高考数学一轮总复习课件第6章立体几何第7讲立体几何中的向量方法（含解析）

这是一份高考数学一轮总复习课件第6章立体几何第7讲立体几何中的向量方法（含解析），共60页。PPT课件主要包含了图6-7-1，求二面角的大小，图6-7-2，名师点睛，线与平面所成的角，答案A，图6-7-4，A20°，B40°，C50°等内容，欢迎下载使用。

1.两条异面直线所成角的求法
2.直线和平面所成角的求法如图 6-7-1(1)、(2)所示，设直线 l 的方向向量为 e，平面α的法向量为 n，直线 l 与平面α所成的角为φ，向量 e 与
(1)如图 6-7-2(1)，AB，CD 分别是二面角α-l-β的两个
面内与棱 l 垂直的直线，则二面角的大小θ＝
4.利用空间向量求距离(1)点到平面的距离如图 6-7-3 所示，已知 AB 为平面α的一条斜线段，n
为平面α的法向量，则 B 到平面α的距离为 d＝
图 6-7-3(2)线面距、面面距均可转化为点面距进行求解.注意体积法在求点到平面距离时的应用.
(3)若二面角 A-BC-D 的大小为α，平面 ABC 内的直线l 与平面 BCD 所成角为β，则α≥β，当 l⊥BC 时，取等号.
题组一 走出误区1.判断下列结论正误(在括号内打“√”或“×”)(1)两直线的方向向量所成的角就是两条直线所成的
)(2)直线的方向向量和平面的法向量所成的角就是直
(3)两个平面的法向量所成的角是这两个平面所成的
答案：(1)×　 (2)×　 (3)×　 (4)√
题组二 走进教材2.(教材改编题)平面α经过三点 A(－1,0,1)，B(1,1,2)，C(2，－1，0)，则平面α的法向量 u 可以是________.答案：(0，1，－1)
题组三 真题展现4.(2020 年新高考Ⅰ)日晷(如图 6-7-4)是中国古代用来测定时间的仪器，利用与晷面垂直的晷针投射到晷面的影子来测定时间.把地球看成一个球(球心记为 O)，地球上一点 A 的纬度是指 OA 与地球赤道所在平面所成角，点 A 处的水平面是指过点 A 且与 OA 垂直的平面，在点 A 处放置一个日晷，若晷面与赤道所在平面平行，点 A 处的纬度为
北纬 40°，则晷针与点 A 处的水平面所成角为(
5.(2021 年新高考Ⅰ)如图 6-7-5 所示，在三棱锥 A-BCD中，平面 ABD⊥平面 BCD，AB＝AD，O 为 BD 的中点.
(1)证明：OA⊥CD；
(2)若△OCD 是边长为 1 的等边三角形，点 E 在棱 AD上，DE＝2EA，且二面角 E-BC-D 的大小为 45°，求三棱锥A-BCD 的体积.
(1)证明：因为 AB＝AD，O 为 BD 的中点，所以 OA⊥BD，
又平面 ABD⊥平面 BCD，平面 ABD∩平面 BCD＝BD，
所以 OA⊥平面 BCD，又 CD⊂平面 BCD，所以 OA⊥CD.
(2)解：取 OD的中点F，因为△OCD为正三角形，所
过 O 作 OM∥CF 与 BC 交于点 M，则 OM⊥OD，所以 OM，OD，OA 两两垂直，
以点 O 为坐标原点，分别以 OM，OD，OA 为 x 轴、
y 轴、z 轴建立空间直角坐标系如图 D55 所示，
考点一 利用向量求空间的角考向 1 向量法求异面直线所成的角
(2)有公共边的等边三角形 ABC 和 BCD 所在平面互相垂直，则异面直线 AB 和 CD 所成角的余弦值为________.解析：设等边三角形的边长为 2.取 BC 的中点 O，连接 OA，OD.因为等边三角形 ABC 和 BCD 所在平面互相垂直，所以 OA，OC，OD 两两垂直，以点 O 为坐标原点，OD，OC，OA所在直线分别为 x 轴、y 轴、z 轴建立如图
6-7-7所示的空间直角坐标系.
【题后反思】(1)求异面直线所成角的思路：①选好基底或建立空间直角坐标系；②求出两直线的方向向量 v1，v2；
(2)两异面直线所成角的关注点：
两异面直线所成角的范围θ∈
范围是[0，π]，当异面直线的方向向量的夹角为锐角或直角时，就是该异面直线的夹角；当异面直线的方向向量的夹角为钝角时，其补角才是异面直线的夹角.
考向 2 向量法求线面角[例 2](2021 年浙江联考)如图 6-7-8 所示，底面 ABCDAD＝2DE.(1)求证：BD∥平面 PEC；(2)求直线 DP 与平面 PEC 所成角
解析：连接 AC 交 BD 于 O，∵四边形 ABCD 为菱形，∴△ABC 为正三角形，以点 O 为坐标原点，建立如图
6-7-9 所示的空间直角坐标系.设 PA ＝AD＝2DE＝2，
【题后反思】线面角涉及斜线的射影，故找出平面的垂线是解题的基本思路，而这往往正是解题难点所在，故常用向量法求解斜线与平面所成角的问题.解题的关键是确定斜线的一个方向向量 a 和平面的一个法向量 b，再通过计算线面角
成的角)求解，要特别注意 a 和 b 的夹角与线面角的关系.
考向 3 向量法求二面角
[例 3](2021 年合肥调研)如图 6-7-10 所示，在三棱锥P-ABC 中，BC⊥平面 PAB，平面 PAC⊥平面 ABC.
(1)证明：PA ⊥平面 ABC；
(2)若 D 为 PC 的中点，且 PA ＝2 AB，AB＝BC，求
二面角 A-BD-C 的余弦值.
(1)证明：如图 6-7-11，过点 B 作 BO⊥AC 于 O.
∵平面 PAC⊥平面 ABC，平面 PAC∩平面 ABC＝AC，
∴BO⊥平面 PAC，∴BO⊥PA .
又∵BC⊥平面 PAB，PA ⊂平面 PAB，∴BC⊥PA .又∵BC∩BO＝B，BC，BO⊂平面 ABC，∴PA ⊥平面 ABC.
(2)∵AB＝BC，BO⊥AC，∴O 为 AC 中点.又∵D 为 PC 的中点，∴DO∥PA .由(1)知，PA ⊥平面 ABC，
∴DO⊥平面 ABC，∴DO⊥BO，DO⊥AO，
【题后反思】利用向量法确定二面角大小的常用方法(1)找法向量法：分别求出二面角的两个半平面所在平面的法向量，然后通过两个平面的法向量的夹角得到二面角的大小，但要注意结合实际图形判断所求角的大小.(2)找与棱垂直的方向向量法：分别在二面角的两个半平面内找到与棱垂直且以垂足为起点的两个向量，则这两个向量的夹角的大小就是二面角的大小.
(3)将二面角转化为线面角求解.如图 6-7-12 所示，要求二面角 P-AB-C，可作 PH⊥AB，则二面角 P-AB-C 的大小即为 PH 与平面 ABC 所成角θ的大小，PH 易求，可用体
积法求 P 到平面 ABC 的距离 h，则 sin θ＝
1.(考向 1)在正三棱柱 ABC-A1B1C1 中，AB＝AA1＝2，点P，Q分别为A1B1，BC的中点，则异面直线BP与AC1所成角的余弦值为________.
解析：如图 D56，在正三棱柱 ABC-A1B1C1 中，
2.(考向 2)(2021 年广州广雅中学等三校联考)如图
6-7-13 所示，在梯形 ABCD 中，AB∥CD，AD＝CD＝CB
(1)求证：BC⊥平面 ACFE；
(2)求直线 BD 与平面 BEF 所成角的正弦值.
(1)证明：在梯形 ABCD 中，AB∥CD，AD＝CD＝CB＝2，∠ABC＝60°，∴四边形 ABCD 是等腰梯形，∠ADC＝120°，∴∠DCA＝∠DAC＝30°，∠DCB＝120°，∴∠ACB＝∠DCB－∠DCA＝90°，∴AC⊥BC(也可以利用余弦定理求出 AC，BC 再证明).
又∵矩形 ACFE 中，CF＝AE＝2，又 BF＝2＝2，∴CF2＋BC2＝BF2，∴CB⊥CF，又∵AC∩CF＝F，AC，CF⊂平面 ACFE，∴BC⊥平面 ACFE.
(2)解：以点 C 为坐标原点，以 CA 所在直线为 x 轴，以 CB 所在直线为 y 轴，以 CF 所在直线为 z 轴，建立空间直角坐标系.如图 D57 所示.图 D57
(1)求证：GE∥侧面 AA1B1B；
(2)求平面 B1GE 与底面 ABC 所成锐二面角的正切值；(3)在直线 AG 上是否存在点 T，使得 B1T⊥AG？若存
在，指出点 T 的位置；若不存在，说明理由.
【题后反思】求点面距一般的方法
(1)作点到平面的垂线，点到垂足的距离即为点到平面
(2)等体积法.(3)向量法.
其中向量法在易建立空间直角坐标系的规则图形中较
【变式训练】如图 6-7-16 所示，在四棱锥 P-ABCD 中，已知 AB＝
⊥底面 ABCD，PO＝2，M 为棱 PC 的中点.图 6-7-16
(1)求直线 PB 与平面 ADM 所成角的正弦值；(2)求二面角 D-AM-C 的正弦值；
(3)记棱 PD 的中点为 N，若点 Q 在线段 OP 上，且
NQ∥平面 ADM，求线段 OQ 的长.
解：连接 DB，因为 AB＝BC，AD＝DC，O 为 AC 的中点，所以点O在DB上，且DB⊥AC.又PO⊥平面ABCD，则 OB，OC，OP 两两垂直.
轴、y 轴、z 轴正方向，建立空间直角坐标系如图 D59 所示.由题意得 OB＝1，OD＝2，
则O(0,0,0)，A(0，－2,0)，B(1,0,0)，C(0,2,0)，D(－2,0,0)，
P(0,0,2)，M(0,1,1).
⊙立体几何中的动态问题
A.圆的一部分C.抛物线的一部分
B.椭圆的一部分D.双曲线的一部分
(1)直观想象是指借助几何直观和空间想象感知事物的形态与变化，利用空间形式特别是图形，理解和解决数学问题的素养.
(2)立体几何中的动态问题主要包括：空间动点轨迹的
判断，求轨迹的长度及动角的范围等.
(3)一般是根据线、面垂直，线、面平行的判定定理和性质定理，结合圆或圆锥曲线的定义推断出动点的轨迹(还可以利用空间向量的坐标运算求出动点的轨迹方程).
【高分训练】1.如图 6-7-19 所示，四棱锥 P-ABCD 的底面是边长为2 的正方形，PA ⊥平面 ABCD，且 PA ＝4，M 是PB上的一个动点(不与 P，B 重合)，过点 M 作平面α∥平面 PAD，截棱锥所得图形的面积为 y，若平面α与平面 PAD 之间的距离
为 x，则函数 y＝f(x)的图象是(
解析：过 M 作 MN⊥AB，交 AB 于 N，则 MN⊥平面ABCD，过 N 作 NQ∥AD，交 CD 于 Q，过 Q 作 QH∥PD，交 PC 于 H，连接 MH，则平面 MNQH 是所作的平面α，如图 D60，
∴函数 y＝f(x)的图象如图 D61 所示.故选 C.
2.已知 ABCD⊥平面 ADEF，AB⊥AD，CD⊥AD，且AB＝1，AD＝CD＝2，ADEF 是正方形，在正方形 ADEF内部有一点 M，满足 MB，MC 与平面 ADEF 所成的角相
等，则点 M 的轨迹长度为(
解析：根据题意，以D为原点，分别以DA，DC，DE所在直线为 x 轴、y 轴、z 轴，建立空间直角坐标系 D-xyz，如图 D62(1)所示，则 B(2,1,0)，C(0,2,0)，设 M(x,0，z)，易知直线 MB，MC 与平面 ADEF 所成的角分别为∠AMB，∠DMC，均为锐角，且∠AMB＝∠DMC，所以 sin∠AMB