奥数六年级下册秋季课程 第7讲《和倍差倍问题》教案

 六年级                                              备课教员：××× 

第7讲    和倍差倍问题

一、教学目标：

1. 了解和倍、差倍问题的特点及结构，掌握解决和倍、差倍

   问题的一般方法。

2. 正确分析题目中的数量关系和对应关系，能够灵活进行条

   件的转换，并运用和倍差倍的方法解决问题。

3. 认真审题、自觉检验的意识的强化。

二、教学重点：

灵活进行条件转换，解答稍复杂的和倍、差倍问题。

三、教学难点：

正确分析题目中的数量关系和对应关系，灵活进行条件转换。

四、教学准备：

PPT

五、教学过程：

第一课时（50分钟）

一、        导入（5分)

师：同学们，和老师相处这么久了，你们想知道老师的年龄吗？

生：想。

师：嘿，想知道老师的年龄可是没那么容易，老师要考考你们！请看大屏幕。

    老师的年龄加上卡尔的年龄是36岁，老师的年龄是卡尔的2倍，请问，老师多少岁？

（PPT出示）

师：第一个猜出来的老师奖励5个大拇指。猜出来的请举手！

生：老师你24岁。

师：真聪明！请说下你是怎么猜到的呢？

生：把卡尔的年龄设为a岁，那么老师的年龄是2a岁，所以年龄和就是3a=36。

    卡尔就是12岁了，老师您就24岁了。

师：嗯！回答得不错，本节课我们就来解决该类和倍问题。

板书：

    和倍差倍问题

二、探索发现授课（40分）

（一）例题一：（10分）

参加学校各类兴趣小组的学生中，有70人不是参加书法组的，有85人不是美术组的，书法组和美术组共有135人，参加书法组的有多少人？

（PPT出示)

师：同学们，你们看完这题目后，首先想到这是个什么问题呢？

生：重叠问题。

师：不错，那我们来画图看看这个“重叠问题”。

师：我们用C表示学校各类兴趣小组，A圆表示书法组，B圆表示美术组。

（PPT出示)

师：老师画出了集合图，请位小朋友来说下哪部分是不参加书法组的？

生：在C里面除掉A部分，其他部分是不参加书法组的。

师：回答正确，不参加美术组的哪位小朋友知道？

生：在C里面除掉B部分，其他部分是不参加美术组的。

师：那同学们有没发现它们的共同部分是哪一部分呢？

生：其他兴趣小组。

师：那么不是美术组的人数与不是书法组的人数之差，实际上就是什么呢？

生：A与B的差。

师：同学们，这题能用重叠问题解决吗？

生：（考虑了下）不能。

师：是的，哪位同学能告诉老师用什么方法能解决？

   （我们现在知道A与B的差，A与B的和）

生：和差问题的公式可以解决。

师：这位同学非常棒，看来已经熟练地掌握和差公式了。今天老师来讲的是和

    倍差倍问题。和差问题是和倍、差倍问题特殊情况。

所以这题的解法是：

板书：

〔135＋（85－70）〕÷2=75（人）

答：参加书法组的人数为75人。

（PPT出示)

练习一：（5分）

两个仓库原有大米共15吨。甲仓库里新运进4吨，乙仓库里运出2吨。这时乙仓库比甲仓库的大米还多1吨。甲、乙两个仓库原来各有大米多少吨？

（PPT出示)

分析:

这是特殊的和倍、差倍问题——和差问题，隐藏的倍数为1，我们可以先得出原来乙仓库比甲仓库的多的数量，4+2+1=7（吨），它们原来的和是15吨。

板书：

甲仓库：（15-7）÷2=4（吨）

乙仓库：（15+7）÷2=11（吨）

答：甲仓库原来有4吨，乙仓库原来有11吨。

（PPT出示)

师：同学们，复习了和差问题的解题思路和方法，我们先来猜个谜语，然后来看看一般和倍问题。

（PPT出示）

（二）例题二：（10分）

一个正方形相框里放了一张正方形照片，照片和相框的周长和是48厘米，相框的边长是照片的2倍，照片和相框的面积各是多少平方厘米？

（PPT出示）

师：同学们，看完题目后，本题的倍数是多少呢?是1倍吗？

生：不是，是2倍。

师：看来同学们审题非常仔细。正方形周长的公式是C=4a。我们把照片的边长

    看作单位1，那么相框的边长是单位几？

生：2个单位1。

师：回答的不错，我们再来看看照片和相框的周长和是48厘米。这周长是2个

    正方形周长之和。我们可以得出它们的边长和是多少呢？

生：48÷4=12。

师：对，运用正方形周长公式的逆运算，我们可以得出它们的边长和。哪位小

    朋友来告诉老师，它是由什么组成的？

生：由单位1的照片边长和2个单位的照片边长组成。

师：那么它们一共是3个单位1，所以一个单位1的长度是12÷（1+2）=4，得

    出照片边长为3cm,相框边长为6cm。照片和相框的面积就可以迎刃而解了。

板书：

照片的边长：48÷4÷（1+2)=4（厘米）

相框的边长：4×2=8（厘米）

照片的面积：4×4=16（平方厘米）

相框的面积：8×8=64（平方厘米）

答：照片的面积是16平方厘米，相框的面积是64平方厘米。

（PPT出示)

练习二：（5分）

一个长方体蓄水池的底部周长是40米，已知长是宽的1.5倍，那么这个蓄水池占地面积是多少平方米？

（PPT出示)

分析：

我们知道了底部周长是40米，可以得出长与宽之和是周长的一半，40÷2=20米,把宽作为单位1，那么长是1.5个单位，所以它们的和是2.5个单位，求出1个单位的宽=20÷2.5=8米，1.5个单位的长=8×1.5=12米。蓄水池的面积=8×12=96平方米。

板书：

长+宽：40÷2=20（米）

宽：20÷（1+1.5）=8（米）    

长：8×1.5=12（米）

蓄水池占地面积：8×12=96（平方米）

答：这个蓄水池的占地面积是96平方米。

（PPT出示)

师：同学们，从上面几个例题和练习中，我们找到了计算和倍问题的方法了吗？

生：找到了。

三、小结：（5分）

1. 两数和÷（倍数＋1）=小数（1倍数）

2. 小数×倍数=大数

第二课时（50分）

一、导入（5分）

师：同学们，上节课中我们掌握了和倍问题的解决方法，接下来我们来看看如

    何解决差倍问题。我们先来看一个小题。

    米德到市场去买水果，他买的苹果个数是梨的3倍，苹果比梨多18个。米德买苹果和梨各多少个？

(PPT出示）

生：苹果是27个，梨是9个。

师：请这位同学来说说你是怎么列式的？

生：梨的数量是18÷（3-1）=9（个），苹果3×9=27（个）。

师：其他同学们有没有发现其中3-1的关系？

生：这是它们数量的倍数之差。

师：是的，下面我们就来看看更复杂的差倍问题。

二、探索发现授课（40分）

（一）例题三：（10分）

卡尔和欧拉两人都喜欢收集邮票，卡尔收集的比欧拉多5张，而且卡尔收集的邮票是欧拉的2倍少6张。卡尔和欧拉一共收集了多少张邮票？

（PPT出示)

师：同学们，看完题目你们觉得这里的倍数是多少呢？

生：2倍。

师：我们再仔细想想，这里的倍数是2倍吗？

生：不是，给了卡尔6张邮票后，卡尔的倍数是欧拉的2倍。                            

师：好，我们就先借给卡尔6张邮票，现在卡尔比欧拉多了5+6=11张邮票。现

在假设欧拉的数量为单位1，卡尔的数量则为2个单位1，2个单位1减去

单位1则剩下多少？

生：单位1。

师：卡尔收集的比欧拉多的邮票是不是单位1呢？

生：是的。

师：那么单位1又是欧拉的数量，所以欧拉的邮票是多少？

生：11张。

师：相应的原来卡尔数量我们也可以得出来了11×2-6=16（张）。

板书：

欧拉邮票的数量：

（5+6）÷（2-1）=11（张）

卡尔邮票的数量：

11×2-6=16（张）

11+16=27(张）

答：一共收集了27张。

（PPT出示)

练习三：（5分）

宠物商店有泰迪狗、狮子狗两种宠物，泰迪是狮子狗的5倍少8只，当泰迪卖出20只后，泰迪和狮子狗就一样多了。求泰迪和狮子狗各有多少？

分析：

求解本题也是要转换成差倍问题。泰迪再加8只是狮子狗的5倍，把狮子狗当作单位1，泰迪的数量是5个单位-8，所以卖出20只泰迪后，泰迪剩余的数量是5个单位-8-20,我们可以说要是狮子狗多了28只，泰迪和狮子狗的数量一样多。现在多了8只泰迪的倍数是狮子狗只数的5倍，它们的倍数差是4。狮子狗单位1的数量是28÷（5-1）=7只，泰迪是5×7-8=27只。

板书：

狮子狗的数量：（20+8）÷（5-1）=7（只）

泰迪的数量：5×7-8=27（只）

答：狮子狗的数量是7只，泰迪的数量是27只。

（PPT出示)

师：同学们，有没有发现和倍、差倍问题会经常用到乘法，那么下面老师来教

    你们一个乘法的小技巧。

（PPT出示)

（二）例题四：（10分）

卡尔、米德和阿派共有73块糖，阿派吃掉3块，米德和阿派的糖就一样多，如果米德给卡尔2块糖，卡尔的糖就是米德的糖的2倍，那么米德有多少块糖？

师：小朋友看完本题，我们发现这里的总数跟前面的问题有什么不同呢？

生：前面总数都是2个的和，这里的总数是3个的和。

师：对，在面对更为复杂的问题时，我们就更需要运用好和倍差倍问题解决方

    法了。同学们，跟着老师来逐步解析下这个题目。

师：阿派吃掉3块糖后，那么他们三人糖总数变成了73-3=70块，这时候米德

    和阿派的糖变成一样多了。

师：“米德给卡尔2块糖，卡尔的糖就是米德的糖的2倍”这个条件，同学们，

     我们可以怎么转换呢？

生：卡尔多了2块、米德少了2块后，卡尔的糖是米德的糖的2倍。

师：同学们转换的不错，那吃掉3块糖后的阿派现在是不是比米德多2块？

生：是的。

师：如果我们再拿走阿派2块他们的数量又相等了，最后糖果的总数就变成了

    70-2=68块。把米德的数量作为单位1，则卡尔为2个单位1，阿派单位1。

师：好，现在我们来看看这68块是有几个单位1组成的？

生：4个，米德1个+卡尔2个+阿派1个。

师：好，看来同学们分析得非常正确。最后我们可以得出米德作为一个单位的

    数量是（73-3-2）÷4=17，所以原来米德的数量是17+2=19块。

板书：

（73-3-2）÷4=17（块）

原来米德糖的数量是：17+2=19（块）                                 

答：那么米德有19块。

（PPT出示)

练习四：（5分）

果园里有桃树、梨树、苹果数共552棵。桃树比梨树的2倍多12棵，苹果树比梨树少20棵，求桃树、梨树和苹果树各有多少棵？

分析：

    桃树去掉12棵，桃树是梨树的2倍，那么总数就少去552-12=540棵。苹果树比梨树少20棵，我们可以增加20棵苹果树，苹果树和梨树就一样多，那么现在总数又多了20棵，540+20=560棵。此时，把梨树数量作为单位1，则苹果数量为单位1，桃树数量为单位2。4个单位的和是560棵，得出1个单位的梨树是140棵。苹果树为140-20=120（棵），桃树为140×2+12=292（棵）。

板书：

梨树的数量：(552-12+20)÷（1+2+1）=140（棵）

苹果的数量：140-20=120（棵）

桃树的数量：140×2+12=292（棵）

答：桃树有292棵，梨树有140棵，苹果树有120棵。

（PPT出示)

师：同学们，我们也可以用总数验证一下对不对。桃树+梨树+苹果树=292+140+120=552（棵）。

（二）例题五：（选讲）

甲、乙、丙三个人合做一批零件，甲比乙多做12个，丙做的比甲的2倍少

20个，比乙做的多38个。这批零件共有多少个？

（PPT出示)

师：同学们，看完了这个题目我们是不是没找到总量？

生：是的，总量是要我们求的。

师：好的。那求总量是几部分组成的？

生：甲、乙、丙三个人做的零件总和。

师：所以我们分别求出甲、乙、丙的各部分的数量就可以了。

师：同学们，我们来看这2个条件，“甲比乙多做12个”、“丙比乙多做38

    个”，把最后一个条件转换成丙和甲关系是什么？

生：丙比甲多做38-12=26个。

师：转换得不错，题目中是不是又告诉了我们，丙做的比甲的2倍少20个。

生：是的。

师：好，我们又可以运用前面的方法，来转换成差倍问题了。哪位同学来说下

    怎么求出甲做的零件数量？

生：丙要多做20个，就是甲的2倍，所以多做20个的丙比甲多26+20=46个，

    多做的丙与甲的倍差是1，所以单位1的甲是46个。

师：回答的非常棒，奖励5个大拇指。现在我们知道了甲做的数量，乙的数量

    和丙的数量就可以相应得出来了。

板书：

甲的数量：（38-12+20）÷（2-1）=46（个）

乙的数量：46-12=34（个）

丙的数量：46×2-20=72（个）

这批零件共有：46+34+72=152(个）

答：这批零件一共有152个。

(PPT出示）

练习五：（选做）

果园里的苹果树是桃树的3倍，管理员每天能给25棵苹果树和15棵桃树洒农药。几天后，当桃树喷完农药时，苹果树还有140棵没有喷药。果园里共有多少棵树？

（PPT出示)

分析：

“果园里的苹果树是桃树的3倍，管理员每天能给25棵苹果树和15棵桃树洒农药。”从该条件中，我们可以分析得到如果苹果树每天喷15×3=45棵，桃树和苹果树可以一起喷完。而实际上管理员每天只喷了25棵苹果树，每天少喷的树棵数就和剩下的苹果树棵数对应。可以得出天数：140÷（45-25）=7天。知道了天数后，桃树和苹果树的数量也可以得出来了。
板书：

喷了的天数：140÷(15×3-25）=7（天）

桃树的数量：15×7=105（棵）

苹果树的数量：25×7+140=315（棵）

果园的树总计：105+315=420（棵）

答：果园里共有420棵树。

（PPT出示)

三、总结：（5分）

1. 两数差÷（倍数-1）=标准倍数

2. 两数和（多数和）÷倍数和=标准倍数

（PPT出示)

四、随堂练习：

1. 芭啦啦学校四年级四个班总共有176名学生，其中一班和二班共有87人，

   一班和三班共有82人，二班和三班共有85人，那么，四班有多少名学生？

176-（87+82+85）÷2=49（人）

答：四班有49人。

2. 卡尔和姐姐共做了340朵小红花，后来姐姐把她做的红花送给了欧拉30朵，

   卡尔自己又做了20朵。这时姐姐的小红花是妹妹的5倍。问原来姐姐和卡

   尔各做了多少朵红花？

卡尔的花数：（340-30+20）÷（5+1）-20=35（朵）

姐姐的花数：340-35=305（朵）

答：姐姐做了305朵，卡尔做了35朵。

3. 芭啦啦学校的小商场，在一天中售出的小横线本比田格本的3倍还多4本，

   售出的大横线本比小横线本的2倍少6本。已知售出的大横线本比田格本多

   57本，求售出的田格本、小横线本和大横线本各多少本？

售出的田格本：（57+6-2×4）÷（6-1）=11（本）

售出的小横线本：11×3+4=37（本）

售出的大横线本：2×37-6=68（本）

答：售出田格本11本，小横线本37本，大横线本68本。

4. 两个数的差是279，去掉被减数个位上的0，被减数就和减数相等，被减数

   和减数各是多少？

减数：279÷（10-1）=31

被减数：31×10=310

答：减数是31，被减数是310。

6. 某厂一季度创产值比三季度多2万元，二季度的产值是一季度产值的2倍，

   比三季度产值多42万元。三个季度共创产值多少万元？

三季度产值：（42-2×2）÷（2-1）=38（万元）

一季度产值：38+2=40（万元）

二季度产值：40×2=80（万元）

总产值：38+40+80=158（万元）

答：三季度总产值158万元。

家庭作业

线上作业：第7讲

主管评价

主管评分

课后反思

（不少于60字）

整体效果

设计不足之处

设计优秀之处