2022-2023学年广东省佛山市南海区高一下学期期中数学试题含答案

2022-2023学年广东省佛山市南海区高一下学期期中数学试题

一、单选题

1．已知向量，，那么向量的坐标是（    ）

A． B．

C． D．

【答案】D

【分析】根据平面向量线性运算的坐标法则计算可得．

【详解】因为，，所以．

故选：D．

2．复数在复平面内对应的点所在的象限为（    ）

A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限

【答案】C

【分析】利用复数除法化简复数，再根据复数的几何意义即可得到答案．

【详解】，

所以复数对应的点坐标为，该点是第三象限点，

故选：C．

3．的值为（    ）

A． B． C． D．

【答案】C

【分析】根据诱导公式结合余弦的倍角公式分析运算.

【详解】由题意可得：.

故选：C.

4．“”是“函数为偶函数”的（    ）

A．充分不必要条件 B．必要不充分条件

C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件

【答案】A

【解析】根据充分必要条件的定义判断．

【详解】时，是偶函数，充分性满足，

但时，也是偶函数，必要性不满足．

应是充分不必要条件．

故选：A．

5．圆柱的底面直径和高都等于球的直径，则球的表面积和圆柱的表面积的比是（    ）

A． B． C． D．

【答案】A

【分析】按圆柱表面积和球的表面积公式计算即可.

【详解】设球的半径的r，依题意圆柱的底面半径也是r，高是2r，

圆柱的表面积 ，

球的表面积 ，

所以球的表面积和圆柱的表面积的比是.

故选：A.

6．向量在向量上的投影向量是（    ）

A． B．

C． D．

【答案】B

【分析】首先求出，，再根据投影向量的定义计算可得.

【详解】因为，，

所以，，

所以向量在向量上的投影向量为.

故选：B

7．在正方形中，在上且有与对角线交于，则（    ）

A． B．

C． D．

【答案】C

【分析】根据平面向量的线性运算，即可求得答案.

【详解】如图，正方形中，，则

因为,所以,则,

故,

故选：C

8．复数满足，则（为虚数单位）的最小值为（    ）

A．3 B．4 C． D．5

【答案】B

【分析】首先根据复数的几何意义求复数对应的点的轨迹，再利用数形结合求模的最小值.

【详解】设复数在复平面内对应的点为，由知，点的轨迹为以原点为圆心，

半径为1的圆，表示圆上的点到点的距离，如下图，

如图，最小值为.

故选：B

二、多选题

9．下列四个函数中，以为最小正周期且在区间上单调递增的函数是（    ）

A． B．

C． D．

【答案】BD

【分析】根据三角函数的性质可逐项判断最小正周期和单调性即可.

【详解】函数的最小正周期，时，，则函数在区间上不单调，故A不符合；

函数的最小正周期，时，，则函数在区间上单调递增，故B符合；

函数的最小正周期，故C不符合；

函数的最小正周期，时，函数单调递增，故D符合.

故选：BD.

10．一个平行四边形的三个顶点坐标分别是，，，则第四个顶点的坐标可能是（    ）

A． B．

C． D．

【答案】ABC

【分析】设第四个顶点为，分三种情况讨论：四边形、、为平行四边形，分别转化为、、，利用向量的坐标运算求出点的坐标，即可得出答案.

【详解】设点、、，设第四个顶点为，分以下三种情况讨论：

①若四边形为平行四边形，则，即，

即，解得，此时，点的坐标为；

②若四边形是平行四边形，则，则，

即，解得，此时，点的坐标为；

③若四边形为平行四边形，则，即，

即，解得，此时，点的坐标为.

综上所述，第四个顶点的坐标为或或，

故选：ABC.

11．已知函数，，则下列结论中正确的是（    ）

A．若，则将图象向左平移个单位长度后得到的图象关于原点对称

B．若，且的最小值为，则

C．若在上单调递增，则的取值范围为

D．当时，在有且只有3个零点

【答案】ABD

【分析】由，逐项判断.

【详解】解：函数，

A.若，，将图象向左平移个单位长度后得到，其图象关于原点对称，故正确；

B.若，且的最小值为，则，解得，故正确；

C. 当时，，若在上单调递增，则，解得，故错误；

D.当时，，令，解得，因为，所以，所以在有且只有3个零点，故正确；

故选： ABD

12．已知圆锥顶点为，底面圆的直径长为，.若为底面圆周上不同于，的任意一点，则下列说法中正确的是（    ）

A．圆锥的侧面积为

B．面积的最大值为

C．圆锥的外接球的表面积为

D．若圆锥的底面水平放置，且可从顶点向圆锥注水，当水的平面过的中点时，则水的体积为

【答案】BCD

【分析】对A：根据圆锥的侧面积公式分析运算；对B：根据题意结合三角形的面积公式分析运算；对C：根据题意可得圆锥的外接球半径为的外接圆半径，利用正弦定理求三角形的外接圆半径，即可得结果；对D，利用圆锥的体积公式即可求解．

【详解】对于A：由题意可知：，

故圆锥的侧面积为，故A错误；

对于B：的面积，

在中，，故为钝角，

由题意可得，

故当时，面积的最大值为，故B正确；

对于C：由选项B可得：，则为钝角，

可得，

由题意可得圆锥的外接球半径为的外接圆半径，设其半径为，

则，即，

故圆锥的外接球的表面积为，故C正确；

对于D：当水的平面过的中点时，则水的体积为，故D正确．

故选：BCD．

三、填空题

13．在四边形中，若，则        .

【答案】

【分析】利用向量平行的坐标表示和四边形的特征即可求解.

【详解】因为，，且，

所以，解得，

又因为为四边形，所以与反向共线，则，

故答案为：.

14．根据诱导公式，填适当的式子，使          ．

【答案】（答案不唯一）

【分析】根据诱导公式可得结果.

【详解】.

故答案为：（答案不唯一）.

15．求值：          ．

【答案】

【分析】直接利用两角和的正切公式计算可得；

【详解】解：

故答案为：

16．的内角，，的对边分别为，，，，，边上的高为，则的面积是        .

【答案】

【分析】由已知利用正弦定理以及三角函数恒等变换可求，的值，利用两角和的正弦公式可求的值，由题意可求，的值，进而利用三角形的面积公式即可求解．

【详解】因为，，设边上的高为，

由正弦定理得，

化简得，又，解得或（舍去），

所以，

因为，解得，

，解得，

所以的面积．

故答案为：．

四、解答题

17．已知向量，，其中，.

(1)求，；

(2)求与的夹角的余弦值.

【答案】(1)，

(2)

【分析】（1）得到，的坐标，根据数量积的公式和向量的模的公式求解即可；

（2）由（1）先得到，，再结合求解即可.

【详解】（1）∵，，∴，，

∴，，

∴

（2）由（1），，，

∴

18．已知函数.

(1)求函数的最小正周期与单调递增区间；

(2)把函数图象上所有点向左平移个单位，得到函数的图象，求在上的最小值与最大值，并求出取最大值、最小值时自变量的值.

【答案】(1)最小正周期,单调递增区间为

(2)最小值是，此时，最大值是，此时.

【分析】（1）首先利用辅助角公式化简函数，再根据三角函数的性质求解；

（2）首先求函数的解析式，再根据三角函数的性质，求函数的最值，以及对应的值.

【详解】（1），

函数的最小正周期,

令，解得：，

所以函数的单调递增区间为

（2）函数图象上所有点向作平移个单位，

得到函数，

由，，

则当，即时，函数取得最小值，最小值是，

当，即时，函数取得最大值，最大值是，

综上可知，最小值是，此时，最大值是，此时.

19．如图，某广场设置了一些石凳供大家休息，这些石凳是由正方体截取八个一样的四面体得到的，已知被截的正方体棱长是.

(1)求石凳的体积；

(2)求石凳的表面积.

【答案】(1)

(2)

【分析】（1）用正方体的体积减去8个四面体的体积，即可求解；

（2）计算6个正方形的面积与8个正三角形的面积，即可求解．

【详解】（1）根据题意可知正方体的体积为，

又截去的每个四面体体积为，

石凳的体积；

（2）石凳的每个正方形面面积为：，

又石凳的每个正三角形面面积为：，

石凳的全面积为．

20．已知内角，，的对边分别为，，，且.

(1)求角的大小；

(2)若的周长为9，外接圆的半径为，判断的形状，并求的面积.

【答案】(1)

(2)为等边三角形，

【分析】（1）由正弦定理将边化角，再由两角和的正弦公式得到，即可求解；

（2）由正弦定理得，再利用余弦定理即可求出、，最后由面积公式计算可得．

【详解】（1）因为，

由正弦定理得，

因为，

所以，

又，所以，得，

又，所以；

（2）依题意，由正弦定理得，

因为的周长为9，所以，

由余弦定理得，

即，所以，

由得，所以为等边三角形，

所以的面积．

21．如图在四边形中，，，，.

(1)当平分四边形面积时，求长度：

(2)问是定值吗?为什么?

【答案】(1)

(2)

【分析】（1）结合题意，设，，在中，利用余弦定理得到，然后再结合题意平分四边形面积，利用三角形面积公式可得则有，两式联立即可求解；

（2）建立平面直角坐标系，设，利用得到，然后利用平面向量数量积的坐标运算即可求解.

【详解】（1）设，，

因为，，，所以，

在中，由余弦定理可得，，

也即，整理可得，   ①

又因为平分四边形面积，所以，

也即，整理可得，     ②

①②可得，，则，

由可得，

整理可得，，解得或（舍去），

将代入①可得，则，

所以当平分四边形面积时，求长度为.

（2）是定值，理由如下：

分别以所在直线为轴，建立如图所示平面直角坐标系，

由题意可得，，设，

由可得，，

整理可得，，

则，，

所以.

22．在地球公转过程中，太阳直射点的纬度随时间周而复始不断变化.如图，设地球表面某地正午太阳高度角为，为此时太阳直射点的纬度（太阳直射北半球时正值，太阳直射南半球时取负值），为当地的纬度值.

(1)若，，求的值，并直接写出用，表示的关系式；

(2)某科技小组以某年春分（太阳直射赤道且随后太阳直射点逐渐北移的时间）为初始时间，统计了连续400天太阳直射点的纬度平均值.下面是该科技小组的三处观测站成员在春分后第45天测得的当地太阳高度角数据：

请根据数据补充完成上面的表格（计算结果精确到0.0001）；

(3)设第天时太阳直射点的纬度平均值为.该科技小组通过对数据的整理和分析，推断与近似满足函数，经计算，已知2023年春分是3月21日，问2023年夏至大概是几月几日?

(4)定义从某年春分到次年春分所经历的时间为一个回归年，估计每400年中，应设定多少个闰年，可使这400年与400个回归年所含的天数最为接近（精确到1）.

【答案】(1)，；

(2)表格见解析；

(3)6月21日；

(4)97.

【分析】（1）根据题意可知，即可求解；

（2）根据计算即可‘

（3）根据夏至与春分相距计算即可；

（4）由求解即可.

【详解】（1）由题意得，

，，间的关系式为.

（2）根据可得：

（3）因为周期，所以春分到夏至需要天，

3月、5月有31天，4月、6月有30天，所以夏至大概是6月21日.

（4）因为，故应在400年中设定97个闰年.