2024南充高级中学高三上学期9月月考理科数学（新）含答案

南充高中高2021级高三第一次月考

数学试题（理科）

考试时间：120分钟  满分150分  命题人：

注意事项：

1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。

2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮檫干净后，再选涂其它答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。

3．考试结束后，仅将答题卡交回。

一、选择题：本题共12个小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．已知集合A=，B=，则（   ）

A．R     B．   C．    D．

2．设复数z满足，则（   ）

A．1     B．    C．    D．2

3．已知某地区中小学生人数和近视情况分别如图甲和图乙所示，为了了解该地区中小学生的近视形成原因，用分层抽样的方法抽取2%的学生进行调查，则样本容量和抽取的高中生近视人数分别为（   ）

A．100，10   B．100，20   C．200，10   D．200，20

4．过函数图象上一动点作函数图象的切线，则切线的倾斜角的取值范围是（   ）

A．      B． 

C．      D．

5．已知等比数列中，，前n项和为，公比为.若数列也是等比数列，则=（   ）

A．1     B．    C．2    D．3

6．已知，为偶函数，且，则函数

的图象大致为（   ）

A．            B．            C．            D．

7．在△ABC中，AB=2，AC=3，．M为BC中点，则=（   ）

A．    B．5    C．6    D．7

8．已知双曲线的左右焦点点关于一条渐近线的对称点在另一条渐近线上，则双曲线C的离心率是（   ）

A．    B．    C．2    D．3

9．若点A在焦点为F的抛物线上，且，点P为直线上的动点，则的最小值为（   ）

A．    B．   C．   D．4

10．已知定义在R上的奇函数满足，当时，．若函数在区间上有10个零点，则实数m的取值范围是（   ）

A．   B．   C．   D．

11．对非空有限数集A=定义运算“min”：minA表示集合A中的最小元素．现给定两个非空有限数集A，B，定义集合M={x|x=||，aA，bB}，我们称minM为集合A，B之间的“距离”，记为dAB．现有如下四个命题：

①若minA=minB，则dAB=0；  ②若minA>minB，则dAB>0；

③若dAB=0，则AB≠∅；     ④对任意有限集合A，B，C，均有 dAB+dBC≥dAC.

其中，真命题的个数为（   ）

A．1    B．2    C．3    D．4

12．△ABC的周长为18，若，则△ABC的内切圆半径的最大值为（   ）

A．1    B．    C．2    D．4

二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

13．若满足约束条件，则的最大值为________．

14．若在关于x的展开式中，常数项为4，则x2的系数是________．

15．刘徽(约公元225—295年)，魏晋期间伟大的数学家，中国古典数学理论的奠基人之一．他在割圆术中提出的“割之弥细，所失弥少，割之又割，以至于不可割，则与圆周合体而无所失矣”，这可视为中国古代极限思想的佳作，割圆术的核心思想是将一个圆的内接正n边形等分成n个等腰三角形，当n变得很大时，这n个等腰三角形的面积之和近似等于圆的面积，运用割圆术的思想，得到sin1°的近似值为________．（结论用圆周率π表示）

16．已知点PCD是圆锥表面上的点，该圆锥的侧面展开图为以点P为圆心，4为半径的半圆，点C是的中点，点D是的中点（如图），则以圆锥底面圆心为球心、半径为2的球被平面PCD所截，则截面面积为________．

三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。第17~21题为必考题，每个试题考生都必须作答。第22、23题为选考题，考生根据要求作答。

（一）必考题：共60分。

17．（12分）已知中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，C=120°．

（1）若a=2b，求tanA的值；

（2）若∠ACB的平分线交AB于点D，且CD=2，AD=，求的面积．

18．（12分）为调查某公司五类机器的销售情况，该公司随机收集了一个月销售的有关数据，公司规定同一类机器销售价格相同，经分类整理得到下表（利润率是指一台机器销售价格减去出厂价格得到的利润与该机器销售价格的比值）：

（1）从该公司本月卖出的机器中随机选一台，求这台机器利润率高于0.2的概率；

（2）从该公司本月卖出的销售单价为20万元的机器中随机选取2台，求这两台机器的利润率不同的概率；

（3）假设每类机器利润率不变，销售一台第一类机器获利x1万元，销售一台第二类机器获利x2万元，…，销售一台第五类机器获利x5万元，依据上表统计数据，随机销售一台机器获利

的期望为E(x)，设，试判断 E(x)与的大小(结论不要求证明).

19．（12分）如图，在三棱柱中，平面ABCD⊥平面ABFE，四边形ABCD是矩形，四边形ABFE是平行四边形，且AB=4，BF=2，BC=2，

以AB为直径的圆经过点F．

（1）求证：平面ADF⊥平面BCF；

（2）求二面角的余弦值．

20．（12分）已知为椭圆的两个焦点，且，P为椭圆上一点，．

（1）求椭圆C的标准方程；

（2）过右焦点F2的直线l交椭圆于A，B两点，若AB的中点为M，O为坐标原点，

直线OM交直线x=3于点N，求的最大值．

21．（12分）已知函数．

（1）求函数的单调区间；

（2）设a＞0，，对任意，且，都有，求实数a的取值范围．

（二）选考题：共10分。请考生在第22、23题中任选一题作答。如果多做，则按所做的第一题计分。

22．[选修4—4：坐标系与参数方程]（10分）在平面直角坐标系中，曲线，

曲线的参数方程为（为参数）．以坐标原点为极点，x轴的正半轴为

极轴建立坐标系．

（1）求曲线C1，C2的极坐标方程；

（2）在极坐标系中，射线与曲线C1，C2分别交于A，B两点（异于极点O），

已知定点，求△MAB的面积．

23．[选修4—5：不等式选讲]（10分）已知正实数x，y满足．

（1）若≤，求x的范围；

（2）证明≥36．
第一次月考（理科）答案

一、选择题

BBDBD      AACAA      BB

二、填空题

13.  4      14.       15.        16.

三、解答题

17.解：解：（1）由及正弦定理知，

则，整理得，得.      ..........................4分

（2）在中，，由余弦定理有

，即，解得或（舍去）

，则

在中，

故      ..................................................................................12分

18.解：（1）由题意知，本月共卖出30台机器，利润率高于0.2的是第一类和第四类，共有10台．

设“这台机器利润率高于0.2”为事件，则．   ..................................................4分

（2）用销售总额除以销售量得到机器的销售单价，可知第一类与第三类的机器销售单价为20万，

第一类有台，第三类有台，共有台，随机选取台有种不同方法，两台机器的利润率不同，则每类各取一台有种不同方法，

设两台机器的利润率不同为事件，则．    ....................................................8分

（3）由题意可得，可能取的值为

，，，，

因此

又，所以.      ..........................................................................12分

注：概率应用题没有必要的文字叙述，先扣掉2分.

19.解：（1）证明：因为以为直径的圆经过点，所以．

因为四边形为矩形，所以，

因为平面平面，平面平面，

平面，所以平面．

因为平面，所以，

又因为平面，平面，，

所以平面，

又因为平面，所以平面平面．   .........................5分

（2）因为平面，

又因为平面，平面，所以，，

又因为，所以，则两两互相垂直，

以点为原点，为轴，为轴，为轴，建立如图所示的空间直角坐标系．

因为，，，所以，，

所以在中，由勾股定理，得，

则点，，，，

，则，，．      ......................................7分

设平面的法向量为，则由

得解得

不妨令，得则是平面的一个法向量．       .......................................9分

由（1）知，平面，又因为，所以平面，

所以向量是平面的一个法向量．        .................................................................11分

设二面角的平面角为，根据图形判断为钝角，

则，

所以二面角的余弦值是．    ......................................................................................12分

20. 解：（1）由已知，，即，则

椭圆的标准方程为       ................................................................................................4分

（2）椭圆的右焦点，设直线的方程为，

由得

          ......................................................................................6分

        ...............................8分

，故

，点的坐标为，则        ............................................10分

当且仅当即取等号

故的最大值为       ...........................................................................................................12分

21.解：（1）      ................................................................................................1分

当时，函数定义域为，恒成立，函数在单调递增；    .................3分

当时，函数定义域为，恒成立，函数在单调递增.      ..................5分

（2）时，函数定义域为，在(0，1]上单调递增，在上单调递减，

不妨设，则，

∴等价于，即

令，则在上是减函数，    ..........................................7分

恒成立，

即在恒成立，得        ............................................................................9分

令，.

∴在递减，

∴，又，∴，

又，故实数的取值范围为       ....................................................................................12分

22.解：（1）曲线的极坐标方程为：     ......................................................2分

因为曲线的普通方程为： ，         ......................................4分

曲线的极坐标方程为      ...........................................................................................5分

（2）由（1）得：点的极坐标为， 点的极坐标为，

点到射线的距离为

      ............................................................................5分

23. 解：（1）由得，代入得

即

又

故        ......................................................................................................................5分

（2）