形的判定定理，找出△APB∽△DFP及△PFD∽△EFC是解题的关键．
16．
【分析】
连接CE，可得∠CED＝∠CEB＝90°，从而知点E在以BC为直径的⊙Q上，继而知点Q、E、A共线时AE最小，根据勾股定理求得QA的长，即可得答案．
【详解】
解：如图，连接CE，
∴∠CED＝∠CEB＝90°，
∴点E在以BC为直径的⊙Q上，
∵BC＝4，
∴QC＝QE＝2，
当点Q、E、A共线时AE最小，
∵AC＝10，
∴AQ＝=，
∴AE＝AQ−QE＝，
∴AE的最小值为，
故答案为．
【点睛】
本题考查了圆周角定理和勾股定理，解决本题的关键是确定E点运动的规律，从而把问题转化为圆外一点到圆上一点的最短距离问题．
17．（1）x1=1, x2=3（2）x=-3±334
【解析】试题分析：（1）用因式分解法解方程即可；（2）用公式法解方程即可.
试题解析：
(1)(x-4)2-(5-2x)2=0
(x-4+5-2x)(x-4-5+2x)=0
(1-x)(3x-9)=0
∴x1=1,x2=3
（2）2x2+3x-3=0
a=2，b=3，c=-3，
△=9+24=33
∴x=-3+334
18．（1）证明见解析；（2）四边形是菱形；答案见解析．
【分析】
（1）根据等腰三角形的性质得到，由旋转的性质得到，根据全等三角形的判定定理得到；
（2）由旋转的性质得到，根据平角的定义得到，根据四边形的内角和得到，证得四边形是平行四边形，由于，即可得到四边形是菱形．
【详解】
（1）证明：∵△ABC是等腰三角形，
∴AB=BC，∠A=∠C，
∵将等腰△ABC绕顶点B逆时针方向旋转度到△A1BC1的位置，
∴A1B=AB=BC，∠A=∠A1=∠C，∠A1BD=∠CBC1，
在△BCF与△BA1D中，
，
∴△BCF≌△BA1D（ASA）；
（2）证明：四边形A1BCE是菱形，
理由：∵将等腰△ABC绕顶点B逆时针方向旋转度到△A1BC1的位置，
∵，
∴∠A1=∠A=，
∵∠ADE=∠A1DB，
∴∠AED=∠A1BD=，
∴∠DEC=180°-，
∴∠A1BC=360°-∠A1-∠C-∠A1EC=180°-，
∴∠A1=∠C，∠A1BC=∠A1EC，
∴四边形A1BCE是平行四边形，
∵A1B=BC，
∴四边形A1BCE是菱形．
【点睛】
本题考查了旋转的性质，全等三角形的判定和性质，等腰三角形的性质，菱形判定，正确的理解题意是解题的关键．
19．（1）证明见解析；（2）．
【分析】
（1）根据垂径定理得到，根据圆周角定理证明结论；
（2）根据等边三角形的判定定理得到为等边三角形，求出，根据正弦的定义求出，利用扇形面积公式计算即可．
【详解】
（1）证明；是的直径，弦，
，
；
（2）解；，
为等边三角形，
，
，
是的直径，弦，，
，
在中，，
∴扇形（阴影部分）的面积．
【点睛】
本题考查垂径定理，圆周角定理，等边三角形，锐角三角函数，扇形面积，掌握垂径定理，圆周角定理，等边三角形，锐角三角函数，扇形面积公式是解题关键．
20．（1）售价应不高于15元．（2）m的值为40．
【解析】
试题分析：（1）设售价应为x元，根据不等关系：该文具店在9月份销售量不低于1100件，列出不等式求解即可；
（2）先求出10月份的进价，再根据等量关系：10月份利润达到3388元，列出方程求解即可．
试题解析：（1）设售价应为x元，依题意有
1160-≥1100，
解得x≤15．
答：售价应不高于15元．
（2）10月份的进价：10（1+20%）=12（元），
由题意得：
1100（1+m%）[15（1-m%）-12]=3388，
设m%=t，化简得50t2-25t+2=0，
解得：t1=，t2=，
所以m1=40，m2=10，
因为m＞10，
所以m=40．
答：m的值为40．
考点：一元一次不等式的应用，一元二次方程的应用
21．（1）7；（2）y=-x+12.
【分析】
（1）过D作BC垂线，根据D为中点，得到D点坐标，代入可求得结果；
（2）设OB为a，E，D点坐标为关于a的代数式，代入函数可求得a值，继而可得到A，C点坐标，根据已知直线上两点，求直线解析式，即可求得AC解析式．
【详解】
（1）如图，
过D作BC垂线，交BC于P点，
∵BC=3，D为AC中点，
∴BP=BC=，
∵OB=2，∴OP=，∴P点坐标为（，0）
∵AB=4，∴D点坐标为（，2），
∵D在y=上，代入D点坐标，
∴k=7；
故答案为7；
（2）∵AE=AB=×4=，
∴BE=AB-AE=4-=，
设OB=a，则E点坐标为（a，），D点坐标为（a+，2），
∵D，E在y=上，
∴k=xy=a=2(a+)，
∴a=6，
∴A点坐标为（6,4），C点坐标为（9,0），
设AC的解析式为y=kx+b，A，C坐标代入，
求得k=-，b=12，
故AC的解析式为y=-x+12．
【点睛】
本题考查了根据坐标求反比例函数，考查反比例函数图像上点的坐标特征，结合直角三角形，求出OB长是解题的关键．
22．（1）证明见解析；（2）．
【分析】
（1）根据切线的性质得出，等腰三角形的性质，根据等角的余角相等得出，即可证得；
（2）连接，由勾股定理求BC,证明，由线段成比例求出的长，则答案可求出．
【详解】
（1）证明；是的切线，
，
．
又，
，
，
；
（2）解：连接，
是的直径，
，
，
在中，，
，
，
，
由（1）知，，，
，
，
即，
，
又，
，
．
【点睛】
本题考查圆的切线性质，等腰三角形性质与判定，圆周角性质，勾股定理，相似三角形判定与性质，掌握圆的切线性质，等腰三角形性质与判定，圆周角性质，勾股定理，相似三角形判定与性质是解题关键．
23．（1）30名，见解析；（2）300名；（3）树状图见解析，
【分析】
（1）由D选项的人数及其百分比可得本次共调查的人数；由本次共调查的人数减去A、C、D选项的人数求得B的人数即可补全条形统计图；
（2）总人数乘以样本中A、B选项的比例可得；
（3）画树状图列出所有等可能结果，根据概率公式求解可得．
【详解】
解：（1）本次共调查的学生人数为6÷20%＝30（名）；
故答案为：30；
“B．较强”的学生人数为30−3−9−6＝12（名），将条形统计图补充完整如图所示：
（2）估计合格的学生约有=300（名）；
（3）画树状图如下：
由树状图可知，共有6种等可能结果，被选中的两人恰好是一男生一女生的有4种，
∴被选中的两人恰好是一男生一女生的概率为.
【点睛】
本题考查了列表法与树状图法求概率、条形统计图和扇形统计图的综合运用，读懂统计图，画出树状图是解题的关键．
24．（1）；（2）；（3）
【分析】
（1）根据“总利润=A型手写板利润+B型手写板利润”即可确定函数解析式；根据600-400-5x≥0，1200-800+5x≥0即可确定自变量取值范围；
（2）把y＝212000，代入函数解析式求出x值，根据函数增减性结合（1）自变量取值，即可求出x的取值；
（3）设捐款后每天的利润为w元，则w=-10x2+800x+200000-(400-x)a，即可得到w与x的关系式，确定对称轴为，结合确定对称轴取值范围，结合抛物线的性质即可求出当x＝40时，w最大，进而求出a．
【详解】
解：（1）由题意得，y＝(600-400-5x)(200+x)+(1200-800+5x)(400-x)
＝-10x2+800x+200000，(0≤x≤40且x为整数)
(写0＜x≤40且x为整数，不扣分)
（2）x的取值范围为20≤x≤40．
理由如下：y＝-10x2+800x+200000＝-10(x-40)2+216000，
当y＝212000时，-10(x-40)2+216000＝212000，
(x-40)2＝4000，x-40＝±20，
解得：x＝20或x＝60．
要使y≥212000，
得20≤x≤60；
∵0≤x≤40，
∴20≤x≤40；
（3）设捐款后每天的利润为w元，则
w＝-10x2+800x+200000-(400-x)a=-10x2+(800+a)x+200000-400a，
对称轴为，
∵0＜a≤100，
∴，
∵抛物线开口向下，当30≤x≤40时，w随x的增大而增大，
当x＝40时，w最大，
∴-16000+40（800+a）+200000-400a＝203400，
解得a＝35．
【点睛】
本题考查了二次函数与实际问题的利润问题，（1）（2）为常规题，难度不大，注意“每种手写板的总利润=单件利润×件数” ．第（3）问解题关键是列出函数关系式，确定对称轴的取值范围，进而得到当x＝40时，w最大．
25．（1）；（2）；（3）或；（4）．
【分析】
（1）将代入计算即可；
（2）作于点E，证明，可得CE，DE长度，进而得到点D的坐标；
（3）分为点Ｍ在AD，BC上两种情况讨论，当点M在AD上时，分为和两种情况讨论；当点M在BC上时，分为和两种情况讨论；
（4）作点D关于x轴的对称F，连接QF，可得的最小值；连接BQ减去可得的最小值，综上可得的最小值．
【详解】
（1）将代入得
，解得
∴抛物线的解析式为：
（2）作于点E
∵
∴
∴
∵
∴
∴
∴
∴
∴
（3）若点M在DA上运动时，
当，则，即不成立，舍去
当，则，即，解得：
若点M在BC上运动时，
当，则，即
∴
当时，
∴，解得（舍去）
当时，
∴，无解；
当，则，即
∴
当时，
∴，解得（舍去）
当时，
∴，解得
综上所示：当时，；时
（4）作点D关于x轴的对称点F，连接QF交x轴于点N
∵点D，
∴点
由得对称轴为
∴点
∴
当Q,N,F共线时，最小，
∴
故的最小值为．
【点睛】
本题考查了二次函数与几何图形的综合，涉及相似三角形的性质与判定，最短路径问题的计算，熟知以上知识的应用是解题的关键．
2021年湖北省黄冈市中考数学一模试卷
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、单选题
1．方程化为一般形式后，的值分别是（ ）
A． B．
C． D．
2．某商场举行投资促销活动，对于“抽到一等奖的概率为”，下列说法正确的是（ ）
A．抽一次不可能抽到一等奖
B．抽次也可能没有抽到一等奖
C．抽次奖必有一次抽到一等奖
D．抽了次如果没有抽到一等奖，那么再抽一次肯定抽到一等奖
3．如图，在平面直角坐标系中，与位似，位似中心是原点，若与的相似比为，已知，则它对应点的坐标是（ ）
A． B． C．或 D．或
4．若点在反比例函数的图象上，则的大小关系是（ ）
A． B． C． D．
5．将抛物线向左平移1个单位长度，得到抛物线，抛物线与抛物线关于轴对称，则抛物线的解析式为（ ）
A． B． C． D．
6．如图，在△ABC中，点D，E分别在边AB，AC上，且，则的值为
A． B． C． D．
7．如图，CD为⊙O的直径，弦AB⊥CD，垂足为M，若AB=12，OM：MD=5：8，则⊙O的周长为（ ）
A．26π B．13π C． D．
8．如图，等边的边AB与正方形DEFG的边长均为2，且AB与DE在同一条直线上，开始时点B与点D重合，让沿这条直线向右平移，直到点B与点E重合为止，设BD的长为x，与正方形DEFG重叠部分（图中阴影部分）的面积为y，则y与x之间的函数关系的图象大致是（ ）
A． B． C． D．
二、填空题
9．抛物线的顶点坐标是_______
10．在平面直角坐标系中，若点A（x+1，2y+1）与点A'（y﹣2，x）关于原点O对称，则代数式x2﹣y2的值为_____．
11．设x1、x2是方程x2+mx﹣5＝0的两个根，且x1+x2﹣x1x2＝1，则m＝_____．
12．用半径为18,圆心角为120 º的扇形纸片围成一个圆锥的侧面，则这个圆锥的底面圆半径为_________.
13．如图，点在反比例函数的图象上，轴于点，点在轴的负半轴上，且，若的面积为18，则的值为_______．
14．在某市中考体考前，某初三学生对自己某次实心球训练的录像进行分析，发现实心球飞行高度y（米）与水平距离x（米）之间的关系为，由此可知该生此次实心球训练的成绩为_______米．
15．如图，正方形ABCD中，P为AD上一点，BP⊥PE交BC的延长线于点E，若AB=6，AP=4，则CE的长为_____．
16．如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，BC=4，AC=10，点D是AC上的一个动点，以CD为直径作⊙O，连接BD交⊙O于点E，则AE的最小值为________________．
三、解答题
17．解方程：
（1）（x-4）2=（5-2x）2； （2）2x2+3x=3．
18．如图，将等腰绕顶点逆时针方向旋转度到的位置，与相交于点与分别交于点．
（1）求证；．
（2）当度时，判定四边形的形状并说明理由．
19．如图，是的直径，弦于点，连接．
（1）求证；；
（2）若，求扇形（阴影部分）的面积．
20．某文具店去年8月底购进了一批文具1160件，预计在9月份进行试销．购进价格为每件10元．若售价为12元/件，则可全部售出．若每涨价0.1元．销售量就减少2件．
（1）求该文具店在9月份销售量不低于1100件，则售价应不高于多少元？
（2）由于销量好，10月份该文具进价比8月底的进价每件增加20%，该店主增加了进货量，并加强了宣传力度，结果10月份的销售量比9月份在（1）的条件下的最低销售量增加了m%，但售价比9月份在（1）的条件下的最高售价减少m%．结果10月份利润达到3388元，求m的值（m＞10）．
21．如图，在平面直角坐标系中，已知△ABC，∠ABC=90°，顶点A在第一象限，B、C在x轴的正半轴上（C在B的右侧），BC=3，AB=4，若双曲线交边AB于点E，交边AC于中点D．
（1）若OB=2，求k；
（2）若AE=， 求直线AC的解析式．
22．如图，是的直径，是的一条弦，是的切线．作并与交于点，延长交于点，交于点，连接．
（1）求证；；
（2）若的半径，求的长．
23．九年级复学复课后，某校为了了解学生的疫情防控意识情况，在全校九年级随机抽取部分学生进行问卷调查．根据调查结果，把学生的防控意识分成“A．很强”、“B．较强”、“C．一般”、“D．淡薄”四个层次，将调查的结果绘制如下两幅不完整的统计图，请根据图中的信息，解答下列问题：
（1）本次共调查了 名学生，并将条形统计图补充完整；
（2）如果把疫情防控意识“很强或较强”视为合格，该校九年级共有600名学生，请你估计合格的学生约有多少名？
（3）在“A．很强”的3人中，有2名女生，1名男生，老师想从这3人中任选两人做宣传员，请用列表或画树状图法求出被选中的两人恰好是一男生一女生的概率．
24．疫情期间，某销售商在网上销售A、B两种型号的电脑“手写板”，其进价、售价和每日销量如下表所示：
进价（元/个）
售价（元/个）
销量（个/日）
A型
400
600
200
B型
800
1200
400
根据市场行情，该销售商对A型手写板降价销售，同时对B型手写板提高售价，此时发现A型手写板每降低5元就可多卖1个，B型手写板每提高5元就少卖1个．销售时保持每天销售总量不变，设其中A型手写板每天多销售x个，每天获得的总利润为y元．
（1）求y与x之间的函数关系式，并直接写出x的取值范围；
（2）要使每天的利润不低于212000元，求出x的取值范围；
（3）该销售商决定每销售一个B型手写板，就捐助a元给受“新冠疫情”影响的困难学生，若当30≤x≤40时，每天的最大利润为203400元，求a的值．
25．如图，在平面直角坐标系中，矩形的边与x轴、y轴的交点分别为，抛物线过B，C两点，动点M从点D开始以每秒5个单位长度的速度沿的方向运动到达C点后停止运动．动点N从点O以每秒4个单位长度的速度沿方向运动，到达C点后，立即返回，向方向运动，到达O点后，又立即返回，依此在线段上反复运动，当点M停止运动时，点N也停止运动，设运动时间为．
（1）求抛物线的解析式；
（2）求点D的坐标；
（3）当点M，N同时开始运动时，若以点M，D，C为顶点的三角形与以点B，O，N为顶点的三角形相似，求t的值；
（4）过点D与x轴平行的直线，交抛物线的对称轴于点Q，将线段沿过点B的直线翻折，点A的对称点为，求的最小值．
参考答案
1．C
【分析】
先通过移项把方程化成一般形式，再找二次项系数､一次项系数和常数项即可．
【详解】
解：由原方程移项，得
，
所以．
故选：C．
【点睛】
本题考查一元二次方程的一般形式，确定二次项系数，一次项系数，常数项，解题关键是利用移项化一元二次方程一般式．
2．B
【分析】
根据大量反复试验时，某事件发生的频率会稳定在某个常数的附近，这个常数就叫做事件概率的估计值，而不是一种必然的结果，可得答案．
【详解】
A. “抽到一等奖的概率为”，抽一次也可能抽到一等奖，故错误；
B. “抽到一等奖的概率为”，抽10次也可能抽不到一等奖，故正确；
C. “抽到一等奖的概率为”，抽10次也可能抽不到一等奖，故错误；
D. “抽到一等奖的概率为”，抽第10次的结果跟前面的结果没有关系，再抽一次也不一定抽到一等奖，故错误；
故选B.
【点睛】
关键是理解概率是反映事件的可能性大小的量.概率小的有可能发生,概率大的有可能不发生.概率等于所求情况数与总情况数之比.
3．D
【分析】
直接利用位似图形的性质，如果位似变换是以原点为位似中心，相似比为，那么位似图形对应点的坐标的比等于或，进而得出答案．
【详解】
解；与位似，位似中心是原点，与的相似比为，
又∵，
当点B1在第三象限时，即，
当点B1在第一象限时，即，
∴它对应点的坐标是；或．
故选：D．
【点睛】
本题考查三角形位似，掌握三角形位似的性质是解题关键
4．A
【分析】
根据反比例函数图象上点的坐标特征，把三个点的坐标分别代入解析式计算出的值，然后比较大小即可．
【详解】
解：∵点在反比例函数的图象上，
∵点A，，点B，，点C，，
，
．
故选：A．
【点睛】
本题考查了反比例函数，熟练掌握函数值的计算是解题的关键．
5．A
【分析】
利用平移的规律:左加右减，上加下减.并用规律求函数解析式，再因为关于x轴对称的两个抛物线，自变量x的取值相同，函数值y互为相反数，由此可直接得出抛物线的解析式．
【详解】
解：抛物线向左平移1个单位长度，得到抛物线：，即抛物线：;
由于抛物线与抛物线关于轴对称，则抛物线的解析式为：.
故选：A．
【点睛】
主要考查了函数图象的平移、对称，要求熟练掌握平移的规律:左加右减，上加下减.并用规律求函数解析式以及关于x轴对称的两个抛物线，自变量x的取值相同，函数值y互为相反数．
6．C
【解析】
∵，∠A=∠A，
∴△ABC∽△AED．∴．
∴．故选C．
7．B
【解析】
试题分析：连接OA，根据垂径定理得到AM=AB=6，设OM=5x，DM=8x，得到OA=OD=13x，根据勾股定理得到OA=，则可求周长．
解：连接OA，
∵CD为⊙O的直径，AB⊥CD，
∴AM=AB=6，
∵OM：MD=5：8，
∴设OM=5x，DM=8x，
∴OA=OD=13x，
∴AM==12x=6，
∴x=，∴OA=，
∴⊙O的周长=2π•OA=13π.
故选B．
8．D
【分析】
此题可分为两段求解，即B从D点运动到DE的中点和A从DE的中点运动到E点，列出面积随动点变化的函数关系式即可．
【详解】
解：设BD的长为x，△ABC与正方形DEFG重合部分（图中阴影部分）的面积为y，
当B从D点运动到DE的中点时，即0≤x≤1时，y=×x×x=x2．
当B从DE中点运动到E点时，即1＜x≤2时，y=-（2-x）×（2-x）=-x2+2x-
由函数关系式可看出D中的函数图象与所求的分段函数对应．
故选D．
9．（1，2）．
【详解】
试题分析：已知抛物线的解析式是一般式，用配方法转化为顶点式，根据顶点式的坐标特点，直接写出顶点坐标．
试题解析：∵y=x2-2x+3=x2-2x+1-1+3=（x-1）2+2，
∴抛物线y=x2-2x+3的顶点坐标是（1，2）．
考点：二次函数的性质．
10．5
【分析】
直接利用关于原点对称点的性质得出关于x，y的方程组进而得出x，y的值，即可得出答案．
【详解】
解：∵点A（x+1，2y+1）与点A'（y﹣2，x）关于原点O对称，
∴ ，
解得： ，
故x2﹣y2＝9﹣4＝5．
故答案为5．
【点睛】
此题主要考查了关于原点对称点的性质，正确得出x，y的值是解题关键．
11．4
【分析】
利用根与系数的关系可得出x1+x2＝﹣m，x1x2＝﹣5，结合x1+x2﹣x1x2＝1，即可得出关于m的一元一次方程，解之即可得出m的值．
【详解】
解：∵x1、x2是方程x2+mx﹣5＝0的两个根，
∴x1+x2＝﹣m，x1x2＝﹣5．
∵x1+x2﹣x1x2＝1，
∴﹣m﹣（﹣5）＝1，
∴m＝4．
故答案为：4．
【点睛】
本题考查了根与系数的关系，牢记“两根之和等于﹣，两根之积等于”是解题的关键．
12．6
【分析】
根据图形可知，圆锥的侧面展开图为扇形，且其弧长等于圆锥底面圆的周长．
【详解】
设这个圆锥的底面半径是R,则有
解得：R=6.
故答案为6.
【点睛】
本题考查圆锥的侧面展开图．掌握圆锥的侧面展开图和圆锥底面圆的关系，圆锥底面圆的周长=侧面展开图中扇形的弧长.
13．24
【分析】
设出A点的坐标，用含的代数式表示出线段的长，根据三角形的面积为18，构建方程即可求出的值．
【详解】
解：设A点的坐标为，
则，
，
∴
的面积为；，
解得，
故答案为：24．
【点睛】
本题考查待定系数法求反比例函数解析式，利用三角形面积构造方程是解题关键．
14．10
【分析】
根据铅球落地时，高度，把实际问题可理解为当时，求x的值即可．
【详解】
解：当时，，
解得，（舍去），．
故答案为10．
【点睛】
本题考查了二次函数的实际应用，解析式中自变量与函数表达的实际意义；结合题意，选取函数或自变量的特殊值，列出方程求解是解题关键．
15．7
【分析】
利用同角的余角相等可得出∠ABP=∠DPF，结合∠A=∠D可得出△APB∽△DFP，利用相似三角形的性质可求出DF的长，进而可得出CF的长，由∠PFD=∠EFC，∠D=∠ECF可得出△PFD∽△EFC，再利用相似三角形的性质可求出CE的长．
【详解】
∵四边形ABCD为正方形，
∴∠A=∠D=∠ECF=90°，AB=AD=CD=6，
∴DP=AD﹣AP=2．
∵BP⊥PE，
∴∠BPE=90°，
∴∠APB+∠DPF=90°．
∵∠APB+∠ABP=90°，
∴∠ABP=∠DPF．
又∵∠A=∠D，
∴△APB∽△DFP，
∴，即，
∴DF=，
∴CF=．
∵∠PFD=∠EFC，∠D=∠ECF，
∴△PFD∽△EFC，
∴=，即，
∴CE=7．
故答案为：7．
【点睛】
此题考查相似三角形判定与性质以及正方形的性质，利用相似三角形的判定定理，找出△APB∽△DFP及△PFD∽△EFC是解题的关键．
16．
【分析】
连接CE，可得∠CED＝∠CEB＝90°，从而知点E在以BC为直径的⊙Q上，继而知点Q、E、A共线时AE最小，根据勾股定理求得QA的长，即可得答案．
【详解】
解：如图，连接CE，
∴∠CED＝∠CEB＝90°，
∴点E在以BC为直径的⊙Q上，
∵BC＝4，
∴QC＝QE＝2，
当点Q、E、A共线时AE最小，
∵AC＝10，
∴AQ＝=，
∴AE＝AQ−QE＝，
∴AE的最小值为，
故答案为．
【点睛】
本题考查了圆周角定理和勾股定理，解决本题的关键是确定E点运动的规律，从而把问题转化为圆外一点到圆上一点的最短距离问题．
17．（1）x1=1, x2=3（2）x=-3±334
【解析】试题分析：（1）用因式分解法解方程即可；（2）用公式法解方程即可.
试题解析：
(1)(x-4)2-(5-2x)2=0
(x-4+5-2x)(x-4-5+2x)=0
(1-x)(3x-9)=0
∴x1=1,x2=3
（2）2x2+3x-3=0
a=2，b=3，c=-3，
△=9+24=33
∴x=-3+334
18．（1）证明见解析；（2）四边形是菱形；答案见解析．
【分析】
（1）根据等腰三角形的性质得到，由旋转的性质得到，根据全等三角形的判定定理得到；
（2）由旋转的性质得到，根据平角的定义得到，根据四边形的内角和得到，证得四边形是平行四边形，由于，即可得到四边形是菱形．
【详解】
（1）证明：∵△ABC是等腰三角形，
∴AB=BC，∠A=∠C，
∵将等腰△ABC绕顶点B逆时针方向旋转度到△A1BC1的位置，
∴A1B=AB=BC，∠A=∠A1=∠C，∠A1BD=∠CBC1，
在△BCF与△BA1D中，
，
∴△BCF≌△BA1D（ASA）；
（2）证明：四边形A1BCE是菱形，
理由：∵将等腰△ABC绕顶点B逆时针方向旋转度到△A1BC1的位置，
∵，
∴∠A1=∠A=，
∵∠ADE=∠A1DB，
∴∠AED=∠A1BD=，
∴∠DEC=180°-，
∴∠A1BC=360°-∠A1-∠C-∠A1EC=180°-，
∴∠A1=∠C，∠A1BC=∠A1EC，
∴四边形A1BCE是平行四边形，
∵A1B=BC，
∴四边形A1BCE是菱形．
【点睛】
本题考查了旋转的性质，全等三角形的判定和性质，等腰三角形的性质，菱形判定，正确的理解题意是解题的关键．
19．（1）证明见解析；（2）．
【分析】
（1）根据垂径定理得到，根据圆周角定理证明结论；
（2）根据等边三角形的判定定理得到为等边三角形，求出，根据正弦的定义求出，利用扇形面积公式计算即可．
【详解】
（1）证明；是的直径，弦，
，
；
（2）解；，
为等边三角形，
，
，
是的直径，弦，，
，
在中，，
∴扇形（阴影部分）的面积．
【点睛】
本题考查垂径定理，圆周角定理，等边三角形，锐角三角函数，扇形面积，掌握垂径定理，圆周角定理，等边三角形，锐角三角函数，扇形面积公式是解题关键．
20．（1）售价应不高于15元．（2）m的值为40．
【解析】
试题分析：（1）设售价应为x元，根据不等关系：该文具店在9月份销售量不低于1100件，列出不等式求解即可；
（2）先求出10月份的进价，再根据等量关系：10月份利润达到3388元，列出方程求解即可．
试题解析：（1）设售价应为x元，依题意有
1160-≥1100，
解得x≤15．
答：售价应不高于15元．
（2）10月份的进价：10（1+20%）=12（元），
由题意得：
1100（1+m%）[15（1-m%）-12]=3388，
设m%=t，化简得50t2-25t+2=0，
解得：t1=，t2=，
所以m1=40，m2=10，
因为m＞10，
所以m=40．
答：m的值为40．
考点：一元一次不等式的应用，一元二次方程的应用
21．（1）7；（2）y=-x+12.
【分析】
（1）过D作BC垂线，根据D为中点，得到D点坐标，代入可求得结果；
（2）设OB为a，E，D点坐标为关于a的代数式，代入函数可求得a值，继而可得到A，C点坐标，根据已知直线上两点，求直线解析式，即可求得AC解析式．
【详解】
（1）如图，
过D作BC垂线，交BC于P点，
∵BC=3，D为AC中点，
∴BP=BC=，
∵OB=2，∴OP=，∴P点坐标为（，0）
∵AB=4，∴D点坐标为（，2），
∵D在y=上，代入D点坐标，
∴k=7；
故答案为7；
（2）∵AE=AB=×4=，
∴BE=AB-AE=4-=，
设OB=a，则E点坐标为（a，），D点坐标为（a+，2），
∵D，E在y=上，
∴k=xy=a=2(a+)，
∴a=6，
∴A点坐标为（6,4），C点坐标为（9,0），
设AC的解析式为y=kx+b，A，C坐标代入，
求得k=-，b=12，
故AC的解析式为y=-x+12．
【点睛】
本题考查了根据坐标求反比例函数，考查反比例函数图像上点的坐标特征，结合直角三角形，求出OB长是解题的关键．
22．（1）证明见解析；（2）．
【分析】
（1）根据切线的性质得出，等腰三角形的性质，根据等角的余角相等得出，即可证得；
（2）连接，由勾股定理求BC,证明，由线段成比例求出的长，则答案可求出．
【详解】
（1）证明；是的切线，
，
．
又，
，
，
；
（2）解：连接，
是的直径，
，
，
在中，，
，
，
，
由（1）知，，，
，
，
即，
，
又，
，
．
【点睛】
本题考查圆的切线性质，等腰三角形性质与判定，圆周角性质，勾股定理，相似三角形判定与性质，掌握圆的切线性质，等腰三角形性质与判定，圆周角性质，勾股定理，相似三角形判定与性质是解题关键．
23．（1）30名，见解析；（2）300名；（3）树状图见解析，
【分析】
（1）由D选项的人数及其百分比可得本次共调查的人数；由本次共调查的人数减去A、C、D选项的人数求得B的人数即可补全条形统计图；
（2）总人数乘以样本中A、B选项的比例可得；
（3）画树状图列出所有等可能结果，根据概率公式求解可得．
【详解】
解：（1）本次共调查的学生人数为6÷20%＝30（名）；
故答案为：30；
“B．较强”的学生人数为30−3−9−6＝12（名），将条形统计图补充完整如图所示：
（2）估计合格的学生约有=300（名）；
（3）画树状图如下：
由树状图可知，共有6种等可能结果，被选中的两人恰好是一男生一女生的有4种，
∴被选中的两人恰好是一男生一女生的概率为.
【点睛】
本题考查了列表法与树状图法求概率、条形统计图和扇形统计图的综合运用，读懂统计图，画出树状图是解题的关键．
24．（1）；（2）；（3）
【分析】
（1）根据“总利润=A型手写板利润+B型手写板利润”即可确定函数解析式；根据600-400-5x≥0，1200-800+5x≥0即可确定自变量取值范围；
（2）把y＝212000，代入函数解析式求出x值，根据函数增减性结合（1）自变量取值，即可求出x的取值；
（3）设捐款后每天的利润为w元，则w=-10x2+800x+200000-(400-x)a，即可得到w与x的关系式，确定对称轴为，结合确定对称轴取值范围，结合抛物线的性质即可求出当x＝40时，w最大，进而求出a．
【详解】
解：（1）由题意得，y＝(600-400-5x)(200+x)+(1200-800+5x)(400-x)
＝-10x2+800x+200000，(0≤x≤40且x为整数)
(写0＜x≤40且x为整数，不扣分)
（2）x的取值范围为20≤x≤40．
理由如下：y＝-10x2+800x+200000＝-10(x-40)2+216000，
当y＝212000时，-10(x-40)2+216000＝212000，
(x-40)2＝4000，x-40＝±20，
解得：x＝20或x＝60．
要使y≥212000，
得20≤x≤60；
∵0≤x≤40，
∴20≤x≤40；
（3）设捐款后每天的利润为w元，则
w＝-10x2+800x+200000-(400-x)a=-10x2+(800+a)x+200000-400a，
对称轴为，
∵0＜a≤100，
∴，
∵抛物线开口向下，当30≤x≤40时，w随x的增大而增大，
当x＝40时，w最大，
∴-16000+40（800+a）+200000-400a＝203400，
解得a＝35．
【点睛】
本题考查了二次函数与实际问题的利润问题，（1）（2）为常规题，难度不大，注意“每种手写板的总利润=单件利润×件数” ．第（3）问解题关键是列出函数关系式，确定对称轴的取值范围，进而得到当x＝40时，w最大．
25．（1）；（2）；（3）或；（4）．
【分析】
（1）将代入计算即可；
（2）作于点E，证明，可得CE，DE长度，进而得到点D的坐标；
（3）分为点Ｍ在AD，BC上两种情况讨论，当点M在AD上时，分为和两种情况讨论；当点M在BC上时，分为和两种情况讨论；
（4）作点D关于x轴的对称F，连接QF，可得的最小值；连接BQ减去可得的最小值，综上可得的最小值．
【详解】
（1）将代入得
，解得
∴抛物线的解析式为：
（2）作于点E
∵
∴
∴
∵
∴
∴
∴
∴
∴
（3）若点M在DA上运动时，
当，则，即不成立，舍去
当，则，即，解得：
若点M在BC上运动时，
当，则，即
∴
当时，
∴，解得（舍去）
当时，
∴，无解；
当，则，即
∴
当时，
∴，解得（舍去）
当时，
∴，解得
综上所示：当时，；时
（4）作点D关于x轴的对称点F，连接QF交x轴于点N
∵点D，
∴点
由得对称轴为
∴点
∴
当Q,N,F共线时，最小，
∴
故的最小值为．
【点睛】
本题考查了二次函数与几何图形的综合，涉及相似三角形的性质与判定，最短路径问题的计算，熟知以上知识的应用是解题的关键．
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