山西省太原市2022-2023学年高一下学期期中数学试题

2022~2023学年第二学期高一年级期中质量监测

数学试卷

（考试时间：上午8：00—9：30）

说明：本试卷为闭卷笔答，答题时间90分钟，满分100分.

一､选择题（本题共8小题，每小题3分，共24分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）

1.复数的共轭复数为（    ）

A.    B.

C.    D.

2.已知向量满足，则（    ）

A.6    B.8    C.10    D.12

3.已知复数，则下列说法正确的是（    ）

A.的虚部为4    B.复数在复平面内对应的点位于第三象限

C.    D.

4.已知向量，若，则与夹角的余弦值为（    ）

A.    B.    C.    D.

5.已知一圆锥的母线长为3，侧面积为，则该圆锥的高为（    ）

A.2    B.    C.4    D.10

6.在四边形中，若，且，则该四边形是（    ）

A.正方形    B.菱形

C.矩形    D.等腰梯形

7.在边长为2的正方形中，点为边上的动点，点为边上的动点，且，则的最小值为（    ）

A.6    B.5    C.4    D.3

8.已知的面积为，则（    ）

A.    B.    C.    D.2

二､多选题（本题共4小题，每小题3分，共12分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得3分，部分选对的得2分，有选错的得0分.）

9，用斜二测画法画水平放置的平面图形的直观图时，下列结论正确的是（    ）

A.三角形的直观图是三角形

B.平行四边形的直观图是平行四边形

C.正方形的直观图是正方形

D.菱形的直观图是菱形

10.已知复数，则下列结论正确的是（    ）

A.

B.若，则

C.若，则中至少有1个是0

D.若且，则

11.在直角坐标系中，已知点，则（    ）

A.若，则

B.若点在上，则

C.若，则

D.若在方向上的投影向量为，则

12.半正多面体亦称“阿基米德多面体”，是由边数不全相同的正多边形围成，体现了数学的对称美.如图，二十四等边体就是一种半正多面体，是由正方体截去八个一样的四面体得到的，若它的所有棱长都为，则（    ）

A.被截正方体的棱长为2

B.被截去的一个四面体的体积为

C.该二十四等边体的体积为

D.该二十四等边体外接球的表面积为

三､填空题（本题共4小题，每小题4分，共16分，把答案写在题中横线上）

13.设复数满足，则__________.

14.如图所示的图案，是由圆柱､球和圆锥组成，已知球的直径与圆柱底面的直径和圆柱的高相等，圆锥的顶点为圆柱上底面的圆心，圆锥的底面是圆柱的下底面，则图案中圆锥､球､圆柱的体积__________.

15.如图，从气球A上测得正前方的河流的两岸B，C的俯角分别为75°，30°，此时气球的高是60，则河流的宽度BC=__________.

16.知向量，且，则的取值范围是__________.

四､解答题（本题共5小题，共48分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）

17.（本小题满分8分）

已知复数，且为纯虚数.

（1）求实数的值；

（2）设复数，且复数对应的点在第二象限，求实数的取值范围.

18.（本小题满分10分）

如图，在中，已知边上的中线相交于点.设.

（1）用表示；

（2）求.

19.（本小题满分10分）

如图，矩形是用斜二测画法画出的水平放置的一个平面四边形的直观图，其中.

（1）画出平面四边形的平面图，并计算其面积；

（2）若该四边形以为轴，旋转一周，求旋转形成的几何体的体积和表面积.

20.（本小题满分10分）说明：请同学们在（A）､（B）两个小题中任选一题作答.

（A）的内角的对边分别为，已知向量与向量共线.

（1）求；

（2）若的面积为，求的值.

（B）的内角的对边分别为，已知向量与向量共线.

（1）求；

（2）若的面积为，求周长的取值范围.

21.（本小题满分10分）说明：请同学们在（A）（B）两个小题中任选一题作答.

（A）如图所示，是一块三角形空地，其中.当地政府计划将这块空地改造成一个休闲娱乐场所，拟在中间挖一个人工湖，其中在边上，且，挖出的泥土堆放在地带形成假山，剩下的地带建成活动场所.

（1）当时，求的长度；

（2）若要求挖人工湖用地的面积是堆假山用地面积的倍，试确定的大小.

（B）如图所示，是一块三角形空地，其中.当地政府规划将这块空地改造成一个休闲娱乐场所，拟在中间挖一个人工湖，其中在边上，且，挖出的泥土堆放在地带上形成假山，剩下的地带建成活动场所.

（1）若要求挖人工湖用地的面积是堆假山用地面积的倍，试确定的大小；

（2）为节省投入资金，人工湖的面积要尽可能小，问如何设计施工方案，可使的面积最小？最小面积是多少？

2022-2023学年第二学期高一年级期中质量监测

数学试题参考答案及评分标准

一､选择题

二､选择题

三､填空题

13.    14.    15.    16.

四､解答题

17､（8分）

解：（1）因为，

又为纯虚数，

解得.

（2），

因为复数所对应的点在第二象限，

解得

所以的取值范围是.

18.（10分）

解：（1）因为是的中点，

所以

（2）

又，

所以.

所以.

所以

19.（10分）

解：（1）平面四边形的平面图如图所示：

（2）由题意可得旋转形成的几何体的体积，.

.

因为，.

又，

故.

20.（A）（10分）

解：（1）在中，，

向量与向量共线，，

由正弦定理可得，

，

又，所以.

（2），得，

由余弦定理，故

由正弦定理，得，

所以.

20.（B）（10分）

解：（1）在中，，

向量与向量共线，，

由正弦定理可得，

，

又，所以

（2）因为，所以，

由余弦定理得：，

所以，

所以.

所以周长的取值范围是.

21､（A）

解：（1）在中，因为，

所以

在中，，

由余弦定理，得.

（2）设，因为，

所以，即，

在中，由正弦定理，得，

所以，即，

由，得，所以，即.

21､（B）

解：（1）在中，因为，

所以，

在中，，

由余弦定理，得.

设，因为，

所以，即，

在中，由正弦定理，得，

所以，即，

由，得，所以，即.

（2）由（1）知，，

在中，由正弦定理，得，

所以，

所以当且仅当，即时，的面积取得最小值，

最小