【期末·压轴题】北师大版数学八年级上册满分攻略：第2章 实数（压轴题专练）

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第2章 实数压轴题专练

一、单选题
1．（2020·四川省岳池中学八年级月考）设等式在实数范围内成立，其中a、x、y是两两不同的实数，则的值是(　　)
A．3 B． C．2 D．
【答案】B
【分析】根据根号下的数要是非负数，得到a（x-a）≥0，a（y-a）≥0，x-a≥0，a-y≥0，推出a≥0，a≤0，得到a=0，代入即可求出y=-x，把y=-x代入原式即可求出答案．
【详解】由于根号下的数要是非负数，
∴a（x-a）≥0，a（y-a）≥0，x-a≥0，a-y≥0，
a（x-a）≥0和x-a≥0可以得到a≥0，
a（y-a）≥0和a-y≥0可以得到a≤0，
所以a只能等于0，代入等式得
=0，
所以有x=-y，
即：y=-x，
由于x，y，a是两两不同的实数，
∴x＞0，y＜0．
将x=-y代入原式得：
原式=．
故选B．
【点睛】本题主要考查对二次根式的化简，算术平方根的非负性，分式的加减、乘除等知识点的理解和掌握，根据算术平方根的非负性求出a、x、y的值和代入求分式的值是解此题的关键．
2．（2019·四川省绵阳南山中学双语学校八年级月考）若a＝，b＝2+，则的值为（　　）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】将a乘以可化简为关于b的式子，从而得到a和b的关系，继而能得出的值．
【详解】a＝•＝．
∴．
故选：B．
【点睛】本题考查二次根式的乘除法，有一定难度，关键是在分母有理化时要观察b的形式．
3．（2019·全国八年级单元测试）已知，是大于1的自然数，那么的值是（ ）.
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】令，得到，，，进而得到的值，代入即可得到结论．
【详解】令，从而，，，∴=，∴原式=．
故选C．
【点睛】本题考查了二次根式的混合运算．熟练掌握二次根式混合运算法则是解答本题的关键．
4．（2019·全国八年级单元测试）当时，多项式的值为( ).
A．1 B． C． D．
【答案】B
【分析】由原式得，得，原式变形后再将代和可得出答案.
【详解】∵，
，即，
．
原式．
【点睛】本题难度较大，需要对要求的式子进行变形，学会转化.
5．（2019·河北唐山市·八年级期中）一个自然数的一个平方根是，则与它相邻的下一个自然数的平方根是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】根据平方根定义得原数为a2，故相邻的下一个自然数是a2+1，再求得平方根即可.
【详解】根据题意，平方根为a是数a2，则与它相邻的下一个自然数是a2+1，所以它的平方根是，故此题选择D.
【点睛】此题考察平方根定义，这里准确确定被开方数是解题关键.
6．（2020·四川）化简x，正确的是（　　）
A． B． C．﹣ D．﹣
【答案】C
【详解】根据二次根式有意义的条件可知﹣＞0，求得x＜0，然后根据二次根式的化简，可得x =﹣•=﹣.
故选C．
7．（2020·宜宾县双谊花古初级中学校）如图是一个无理数生成器的工作流程图，根据该流程图，下面说法：
①当输出值y为时，输入值x为3或9；
②当输入值x为16时，输出值y为；
③对于任意的正无理数y，都存在正整数x，使得输入x后能够输出y；
④存在这样的正整数x，输入x之后，该生成器能够一直运行，但始终不能输出y值．
其中错误的是（　　）

A．①② B．②④ C．①④ D．①③
【答案】D
【分析】根据运算规则即可求解．
【详解】解：①x的值不唯一．x=3或x=9或81等，故①说法错误；
②输入值x为16时，，故②说法正确；
③对于任意的正无理数y，都存在正整数x，使得输入x后能够输出y，如输入π2，故③说法错误；
④当x=1时，始终输不出y值．因为1的算术平方根是1，一定是有理数，故④原说法正确．
其中错误的是①③．
故选：D．
【点睛】此题主要考查了无理数的定义，其中初中范围内学习的无理数有：π，2π等；开方开不尽的数；以及像0.1010010001…，等有这样规律的数．


二、填空题
8．（2020·四川八年级期中）已知都是实数，且，则的值是______________．
【答案】16
【分析】先根据二次根式有意义的条件求出x的值，进而可求出y的值，然后代入即可求解．
【详解】根据题意有且，
∴，
，
．
故答案为：16．
【点睛】本题主要考查代数式求值，掌握二次根式有意义的条件是解题的关键．
9．（2020·宁波市第七中学八年级期末）实数a、b满足，则的最大值为_________．
【答案】52．
【分析】首先化简，可得|a-2|+|a-6|+|b+4|+|b-2|=10，然后根据|a-2|+|a-6|≥4，|b+4|+|b-2|≥6，判断出a，b的取值范围，即可求出的最大值．
【详解】解：∵，
即，
∴，
∴，
∵，，
∴ ，，
∴2≤a≤6，-4≤b≤2，
∴的最大值为，
故答案为52．
【点睛】本题考查了二次根式的性质与化简，绝对值的意义，算术平方根的性质．解题的关键是要明确化简二次根式的步骤：①把被开方数分解因式；②利用算术平方根的性质，把被开方数中能开得尽方的因数（或因式）都开出来；③化简后的二次根式中的被开方数中每一个因数（或因式）的指数都小于根指数2．
10．（2020·四川成都·天府七中）若，，是实数，且，则________．
【答案】21
【分析】结合态，根据完全平方公式的性质，将代数式变形，即可计算得，，的值，从而得到答案．
【详解】∵
∴
∴
∴
∴
∴
∴
∴．
【点睛】本题考查了二次根式、完全平方公式的知识；解题的关键是熟练掌握二次根式、完全平方公式、一元一次方程的性质，从而完成求解．
11．（2021·浙江）已知，则2x﹣18y2＝_____．
【答案】
【分析】直接利用二次根式的性质将已知化简，再将原式变形求出答案．
【详解】解：∵一定有意义，
∴x≥11，
∴﹣|7﹣x|+＝3y﹣2，
﹣x+7+x﹣9＝3y﹣2，
整理得：＝3y，
∴x﹣11＝9y2，
则2x﹣18y2＝2x﹣2（x﹣11）＝22．
故答案为：22．
【点睛】本题考查二次根式有意义的应用，以及二次根式的性质应用，属于提高题．
12．（2020·成都市新都区新川外国语学校）已知y＝＋＋18，求代数式﹣的值为_____．
【答案】-
【分析】首先由二次根式有意义的条件求得x＝8，则y＝18，然后代入化简后的代数式求值．
【详解】解：由题意得，x﹣8≥0，8﹣x≥0，
解得，x＝8，则y＝18，
∵x＞0，y＞0，
∴原式＝﹣
＝﹣
＝
＝﹣
把x＝8， y＝18代入
原式＝﹣
＝2﹣3
＝-，
故答案为：-．
【点睛】本题考查了二次根式有意义的条件和二次根式的化简求值，解题关键是根据二次根式有意义的条件确定x、y的值，能够熟练的运用二次根式的性质化简．

13．（2021·湖南八年级期末）观察下列等式：
①3－=（－1）2，
②5－=（－）2，
③7－=（－）2，
…
请你根据以上规律，写出第5个等式____．
【答案】
【分析】观察相同位置的数的变化方式，先得出左边第一项和右边的两个被开方数，再得出左边第二项的被开方数，即可求出答案．
【详解】因为等式左边第一项依次增加2，
所以第5个等式的第一项是11，
因为等式右边的两个被开方数中，后一个数就是该等式的序号数，前一个数比后一个数大1，
所以第5个等式的右边的两个被开方数分别是6和5，
因为等式左边第二项中的被开方数是等式右边两个根式的被开方数的积，
所以这个数是30，
观察其余部分都相同，直接带下来即可，
所以第5个等式是．
故答案为：．
【点睛】此题属于规律探究题，主要考查了数字的变化规律以及每个等式之中的数字之间的关系，要求学生注意观察和推导，考查了学生分析与判断的能力．
14．（2020·浙江）已知，则的值是_____________．
【答案】9
【分析】先将原等式变形为，再根据平方的非负性可得，，，由此可求得a、b、c的值，进而可求得答案．
【详解】解：∵，
∴，
∴，
∴，，，
∴，，，
∴，，，
∴，
故答案为：9．
【点睛】本题考查了二次根式的性质与化简，熟练掌握二次根式的性质和灵活应用完全平方公式是解决此题的关键．
15．（2021·广西南宁二中八年级期末）已知：；；；……按此规律，请表示出第2021个式子______．
【答案】
【详解】∵第1个数：
第2个数：
第3个数：
第4个数：
∴第n个数
当n=2021时，
故答案为.
【点睛】本题考查的是找规律，找出式子与序号的关系是解决本题的关键.
16．（2021·重庆忠县·）我们经过探索知道，，，，若已知，则_______（用含的代数式表示，其中为正整数）．
【答案】
【分析】先求出，，，，的值，代入原式利用算数平方根和公式进行化简与计算，即可求解．
【详解】解：∵，
，
，

，
∴







故答案为：．
【点睛】本题考查数式规律问题、算数平方根、有理数的加减混合运算等知识点，用裂项法将分数进行化简与计算是解题关键．
17．（2019·重庆巴南·八年级期中）甲容器中装有浓度为a的果汁，乙容器中装有浓度为b的果汁，两个容器都倒出m kg，把甲容器倒出的果汁混入乙容器，把乙容器倒出的果汁混入甲容器，混合后，两容器内的果汁浓度相同，则m的值为_________．
【答案】
【分析】分别求出甲，乙容器中原溶液中纯果汁的含量，再求出mkg溶液中纯果汁的含量，最后利用混合后果汁的浓度相等列出关系式，求出m即可．
【详解】解：根据题意，甲容器中纯果汁含量为akg，乙容器中纯果汁含量为bkg，
甲容器倒出mkg果汁中含有纯果汁makg，乙容器倒出mkg果汁中含有纯果汁mbkg，
重新混合后，甲容器内果汁的浓度为，
重新混合后，乙容器内果汁的浓度为，
由题意可得，，
整理得，6a-6b=5ma-5mb，∴6（a-b）=5m（a-b），
∴m=．
故答案为：．
【点睛】本题考查二次根式的应用，能够正确理解题意，化简二次根式是解题的关键．
三、解答题
18．（2021·河北八年级期末）阅读下列解题过程：，，请回答下列问题：
（1）观察上面的解答过程，请写出 = ；
（2）利用上面的解法，请化简：．
【答案】（1）（2）9
【分析】（1）观察上面解题过程，归纳总结得到一般性规律，写出即可；
（2）原式利用各种分母有理化，计算即可得到结果．
【详解】（1）∵；

归纳总结得：（n≥1）
故答案为；
（2）
＝
=
=-1+10
=9．
【点睛】此题考查了分母有理化，弄清题中分母有理化法则是解本题的关键．
19．（2020·镇康县勐捧中学八年级月考）阅读下列材料，然后回答问题．
在进行二次根式的化简与运算时，我们有时会碰上如，，一样的式子，其实我们还可以将其进一步化简：(一)
(二)
(三)
以上这种化简的步骤叫做分母有理化．
还可以用以下方法化简：
(四)
(1)直接写出化简结果①=　 　，②=　 　．
(2)请选择适当的方法化简．
(3)化简：．
【答案】(1) ①；②；(2) ；(3)
【分析】（1）①分子分母同时乘以即可化简；②分子分母同时乘以即可化简；
（2）分子分母同时乘以即可化简；
（3）根据例题即可化简．
【详解】解：（1）①原式=；
②原式=；
故答案为﹣1；；
（2）原式=；
（3）原式=．
【点睛】本题考查了二次根式的化简，读懂题意，正确运算是解题的关键．
20．（2020·浙江杭州市·）阅读下列解题过程
．
．
请回答下列问题
（1）观察上面解题过程，请直接写出的结果为______．
（2）利用上面所提供的解法，请化简：
的值．
（3）不计算近似值，试比较与的大小，并说明理由．
【答案】（1）；（2）9；（3）
【分析】（1）由解题过程可以看出该解题过程运用的是分母有理化运算，有理化后分母为1，分子则为分母的有理化因式，由此可直接写出的值；
（2）中各项按规律化简后相加可以消除互为相反数的项，没有抵消的计算得到结果．
（3）利用倒数关系比较大小．
【详解】解：（1）由上面的解题规律可直接写出．
（2）由（1）得，原式=．
（3），
同理．
又，
，
．
【点睛】本题是规律型的，由分母有理化得出规律，以及考查了二次根式的化简在多项式求和和比较大小中的应用．
21．（2020·安徽八年级期末）小明在学习二次根式后，发现一些含根号的式子可以写成另一个式子的平方，如：，善于思考的小明利用完全平方公式进行了以下探索：
．请你仿照小明的方法解决下列问题：
（1），则______，_______；
（2）已知是的算术平方根，求的值；
（3）当时，化简_______．
【答案】（1）2，1；（2）－2018；（3）2．
【分析】（1）根据题目所给方法对变形即可；
（2）根据题意结合所给方法求出，然后对所求式子变形，整体代入计算即可；
（3）根据题目所给方法，将写成的形式，然后根据二次根式的性质化简即可．
【详解】
解：（1）∵，
∴a＝2，b＝1；
（2）∵是的算术平方根，
∴，
∴；
（3）∵，
∴，
，
，
，
．
【点睛】本题考查了二次根式的性质，解题的关键是正确理解题中所给方法，将根号内的式子变形为完全平方式的形式．
22．（2020·扬州市梅岭中学）数学教育家波利亚曾说：“对一个数学问题，改变它的形式，变换它的结构，直到发现有价值的东西，这是数学解题的一个重要原则”．
材料一：平方运算和开方运算是互逆运算．如a2±2ab+b2＝（a±b）2，那么，如何将双重二次根式化简．我们可以把转化为完全平方的形式，因此双重二次根式得以化简．
材料二：在直角坐标系xOy中，对于点P(x，y)和Q(x，y’)给出如下定义：若则称点Q为点P的“横负纵变点”．例如：点(3，2)的“横负纵变点”为(3，2)，点(﹣2，5)的“横负纵变点”为(﹣2，﹣5)．问题：
（1）点的“横负纵变点”为　 　 ，点的“横负纵变点”为　　 ；
（2）化简：；
（3）已知a为常数（1≤a≤2），点M(，m)是关于x的函数图像上的一点，点M’是点M的“横负纵变点”，求点M’的坐标．
【答案】（1），；（2）；（3）(﹣，﹣)
【分析】（1）根据“横负纵变点”的定义即可解决问题．
（2）模仿例题解决问题即可．
（3）首先化简双重二次根式，再根据待定系数法，“横负纵变点”解决问题即可．
【详解】解：（1）根据题目意思，
∵和，
点的“横负纵变点”为，点的“横负纵变点”为，
故答案为：，；
（2）∵
∴；
（3）∵，

∵点M(，m)是关于x的函数图像上的一点，
∴，
即：M（，），
又∵点M’是点M的“横负纵变点
∴M′的坐标为（，）．
【点睛】本题属于一次函数综合题，考查了待定系数法，横负纵变点”的定义，双重二次根式的化简等知识，解题的关键是理解题意，学会模仿解决问题，属于中考常考题型．

23．（2020·重庆市凤鸣山中学）进位数是一种计数方法，可以用有限的数学符号代表所有的数值，使用数字符号的数目称为基数，基数为个则称为进制，现在最常用的是十进制，通常使用10个阿拉伯数字0—9作为基数，特点是满十进1，对于任意一个进制表示的数通常使用个阿拉伯数字作为基数，特点是逢进一，我们可以通过下列方式把它转化为十进制．例如：五进制数 ，则，七进制数
（1）请将以下两个数转化为十进制： ，（ ．
（2）若一个正数可以用7进制表示为，也可用五进制表示为，求出这个数并用十进制表示．
【答案】（1）93，34；（2）这个数用十进制表示为51或102．
【分析】（1）根据进制的规则列式计算即可；
（2）根据题意列得，化简成24a+b=12c，根据a、b、c的取值范围分别将a从1开始取值验证，即可得到答案．
【详解】（1），，
故答案为：93，34；
（2）根据题意得：，
∴24a+b=12c，
∴，
∵a、b、c均为整数，且，
∴b=0，c=2a，
∵，，
∴或，
∵，．
∴这个数用十进制表示为51或102．
【点睛】此题考查新定义运算，有理数的混合运算，列代数式，正确理解题意是解题的关键．
24．（2020·南通市东方中学八年级月考）在学习了二次根式后，小明同学发现有的二次根式可以写成另一个二次根式的平方的形式.
比如：.善于动脑的小明继续探究：
当为正整数时，若，则有，所以，.
请模仿小明的方法探索并解决下列问题：
（1）当为正整数时，若，请用含有的式子分别表示，得： ， ；
（2）填空：= - ；
（3）若，且为正整数，求的值.
【答案】（1），；（2）；（3）或46.
试题分析：（1）把等式右边展开，参考范例中的方法即可求得本题答案；
（2）由（1）中结论可得： ，结合都为正整数可得：m=2，n=1，这样就可得到：；
（3）将右边展开，整理可得：，结合为正整数，即可先求得的值，再求的值即可.
试题解析：（1）∵，
∴，
∴；
（2）由（1）中结论可得： ，
∵都为正整数，
∴ 或 ，
∵当m=1，n=2时，，而当m=2，n=1时，，
∴m=2，n=1，
∴；
（3）∵，
∴， ，
又∵为正整数，
∴， 或者，
∴当时，；当，，
即的值为：46或14.
25．（2020·湖北）如图1，在平面直角坐标系中，直线AB分别交y轴、x轴于点A（0，a），点B（b，0），且a、b满足a2-4a+4+＝0．
（1）求a，b的值；
（2）以AB为边作Rt△ABC，点C在直线AB的右侧，且∠ACB＝45°，求点C的坐标；
（3）若（2）的点C在第四象限（如图2），AC与 x轴交于点D，BC与y轴交于点E，连接 DE，过点C作CF⊥BC交x轴于点F．
①求证：CF=BC；
②直接写出点C到DE的距离．

【答案】（1）a＝2，b＝-1；（2）满足条件的点C（2，1）或（1，-1）；（3）①证明见解析；②1．
【分析】（1）可得(a−2)2+＝0，由非负数的性质可得出答案；
（2）分两种情况：∠BAC=90°或∠ABC=90°，根据等腰直角三角形的性质及全等三角形的性质可求出点C的坐标；
（3）①如图3，过点C作CL⊥y轴于点L，则CL=1=BO，根据AAS可证明△BOE≌△CLE，得出BE=CE，根据ASA可证明△ABE≌△BCF，得出BE=CF，则结论得证；
②如图4，过点C作CK⊥ED于点K，过点C作CH⊥DF于点H，根据SAS可证明△CDE≌△CDF，可得∠BAE=∠CBF，由角平分线的性质可得CK=CH=1．
【详解】（1）∵a2−4a+4+＝0，
∴(a−2)2+＝0，
∵（a-2）2≥0，≥0，
∴a-2=0，2b+2=0，
∴a=2，b=-1；
（2）由（1）知a=2，b=-1，
∴A（0，2），B（-1，0），
∴OA=2，OB=1，
∵△ABC是直角三角形，且∠ACB=45°，
∴只有∠BAC=90°或∠ABC=90°，
Ⅰ、当∠BAC=90°时，如图1，

∵∠ACB=∠ABC=45°，
∴AB=CB，
过点C作CG⊥OA于G，
∴∠CAG+∠ACG=90°，
∵∠BAO+∠CAG=90°，
∴∠BAO=∠ACG，
在△AOB和△BCP中，
，
∴△AOB≌△CGA（AAS），
∴CG=OA=2，AG=OB=1，
∴OG=OA-AG=1，
∴C（2，1），
Ⅱ、当∠ABC=90°时，如图2，

同Ⅰ的方法得，C（1，-1）；
即：满足条件的点C（2，1）或（1，-1）
（3）①如图3，由（2）知点C（1，-1），
过点C作CL⊥y轴于点L，则CL=1=BO，

在△BOE和△CLE中，
，
∴△BOE≌△CLE（AAS），
∴BE=CE，
∵∠ABC=90°，
∴∠BAO+∠BEA=90°，
∵∠BOE=90°，
∴∠CBF+∠BEA=90°，
∴∠BAE=∠CBF，
在△ABE和△BCF中，
，
∴△ABE≌△BCF（ASA），
∴BE=CF，
∴CF＝BC；
②点C到DE的距离为1．
如图4，过点C作CK⊥ED于点K，过点C作CH⊥DF于点H，

由①知BE=CF，
∵BE=BC，
∴CE=CF，
∵∠ACB=45°，∠BCF=90°，
∴∠ECD=∠DCF，
∵DC=DC，
∴△CDE≌△CDF（SAS），
∴∠BAE=∠CBF，
∴CK=CH=1．
【点睛】此题考查三角形综合题，非负数的性质，等腰直角三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，坐标与图形的性质，等腰三角形的性质，点到直线的距离，角平分线的性质，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题．
26．（2021·河北）甲是第七届国际数学教育大会的会徽，会徽的主体图案是由图乙中的一连串直角三角形演化而成的，其中OA1＝A1A2＝A2A3＝…＝A7A8＝1．
细心观察图形，认真分析下列各式，然后解答问题：

()2＋1＝2，S1＝；()2＋1＝3，S2＝；（）２＋1＝4，S3＝；…．
（1）请用含有n(n是正整数)的等式表示上述变化规律，并计算出OA10的长；
（2）求出的值．
【答案】（1）含有n(n是正整数)的等式表示上述变化规律为：，OA10的长为；（2）
【分析】（1）根据勾股定理分别求出OA22、OA32，OA42及OA2、OA3、OA4得到OAn2及OAn对应的S值，再计算得到OA10；
（2）由（1）知，分别求出S1、S2、S3、、S10，将结果代入代数式计算即可.
【详解】（1）∵OA1=1=，OA1＝A1A2＝A2A3＝…＝A7A8＝1，
∴OA22==1+1=2，
∴OA2=，，
∵OA32==()2＋1＝3，
∴，，
∵OA42==（）２＋1＝4，
∴OA4=2， ，
，
∴，，
∴OA102==10，
∴OA10= ，
∴含有n(n是正整数)的等式表示上述变化规律为：，OA10的长为；
（2）由（1）知：，
∴， ， ，，，
∴==.
【点睛】此题考查图形类规律的探究，勾股定理计算线段长度，能依据图形得到线段的计算方法，并总结规律运用解题是关键.
27．（2020·山西晋中·八年级月考）如图，在数轴．上有两个长方形和，这两个长方形的宽都是个单位长度，长方形的长是个单位长度，长方形的长是个单位长度，点在数轴上表示的数是，且两点之间的距离为．

点在数轴上表示的数是 ，点在数轴上表示的数是
若线段的中点为，线段上有一点以每秒个单位长度的速度向右匀速运动，以每秒个单位长度的速度向左运动，设运动的时间为秒，问当为多少时，原点恰为线段的三等分点?
若线段的中点为，线段上有一点，长方形以每秒个单位长度的速度向右匀速运动，长方形保持不动，设运动时间为秒，是否存在一个的值，使以三点为顶点的三角形是直角三角形?若存在，求的值;不存在，请说明理由．
【答案】（1）；（2）或；（3）存在这样的t，t的值为或．
【分析】（1）根据已知条件得出点H在点E右边个单位处，点A在点E左边个单位处，再根据点E表示的数即可得出答案；
（2）根据条件算出点M、点N表示的数，然后再分OM=2ON和ON=2OM两种情况，根据条件列出含有绝对值的方程求解即可；
（3）分、和三种情况讨论，根据条件建立方程求解即可．
【详解】解：（1）∵点在数轴上表示的数是，，
∴，即点H在数轴上表示的数是，
∵，，
∴，
∴，即点A在数轴上表示的数是；
（2）由题意知，线段的中点为，则表示的数为，线段上有一点，且，则表示的数为，
∵以每秒个单位长度的速度向右匀速运动，以每秒个单位长度的速度向左运动，
∴经过秒后，点表示的数为，点表示的数为，
①当时，则有，
解得（经检验，不符合题意，舍去）或，
②当时，则有，
解得（经检验，不符合题意，舍去），
综上所述，当或时，原点恰为线段的三等分点；
（3）根据题意，因为点的位置不确定，所以应分类讨论，有以下三种情况：
①当时，点与点重合，此时；
②当时，，
由题可得，，
，
，
，
，
解得；
③，
综上所述，存在这样的t，t的值为或．
【点睛】本题为动点问题，考查了实数与数轴上的点的对应关系及分类讨论思想，明确线段之间的数量关系，能够表示出线段长是解题的关键．
28．（2019·云南八年级期中）观察下列各式:

化简以上各式，并计算出结果;
以上式子与其结果存在一定的规律．请按规律写出第个式子及结果．
猜想第个式子及结果(用含(的整数)的式子写出)，并对猜想进行证明．
【答案】；；第个式子为及结果为，证明见解析
【分析】（1）分别把每个式子的第二项进行分母有理化，观察结果；
（2）根据（1）的结果写出第5个式子及结果；
（3）根据（1）的规律可得，然后分母有理化，求出结果即可．
【详解】解：








第个式子为及结果为

证明：左边
右边
成立
【点睛】本题主要考查分母有理化的知识点，解答本题的关键是找出上述各式的变化规律，此题难度一般．

29．（2020·广东八年级月考）阅读下述材料：
我们在学习二次根式时，熟悉的分母有理化以及应用．其实，有一个类似的方法叫做“分子有理化”:
与分母有理化类似，分母和分子都乘以分子的有理化因式，从而消掉分子中的根式比如：

分子有理化可以用来比较某些二次根式的大小，也可以用来处理一些二次根式的最值问题．例如：
比较和的大小．可以先将它们分子有理化如下：

因为，所以
再例如：求的最大值．做法如下：
解：由可知，而
当时，分母有最小值2，所以的最大值是2．
解决下述问题：
（1）比较和的大小；
（2）求的最大值和最小值．
【答案】（1）；（2）的最大值为2，最小值为．
【分析】（1）利用分子有理化得到，，然后比较和的大小即可得到与的大小；
（2）利用二次根式有意义的条件得到，而，利用当时，有最大值1，有最大值1得到所以的最大值；利用当时，有最小值，有最下值0得到的最小值．
【详解】解：（1），
，
而，，
，
；
（2）由，，得，
，
∴当时，有最小值，则有最大值1，此时有最大值1，所以的最大值为2；
当时，有最大值，则有最小值，此时有最小值0，所以的最小值为．
【点睛】本题考查了非常重要的一种数学思想：类比思想．解决本题关键是要读懂例题，然后根据例题提供的知识点和方法解决问题．同时要注意所解决的问题在方法上类似，但在细节上有所区别．
30．（2019·河南信阳市·王店一中八年级月考）小明在学习二次根式后，发现一些含根号的式子可以写成另一个式子的平方，如3＋2＝（1＋）2，善于思考的小明进行了以下探索：设a＋b＝（m＋n）2（其中a，b，m，n均为正整数），则有a＋b＝m2＋2n2＋2mn，∴a＝m2＋2n2，b＝2mn．
这样小明就找到了一种把a＋b的式子化为平方式的方法．
请你仿照小明的方法探索并解决下列问题：
（1）当a，b，m，n均为正整数时，若a＋b＝（m＋n）2，用含m，n的式子分别表示a，b，得a＝ ，b＝ ；
（2）利用所探索的结论，找一组正整数a，b，m，n填空： ＋2 ＝（ ＋ ）2；（答案不唯一）
（3）若a＋4＝（m＋n）2，且a，m，n均为正整数，求a的值．
【答案】（1）m2＋3n2，2mn；（2）4,，1 ,（答案不唯一）；（3）7或13．
【分析】（1）利用完全平方公式展开得到（m+n）2=m2+3n2+2mn，从而可用m、n表示a、b；
（2）取m=2，n=1，则计算对应的a、b的值，然后填空即可；
（3）利用a=m2+3n2，2mn=4和a、m、n均为正整数可先确定m、n的值，然后计算对应的a的值．
【详解】
解：（1）（m+n）2=m2+3n2+2mn，∴a=m2+3n2，b=2mn，
故答案为：m2＋3n2，2mn；
（2）取m=2，n=1，则a=7，b=4，∴7+4=（2+）2，
故答案为：4,，1 ,（答案不唯一）；
（3）a=m2+3n2，2mn=4，
∵a、m、n均为正整数，
∴m=2，n=1或m=1，n=2，
当m=2，n=1时，a=4+3=7，
当m=1，n=2时，a=1+3×4=13，
∴a的值为7或13．
【点睛】本题考查了二次根式的混合运算以及阅读理解问题，正确理解题意并掌握基本运算法则是解题的关键．
31．（2020·首都师范大学附属中学八年级期中）规定：[m]为不大于m的最大整数；
（1）填空：[3.2]＝　 　，[﹣4.8]＝　 　；
（2）已知：动点C在数轴上表示数a，且﹣2≤[a]≤4，则a的取值范围　 　；
（3）如图：OB＝1，AB⊥OB，且AB＝10，动点D在数轴上表示的数为t，设AD﹣BD＝n，且6≤[n]≤7，求t的取值范围．

【答案】（1）3，-5；（2）﹣2≤a＜5；（3）﹣≤t＜﹣或＜t≤．
【分析】（1）根据[m]为不大于m的最大整数数即可求解；
（2）根据[m]为不大于m的最大整数，可得﹣2≤a＜5即可求解；
（3）分两种情形：当点D在点B的右边时，当点D在点B的左边时分别求解即可．
【详解】解：（1）[3.2]＝3，[﹣4.8]＝﹣5．
故答案为3，﹣5．
（2）∵﹣2≤[a]≤4
∴﹣2≤a＜5．
（3）如图，当点D在点B的右边时，

∵6≤[n]≤7，
∴6≤n＜8，
当n＝8时，﹣（t﹣1）＝8，
解得t＝，
当n＝6时，﹣（t﹣1）＝8，
解得t＝，
观察图象可知，＜t≤．
当点D在点B的左边时，同法可得﹣≤t＜﹣，
综上所述，满足条件的t的值为﹣≤t＜﹣或＜t≤．
【点睛】本题考查实数与数轴，勾股定理，无理方程等知识，解题的关键是理解题意，学会结合新定义考查估算无理数的大小，灵活运用所学知识解决问题．
32．（2020·广东佛山·）先阅读，再解答:由 可以看出，两个含有二次根式的代数式相乘，积不含有二次根式，我们称这两个代数式互为有理化因式，在进行二次根式计算时，利用有理化因式，有时可以化去分母中的根号，例如：
，请完成下列问题：
(1)的有理化因式是 _______；
(2)化去式子分母中的根号： _____．（直接写结果）
(3) （填或）
(4)利用你发现的规律计算下列式子的值：
【答案】（1）+1；（2）；（3）<；（4）2017.
【分析】（1）根据有理化因式的定义求解；
（2）利用分母有理化计算；
（3）通过比较它们的倒数大小进行判断，利用分母有理化得到； ，然后进行大小比较；
（4）先根据规律化简第一个括号中的式子，再利用平方差公式计算即可．
【详解】解：（1）-1的有理化因式是+1；
（2）；
（3），，
∵
∴>
∴<；
（4）原式=
=
=2018-1
=2017．
【点睛】本题考查了二次根式的混合运算：先把各二次根式化简为最简二次根式，然后进行二次根式的乘除运算，再合并即可．在二次根式的混合运算中，如能结合题目特点，灵活运用二次根式的性质，选择恰当的解题途径，往往能事半功倍．
33．（2021·全国八年级单元测试）观察下列各式及证明过程：
①；
②；
③．
验证：；

．
（1）按照上述等式及验证过程的基本思想，猜想的变形结果，并进行验证；
（2）针对上述各式反映的规律，写出用（为正整数，且）表示的等式．
【答案】（1），验证见解析；（2）（为正整数，）．
【分析】（1）应用二次根式对根式进行变形，总结规律，三个连续自然数的倒数，第一个乘以后两个的差，结果等于中间数作结果的系数，中间数的分母作结果中被开方数的分子，另两个数的分母的乘积作被开方数的分母，即可得到结果；
（2）根据（1）即可得到等式．
【详解】解：（1）猜着：
验证：；
（2）（为正整数，）．
【点睛】本题考查二次根式的化简，同时考查学生归纳总结的能力，特别注意写用含n的式子表示时一定要写上相应的n的取值范围．
34．（2020·浙江八年级期末）已知中，，，中，，，连接．

（1）如图1，求证：；
（2）如图2，当在上，在的延长线上，直线、相交于点，求证：；
（3）如图3，在（2）的条件下，若是中点，若，求的长．
【答案】（1）见解析；（2）见解析；（3）12
【分析】（1）由证得，即可得出结论；
（2）由证得，得出，由三角形外角的性质得出，即可得出结论；
（3），，通过，求得，则，而，解得：，则．即可求解．
【详解】解：（1）证明：
，，
，
在和中，，，，
，
；
（2）证明：在和中，，，，
，
，
为、的外角，
，
，
；
（3）如图3，设，
是的中点，则，则，
在中，，
，
，
在中，，
，
即，
即，解得，
则，
而，解得：，
则．
【点睛】本题是三角形综合题，主要考查了全等三角形的判定与性质、三角形外角性质、三角形面积的计算，二次根式的除法运算等知识；熟练掌握全等三角形的判定与性质以及三角形面积的计算方法是解题的关键．
35．（2021·江苏八年级专题练习）阅读理解题：定义：如果一个数的平方等于-1，记为①，这个数i叫做虚数单位，那么和我们所学的实数对应起来就叫做复数，复数一般表示为（，为实数），叫做这个复数的实部，叫做这个复数的虚部，它与整式的加法，减法，乘法运算类似．例如：解方程，解得：，．同样我们也可以化简．读完这段文字，请你解答以下问题：
（1）填空：______，______，______．
（2）已知，写出一个以，的值为解的一元二次方程．
（3）在复数范围内解方程：．
【答案】（1）-i，1，0；（2）；（3），．
【分析】(1)根据题意，则，，然后计算即可；
(2)利用，得到，，，即可求解
(3)利用配方法求解即可．
【详解】(1)，
，
∵，
∴，
同理：，
每四个为一组，和为0，
共有组，
∴，
(2)∵，
∴，，
∴，，，
∴以，的值为解的一元二次方程可以为：．
(3)，
，
，
，
∴，．
【点睛】本题考查了实数的运算，解一元二次方程，熟练掌握解一元二次方程的方法是解题的关键．
36．（2021·湖南师大附中博才实验中学八年级期末）阅读理解题：
定义：如果一个数的平方等于﹣1，记为i2＝﹣1，这个数i叫做虚数单位，把形如a+bi（a，b为实数）的数叫做复数，其中a叫这个复数的实部，b叫做这个复数的虚部，它的加、减、乘、除运算与代数式的运算类似．
例如：计算：（2﹣i）+（5+3i）＝（2+5）+（﹣1+3）i＝7+2i；
（1+i）×（2﹣i）＝1×2﹣i+2×i﹣i2＝2+（﹣1+2）i+1＝3+i；
根据以上信息，完成下列问题：
（1）填空：i3＝　 ，i4＝　 ，i+i2+i3+…+i2021＝　 ；
（2）计算：（1+i）×（3﹣4i）﹣（﹣2+3i）（﹣2﹣3i）；
（3）已知a+bi＝（a，b为实数），求的最小值．
【答案】（1）﹣i，1，；（2）﹣i﹣6；（3）的最小值为25．
【分析】（1）根据题目所给条件可得i3=i2•i，i4=i2•i2计算即可得出答案；
（2）根据多项式乘法法则进行计算，及题目所给已知条件即可得出答案；
（3）根据题目已知条件，a+bi＝4+3i，求出a、b，即可得出答案．
【详解】（1）i3＝i2•i＝﹣1×i＝﹣i，
i4＝i2•i2＝﹣1×（﹣1）＝1，
设S＝i+i2+i3+…+i2021，
iS＝i2+i3+…+i2021+i2022，
∴（1﹣i）S＝i﹣i2022，
∴S＝，
故答案为﹣i，1，；
（2）（1+i）×（3﹣4i）﹣（﹣2+3i）（﹣2﹣3i）
＝3﹣4i+3i﹣4i2﹣（4﹣9i2）
＝3﹣i+4﹣4﹣9
＝﹣i﹣6；
（3）a+bi＝＝＝＝4+3i，
∴a＝4，b＝3，
∴＝，
∴的最小值可以看作点（x，0）到点A（0，4），B（24，3）的最小距离，
∵点A（0，4）关于x轴对称的点为A'（0，﹣4），连接A'B即为最短距离，
∴A'B＝＝25，
∴的最小值为25．
【点睛】此题考查了实数的运算，以及规律型：数字的变化类，弄清题中的新定义是解本题的关键．
37．（2020·四川麓山师大一中八年级月考）阅读下列解题过程：
例：若代数式，求a的取值．
解：原式=，
当a<2时，原式＝(2-a)+(4-a)=6-2a=2，解得a＝2(舍去)；
当2≤a＜4时,原式＝(a-2)+(4-a)=2=2，等式恒成立；
当a≥4时，原式＝(a-2)+(a-4)=2a－6＝2，解得a=4；
所以，a的取值范围是2≤a≤4．
上述解题过程主要运用了分类讨论的方法，请你根据上述理解，解答下列问题：
(1)当3≤a≤7时，化简：＝_________；
(2)请直接写出满足＝5的a的取值范围__________；
(3)若＝6，求a的取值．
【答案】（1）4；（2）；（3）或4
【分析】（1）根据二次根式的性质即可求出答案；
（2）先将等式的左边进行化简，然后分情况讨论即可求出答案；
（3）先将等式的左边进行化简，然后分情况讨论即可求出答案；
【详解】解：（1）∵时，
∴，
∴
=
=
=；
故答案为：4；
（2）由题意可知，，
∴，
当时，则，，
∴原式=，
解得：；
当时，则，，
∴原式=，
∴符合题意；
当时，则，，
∴原式=，
解得：；
∴满足＝5的a的取值范围是；
故答案为：；
（3）∵，
∴，
当时，则，，
∴原式=，
解得：；
当时，则，，
∴原式=，
∴不符合题意；
当时，则，，
∴原式=，
解得：；
∴a的值为：或4；
【点睛】本题考查二次根式的混合运算，二次根式的性质，化简绝对值，解题的关键是熟练运用二次根式的性质，绝对值的意义进行化简，本题属于中等题型．注意运用分类讨论的思想进行分析．