2024南充高级中学高二下学期3月月考试题数学含解析

这是一份2024南充高级中学高二下学期3月月考试题数学含解析，共22页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

（时间：120分钟 总分150分 ）
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1. 如果函数在处的导数为1，那么（ ）
A. 1B. C. D.
2. 数列，…的一个通项公式为（ ）
A. B.
C. D.
3. 已知数列为等差数列，且，则的值为（ ）
A. 2B. 4C. 6D. 8
4. 已知函数的导函数为，的图象如图所示，则（ ）
A. B.
C. D.
5. 已知圆，则直线与圆C（ ）
A. 相交B. 相切C. 相离D. 相交或相切
6. 已知双曲线的左焦点为，过点的直线与轴交于点，与双曲线交于点(在轴右侧)．若是线段AF的中点，则双曲线的离心率是（ ）
A. B. 2C. D. 3
7. 斐波那契数列，又称黄金分割数列，该数列在现代物理、准晶体结构、化学等领域有着非常广泛的应用，在数学上，斐波那契数列是用如下递推方法定义的：，， 已知是该数列的第100项，则（ ）
A. 98B. 99C. 100D. 101
8. 已知定义在上的连续偶函数的导函数为，当时，，且，则不等式的解集为（ ）
A. B.
C. D.
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．
9. 在高台跳水运动中，时运动员相对于水面的高度(单位：是，判断下列说法正确的是（ ）
A. 运动员在时的瞬时速度是
B. 运动员在时瞬时速度是
C. 运动员在附近以的速度上升
D. 运动员在附近以的速度下降
10. 在公比为整数的等比数列中，是数列的前项和，若，，则下列说法正确的是（ ）
A. B. 数列是等比数列
C. D. 数列是公差为的等差数列
11. 已知抛物线的焦点为，且，B，C三点都在抛物线上，则下列说法正确的是（ ）
A. 点的坐标为
B. 若直线过点F，O为坐标原点，则
C. 若，则线段的中点到轴距离的最小值为
D. 若直线，是圆的两条切线，则直线的方程为
三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分．
12. 若函数导函数为，则__________.
13. 阿基米德是古希腊著名的数学家、物理学家，他利用“通近法”得到椭圆的面积，除以圆周率等于椭圆的长半轴长与短半轴长的乘积.已知面积为的椭圆，以()的左焦点为，P为椭圆上任意一点，点Q的坐标为，则的最大值为___________.
14. 数列满足，前16项和为668，则__________.
四、解答题：本大题共5小题，共13+15+15+17+17=77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
15 已知函数.
（1）曲线在点P处的切线与直线互相垂直，求点P的坐标.
（2）过点作曲线的切线，求此切线的方程.
16. 设正项数列的前项和为，，且满足_____．给出下列三个条件：
①，； ②；
③．
请从其中任选一个将题目补充完整，并求解以下问题．
（1）求数列的通项公式；
（2）若，求数列的前项和 ．
17. 已知函数.
（1）当 时， 求 的单调区间；
（2）若在上是增函数，求的取值范围；
（3）讨论 的单调性．
18. 已知椭圆的上顶点为B，右焦点为F，点B、F都在直线上.
（1）求椭圆的标准方程及离心率；
（2）设直线与椭圆相切于第一象限内的点，不过原点且平行于的直线与椭圆交于不同的两点，，点关于原点的对称点为．记直线的斜率为，直线的斜率为，求的值．
19. 已知数列中，，().
（1）证明：数列是等比数列，并求前项和；
（2）令，求证：南充高中高2022级第四学期第一次月考
数 学 试 卷
（时间：120分钟 总分150分 ）
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1. 如果函数在处的导数为1，那么（ ）
A. 1B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】根据导数的定义可直接得到答案.
【详解】因为函数在处的导数为1，
根据导数的定义可知，
故选：A.
2. 数列，…的一个通项公式为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】根据分子、分母还有正负号的变化，得到正确的选项.
【详解】根据分子、分母还有正负号的变化，可知，.故选D.
【点睛】本小题主要考查根据给定数列的前几项，猜想数列的通项公式.通过分子、分母还有正负号的变化，来得到正确的选项.属于基础题.
3. 已知数列为等差数列，且，则的值为（ ）
A. 2B. 4C. 6D. 8
【答案】B
【解析】
【分析】利用等差数列的性质即可得解.
【详解】因为数列为等差数列，又，
所以，则，所以.
故选：B.
4. 已知函数的导函数为，的图象如图所示，则（ ）
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根据已知条件作出切线，利用导数的几何意义及斜率的定义即可得.
【详解】依次作出函数在处的切线，如图所示：
根据导数的几何意义及图形中切线的斜率可知，
．
故选：B.
5. 已知圆，则直线与圆C（ ）
A. 相交B. 相切C. 相离D. 相交或相切
【答案】A
【解析】
【分析】由直线与圆的方程可知，该直线有定点必在圆内，即可得其位置关系.
【详解】可化为，
即该圆圆心为，半径为，
由可得该直线过定点，
有，即该定点必在圆内，
故两者位置关系为相交.
故选：A.
6. 已知双曲线的左焦点为，过点的直线与轴交于点，与双曲线交于点(在轴右侧)．若是线段AF的中点，则双曲线的离心率是（ ）
A. B. 2C. D. 3
【答案】C
【解析】
【分析】首先设双曲线的右焦点为，再结合几何关系，以及双曲线的定义，即可求得离心率.
【详解】设双曲线的右焦点为．因为直线的斜率是，所以，
所以．
因为是线段AF的中点，所以．
因为，所以．
由双曲线的定义可得，则双曲线的离心率．
故选：C
7. 斐波那契数列，又称黄金分割数列，该数列在现代物理、准晶体结构、化学等领域有着非常广泛的应用，在数学上，斐波那契数列是用如下递推方法定义的：，， 已知是该数列的第100项，则（ ）
A. 98B. 99C. 100D. 101
【答案】B
【解析】
【分析】变换得到，累加得到，得到答案.
【详解】，因为，得，
，，，
累加得，
是该数列第100项，即是该数列的第100项，故.
故选：B.
8. 已知定义在上的连续偶函数的导函数为，当时，，且，则不等式的解集为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】由变形得，即可构造，结合的奇偶性可得是上的奇函数且在上单调递减，则可对的符号分类讨论，可将化为关于的不等式，最后结合单调性求解即可
【详解】当时，，∴，
令，∴在上单调递减，
又是定义在上的连续偶函数，∴是上的奇函数，即在上单调递减，
∵，∴，
当，即时，，∴；
当，即时，，∴，则.
故不等式的解集为.
故选：A.
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．
9. 在高台跳水运动中，时运动员相对于水面的高度(单位：是，判断下列说法正确的是（ ）
A. 运动员在时的瞬时速度是
B. 运动员在时的瞬时速度是
C. 运动员在附近以的速度上升
D. 运动员在附近以的速度下降
【答案】BD
【解析】
【分析】求出时的瞬时速度,再结合瞬时速度的概念判断.
【详解】由已知，，
的瞬时速度为，
因此该运动员在附近以的速度下降，
故选：BD．
10. 在公比为整数的等比数列中，是数列的前项和，若，，则下列说法正确的是（ ）
A. B. 数列是等比数列
C. D. 数列是公差为的等差数列
【答案】ABC
【解析】
【分析】本题首先可根据得出，与联立即可求出、以及，A正确，然后通过即可判断出B正确，再然后通过等比数列求和公式即可判断出C正确，最后根据即可判断出D错误.
【详解】因为数列是等比数列，所以，
联立，解得或，
因为公比为整数，所以、、，，，A正确，
，故数列是等比数列，B正确；
，C正确；
，易知数列不是公差为的等差数列，D错误，
故选：ABC.
【点睛】关键点点睛：本题考查等差数列与等比数列的相关性质，考查判断数列是否是等差数列与等比数列，考查等比数列求和公式的应用，考查计算能力，是中档题.
11. 已知抛物线的焦点为，且，B，C三点都在抛物线上，则下列说法正确的是（ ）
A. 点的坐标为
B. 若直线过点F，O为坐标原点，则
C. 若，则线段的中点到轴距离的最小值为
D. 若直线，是圆的两条切线，则直线的方程为
【答案】ABD
【解析】
【分析】对于A，将点代入抛物线，得到方程后再求解即可.对于B，联立方程组后，运用平面向量的坐标运算求解即可，对于C，运用焦半径公式结合基本不等式求解即可，对于D，运用几何法，设切线，求解方程即可.
【详解】因为在抛物线上，所以，解得，所以，故A正确；
显然直线的斜率不为0，设直线的方程为，，，
由得，所以，所以，
所以，故B正确；
因为（大于通径长），
当且仅当B，C，F三点共线时，等号成立，所以，所以，
即线段的中点到轴距离的最小值为，故错误；
直线的斜率为，所以直线的方程为，
即，又直线与圆相切，
所以，整理得，
即.同理可得，
所以直线的方程为，故D正确.
故选：ABD.
三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分．
12. 若函数的导函数为，则__________.
【答案】
【解析】
【分析】计算出后代入计算即可得.
【详解】，则.
故答案为：.
13. 阿基米德是古希腊著名的数学家、物理学家，他利用“通近法”得到椭圆的面积，除以圆周率等于椭圆的长半轴长与短半轴长的乘积.已知面积为的椭圆，以()的左焦点为，P为椭圆上任意一点，点Q的坐标为，则的最大值为___________.
【答案】7
【解析】
【分析】根据题设且求参数，即得椭圆方程，再根据椭圆定义得，进而求其最大值.
【详解】由题意且，又，可得，
所以椭圆方程为，而，即Q在椭圆内，如下图，
若为右焦点，由，则，
所以，而，
所以的最大值为7.
故答案为：7
14. 数列满足，前16项和为668，则__________.
【答案】
【解析】
【分析】根据,讨论n的奇偶性，可分别得到当为奇数时有，当为偶数时，从而结合前16项和为668，可得，结合列出等式，即可求得答案.
【详解】由，
当为奇数时，有，
可得，
，
累加可得；
当为偶数时，，
可得，，，，
可得，,
，
，即．
故答案为：．
四、解答题：本大题共5小题，共13+15+15+17+17=77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
15. 已知函数.
（1）曲线在点P处的切线与直线互相垂直，求点P的坐标.
（2）过点作曲线的切线，求此切线的方程.
【答案】（1）或
（2）或
【解析】
【分析】（1）借助导数的几何意义与直线垂直斜率间的关系计算即可得；
（2）设出切点，借助导数的几何意义计算即可得.
【小问1详解】
，由题意可得，故，
当时，，当时，，
故点P的坐标为或；
【小问2详解】
设切点坐标为，则有，
故，整理得，
即，故或，
当时，有，即，
当时，有，即，
故此切线的方程为或.
16. 设正项数列的前项和为，，且满足_____．给出下列三个条件：
①，； ②；
③．
请从其中任选一个将题目补充完整，并求解以下问题．
（1）求数列通项公式；
（2）若，求数列的前项和 ．
【答案】（1）所选条件见解析，
（2）
【解析】
【分析】（1）选①：先利用对数运算和等比中项判定数列为等比数列，再利用等比数列的通项公式求其通项；选②：先利用及求出，再利用和的关系进行求解；选③：先利用求出，再类似利用和的关系进行求解；
（2）用错位相减求和
【小问1详解】
选①：由得：
， 所以，
又因为，因此数列为等比数列，
设数列的公比为，则，由，
解得或（舍去），
所以；
选②：因为，
当时，，又，
所以，即，所以，
所以当时，，
两式相减得，
即，
所以数列是，公比为2的等比数列，
所以；
选③：因为，
当时，，
所以，即，
当时，，
两式相减，得，
即，
当时，满足上式．
所以；
【小问2详解】
设数列的前项和，
故，
两式相减得：，
化简得，．
故数列的前项和.
17. 已知函数.
（1）当 时， 求 的单调区间；
（2）若在上是增函数，求的取值范围；
（3）讨论 的单调性．
【答案】（1） 的单调递增区间为，单调递减区间为
（2）
（3）答案见解析
【解析】
【分析】（1）利用导数法求函数的单调性的步骤即可求解；
（2）将所求问题转化为不等式恒成立问题，利用一元二次不等式在区间恒成立的解决方法即可求解；
（3）利用导数法求函数的单调性的步骤，注意分类讨论即可求解.
【小问1详解】
当 时， ，
，
令则，解得或（舍），
当时，当时，
所以 的单调递增区间为，单调递减区间为.
【小问2详解】
因为，
所以,
因为在上是增函数，
所以在上恒成立，
即在上恒成立，
因为的对称轴为，
当时，，则在上单调递增；
当时，在上单调递增；
当时，开口向下；
综上，要使得在上恒成立，
只需，解得，
所以的取值范围为.
【小问3详解】
因为，
所以,
当时，，所以在上恒成立，
所以在上单调递增；
当时，令则，解得或（舍），
当时，当时，
所以在 上单调递增，在 上单调递减；
综上所述，当时，在上单调递增；
当时，在 上单调递增，在 上单调递减.
18. 已知椭圆上顶点为B，右焦点为F，点B、F都在直线上.
（1）求椭圆的标准方程及离心率；
（2）设直线与椭圆相切于第一象限内的点，不过原点且平行于的直线与椭圆交于不同的两点，，点关于原点的对称点为．记直线的斜率为，直线的斜率为，求的值．
【答案】（1）椭圆的标准方程为，离心率；
（2）
【解析】
【分析】（1）由条件列方程求，由此确定椭圆标准方程和离心率；
（2）根据直线与椭圆相切，求出切点的坐标，再求出直线的斜率；根据，设出的方程，表示出、的坐标，得到的斜率，再探索的值.
【小问1详解】
设椭圆的半焦距为，
由已知点的坐标为，点的坐标为，
因为点B、F都在直线上，
所以，，又，
所以，，，
所以椭圆的方程为：，
椭圆的离心率，
【小问2详解】
由消去并整理得： ①
由.
此时方程①可化为：，
解得：（由条件可知：、异号）
设，则，.
即，所以.
因为，所以可设直线：（，）.
由消去并整理得：，
当时，方程有两个不相等的实根.
设，，
则，.
因为，两点关于原点对称，所以，
所以：.
所以.
【点睛】方法点睛：在求的斜率时，还可以把看成直线与椭圆相交所得弦的中点，利用中点弦公式：，得到.
19. 已知数列中，，().
（1）证明：数列是等比数列，并求前项的和；
（2）令，求证：.
【答案】（1）证明见解析，；（2）证明见解析.
【解析】
【分析】
（1）将变形为，即可证明数列是以为首项，为公比的等比数列，然后求得，然后利用分组求和法可算出；
（2）可得，然后可证明.
【详解】（1）因为，所以.
又，所以，从而，
所以数列是以为首项，为公比的等比数列.
所以，即；
所以.
（2）由（1）可知，，所以.
所以，
.
当时，.
当时，
【点睛】结论点睛：常见数列的求和方法：公式法（等差等比数列）、分组求和法、裂项相消法、错位相减法.