四川省绵阳实验高级中学2023-2024学年高三上学期11月月考数学（理科）试题

这是一份四川省绵阳实验高级中学2023-2024学年高三上学期11月月考数学（理科）试题，共12页。试卷主要包含了填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、单项选择题．本题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求．
1.已知集合 A={a,3},B=x∣x2−3x+2<0, 若A∩B≠∅, 则a的取值范围为（ ）
A.RB.(−∞,1)C.(1,2)D.(2,+∞)
2.已知 a>0,b>0, 则 “a+b=1” 是 “ab⩽14” 的( )
A.充分必要条件B.充分不必要条件
C.必要不充分条件D.既不充分也不必要条件
3.已知 f(x)是定义在R上的奇函数, 且当x⩾0时,f(x)=2x+x+m, 则f(−3)=( )
A.-10B.-4C.4D.10
4.某地发起“寻找绿色合伙人一低碳生活知识竞赛” 活动, 选取了 n人参与问卷调查, 将他们的成绩进行适当分组后 (每组为左闭右开的区间), 得到如图所示的频率分布直方图, 且成绩落在[90,100)的人数为 10 , 则n=( )
A.60B.80C.100D.120
5.执行如图所示的程序框图, 输出的 n=( )
A.3B.4C.5D.6
6.已知等比数列 an满足a5−a1a3−a1=3, 则a10−a2a6+a2=( )
A.1B.3C.4D.15
7.小明准备将新买的《孟子》《论语》《诗经》3 本书立起来随机地放在书架上, 则《论语》《诗经》两本书相邻的概率为( )
A.12B.13C.23D.56
8.已知 f'(x)是函数f(x)的导函数, 若函数y=ef'(x)的图象大致如图所示, 则f(x)的极大值点为( )
A.aB.bC.cD.d
9.在 △ABC中,AC=2,AB=3,∠A=60∘, 点P是△ABC的重心, 则|PA|2+|PB|2+|PC|2=( )
A.7B.8
C.263D.203
10.某工厂新购置并安装了先进的废气处理设备,使产生的废气经过该设备过滤后排放,以減少对空气的污染. 已知过滤过程中废气的污染物数量 P(单位:mg/L) 与过滤时间t(单位:ℎ)的关系为P(t)=P0e−ktP0,k足正常数). 若经过10ℎ过滤后减少了20%的污染物, 在此之后为了使得污染物娍少到原来的10%还需要的时长大约为 (参考数据:lg25≈2.322)( )
A.103ℎB.93ℎC.83ℎD.63ℎ
11.如图, 扇形 AOB是某社区的一块空地平面图, 点P在弧AB上: (异于A,B两点),PC⊥OA,PD⊥OB, 垂足分别为C,D,∠AOB=5π12,∠AOP=α,AO=20米. 该社区物业公司计划将四边形OCPD区域作为儿童娱乐设施建筑用地, 其余的地方种植花卉, 则儿童娱乐设施建筑用地面积的最大值为( )
A.50 平方米B.100(3+1)平方米
C.50(6+2)平方米D.50(6+32)平方米
12.已知数列 an满足0A.[0,5)B.[0,5]C.[0,10]D.[0,15]
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．
13 已知向量 a=(x,2),b=(3,4), 若(a+b)⊥b, 则x=_________.
14若 x,y满足约束条件x−y+1⩾0,x+y−2⩽0,y⩾0,, 则x+y的最小值为_______.
15已知函数 f(x)=2sinωx+1(ω>0)在[0,π]上有且仅有 2 个零点, 则ω的取值范围为_________.
16已知函数 f(x)=eax−1−1alnx−1a, 若f(x)⩾0恒成立, 则a的取值范围是_______.
三、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
17.（本题12分）已知数列 an的前n项和为Sn, 且Sn+4=2an.
(1) 求 an的通项公式;
(2) 求数列 2n+1an的前n项和Tn.
18（本题12分）如图, 在二棱锥 P−ABC中,PB⊥平面ABC,AB⊥AC,E,F分别为PC,PA的中点, 且BP=23,AB=33,BC=6.
(1) 证明: 平面 BEF⊥平面PAB.
(2) 求平面 BEF与平面PEB所成锐二面角的余弦值.
19（本题12分）为了促进消费, 某商场针对会员客户推出会员积分兑换商品活动: 每位会员客户可在价值 80 元. 90 元, 100 元的 A,B,C三种商品中选择一种使用积分进行兑换, 每 10 积分可兑换 1 元. 已知参加活动的甲、乙两位客户各有 1000 积分, 且甲兑换A,B,C三种商品的概率分别为12,13,16, 乙兑换A,B,C三种商品的概率分别为12,16,13, 且他们兑换何种商品相互独立.
(1) 求甲、乙两人兑换同一种商品的概率;
(2) 记 X为两人兑换商品后的积分总余额, 求X的分布列与期望.
20.（本题12分）已知椭圆 C:x2a2+y2b2=1(a>b>0)的焦距为23, 且b2a2+a2b2=174.
(1) 求 C的方程;
(2) A是C的下顶点, 过点P(4,0)的直线l与C相交于M,N两点, 直线l的斜率小于 0 ,△AMN的重心为G,O为坐标原点, 求直线OG斜率的最大值.
21.（本题12分）已知函数 f(x)=ex+ax2.
(1) 若曲线 y=f(x)在(1,f(1))处的切线经过坐标原点, 求a的值;
(2) 若方程 f(x)=x+1恰有 2 个不同的实数根, 求a的取值范围.
选做题：第22题，23题中 选做一题，多做或做错按照第一题计分
22.（本题10分）在直角坐标系 xOy中, 圆C的方程为(x−3)2+y2=16.
(1) 以坐标原点为极点, x轴正半轴为极轴建立极坐标系, 求C的极坐标方程;
(2) 直线 l的参数方程是x=tcsα,y=tsinα(t为参数),l与C交于A,B两点,|AB|=6, 求l的斜率.
23.（本题10分）已知函数 f(x)=|x−1|−|2x−a|(a>2).
(1) 若 a=4, 求不等式f(x)⩽0的解集;
(2) 若 f(x)的图像与x轴围成的三角形面积为16, 求a.
参考答案及解析
一、单项选择题．本题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求．
1. 【答案】C
【解析】因为 B=x∣x2−3x+2<0=(1,2),A∩B≠∅, 所以a∈(1,2).
2. 【答案】B
【解析】因为 a+b=1⩾2ab, 所以ab⩽14.
若 ab⩽14,a+b不一定等于 1 ,
故 “ a+b=1” 是 “ab⩽14”的充分不必要条件.
3. 【答案】A
【解析】因为 f(x)是定义在R上的奇函数, 所以f(0)=20+m=0, 解得m=−1, 则f(−3)=−f(3)=−10.
4. 【答案】C
【解析】由图可知, 10×(0.006+0.012+0.02+0.032+0.02+m)=1, 解得m=0.01,
则成绩在 [90,100)的频率为 0.1 ,
由 0.1n=10, 得n=100.
5. 【答案】A
【解析】A 执行第一次循环, b=2,a=3,n=2,
ba−0.618=23−0.618>0.01;
执行第二次循环, b=5,a=8,n=3,
ba−0.618=58−0.618=0.007<0.01,
此时输出 n=3.
6. 【答案】B
【解析】设 an的公比为q. 因为a5−a1a3−a1=3,所以 a1q4−1=3a1q2−1,
且 a1q2−1≠0, 解得q2=2,则 a10−a2a6+a2=q8−1q4+1=q4−1=3.
7. 【答案】C
【解析】不同的摆放方法有 6 种, 其中《论语》《诗经》两本书不相邻的情况有 2 种,
分别为 { 《论语》,《孟子》, 《诗经》}, {《诗经》, 《孟子》, 《论语》}.
故《论语》《诗经》两本书相邻的概率为 1−26=23.
8. 【答案】D
【解析】由 y=ef'(x)的图像知,
当 x∈(−∞,a)时,ef'(x)<1, 则f'(x)<0,
当 x∈(a,d)时,ef'(x)⩾1 , 则f'(x)>0,
当 x∈(d,+∞)时,ef'(x)<1, 则f'(x)<0,
故 f(x)的单调递增区间为(a,d),单调递减区间为(−∞,a)和(d,+∞),
故 f(x)的极大值点为d.
9. 【答案】D
【解析】取 BC的中点O(图略),
|PA|2+|PB|2+|PC|2=PA2+(PA+AB)2+(PA+AC)2
=3PA2+2PA∙AB+2PA∙AC+AB2+AC2
=3|PA|2+2PA∙(AB+AC)+|AB|2+|AC|2
=−43|AO|2+|AB|2+|AC|2
=23|AB|2+23|AC|2−23AB∙AC=203
10. 【答案】B
【解析】因为经过 10ℎ过滤后减少了20%的污染物,
所以 P0e−10k=80%P0, 解得k=−ln0.810.
当 P(t)=10%P0时,10%P0=P0eln2gt10,
解得 t=−10ln10ln0.8=−10−10lg252−lg25≈103.
故还需要大约 93ℎ.
11. 【答案】C
【解析】由题意可得 PC=20sinα米,OC=20csα米,PD=20sin5π12−α米,OD=20cs5π12−α)米,
则儿童娱乐设施建筑用地面积
S=S△OPC+S△OPD
=200sinαcsα+200sin5π12−α)cs5π12−α
=100sin2α+100sin5π6−2α
=100+503)sin2α+50cs2α
=50(6+2)sin2α+π12.
因为 0<α<5π12, 所以0<2α<5π6,
所以 π12<2α+π12<11π12, 所以50则儿童娱乐设施建筑用地面积的最大值为 50(6+2)平方米.
12. 【答案】C
【解析】因为 an>0, 所以an+1=6an+tan+3>0恒成立,
即 t>−6an恒成立. 因为0因为 an+1=6an+tan+3<5恒成立, 所以t<15−an恒成立.
因为 an<5, 所以t⩽15−5=10. 当t∈[0,10]时,
an+1−an=−an2+3an+tan+3>0在(0,5)上有解,
故 t的取值范围是[0,10].
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．
13【解析】因为 (a+b)⊥b, 所以3(x+3)+4×(2+4)=0, 解得x=−11.
14【解析】作出可行域 (图略), 当直线y=−x+z经过点(−1,0)时,z取得最小值, 且最小值为 -1 .
15【解析】由 f(x)=0, 得sinωx=−12,由 0⩽x⩽π, 得0⩽ωx⩽ωπ.因为 f(x)在[0,π]上有且仅有 2 个零点, 所以11π6⩽ωπ<19π6,解得 116⩽ω<196.
16【解析】解法一: 由题知 eax−1⩾1alnx+1a恒成立.函数 y=eax−1与函数y=1alnx+1a互为反函数,由反函数图象的性质, 可得 y=eax−1⩾x恒成立, 即a⩾1+lnxx.令函数 ℎ(x)=1+lnxx, 则ℎ'(x)=−lnxx2.当 00; 当x>1时,ℎ'(x)<0,所以 ℎ(x)在(0,1)单调递增, 在(1,+∞)上单调递减.ℎ(x)max=ℎ(1)=1,a⩾1. 故a的取值范围是[1,+∞).解法二: 由 eax−1⩾1alnx+1a, 可得a>0,则 elna+ax−1+lna+ax−1⩾elna+lnx+lna+lnx.令函数 g(x)=ex+x, 则g(lna+ax−1)⩾g(lna+lnx).因为 g(x)是增函数, 所以lna+ax−1⩾lna+lnx,即 a⩾1+lnxx. 后续步骤同解法一.
三、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
17 【解析】(1)当 n=1时, 由S1+4=2a1, 得a1=4.
当 n⩾2时, 因为Sn+4=2an, 所以Sn−1+4=2an−1,
则 an=2an−2an−1, 即an=2an−1,
故 an是以 4 为首项, 2 为公比的等比数列,
从而 an=4×2n−1=2n+1.
(2) 由 (1) 可知 2n+1an=2n+12n+1,
则 Tn=322+523+724+⋯+2n+12n+1,
Tn2=323+524+725+⋯+2n+12n+2,
则 Tn2=322+122+123+124+⋯+12n−2n+12n+2=34+12−12n−2n+12n+2=54−2n+52n+2,
则 Tn=52−2n+52n+1.
18 【解析】(1) 证明: 因为 PB⊥平面ABC,AC⊂平面ABC, 所以PB⊥AC.
又 AB⊥AC,PB∩AB=B, 所以AC⊥平面PAB.
因为 E,F分别为PC,PA的中点, 所以EF//AC, 则EF⊥平面PAB.
因为 EF⊂平面BEF, 所以平面BEF⊥平面PAB.
(2) 以 A为坐标原点,AC,AB所在直线分别为x轴,y轴建立如图所示的空间直角坐标系.
由 AB⊥AC,AB=33,BC=6, 得AC=BC2−AB2=3,
则 B(0,33,0),P(0,33,23),E32,332,3,F0,332,3),
BE=32,−332,3,EF=−32,0,0,BP=(0,0,23)
设平面 BEF的法向量为m=x1,y1,z1,则 m∙BE=0,m∙EF=0,即32x1−332y1+3z1=0,−32x1=0,
令y1=2, 得m=(0,2,3).设平面 PBE的法向量为n=x2,y2,z2,
则 n∙BE=0,n∙BP=0,即32x2−332y2+3z2=0,23z2=0,令y2=1, 得n=(3,1,0).
cs⟨m,n⟩=m∙n|m||n|=2213=1313,
即平面 BEF与平面PEB所成锐二面角的余弦值为1313.
19 【解析】(1) 由题可知, 甲、乙两人兑换同一种商品的概率为 12×12+13×16+16×13=1336.
(2) 由题可知, 兑换 A,B,C三种商品所需的积分分别为800,900,1000, 则X的取值可能为0,100,200,300,400,
且 P(X=0)=16×13=118,P(X=100)=16×16+13×13=536,
P(X=200)=13×16+12×13+16×12=1136,P(X=300)=12×16+13×12=14,
P(X=400)=12×12=14,.
则X的分布列为
EX=0×118+100×536+200×1136+300×14+400×14=250.
20 【解析】(1)由题可知 a2=b2+c2,b2a2+a2b2=174(a>b>0),2c=23, 解得 a2=4,b2=1,
故 C的方程为x24+y2=1.
(2) 设 l的方程为y=k(x−4)(k<0),Mx1,y1,Nx2,y2.
联立方程组 y=k(x−4),x2+4y2−4=0,整理得1+4k2x2−32k2x+64k2−4=0,
则 Δ=−32k22−41+4k264k2−4=16−192k2>0,
得 k2<112,x1+x2=32k21+4k2
设 Gx0,y0, 因为A(0,−1), 所以x0=x1+x23,y0=y1+y2−13,
所以 kGG=y1+y2−1x1+x2=kx1+x2−8k−1x1+x2=k−8k+132k21+4k2=−1321k2+8k+4
=−1321k+42+38, 当1k=−4,
即 k=−14(满足k2<112) 时,kGG取得最大值, 且最大值为38
21 【解析】(1) 因为 f(x)=ex+ax2, 所以f'(x)=ex+2ax.
由f(1)=e+a,f'(1)=e+2a, 得曲线y=f(x)在(1,f(1))处的切线方程为y−(e+a)=(e+2a)(x−1).
因为该切线经过坐标原点, 所以 0−(e+a)=(e+2a)×(0−1), 解得a=0.
(2) 令 g(x)=f(x)−x−1=ex+ax2−x−1,
则 g'(x)=ex+2ax−1. 令ℎ(x)=ex+2ax−1 , 则ℎ'(x)=ex+2a.
若 a⩾0, 则ℎ'(x)>0恒成立,ℎ(x)在(−∞,+∞)上单调递增.
因为 ℎ(0)=0, 所以当x∈(−∞,0)时,g'(x)=ℎ(x)<0,g(x)单调递减,
当 x∈(0,+∞)时,g'(x)=ℎ(x)>0,g(x)单调递增, 则g(x)min=g(0),
即方程 f(x)=x+1有且仅有 1 个实数根, 不符合题意.
若 a<0, 则由ℎ'(x)=0, 解得x=ln(−2a), 当x∈(−∞,ln(−2a))时,ℎ'(x)<0,ℎ(x)单调递减,
当 x∈(ln(−2a),+∞)时,ℎ'(x)>0,ℎ(x)单调递增, 则ℎ(x)min=ℎ(ln(−2a))=−2a+2aln(−2a)−1.
令 φ(x)=−2x+2xln(−2x)−1,x<0, 则φ'(x)=−2+2ln(−2x)+2=2ln(−2x),
当 x∈−∞,−12时,φ'(x)>0,φ(x)单调递增,
当 x∈−12,0时,φ'(x)<0,φ(x)单调递减, 则φ(x)max=φ−12=0.
若 a=−12, 则g'(x)=ℎ(x)⩾0恒成立, 则g(x)在(−∞,+∞)上单调递增,g(x)不可能有两个零点,
即方程 f(x)=x+1不可能有 2 个不同的实数根, 不符合题意.
若 a<−12, 则ln(−2a)>0,ℎ(ln(−2a))<0,
显然当 x→+∞时,ℎ(x)→+∞, 故∃x0∈(ln(−2a),+∞),ℎx0=0.
又 ℎ(0)=0, 所以当x∈(−∞,0)和x0,+∞时,g'(x)=ℎ(x)>0,g(x)单调递增,
当 x∈0,x0时,g'(x)=ℎ(x)<0,g(x)单调递减.
因为 g(0)=0, 当x→+∞时,g(x)→+∞,
所以 ∃x1∈x0,+∞,gx1=0, 则g(x)恰有 2 个零点,
即方程 f(x)=x+1恰有 2 个不同的实数根, 符合题意.
若 −12显然当 x→−∞时,ℎ(x)→+∞,
故 ∃x2∈(−∞,ln(−2a)),ℎx2=0.
又 ℎ(0)=0, 所以当x∈−∞,x2和(0,+∞)时,g'(x)=ℎ(x)>0,g(x)单调递增,
当 x∈x2,0时,g'(x)=ℎ(x)<0,g(x)单调递减.
因为 g(0)=0, 当x→−∞时,g(x)→−∞,
所以 ∃x3∈−∞,x2,gx3=0, 则g(x)恰有 2 个零点,
即方程 f(x)=x+1恰有 2 个不同的实数根, 符合题意.
综上所述, a的取值范围为−∞,−12∪−12,0.
22 【解析】(1) 由 x=ρcsθ,y=ρsinθ,
可得圆 C的极坐标方程为ρ2−6ρcsθ−7=0.
(2) 在 (1) 中建立的极坐标系中, 直线 l的极坐标方程为θ=α(ρ∈R).
设 A,B所对应的极径分别为ρ1,ρ2,
将 l的极坐标方程代人C的极坐标方程得ρ2−6ρcsα−7=0,
所以 ρ1+ρ2=6csα,ρ1ρ2=−7.
|AB|=ρ1−ρ2=ρ1+ρ22−4ρ1ρ2=36cs2α+28=6,
解得 cs2α=29,tanα=±142.
所以 l的斜率为142或−142.
23 【解析】(1) 若 a=4, 则f(x)=|x−1|−|2x−4|.
当 x⩽1时, 由−x+1+2x−4⩽0, 解得x⩽3, 所以x⩽1.
当 1当 x⩾2时, 由x−1−2x+4⩽0, 解得x⩾3, 所以x⩾3.
综上, 不等式 f(x)⩽0的解集为−∞,53∪[3,+∞).
(2) 因为 f(x)=|x−1|−|2x−a|=x+1−a,x⩽1,3x−1−a,1所以 f(x)的图象与x轴围成的三角形的三个顶点分别为A1+a3,0,B(a−1,0),Ca2,a2−1),
所以 △ABC的面积为12a−1−1+a3×a2−1=16,
解得 a=3或a=1(舍去). 故a=3.