2022-2023学年山西省长治市第十九中学高一下学期期中数学试题含解析

山西省长治市第十九中学2022-2023学年高一下学期期中数学试题

学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________

一、单选题

1．设向量，，若，则实数的值等于（    ）

A． B． C．2 D．

【答案】B

【分析】由向量线性运算的坐标表示求的坐标，再由向量垂直的坐标表示求参数.

【详解】由题设，，又，

∴，解得.

故选：B

2．设，则复数的虚部为（    ）

A． B．2 C．1 D．

【答案】B

【分析】根据复数代数形式的乘法运算计算出，即可得到答案.

【详解】解：，

所以的虚部为2，

故选：B.

3．在中，已知，，，则（    ）

A．1 B． C．2 D．

【答案】C

【分析】利用余弦定理得到关于BC长度的方程，解方程即可求得边长．

【详解】设，

结合余弦定理：可得：，

即：，解得：（舍去），

故.

故选：C.

4．如果是平面α内一组不共线的向量，那么下列四组向量中，不能作为平面内所有向量的一组基底的是（    ）

A．与

B．与

C．与

D．与

【答案】D

【分析】根据题意可得：两个向量满足平面的一组基底，需这两个向量不共线，由此逐一判断可得选项．

【详解】对于A：设，则，所以无解；

对于B：设，则，所以无解；

对于C：设，则，所以无解；

对于D：设，则，解得，所以此两向量是共线向量；

故D中向量能作为平面内所有向量的一组基底，

故选：D．

5．已知与均为单位向量，其夹角为．若，则的取值范围是（    ）

A． B．

C． D．

【答案】C

【分析】由向量模与夹角的公式得，进而结合向量的夹角范围求解即可.

【详解】解：因为与均为单位向量，其夹角为，，

所以，即，

因为 ，所以，即.

故选：C

6．在三棱锥中，平面，，且，则三棱锥外接球的体积等于（    ）

A． B． C． D．

【答案】C

【分析】将三棱锥放入一个长方体中，求出长方体的体对角线即为长方体外接球的直径，利用球的体积公式即可求解.

【详解】因为三棱锥中，平面，

不妨将三棱锥放入一个长方体中，则长方体的外接球即为三棱锥的外接球，

因为长方体的体对角线即为其外接球的直径，

因为，则长方体的长宽高分别为

所以三棱外接球的半径为

.

所以三棱锥外接球的体积为

.

故选：C.

7．已知复数z的共轭复数是，若，则（    ）

A．1 B． C． D．

【答案】B

【分析】设出复数z的代数形式，利用给定等式建立方程，解方程求出复数z即可计算作答.

【详解】设复数，，则，因，即，

即，则，解得，因此，，

所以.

故选：B

8．如图，在正方体中，E是棱的中点，则过三点A、D1、E的截面过（    ）

A．AB中点 B．BC中点

C．CD中点 D．BB1中点

【答案】B

【分析】根据截面特点结合正方形结构性质求解.

【详解】取的中点，连接，，如图，

则，

所以在截面上,

故选：B

二、多选题

9．在下列各组向量中，不能作为基底的是（    ）

A． B．

C． D．

【答案】ACD

【分析】当两个非零向量不共线时能作为基底，所以逐个分析判断两个向量是否共线

【详解】解：对于A，因为为零向量，所以这两个向量不能作为基底，所以A符合题意，

对于B，若共线，则存在唯一实数，使，即，所以，所以这样的不存在，所以不共线，所以这两个向量可以作为基底，所以B不符合题意，

对于C，因为，所以，所以这两个向量共线，所以不能作为基底，所以C符合题意，

对于D，因为，所以，所以这两个向量共线，所以不能作为基底，所以D符合题意，

故选：ACD

10．(多选题)连接球面上两点的线段称为球的弦，半径为4的球的两条弦AB，CD的长度分别等于2，4，M，N分别为AB，CD的中点，每条弦的两端都在球面上运动，则（    ）

A．弦AB，CD可能相交于点M

B．弦AB，CD可能相交于点N

C．MN的最大值为5

D．MN的最小值为1

【答案】ACD

【分析】据题意，由球的弦与直径的关系，可以求出两条弦AB，CD到球心的距离，进而得到MN最大值．

【详解】∵球的半径为4，两条弦，的长度分别为，，

球心到弦的距离为，

球心到弦的距离为.

当三点共线，

且分别在O两侧时，最大，且最大值为5，在球心的同侧时，MN的最小值为3－2＝1，

因为3>2，所以AB，CD可交于AB的中点M，不可交于CD的中点N；

故选：ACD.

11．已知向量，，则下列命题正确的是（    ）

A．若，则

B．若在上的投影向量为，则向量与夹角为

C．与共线的单位向量只有一个为

D．存在，使得

【答案】BD

【分析】根据向量垂直、向量投影、向量夹角、共线向量、单位向量以及模的运算对选项进行分析，从而确定正确答案.

【详解】A选项，若，则，

，A选项错误.

B选项，在上的投影向量为，

所以，

，

由于，所以，B选项正确.

C选项，与共线的单位向量可以是，

即和，所以C选项错误.

D选项，若，则，

，

，，其中，

所以，由于，，

则当时，，

所以存在，使得，D选项正确.

故选：BD

12．已知A，B，C三点均在球O的表面上，AB=BC=CA=2，且球心O到平面ABC的距离等于球半径的，则下列结论正确的是（    ）

A．球O的半径为 B．球O的表面积为

C．球O的内接正方体的棱长为 D．球O的外切正方体的棱长为

【答案】BD

【分析】设球O的半径为r，由是正三角形，得的外接圆的半径，

对于A：由已知有，解之可判断；

对于B：根据A选项的解析和球的表面积公式计算可判断；

对于C：由球O的内接正方体的棱长与球的半径的关系可判断；

对于D：由球O的外切正方体的棱长与球的半径的关系可判断．

【详解】解：设球O的半径为r，的外接圆圆心为，半径为R，则，

因为球心O到平面的距离等于球O半径的，所以，得，所以A不正确；

所以球O的表面积，选项B正确；

球O的内接正方体的棱长a满足，显然选项C不正确；

球O的外切正方体的棱长b满足，显然选项D正确．   

 故选：BD.

三、填空题

13．平行四边形中，，，，则的值为___．

【答案】5

【分析】利用基底法和平面向量的三角形法则和数量积的运算解答， ，再把已知代入即得解.

【详解】 .

故答案为5

【点睛】本题主要考查基底法和平面向量的三角形法则，考查平面向量的数量积运算，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力.

14．欧拉公式（为虚数单位）是由瑞士著名数学家欧拉发明的，被誉为“数学中的天桥”．根据欧拉公式可知，表示的复数在复平面中位于第______象限．

【答案】二

【解析】e2i＝cos2+isin2，根据2∈，即可判断出．

【详解】e2i＝cos2+isin2，

∵2∈，

∴cos2∈（﹣1，0），sin2∈（0，1），

∴e2i表示的复数在复平面中位于第二象限．

故答案为：二

【点睛】本题考查了复数的欧拉公式、三角函数的单调性与值域，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．

15．一架飞机从A地向北偏西60°的方向飞行1000km到达B地，然后向C地飞行．设C地恰好在A地的南偏西60°方向上，并且A，C两地相距2000km．则飞机从B地到C地的距离为________．

【答案】

【分析】由已知，做出图像，并根据条件列出边长、角度关系，使用余弦定理即可完成求解.

【详解】如图所示，

由题意可得，km，km，，

由余弦定理可得，，

所以km.

故答案为： .

16．设，则__________.

【答案】4

【分析】根据复数的乘方运算，求得z，可得，再根据复数模的计算求得答案.

【详解】，则，

故，

故答案为：4

四、解答题

17．计算：

(1)；

(2)；

(3)

【答案】(1)

(2)

(3)0

【分析】（1）根据复数的加法与减法运算，即可求解；

（2）根据复数的加法与减法运算，即可求解；

（3）根据复数的乘方运算，即可求解.

【详解】（1）解：由复数的运算法则，可得；

（2）解：由复数的运算法则，可得；

（3）解：由复数的乘方运算，可得.

18．正四棱台的上、下底边长为4m和6m．

(1)若侧面与底面所成的角是60°，求此四棱台的表面积；

(2)若侧棱与底面所成的角是60°，求此四棱台的体积.

【答案】(1)92；(2).

【分析】(1)利用正四棱台的几何特征求出斜高，可得侧面积，从而可得表面积；

(2)利用正四棱台的几何特征求出棱台的高，再求出上下底面积，利用棱台体积公式可得结果.

【详解】(1)如图，

正四棱台斜高m，

正四棱台侧面积，

；

(2)如图，

正四棱台的高，

.

19．已知向量，．

（1），，且，求x；

（2）若，的夹角为锐角，求实数x的取值范围．

【答案】（1）；（2）.

【分析】（1）利用向量的加法法则计算出和，然后运用向量间的平行关系求解出；

（2）若，的夹角为锐角时，则，且不共线，利用向量的数量积坐标运算法则求解即可；

【详解】解：（1），

；

当时，，解得：.

（2）若，的夹角为锐角，则，得，又不共线，所以，

所以的取值范围是.

故答案为：.

【点睛】易错点点睛：两个向量夹角为锐角时，不仅注意数量积大于零，还要去掉共线时的值.

方法点睛：设向量，，则当时，，当.

20．在中，角A、B、C的对边分别是a、b、c，满足．

(1)求角A；

(2)若的面积为，，求的周长．

【答案】(1)

(2)

【分析】（1）由正弦定理化边为角，结合角的范围化简求值即可；

（2）由三角形面积公式可得，由余弦定理可得，即可求周长.

【详解】（1）由正弦定理得：，即，

∵，∴，即，

∵A是的内角，∴；

（2）∵的面积为，∴，由（1）知，∴，

由余弦定理得：，∴，解得 ，

∴的周长为.

21．在锐角三角形中，角，，的对边分别为，，，且满足．

(1)求角的大小；

(2)若，且，，求的值．

【答案】(1)；

(2).

【分析】（1）利用正弦定理进行边角互换，整理式子，即可解得；

（2）利用余弦定理和求出，再用余弦定理求出即可求.

【详解】（1）因为，所以，

因为为锐角，所以，所以，又为锐角，所以．

（2）由（1）知，，因为，所以根据余弦定理得，

整理得，又，所以，

又，所以，，

于是，

所以．

22．在中，角的对边分别为，且满足.

（1）求角的大小；

（2）当时，求的面积

【答案】（1）     （2）

【分析】（1）根据正弦定理，化简等式可得关于角的关系式，结合正弦和角公式求解．

（2）根据三角形面积公式，代入即可求得三角形面积．

【详解】（1），

由正弦定理得：

，

，

即，

在中， ，

∴，

∴ ，

；

（2）因为当，且，

所以由三角形面积得.