九年级上册数学第22章 二次函数专题18 二次函数与倍角、半角问题

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专题18 二次函数与倍角、半角问题
解题点拨
既有构造相等角的，也有在这个问题上再进行加工的，比如，在坐标系中构造已知角的半角或二倍角，角可以单独出现，也可以存在于某个几何图形中，因此，构造半角、二倍角的方法也并不唯一，常用如下：

思路1：构造半角三角函数．

构造二倍角三角函数：


思路2：等腰三角形外角：三角形的外角等于和它不相邻的两个内角之和．

直击中考
1．（2022·安徽合肥·校联考三模）如图，抛物线交x轴于点A、B，交y轴于点，其中点B坐标为，同时抛物线还经过点．

（1）抛物线的解析式为_____________；
（2）设抛物线的对称轴与抛物线交于点E，与x轴交于点H，连接，将抛物线向下平移n个单位，当平分时，则n的值为_____________．
【答案】          或
【分析】（1）利用待定系数法求解即可；
（2）先求出平移后点E的坐标为，平移后点C的坐标为，再证明，得到，则，据此求解即可．
【详解】解：（1）由题意得，
∴，
∴抛物线解析式为，
故答案为：；
（2）∵原抛物线解析式为，
∴平移后的抛物线解析式为，
∴平移后点E的坐标为，平移后点C的坐标为，
∵，
∴，
∵平分，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴或，
故答案为：或．
【点睛】本题主要考查了待定系数法求二次函数解析式，二次函数综合，勾股定理，等腰三角形的性质与判定，熟知二次函数的相关知识是解题的关键．
2．（2022·山东泰安·统考二模）如图，在平面直角坐标系中，直线y=x+2与x轴交于点A，与y轴交于点C，抛物线y=−x2+bx+c经过A、C两点，与x轴的另一交点为点B．

(1)求抛物线的函数表达式；
(2)点D为直线AC上方抛物线上一动点，
①连接BC、CD，设直线BD交线段AC于点E，求的最大值；
②过点D作DF⊥AC，垂足为点F，连接CD，是否存在点D，使得△CDF中的∠DCF＝2∠BAC，若存在，求出点D的坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】(1)
(2)①；②存在，D（-2，3）

【分析】（1）根据题意得到A（-4，0），C（0，2）代入y=-x2+bx+c，于是得到结论；
（2）①如图1，令y=0，解方程得到x1=-4，x2=1，求得B（1，0），过D作DM⊥x轴于M，过B作BN⊥x轴交于AC于N，根据相似三角形的性质即可得到结论；②根据勾股定理的逆定理得到△ABC是以∠ACB为直角的直角三角形，取AB的中点P，求得P（-，0），得到PA=PC=PB=，过D作x轴的平行线交y轴于R，交AC的延线于G，解直角三角形即可得到结论．
(1)
解：对于函数：y=x+2，
令x=0，则y=2，令y=0，则x=-4，
∴A（-4，0），C（0，2），
∵抛物线y=-x2+bx+c经过A．C两点，
∴，
∴b=-，c=2，
∴y=-x2-x+2；
(2)
解：①如图，令y＝0，
∴，
∴，，
∴B（1，0），
过D作DM⊥x轴交AC于点M，过B作BN⊥x轴交于AC于N，

∴，
∴，
∴，
设，
∴，
∵B（1，0），
∴，
∴，
∵-