奥数六年级下册秋季课程第4讲《等差数列》教案

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这是一份奥数六年级下册秋季课程第4讲《等差数列》教案，共10页。教案主要包含了教学目标，教学重点，教学难点，教学准备，教学过程等内容，欢迎下载使用。

六年级备课教员：×××
第4讲等差数列
一、教学目标：		1. 理解分数等差数列的意义。 2. 在原有基础上加深对于等差数列的认知。 3. 能够熟练运用等差公式准确计算。
二、教学重点：		明白分数等差数列的意义并能够熟练运算。
三、教学难点：		对于等差数列各种变式求法及分数乘除法的熟练运算。
四、教学准备：		PPT
五、教学过程：第一课时（50分钟）一、导入（5分钟) 师：同学们，老师前两天看了一篇关于哈雷彗星的文章，你们猜猜这篇文章里讲了什么内容？ (PPT出示）生：…… 师：好了，同学们就开始瞎猜了，老师给一个范围，与它每次出现的时间有关？生：…… 师：刚刚有一位同学说对了一半，这篇文章告诉了哈雷彗星下次出现的时间，但为什么老师讲只说对了一半呢？看了下面这组数据你们就会明白了。 1682年 1758年 1834年 1910年 1986年同学们，这是在过去三百多年里，人们看到哈雷彗星的时间；看了之后你能说出哈雷彗星下次出现的时间吗？生：…… 师：有同学知道吗？其实当你们用后面一个数减去前面一个数时就会发现：1758 －1682=76、1834－1758=76、1910－1834=76、1986－1910=76；哈雷彗星每 76年才出现一次，那么下一次出现的时间就应该是：1986＋76=2062年。师：像刚刚这种情况的数列我们叫做等差数列，相信大家都已经知道了，今天我们就来学有关分数的等差数列。板书：等差数列（PPT出示)
二、探索发现授课（40分钟）（一）例题一：（10分钟）已知一组等差数列的第1项是，末项是，公差是。这组等差数列有多少项？（PPT出示) 师：同学们，在题目中你得出了什么信息呢？生：…… 师：对的，题中首先告诉我们这是一组等差数列，而且还告诉了首项是，公差是，最后一项是；那告诉了这么多，要求的是什么呢？有哪位同学可以告诉老师？生：要求的是这组等差数列一共有多少项。师：是的，要求的是项数，那告诉这些条件对我们解题有什么帮助吗？想一想，等差数列的特征是什么？生：…… 师：是的，两项之间始终相差同一个数也就是公差，所以说首项加上一定的公差就会等于末项；你们知道怎么做了吗，有哪位同学可以说说你的想法？生：…… 师：对的，很棒，因为首项加上一定的公差就会等于末项也就说末项减去首项再除以公差就会得到项数，但算出来的就是这个数列的所有项数吗？生：…… 师：是的，算出来的答案再加上1就是这个等差数列的项数。这就是这题的解法，你们都学会了吗？生：…… 师：刚刚同学说了可以套公式，是的，之前我们已经学过，老师也教过你们公式，公式是：（末项－首项）÷公差＋1=项数。下面一起去巩固巩固吧。板书：（－）÷＋1 =÷＋1 =7＋1 =8（项）答：这组等差数列一共有8项。（PPT出示) （教师配用PPT一步步讲解演示，引导学生整理思路，从而能自行解答题目）练习一：（5分钟）在一个等差数列里第1项是，末项是，公差是，这个等差数列一共有多少项？（PPT出示) 分析: 本题与例题相似，都是要求项数；因为有对应公式，所以直接运用公式（末项－首项）÷公差＋1=项数就可以了。（－）÷＋1 =37（项）答：一共有37项。（PPT出示) （先学生自行解答，老师巡视；后一起分析解答过程）师：同学们，今天老师给你们带来了一个数学谜题，我们一起来猜猜看，第一猜到的奖励2个大拇指哦。老人拄拐杖（猜数学名词一）垂直（PPT出示) （二）例题二：（10分钟）在一个等差数列中，第1项是，第3项是，共有21项，求这个等差数列各项和是多少？（PPT出示）师：同学们，题中最后要求的是什么呢？生：…… 师：是的，要求的是所有项的数加起来的和，那有告诉每项的数是多少吗？生：…… 师：是的，没有告诉我们，但是可以通过第1项和第3项求出来，可是需要一个个的算出来，有没有简便的方法呢？生：…… 师：是的，刚刚就有同学想到了，当首项加上末项乘以项数再除以2时就是各项和；但同学们首项是知道，可末项呢？我们知道吗？生：…… 师：诶！对了，通过第3项－首项再除以(项数－1)也就是（－）÷(3 －1）算出公差，然后乘以项数－1，加上首项，得出的就是末项。所以知道首项和末项后，项数和是不是出来了？生: …… 师：不错，看来你们都学会了，那一起去练练手吧！板书：（－）÷(3－1）＋×（21－1）（＋）×21÷2 =÷2 =＋ =×21÷2 = = =190÷2 =95 答：等差数列各项和是95。 (PPT出示）（教师配用PPT一步步讲解演示，引导学生整理思路，从而能自行解答题目）练习二：（5分钟）在一个等差数列里，第1项是，第9项是，共有10项。这个等差数列各项之和是多少？ (PPT出示）分析：本题和例题类似，要求的也是各项之和，那么同样通过给出的条件算出公差，再由公差算出末项；最后利用公式（首相+末项）×项数÷2=各项之和。（－）÷（9－1）＋×（10－1）（＋）×10÷2 =÷8 =＋ =×10÷2 = = =7.5 答：这个等差数列各项之和是7.5。 (PPT出示）（先学生自行解答，老师巡视；后一起分析解答）三、小结：（5分钟） 1. 分数等差数列和整数等差数列运算方法一样。 2. 计算出来的答案要最简分数。 3. 等差数列求项数的公式是：（末项－首项）÷公差＋1=项数各项之和的公式是：（首相+末项）×项数÷2=各项之和
第二课时（50分钟）一、导入（5分钟）师：同学们，上节课我们学会了求等差数列的项数与各项之和，你们都还记得这两个公式吗？生：…… 师：是的，求项数的公式是（末项－首项）÷公差＋1=项数，求各项之和的公式是（首项+末项)×项数÷2；看来你们都已经牢牢把握这个运算公式。那如果现在变一下，要你求一个数在等差数列中是第几项时，又该怎么办呢？生：…… 师：看了我们班的同学都很不错哦，提前去预习，所以就能回答出老师的问题。好，不管有没有预习都让我们带着一颗好学的心进入今天的课堂吧！生：……
二、探索发现授课（40分钟）（一）例题三：（10分钟）在等差数列、、，…中，是第几项？师：这就是老师刚刚讲的题型，你们仔细观察一下，给出了哪些条件？生：…… 师：是的，题中给出了一组等差数列的前几项；要我们求的是是第几项，同学们，通过上一节课的学习，我们知道在等差数列中每一项都是首项＋公差×（项数－1），那有告诉公差是多少吗？生：…… 师：对的，是没有告诉，但可以通过前面几项的数可以算出来；那一起算算吧：－=、－=。师：现在知道了公差，那你们知道怎么算是第几项了吗？生：…… 师：是的，就是用减去首项的差再除以公差就可以知道项数。咦？是不是还忘了什么呀？生：项数忘了加1。师：哦，对的，项数忘了加1。其实老师是故意的，老师发现有几位同学在上一节课的作业里总是忘了加1，现在老师提出来了，希望下次不会能再有这种失误了！（根据班级实际情况选择）师：看来同学们都跃跃欲试了，那就进入下个环节吧：实战演练！生：…… 板书：－= －= (－)÷＋1 =÷＋1 =9＋1 =10（项）答：是第10项。 (PPT出示）（教师配用PPT一步步讲解演示，引导学生整理思路，从而能自行解答题目）练习三：（5分钟）在等差数列、、、…中，是第几项？分析：本题与例题相似，也是给出前面几项，要求一个数是第几项；那么也是先通过前面几项算出公差，再用减去首项，用它们的差除以公差最后加上1就是项数。板书：－= －= （－）÷＋1=20（项）答：是第20项。 (PPT出示）（先学生自行解答，老师巡视；后一起分析解答）师：同学们，你们喜不喜欢做24点游戏吧！今天我们来做个难点24点游戏，数字不能移动哦。 3 10 2 4 （PPT出示) （二）例题四：（10分钟）一组等差数列0、0.25、0.5、0.75、1……，欧拉直接用计算器相加，结果不小心漏加了一个数，求得的和是27，求漏加的数字是几？师：一起来看看这题，谁可以告诉老师，你从题中知道了哪些信息？生：…… 师：我们可以知道这等差数列的公差是0.25，那第n项是多少？生：0+0.25×（n-1）=0.25（n-1）师：看来同学都熟练地掌握了等差数列公式，那各项的和是多少？我们一起来重复一下公式。前项+末项…… 生：…… 师：那它肯定比哪个数大？生：27。师：我们来凑下n等于多少比较接近27？生：n=16。师：那现在我们可以知道漏加的数字是几了吗？只要用各项和减…… 生：…… 师：那它是第几项，请一位同学来算下。生：…… 师：如果n=17，也符合题意吗，同学们自己算下，告诉老师结果。生：…… 板书： an=0+0.25×（n-1）=0.25×（n-1） Sn=[0+0.25×（n-1）]×n÷2 =×（n-1）×n＞27 n=16，这个数是×（16-1）×16-27=3 3÷0.25+1=13（项），符合题意 n=17，不符合题意。答：漏加的数是3。 (PPT出示）（教师配用PPT一步步讲解演示，引导学生整理思路，从而能自行解答题目）练习四：（5分钟）一组等差数列0、1、2、3、4、5……，擦掉一个数字后，求得的平均数是10.4，求擦掉的数是第几项？分析：掌握平均数的概念，理解平均数与总数的关系，运用求和公式进行分析排除，选出最佳答案。 an= 0+1×（n-1）= n-1 Sn=（0+n-1）×n÷2 =（n-1）×n÷2＞10.4（n-1） n=21，擦掉的数是20×21÷2-10.4×20=2 2÷1+1=3（项），擦掉的数是第3项。答：擦掉的数是第3项。 (PPT出示）（先学生自行解答，老师巡视；后一起分析解答）（二）例题五：（选讲）有、这么两个数，在这两个数之间插入4个数后，就变成了等差数列，求这个等差数列的第5项。师：同学们，在、这两个数中间插入4个数后就成了等差数列，这说明了什么呢？生：…… 师：是的，这说明是这个等差数列的首项，是这个等差数列的末项，那要求第5项是多少，是不是要先知道公差？题目中有告诉公差是几吗？生：…… 师：是的，题中没有直接告诉公差，但通过末项－首项再除以(项数－1)就可以算出公差是多少，可是项数是几项啊？生：…… 师：嗯，一下就被你们发现了，因为在两个数中插入4个数成等差数列所以一共是6项，这时就可以算出公差是：（－）÷（6－1）= 师:现在已经知道了公差，那第5项就应该是……（大家一起说说）。师：你们都学会了吗？生：…… 板书：（－）÷（6－1）＋（5－1）× =4÷5 =＋4× = =＋ = 答：第5项是。 (PPT出示）（教师配用PPT一步步讲解演示，引导学生整理思路，从而能自行解答题目）练习五：（选做）有、这么两个数，在这两个数之间插入5个数后，就变成了等差数列，求第3项是多少？分析：本题和例题有点相似，也是在两个数中插入几个数成等差数列；那么也是要先算出公差，算出公差后再套入公式算出第三项是多少。板书：（－）÷（7－1）=2 ＋（3－1）×2= 答：第3项是。 (PPT出示）（先学生自行解答，老师巡视；后一起分析解答）三、总结：（5分钟） 1. 求项数的公式是：（末项－首项）÷公差＋1=项数 2. 求第几项的公式是：首项＋公差×（项数－1）。四、随堂练习： 1. 在等差数列、、、…中，一共有8项，末项是多少？－= －= ＋×（8－1）= 答：末项是。 2. 一个等差数列各项和是，其中末项第九项是，首项是多少？ ×2÷9= －= 答：首项是。 3. 在等差数列、、、…中，第8项是多少？－= －= ＋×（8－1）= 答：第8项是。一组等差数列2、4、6、8、10……，欧拉直接用计算器相加，结果不小心漏加了一个数，求得的和是400，求漏加的数字是几？ a1=2 an=2n Sn=(2+2n)×n÷2 =n×（n+1）＞400 n=20，20×21-400=20 n=21，21×22-400=62，62是第31项，不符合题意。答：漏加的数字是20。有这么两个数，在它们之间插入、、三个数后，就变成了等差数列，求这两个数分别是多少？ -=，-= 公差是， a1=-=，a5=+= 答：这两个数分别是，。
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