2022-2023学年山西省运城市金科大联考高一下学期期中数学试题含答案

2022-2023学年山西省运城市金科大联考高一下学期期中数学试题

一、单选题

1．已知集合，则（    ）

A． B． C． D．

【答案】B

【分析】先根据一元二次不等式的解法求出集合的取值范围，然后根据交集的概念即可求解.

【详解】因为，所以.

故选:B.

2．已知a为实数，若复数为纯虚数，则（    ）

A．i B． C．1 D．

【答案】B

【分析】由给定复数为纯虚数求出，再利用复数的乘方运算及除法运算求解作答.

【详解】因为复数为纯虚数，则，解得，

所以.

故选：B

3．空间中，可以确定一个平面的条件是

A．两条直线 B．一点和一条直线

C．一个三角形 D．三个点

【答案】C

【详解】不共线的三点确定一个平面，C正确；A选项，只有这两条直线相交或平行才能确定一个平面；B选项，一条直线和直线外一点才能确定一个平面；D选项，不共线的三点确定一个平面.

【解析】确定平面的条件.

4．函数的图象大致为（    ）

A． B．      

C． D．

【答案】A

【分析】先根据函数奇偶性排除选项C,D；再利用特殊值排除选项B即可求解.

【详解】因为，定义域为，

又，可知函数为奇函数，故排除选项C,D；

又由时，，，有，，可得；

当时，，，有，，可得；

故当时，，故排除选项B；

而A选项满足上述条件，故A正确.

故选：A.

5．若水平放置的四边形AOBC按“斜二测画法”得到如图所示的直观图，四边形为等腰梯形，，则原四边形AOBC的面积为（    ）

A． B． C． D．

【答案】D

【分析】根据图像，由“斜二测画法”可得，四边形水平放置的直观图为直角梯形，进而利用相关的面积公式求解即可.

【详解】在直观图中，四边形为等腰梯形，，而，则，

由斜二测画法得原四边形AOBC是直角梯形，，，如图.

所以四边形AOBC的面积为.

故选：D.

6．如图，飞机的航线和山顶在同一个铅垂平面内，已知飞机的高度为海拔，速度为，飞行员先看到山顶的俯角为30°，经过后又看到山顶的俯角为75°，则山顶的海拔高度为（    ）

A． B．

C． D．

【答案】C

【分析】先求AB的长，在 中，可求BC的长，进而由于，所以故可得山顶的海拔高度．

【详解】如图：

，，

，

∴在 中， ，

山顶的海拔高度

故选：C．

7．已知条件，条件，若p是q的必要而不充分条件，则实数a的取值范围为（    ）

A． B． C． D．

【答案】C

【分析】求解命题中涉及的不等式，根据题意可得相应集合的包含关系，列出不等式组，即可求得答案.

【详解】由，得，所以，

由，得，所以，

因为p是q的必要而不充分条件，

所以，则，

解得，

故选：C.

8．在平面四边形ABCD中，，若P为边BC上的一个动点，则的最小值是（    ）

A． B． C． D．

【答案】B

【分析】根据题意，建立合适的直角坐标系，从而利用平面向量数量积的坐标表示即可得解.

【详解】因为三角形中，，

所以是边长为2的等边三角形，则

以为轴，的中垂线为轴，建立直角坐标系如图，

则，设，则，

故，

显然当时，取得最小值，

故选：B.

二、多选题

9．用一个平面去截一个几何体，得到的截面是一个圆面，则这个几何体可能是（    ）

A．圆柱 B．棱柱 C．球 D．圆台

【答案】ACD

【分析】根据用一个平面去截旋转体均可以得到圆面，平面截棱柱得到的截面为一个多边形，即可求解.

【详解】根据旋转体的定义，可知用一个平面去截圆台、圆柱、球均可以得到圆面，

根据棱柱的定义，可知平面截棱柱得到的截面为一个多边形，一定不会产生圆面，

故选：ACD.

10．设n是正整数，当一个数的n次乘方等于1时，称此数为n次“单位根”；在复数范围内，n次单位根有n个，例如，是的四个根；1，，是的三个根，则下列式子正确的是（    ）

A． B． C． D．

【答案】ABD

【分析】根据复数模运算法则计算判断A；根据通过因式分解进而判断B；通过复数的计算即可判断C和D.

【详解】对于A选项，，故A正确；

对于B选项，因为，而是的一个根，则，故B正确；

对于C选项，，，故C错误；

对于D选项，，故D正确.

故选：ABD

11．在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，则下列条件中能判断为钝角三角形的有（    ）

A． B．

C． D．的三条高分别为2，3，4

【答案】ABD

【分析】利用余弦定理判断A，将两边平方可得，即可判断B，利用两角和的正切公式及诱导公式得到，即可判断C，利用面积公式及余弦定理判断D.

【详解】对于A，由余弦定理有，可得为钝角，故为钝角三角形，故A正确；

对于B，将平方可得，即，

所以，又，所以，则，所以A为钝角，即为钝角三角形，故B正确；

对于C，因为，

所以，

若、、有两个负数，则，，中有两个钝角，显然不满足三角形内角和为，

所以、、均为正数，即角，，都为锐角，为锐角三角形，故C错误；

对于D，假设，，边上的高分别为2，3，4，则，有，

设，则，所以由余弦定理得，所以为钝角，为钝角三角形，故D正确.

故选：ABD.

12．著名数学家欧拉提出了如下定理：三角形的外心、重心、垂心依次位于同一直线上，且重心到外心的距离是重心到垂心的距离的一半.此直线被称为三角形的欧拉线，该定理被称为欧拉线定理.已知的外心为O，重心为G，垂心为H，M为BC的中点，且，则下列结论正确的有（    ）

A．O为线段GH的中点 B．

C． D．

【答案】BD

【分析】根据题意，由条件结合平面向量的数量积运算以及线性运算，对选项逐一判断即可得到结果.

【详解】由三角形的外心、重心、垂心依次位于同一直线上，有，故A选项错误；

由G是三角形ABC的重心可得，

所以，

故B项正确；

过三角形ABC的外心O分别作AB，AC的垂线，垂足为D，E，

如图，易知D，E分别是AB，AC的中点，

则

，

故C项错误；

因为G是三角形ABC的重心，所以有，

故，

即，

又，有，故D项正确.

故选：BD.

三、填空题

13．已知角的终边上有一点，则的值是          .

【答案】/-0.96

【分析】根据角的终边上有一点，求得，再利用二倍角的正弦公式求解.

【详解】解：因为角的终边上有一点，

所以，

所以.

，

故答案为：

14．已知平面向量相互之间的夹角都为，，则         .

【答案】

【分析】根据以及向量数量积运算律计算即可；

【详解】由，，

则

，

故答案为：

15．有一个正六棱柱的机械零件，底面边长为，高为，则这个正六棱柱的机械零件的表面积为         .

【答案】/

【分析】正六棱柱，分别计算即可；

【详解】

故答案为：

16．已知O是内部的一点，且，和的面积分别是，若，则      .

【答案】

【分析】根据三角形的几何性质，可得点所在三角形中特殊线段位置，结合三点公式的平面向量计算，建立方程组，可得答案.

【详解】如图，分别在边AC，BC上取点D，E，使得.

由，可得，所以，

又因为，所以点O在线段DE上（不包含端点），

则.

因为O，D，E三点共线，所以，即，

所以.

因为，所以，所以.

故答案为：.

四、解答题

17．已知平面向量满足，其中.

(1)若，求实数m的值；

(2)若，求向量与的夹角的大小.

【答案】(1)9

(2)

【分析】（1）根据向量共线的坐标运算列出方程，解之即可求解；

（2）根据向量垂直的坐标运算先求出，再利用向量坐标的线性运算求出，分别求出两向量的模，代入向量的夹角公式即可求解.

【详解】（1）因为，又，

所以，

解得；

（2）因为，

所以，解得，

所以，

所以，

所以，

，

所以向量与夹角的余弦值为，

又由，可得.

18．如图，某种水箱用的“浮球”是由两个半球和一个圆柱筒组成，已知球的直径是，圆柱筒长.

(1)这种“浮球”的体积是多少?

(2)要在这样个“浮球”表面涂一层胶质，如果每平方厘米需要涂胶克，共需胶多少克？

【答案】(1)

(2)克

【分析】（1）利用球和圆柱体积公式即可求解得到结果；

（2）结合球的表面积和圆柱侧面积公式可求得几何体的表面积，进而确定所需胶的质量.

【详解】（1）该半球的直径，“浮球”的圆柱筒直径也是，，

两个半球的体积之和为，

又，

该“浮球”的体积是.

（2）上下两个半球的表面积，

“浮球”的圆柱筒侧面积为，

个“浮球”的表面积为，

个“浮球”的表面积的和为，

每平方厘米需要涂胶克，共需要胶的质量为（克）.

19．在中，内角所对的边分别为，且满足.

(1)求角的大小；

(2)若的面积为，外接圆的面积为，求.

【答案】(1)

(2)或

【分析】（1）由正弦定理可得，由余弦定理求出，结合的范围可得答案；

（2）求出外接圆的半径由正弦定理求出，根据的面积求出，再由余弦定理可得，联立可得答案.

【详解】（1）因为，由正弦定理可得，

所以，由余弦定理可得，

因为，所以；

（2）设外接圆的半径为，因为外接圆的面积为，

所以，解得，

由正弦定理可得，

若的面积为，则，可得，①

由余弦定理可得，②

由①②可得，或.

20．如图，在正方体中，E，F分别是上的点，且.

(1)证明：四点共面；

(2)设，证明：A，O，D三点共线.

【答案】(1)证明见祥解

(2)证明见祥解

【分析】（1）连接，利用中位线定理得到，再根据正方体的性质得到，进而证明四边形是平行四边形，从而得到，由此可证四点共面；

（2）先证平面，且平面ABCD，又平面平面，

所以，进而得到A，O，D三点共线.

【详解】（1）证明：如图，连接.

在正方体中，，所以，

又，且，

所以四边形是平行四边形，所以，

，所以四点共面；

（2）证明：由，，又平面，平面，

同理平面ABCD，又平面平面，

，即A，O，D三点共线.

21．在中，角的对边分别为，已知.

(1)若的内角平分线交于点，求的长；

(2)若与的内角平分线相交于点的外接圆半径为2，求的最大值.

【答案】(1)

(2)4

【分析】（1）利用计算可得答案；

（2）根据与的内角平分线相交于点可得，在中，由余弦定理可得，再利用基本不等式可得答案.

【详解】（1）  

因为是内角的平分线，所以，

因为，所以，

即，

解得；

（2）  

因为的外接圆半径为2，，

所以，，

因为与的内角平分线相交于点，

所以，即，

在中，由余弦定理可得，

所以，

因为，

所以，

所以，，当且仅当等号成立，

所以的最大值为4.

【点睛】思路点睛：在第二问中先求出，由余弦定理可得，再利用基本不等式求最值，考查了正余弦定理及三角形的面积公式的应用.

22．已知函数是定义在上的奇函数，且当时，.

(1)求函数的解析式，并证明函数在上单调递增；

(2)若对任意的恒成立，求实数a的取值范围.

【答案】(1)证明见解析

(2)

【分析】（1）根据奇函数性质以及，求解时，

，得到函数

最后根据定义判断证明函数在上单调递增；

（2）将不等式转化为，对任意的恒成立，

构造函数，然后根据函数的单调性以及二次函数性质以及对参数分类讨论即可完成求解；

【详解】（1）因为是定义在上的奇函数，且当时，，

设，有，则.

故

下面先证明函数在上单调递增.

不妨设，由指数函数的单调性有，又由不等式的性质有，即，可得函数在上单调递增，

又由函数为奇函数，故函数在上单调递增；

（2）因为函数在定义域上的单调递增.

不等式恒成立等价于

对任意的恒成立.

即对任意的恒成立，

构造函数，则也是上的增函数.

故原不等式恒成立等价于对任意的恒成立，

即对任意的恒成立，

①当时，二次函数为开口向下的二次函数，不恒成立，不合题意；

②当时，不恒成立；

③当时，由对任意的恒成立，

可得，解得或.由，有，

综上，实数a的取值范围是.