《高考总复习》数学 第八章 第5讲 直线、平面垂直的判定与性质[配套课件]

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3.直线与平面所成的角
(1)如果直线与平面平行或者在平面内，那么直线与平面所
(2)如果直线和平面垂直，那么直线与平面所成的角等 于
(3)平面的斜线与它在平面上的射影所成的锐角叫做这条斜线与平面所成的角，其范围是(0°，90°).斜线与平面所成的线面角是这条斜线和平面内经过斜足的直线所成的一切角中最小的角.
从一条直线出发的两个半平面组成的图形叫做二面角.从二面角的棱上任意一点为端点，在两个面内分别作垂直于棱的两条射线，这两条射线所成的角叫做二面角的平面角.平面角是直角的二面角叫做直二面角.
1.(多选题)已知两条直线 l，m 及三个平面α，β，γ，下列条
件中能推出α⊥β的是(A.l⊂α，l⊥βB.l⊥α，m⊥β，l⊥mC.α⊥γ，β∥γD.l⊂α，m⊂β，l⊥m
解析：如果一个平面经过另一平面的垂线，则这两个平面相互垂直，选项 A 正确；选项 B 正确；如果两个互相平行的平面有一个垂直于一个平面，那么另一个平面也垂直这个平面，选项 C 正确；D 选项α与β可能平行.故选 ABC.
2.(多选题)(必修2P73 第1 题改编)下列命题中正确的是
A.如果平面α⊥平面β，那么平面α内一定存在直线平行于平面βB.如果平面α不垂直于平面β，那么平面α内一定不存在直线垂直于平面βC.如果平面α⊥平面γ，平面β⊥平面γ，α∩β＝l，那么 l⊥平面γD.如果平面α⊥平面β，那么平面α内所有直线都垂直于平面β
解析：对于 D，若平面α⊥平面β，则平面α内的直线可能不垂直于平面β，即与平面β的关系还可以是斜交、平行或在平面β内，其他选项均是正确的.
3.(必修2P67 第2 题改编)P 是△ABC 所在平面α外一点，O是 P 在平面α内的射影.若 P 到△ABC 的三个顶点距离相等，则O 是△ABC 的__________心；若 P 到△ABC 的三边的距离相等，则 O 是△ABC 的________心；若 PA ，PB，PC 两两垂直，则 O是△ABC 的________心.解析：从射影易得 P 到△ABC 的三个顶点距离相等，则O 到△ABC 的三个顶点距离也相等即为外接圆圆心；若 P 到△ABC 的三边的距离相等，则 O 到△ABC 的三边的距离也相等，即为内切圆圆心；若 PA ，PB，PC 两两垂直，则 O 为垂心.
4.(2017 年全国Ⅲ)在正方体ABCD­A1B1C1D1中，E为棱CD
B.A1E⊥BDD.A1E⊥AC
的中点，则(A.A1E⊥DC1C.A1E⊥BC1
5.(2019 年北京)已知 l，m 是平面α外的两条不同直线.给出
①l⊥m；②m∥α；③l⊥α.
以其中的两个论断作为条件，余下的一个论断作为结论，
写出一个正确的命题：________.
解析：将所给论断，分别作为条件、结论，得到如下三个
(1)如果 l⊥α，m∥α，则 l⊥m.正确.
(2)如果 l⊥α，l⊥m，则 m∥α.不正确，有可能 m 在平面α
(3)如果 l⊥m，m∥α，则 l⊥α.不正确，有可能 l 与α斜交、
答案：如果 l⊥α，m∥α，则 l⊥m
考点 1 直线与平面垂直的判定与性质
1.如图 8-5-1，PA ⊥⊙O 所在平面，AB 是⊙O 的直径，C 是⊙O 上一点，AE⊥PC，AF⊥PB.给出下列结论：①AE⊥BC；②EF⊥PB；③AF⊥BC；④AE⊥平面 PBC.其中真命题的序号是__________.图 8-5-1
解析：AE⊂平面 PAC ，BC⊥AC，BC⊥PA ⇒AE⊥BC，故①正确；AE⊥PC，AE⊥BC，PB⊂平面 PBC⇒AE⊥PB，AF⊥PB，EF⊂平面 AEF⇒EF⊥PB，故②正确；若 AF⊥BC⇒AF⊥平面PBC，则 AF∥AE，与已知矛盾，故③错误；由①可知④正确.
2.(多选题)在三棱锥 D-ABC 中，AB＝BC＝CD＝DA＝1，且AB⊥BC，CD⊥DA，M，N 分别是棱 BC，CD 的中点，下面结
A.AC⊥BDB.MN∥平面 ABD
C.三棱锥 A-CMN 的体积的最大值为D.AD 与 BC 一定不垂直
解析：根据题意，画出三棱锥 D-ABC 如图 D72 所示，取
AC 中点 O，连接 OB，OD.
因为 AB＝BC＝CD＝DA＝1，且 AB⊥BC，CD⊥DA，所以△ABC，△ADC 为等腰直角三角形，则 OD⊥AC，BO⊥AC，且 OD∩BO＝O，
则 AC⊥平面 BOD，所以 AC⊥BD，即 A 正确；因为 M，N 分别是棱 BC，CD 的中点，由中位线定理可得 MN∥BD，而 BD⊂平面 ABD，MN 平面 ABD，所以 MN∥平面 ABD，即 B 正确；当平面 DAC⊥平面 ABC 时，三棱锥 A-CMN 的体积最大，
假设 AD⊥BC，由 AB⊥BC，且 AD∩AB＝A，
所以 BC⊥平面 ABD，则 BC⊥BD，又因为 AC⊥BD，且 AC∩BC＝C，
所以 BD⊥平面 ABC，由 OB⊂平面 ABC，则 BD⊥OB，由题意可知 OB＝OD，因而 BD⊥OB 不能成立，因而假设
【题后反思】直线与直线垂直⇒直线与平面垂直⇒平面与平面垂直⇒直线与平面垂直⇒直线与直线垂直，通过直线与平面位置关系的不断转化来处理有关垂直的问题.出现中点时，平行要联想到三角形中位线，垂直要联想到三角形的高；出现圆周上的点时，联想到直径所对的圆周角为直角.
考点 2 平面与平面垂直的判定与性质
[例 1](2020 年江苏)如图 8-5-2，在三棱柱 ABC-A1B1C1 中，AB⊥AC，B1C⊥平面 ABC，E，F 分别是 AC，B1C 的中点.图 8-5-2(1)求证：EF∥平面 AB1C1；(2)求证：平面 AB1C⊥平面 ABB1.
证明：(1)由于 E，F 分别是 AC，B1C 的中点，所以 EF∥
由于 EF 平面AB1C1，AB1⊂平面AB1C1，所以EF∥平面
(2)由于 B1C⊥平面 ABC，AB⊂平面 ABC，所以 B1C⊥AB.由于 AB⊥AC，AC∩B1C＝C，所以 AB⊥平面 AB1C，由于 AB⊂平面 ABB1，所以平面 AB1C⊥平面 ABB1.
【题后反思】垂直、平行关系证明中应用转化与化归思想
①证明线面、面面平行，需转化为证明线线平行.②证明线面垂直，需转化为证明线线垂直.③证明线线垂直，需转化为证明线面垂直.
④证明面面垂直，需转化为证明线面垂直，进而转化为证
【考法全练】(2018 年全国Ⅰ)如图 8-5-3，在平行四边形 ABCM 中，AB＝AC＝3，∠ACM＝90°，以AC为折痕将△ACM折起，使点M到达点 D 的位置，且 AB⊥DA.(1)证明：平面 ACD⊥平面 ABC；(2)Q 为线段 AD 上一点，P 为线段
锥 Q-ABP 的体积.
(1)证明：由已知可得，∠BAC＝90°，BA⊥AC.又 BA⊥AD，所以 AB⊥平面 ACD.
又 AB⊂平面 ABC，所以平面 ACD⊥平面 ABC.
图 D73由已知及(1)可得 DC⊥平面 ABC，所以 QE⊥平面 ABC，QE＝1.
线面所成的角 多维探究
[例 2](2020 年全国Ⅱ)如图 8-5-4，已知三棱柱 ABC­A1B1C1的底面是正三角形，侧面 BB1C1C 是矩形，M，N 分别为 BC，B1C1 的中点，P 为 AM 上一点，过 B1C1 和 P 的平面交 AB 于 E，交 AC 于 F.(1)证明：AA1∥MN，且平面 A1AMN⊥EB1C1F；(2)设O为△A1B1C1的中心，若AO∥平面EB1C1F，且 AO＝AB，求直线 B1E 与平面 A1AMN
(2)解：如图 8-5-5 连接 NP，
∵AO∥平面EB1C1F，平面AONP∩平面EB1C1F＝NP，∴AO∥NP，根据三棱柱上下底面平行，其平面A1NMA∩平面ABC＝AM，平面A1NMA∩平面A1B1C1＝A1N，∴ON∥AP，故四边形ONPA是平行四边形，设△ABC边长是6m(m>0)，可得ON＝AP，NP＝AO＝AB＝6m，
【题后反思】(1)证明线面平行，一般利用线面平行判定定理，即从线线平行出发给予证明，而线线平行寻找与论证，往往结合平面几何知识.
(2)面面垂直的证明，一般转化为证线面垂直，线面垂直的证明，往往需多次利用线面垂直判定与性质定理，线线垂直的证明有时需要利用平面几何条件.
(3)求线面角，关键作出射影，即面的垂线，可利用面面垂直的性质定理得到线面垂直，再结合三角形可求得线面角.
解析：方法一，如图 D75，连接 AC 交 BD 于点 O，连接C1O，过点 C 作 CH⊥C1O 于点 H.
⊙二面角[例 3](1)(2018 年浙江)已知四棱锥 S-ABCD 的底面是正方形，侧棱长均相等，E 是线段 AB 上的点(不含端点)，设 SE 与BC所成的角为θ1，SE与平面ABCD所成的角为θ2，二面角
S-AB-C 的平面角为θ3，则(
A.θ1≤θ2≤θ3 　　　　　 B.θ3≤θ2≤θ1 C.θ1≤θ3≤θ2 　　　　　D.θ2≤θ3≤θ1
解析：如图 8-5-6 所示，设 O 为正方形 ABCD 的中心，M 为 AB 中点，过 E 作 BC 的平行线 EF，交 CD于 F，过 O 作 ON⊥EF 于 N，连接 SO，SN，OM，则 SO⊥底面 ABCD，OM⊥AB，
因此∠SEN＝θ1，∠SEO＝θ2，∠SMO＝θ3，
∵SN≥SO，EO≥OM，∴tan θ1≥tan θ3≥tan θ2，即θ1≥θ3≥θ2.故选D.
(2)(2017 年浙江)如图 8-5-7 所示，已知正四面体 D-ABC(所有棱长均相等的三棱锥)，P，Q，R 分别为 AB，BC，CA 上的
D-QR-P 的平面角为α，β，γ，则(图 8-5-7
解析：设 O 为三角形 ABC 中心，则 O 到 PQ 距离最小，O到 PR 距离最大，O 到 RQ 距离居中，而高相等，因此α<γ<β.故选 B.
【高分训练】(2019 年浙江)设三棱锥 V-ABC 的底面是正三角形，侧棱长均相等，P 是棱 VA 上的点(不含端点)，记直线 PB 与直线 AC所成角为α，直线 PB 与平面 ABC 所成角为β，二面角 P-AC-B
的平面角为γ，则(A.β<γ，α<γC.β<α，γ<α
B.β<α，β<γD.α<β，γ<β
解析：方法一，如图 D76 所示，G 为 AC 中点，V 在底面ABC 的投影为 O，则 P 在底面投影 D 在线段 AO 上，过 D 作DE⊥AC 于 E，易得 PE∥VG，过 P 作 PF∥AC 交 VG 于 F，过D 作 DH∥AC，交 BG 于 H，则α＝∠BPF，β＝∠PBD，γ＝
一个转化思想：垂直关系的转化
两点防范：(1)在解决直线与平面垂直的问题过程中，要注意直线与平面垂直的定义、判定定理和性质定理的联合交替使用，即注意线线垂直和线面垂直的互相转化.
(2)面面垂直的性质定理是作辅助线的一个重要依据。我们要作一个平面的一条垂线，通常是先找这个平面的一个垂面，在这个垂面中，作交线的垂线即可.
三类论证：(1)证明线线垂直的方法①定义：两条直线所成的角为 90°；②平面几何中证明线线垂直的方法；③线面垂直的性质：a⊥α，b⊂α⇒a⊥b；④线面垂直的性质：a⊥α，b∥α⇒a⊥b.(2)证明线面垂直的方法