2023年内蒙古九年级数学中考模拟题分项选编：一元二次方程(含解析)

这是一份2023年内蒙古九年级数学中考模拟题分项选编：一元二次方程(含解析)，共16页。试卷主要包含了单选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

2023年内蒙古九年级数学中考模拟题分项选编：一元二次方程

一、单选题
1．（2023·内蒙古包头·二模）若m是一元二次方程的一个根，则代数式的值为（    ）
A． B． C．2 D．4
2．（2023·内蒙古包头·二模）已知，是一元二次方程的两个实数根，则代数式的值等于（    ）
A．4 B．5 C．6 D．7
3．（2023·内蒙古包头·二模）已知关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，则一次函数的图像一定不经过（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
4．（2023·内蒙古包头·模拟预测）已知m，n 是方程的两个不等实数根，则 的值为（　　）
A． B． C． D．
5．（2023·内蒙古包头·统考一模）若为方程的两个实数根，则的值为（    ）
A． B．12 C．14 D．15
6．（2023·内蒙古呼和浩特·模拟预测）定义运算：，例如：．则方程的根的情况为（    ）
A．有两个相等的实数根 B．无实数根
C．有两个不相等的实数根 D．无法确定
7．（2023·内蒙古包头·模拟预测）若是方程的两个根，则的值为（　　）
A．9 B．8 C．7 D．5
8．（2023·内蒙古呼和浩特·模拟预测）如图，将矩形的四个角向内折起，恰好拼成一个无缝隙、无重叠的四边形，若，则下列的值能达成这一翻折的是（　　）

A． B． C． D．
9．（2023·内蒙古呼和浩特·模拟预测）已知，是方程的两个实数根，则代数式的值是（    ）
A．4045 B．4044 C．2022 D．1
10．（2023·内蒙古包头·模拟预测）已知关于的一元二次方程的两根分别记为，，若，则的值为（    ）
A．7 B． C．6 D．
11．（2023·内蒙古包头·模拟预测）已知m、n是一元二次方程的两个根，则的值为（    ）
A．0 B．－10 C．3 D．10
12．（2023·内蒙古包头·模拟预测）已知关于x的一元二次方程的两实数根为，且满足，则的值为（    ）
A．4 B．-4 C．4或-2 D．-4或2
13．（2023·内蒙古包头·模拟预测）以下四个命题中，真命题是（　　　）
①若，则；
②顺次连接四边形各边中点所得的四边形一定是平行四边形；
③方程有两个不相等的实数根；
④六边形的内角和是其外角和的两倍；
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
14．（2023·内蒙古包头·一模）定义新运算“※”：对于实数，，，，有，其中等式右边是通常的加法和乘法运算，如：．若关于的方程有两个实数根，则的取值范围是（    ）
A．且 B． C．且 D．
15．（2023·内蒙古呼伦贝尔·统考三模）已知分别是的边长，则一元二次方程的根的情况是（    ）
A．没有实数根 B．有两个相等的实数根
C．有两个不相等的实数根 D．无法判断
16．（2023·内蒙古包头·一模）下列命题中，真命题的个数是（    ）
①同位角相等；
②经过一点有且只有一条直线与这条直线平行；
③若关于的一元二次方程有实数解，则的值可以是－1；
④当时，一次函数（）的图象一定交于轴的负半轴．
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
17．（2023·内蒙古呼和浩特·模拟预测）方程有两个实数根，则的取值范围（    ）
A． B．且 C． D．且
18．（2023·内蒙古呼伦贝尔·统考二模）一款手机连续两次降价，由原来的1299元降到688元，设平均每次降价的百分率为x，则列方程为（    ）
A． B． C． D．
19．（2023·内蒙古鄂尔多斯·三模）在本次新冠疫情中，因为某些发达国家控制不力，导致全球不少人被感染，其中有一人患了流感，经过两轮传染后共有100人患了流感，每轮传染中平均一个人传染的人数x满足的方程为（　　）
A． B．
C． D．

二、填空题
20．（2023·内蒙古呼伦贝尔·模拟预测）方程的解是___________.
21．（2023·内蒙古包头·模拟预测）已知关于x的方程有两个实数根，且，则______．
22．（2023·内蒙古包头·二模）端午节又称端阳节，是中华民族重要的传统节日，我国各地都有吃粽子的习俗，某超市以9元每袋的价格购进一批棕子，根据市场调查，售价定为每袋15元，每天可售出200袋；若售价每降低1元，则可多售出70袋，问此种粽子售价降低多少元时，超市每天售出此种粽子的利润可达到1360元？若设每袋棕子售价降低x元，则可列方程为____________．
23．（2023·内蒙古呼和浩特·模拟预测）利用图形的分、和、移、补探索图形关系，是我国传统数学的一种重要方法．如图1，BD是矩形ABCD的对角线，将△BCD分割成两对全等的直角三角形和一个正方形，然后按图2重新摆放，观察两图，若a＝4，b＝2，则矩形ABCD的面积是______．

24．（2023·内蒙古包头·一模）若一个直角三角形两条直角边的长分别是一元二次方程的两个实数根，则这个直角三角形斜边的长是_________．

三、解答题
25．（2023·内蒙古呼和浩特·模拟预测）x1，x2是一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的两个实数根，若满足|x1﹣x2|＝1，则此类方程称为“差根方程”．根据“差根方程”的定义，解决下列问题：
(1)通过计算，判断下列方程是否是“差根方程”：
①x2﹣4x﹣5＝0；      
②2x2﹣2x+1＝0；
(2)已知关于x的方程x2+2ax＝0是“差根方程”，求a的值；
(3)若关于x的方程ax2+bx+1＝0（a，b是常数，a＞0）是“差根方程”，请探索a与b之间的数量关系式．
26．（2023·内蒙古呼伦贝尔·统考三模）先化简，再求值：，其中满足方程．
27．（2023·内蒙古呼和浩特·模拟预测）已知：关于x的方程有实数根．
（1）求m的取值范围；
（2）若方程的根为有理数，求正整数m的值．

参考答案：
1．D
【分析】根据一元二次方程的解的定义得出，即得出．再将代数式变为，最后整体代入求值即可．
【详解】∵m是一元二次方程的一个根，
∴，
∴，
∴．
故选D．
【点睛】本题考查一元二次方程的解的定义，代数式求值．掌握一元二次方程的解就是使方程成立的未知数的值是解题关键．
2．B
【分析】由一元二次方程根与系数的关系，可得，根据一元二次方程根的定义得，由，整体代入求解即可．
【详解】解：，是一元二次方程的两个实数根，
，，
，
故选：B．
【点睛】本题考查了一元二次方程的解，根与系数的关系，代数式求值等知识．解题的关键在于熟练掌握一元二次方程根与系数的关系．
3．B
【分析】先利用根的判别式的意义得到，解不等式得到的取值范围，然后根据一次函数的性质解决问题．
【详解】解：根据题意得，解得，
∴一次函数的图像经过第一、三、四象限，不经过第二象限．
故选：．
【点睛】本题考查了根的判别式，掌握一元二次方程的根与有如下关系：当时，方程有两个不相等的实数根；当时，方程有两个相等的实数根；当时，方程无实数根．及一次函数的性质是解题的关键．
4．D
【分析】利用一元二次方程根的定义得到，则 ，再根据根与系数的关系得到，然后利用整体代入的方法计算．
【详解】解:∵m是方程的实数根，
，
，


，
∵m，n是方程的两个实数根，
∴ ，
∴．
故选：D．
【点睛】本题考查了根与系数的关系：若 是一元二次方程 的两根时，，掌握根与系数的关系是解题关键．
5．B
【分析】根据一元二次方程解的定义得到，即，则，再根据根与系数的关系得到，，然后利用整体代入的方法计算即可．
【详解】解：为的实数根，
，即，
，
为方程的两个实数根，
，，
，
故选：B．
【点睛】本题考查了一元二次方程的定义和一元二次方程根与系数的关系：若、是一元二次方程的两根时，则，．
6．B
【分析】根据定义的运算得到一元二次方程，利用判别式即可判断根的情况．
【详解】解：∵，
∴，
∆，
∴方程没有实数根，
故选：B．
【点睛】此题考查了一元二次方程根的判别式，正确掌握一元二次方程的根的判别式的计算方法及根的情况是解题的关键．
7．A
【分析】根据一元二次方程根的定义以及根与系数的关系，求解即可．
【详解】解：是方程的两个根，
则，，
∴，
，
故选：A
【点睛】此题考查了一元二次方程根的定义以及根与系数的关系，解题的关键是熟练掌握相关基础知识．
8．C
【分析】先利用矩形的性质和折叠的性质证明△BMP≌△DQN，从而得出BM=QD，再设出BM，利用AB与AD的比例和勾股定理，分别表示出MN，QN，MQ，利用勾股定理即可求解．
【详解】解：∵四边形ABCD是矩形，
∴∠B=∠D=90°，
∵矩形ABCD的四个角向内折起，恰好拼成一个无缝隙、无重叠的四边形PMNQ，
∴AP=PE=BP，BM=ME，MF=MC，QD=QF，DN=FN=CN，∠BMP=∠EMP，∠CMN=∠FMN，∠CNM=∠FNM，∠DNQ=∠FNQ，
∴∠BMP+∠CMN=90°，∠CMN+∠CNM=90°，∠CNM+∠DNQ=90°，∠DNQ+∠DQN=90°，
∴∠BMP=∠CNM，∠CNM=∠DQN，∠MNQ=90°，
∴∠BMP=∠DQN，
∴△BMP≌△DQN（AAS），
∴BM=ME=DQ=QF，
∴MQ=MF+QF=MC+BM=BC，
设AB=CD=6a，BM=ME=QF=DQ=x，
∵AB：AD=3：5，
∴BC=AD=10a，
∴MF=MC=10a-x，AP=PE=BP=3a，DN=FN=CN=3a，MQ=10a，
∴，
∵，
∴，
解得：x=a或x=9a，
当x=a时，BM=a，
∴MC=BC-BM=9a，
∴BM：MC=1：9，
∴MC=BC-BM=9a，
∴MC=BC-BM=a，
∴BM：MC=9：1，
故选：C．
【点睛】本题考查矩形的性质，折叠的性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理，解一元二次方程等知识点，解题的关键是利用折叠的性质和勾股定理将BM表示出来．
9．A
【分析】根据一元二次方程的解，以及一元二次方程根与系数的关系即可求解．
【详解】解：解：∵，是方程的两个实数根，
∴，，

故选A
【点睛】本题考查了一元二次方程根与系数的关系，一元二次方程根的定义，掌握一元二次方程根与系数的关系是解题的关键．
10．B
【分析】根据根与系数关系求出=3，a=3，再求代数式的值即．
【详解】解：∵一元二次方程的两根分别记为，，
∴+=2，
∵，
∴=3，
∴·=-a=-3，
∴a=3，
∴．
故选B．
【点睛】本题考查一元二次方程的根与系数关系，代数式的值，掌握一元二次方程的根与系数关系，代数式的值是解题关键．
11．A
【分析】根据一元二次方程根与系数关系得出mn=－5，把x=m代入方程得m2+2m-5=0，即m2+2m=5，代入即可求解．
【详解】解：∵m、n是一元二次方程的两个根，
∴mn=－5，m2+2m-5=0，
∴m2+2m=5，
∴=5－5=0，
故选：A．
【点睛】本题考查代数式求值，一元二次方程根与系数关系，方程解的意义，根据一元二次方程根与系数关系和方程解的意义得出mn=-5，m2+2m=5是解题的关键．
12．B
【分析】根据一元二次方程根与系数的关系，根的判别式及解一元二次方程可求出m的值，即可求解．
【详解】关于x的一元二次方程的两实数根为，
，
，
，即，
解得或，
，
，
故选：B．
【点睛】本题考查了一元二次方程根与系数的关系，根的判别式及解一元二次方程，如果方程的两个实数根是，那么，；也就是说，对于任何一个有实数根的一元二次方程，两根之和等于方程的一次项系数除以二次项系数所得的商的相反数；两根之积等于常数项除以二次项系数所得的商．
13．C
【分析】分别根据等式的性质、中点四边形的性质、一元二次方程根的判别式、多边形的内角和与外角和定理判断即可．
【详解】解：①若，则，原命题是假命题；
②顺次连接四边形各边中点所得的四边形一定是平行四边形，原命题是真命题；
③方程中，>0，方程有两个不相等的实数根，原命题是真命题；
④六边形的内角和是180°×（6-2）=720°，是其外角和的两倍，原命题是真命题；
综上，真命题是②③④，共3个，
故选：C．
【点睛】本题考查的是命题的真假判断，正确的命题叫真命题，错误的命题叫做假命题．判断命题的真假关键是要熟悉课本中的性质定理．
14．C
【分析】按新定义规定的运算法则，将其化为关于x的一元二次方程，从二次项系数和判别式两个方面入手，即可解决．
【详解】解：∵[x2+1，x]※[5−2k，k]=0，
∴．
整理得，．
∵方程有两个实数根，
∴判别式且．
由得，，
解得，．
∴k的取值范围是且．
故选：C
【点睛】本题考查了新定义运算、一元二次方程的根的判别等知识点，正确理解新定义的运算法则是解题的基础，熟知一元二次方程的条件、根的不同情况与判别式符号之间的对应关系是解题的关键．此类题目容易忽略之处在于二次项系数不能为零的条件限制，要引起高度重视．
15．A
【分析】由于这个方程是一个一元二次方程，所以利用根的判别式可以判断其根的情况．而△=（2c）2-4（a+b）（a+b）=4c2-4（a+b）2，根据三角形的三边关系即可判断．
【详解】解：△=（2c）2-4（a+b）（a+b）=4c2-4（a+b）2=4（c+a+b）（c-a-b）．
∵a，b，c分别是三角形的三边，
∴a+b＞c．
∴c+a+b＞0，c-a-b＜0，
∴△＜0，
∴方程没有实数根．
故选：A．
【点睛】本题主要考查了三角形三边关系、一元二次方程的根的判别式等知识点．重点是对（2c）2-4（a+b）（a+b）进行因式分解．
16．A
【分析】根据平行公理、平行线的性质定理、一元二次方程根的判别式以及一次函数的图象和性质，分别判断得出答案．
【详解】两直线平行，同位角相等，①是假命题；
过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行，②是假命题；
关于的一元二次方程，当时，没有实数根，不符合题意，③是假命题；
当时，，则一次函数（）的图象一定交于y轴的负半轴，④是真命题；
综上，只有④一个真命题，
故选：A．
【点睛】本题考查了命题的真假判断、平行公理、平行线的性质定理、一元二次方程根的判别式以及一次函数的图象和性质，正确的命题叫真命题，错误的命题叫做假命题．判断命题的真假关键是要熟悉课本中的性质定理．
17．B
【分析】根据一元二次方程的定义、二次根式有意义的条件和判别式的意义得到，，，然后解不等式组即可．
【详解】解：根据题意得
，
，
，
解得m≤且m≠2．
故选：B．
18．D
【分析】设平均每次降价的百分率为x，则第一次降价后售价为，第二次降价后售价为，然后根据两次降阶后的售价建立等量关系即可．
【详解】解：设平均每次降价的百分率为x，则列方程为，
故选：D．
【点睛】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程：在解决实际问题时，要全面、系统地审清问题的已知和未知，以及它们之间的数量关系，找出并全面表示问题的相等关系，设出未知数，用方程表示出已知量与未知量之间的等量关系，即列出一元二次方程．
19．A
【分析】由每轮传染中平均一个人传染的人数是x人，那么经过第一轮后有人患了流感，经过第二轮后有人患了流感，再根据经过两轮传染后共有100人患了流感即可列出方程．
【详解】解：依题意得：．
故选：A．
【点睛】本题主要考查了一元二次方程的运用，根据题意分别列出不同阶段患了流感的人数是解本题的关键．
20．
【分析】利用公式法计算即可．
【详解】∵，

∴，
∴
故答案为：．
【点睛】本题考查了一元二次方程的解法，熟练掌握公式法解方程是解题的关键．
21．
【分析】根据一元二次方程根与系数的关系得出，，联立，即可求解．
【详解】解：依题意，①，②，
又∵③
由①③可得
∴，
故答案为：．
【点睛】本题考查了一元二次方程根与系数，解二元一次方程组，熟练掌握一元二次方程根与系数的关系是解题的关键．
22．
【分析】由售价及销售间的关系，可得出降价后每袋粽子的销售利润为，每天可售出袋，利用超市每天售出此种粽子的利润每袋的销售利润日销售量，即可得出关于的一元二次方程，此题得解．
【详解】解：根据题意得：每袋粽子的销售利润为，每天可售出袋，
∴超市每天售出此种粽子的利润．
故答案为：．
【点睛】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．
23．16
【分析】设小正方形的边长为，利用、、表示矩形的面积，再用、、表示三角形以及正方形的面积，根据面积列出关于、、的关系式，解出，即可求出矩形面积．
【详解】解：设小正方形的边长为，
矩形的长为 ，宽为 ，
由图1可得：，
整理得：，
，，
，
，
矩形的面积为 ．
故答案为：16．
【点睛】本题主要考查列代数式，一元二次方程的应用，求出小正方形的边长是解题的关键．
24．
【分析】由题意解一元二次方程得到或，再根据勾股定理得到直角三角形斜边的长是．
【详解】解：一个直角三角形两条直角边的长分别是一元二次方程的两个实数根，
由公式法解一元二次方程可得，
根据勾股定理可得直角三角形斜边的长是，
故答案为：．
【点睛】本题考查勾股定理求线段长，根据题意解出一元二次方程的两根是解决问题的关键．
25．(1)①不是；②是
(2)
(3)b2＝a2+4a

【分析】（1）根据“差根方程”定义判断即可．
（2）根据x2+2ax＝0是“差根方程”，且x1＝0，x2＝﹣2a得到2a＝±1，从而得到a＝±；
（3）设x1，x2是一元二次方程ax2+bx+1＝0（a，b是常数，a＞0）的两个实数根，根据根与系数的关系得到，整理即可得到b2＝a2+4a．
【详解】（1）解：①设x1，x2是一元二次方程x2﹣4x﹣5＝0的两个实数根，
∴x1+x2＝4，x1•x2＝﹣5，
∴|x1﹣x2|＝，
∴方程x2﹣4x﹣5＝0不是差根方程；
②设x1，x2是一元二次方程2x2﹣2+1＝0的两个实数根，
∴x1+x2＝，x1•x2＝，
∴|x1﹣x2|＝，
∴方程2x2﹣2+1＝0是差根方程；
（2）x2+2ax＝0，
因式分解得：x（x+2a）＝0，
解得：x1＝0，x2＝﹣2a，
∵关于x的方程x2+2ax＝0是“差根方程”，
∴2a＝±1，即a＝±；
（3）设x1，x2是一元二次方程ax2+bx+1＝0（a，b是常数，a＞0）的两个实数根，
∴x1+x2＝，x1•x2＝，
∵关于x的方程ax2+bx+1＝0（a，b是常数，a＞0）是“差根方程”，
∴|x1﹣x2|＝1，
∴|x1﹣x2|＝＝1，即，
∴b2＝a2+4a．
【点睛】本题考查了一元二次方程的解，根与系数的关系，根的判别式，一次函数图象上点的坐标特征，正确的理解“差根方程”的定义是解题的关键．
26．，1．
【分析】先计算分式的减法，再计算分式的除法，然后利用因式分解法解一元二次方程求出x的值，最后结合分式的分母不能为0确定合适的x的值，代入求解即可得．
【详解】，
，
，
，
，
因式分解得，
解得或，
分式的分母不能为0，
，
解得，
则，
将代入分式得：原式．
【点睛】本题考查了分式的化简求值、解一元二次方程等知识点，熟练掌握分式的运算法则和分式有意义的条件是解题关键．
27．（1）≤4且；（2）m=3或m=4．
【分析】（1）根据一元二次方程根的判别式结合题意即可求解；
（2）根据（1）的结论可求出m的取值，然后根据△为平方数即可求出m的值．
【详解】（1）一元二次方程，
，，，
，
∵原方程有实数根，
∴≥0，
解得：≤4，
∴m的取值范围是≤4且；
（2）∵m为正整数，
∴m可取1，2，3，4．
当m=1时，，不是平方数，方程不是有理根；
当m=2时，，不是平方数，方程不是有理根；
当m=3时，，是平方数，方程为有理根；
当m=4时，，是平方数，方程为有理根；
∵方程为有理根，
∴m=3或m=4时，方程为有理根．
【点睛】本题主要考查了一元二次方程根的判别式，熟知一元二次方程（a≠0）的根与△的关系是解答此题的关键．