【备考2024】高考数学（函数版块）细点逐一突破训练：函数的概念及其构成要素

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【备考2024】高考数学（函数版块）细点逐一突破训练：函数的概念及其构成要素一、选择题
1．已知符号函数sgnx=1，x>00，x=0−1，x0 B．f(20212)=1
C．sgn[f(2k+1)]=1(k∈Z) D．sgn[f(k)]=|sgnk|(k∈Z)
2．若函数f(x)的定义域为D，如果对D中的任意一个x，都有f(x)>0，−x∈D，且f(−x)f(x)=1，则称函数f(x)为“类奇函数”．若某函数g(x)是“类奇函数”，则下列命题中，错误的是（　　）
A．若0在g(x)定义域中，则g(0)=1
B．若g(x)max=g(4)=4，则g(x)min=g(−4)=14
C．若g(x)在(0，+∞)上单调递增，则g(x)在(−∞，0)上单调递减
D．若g(x)定义域为R，且函数ℎ(x)也是定义域为R的“类奇函数”，则函数G(x)=g(x)ℎ(x)也是“类奇函数”
3．若函数y=f(x)的图象上存在两个不同的点P，Q，使得f(x)在这两点处的切线重合，则称函数y=f(x)为“切线重合函数”，下列函数中是“切线重合函数”的是（　　）
A．y=sinx+cosx B．y=sin(cosx) C．y=x+sinx D．y=x2+sinx
4．存在函数f(x)满足：对任意x∈R都有（　　）
A．f(|x|)=x3 B．f(sinx)=x2 C．f(x2+2x)=|x| D．f(|x|)=x2+1
5．对任意正整数对(ℎ，k)，定义函数f(ℎ，k)如下：f(1，j)=1，(i+1)f(i+1，j)=(j−i)f(i，j)，i≤j，则（　　）
A．f(j+1，j)=1
B．f(i，j)=2Cji−1
C．i=1j[j2⋅f(i，j)]=j⋅(2j−1)
D．j=1ni=1j[j⋅f(i，j)]=2n+n−2
6．下列变量之间的关系是函数关系的是（　　）
A．已知二次函数 y=ax2+bx+c，其中 a，c 是已知常数，取 b 为自变量，因变量为这个函数对应方程的判别式
B．光照时间和果树亩产量
C．降雪量和交通事故的发生率
D．每亩施用肥料量和粮食亩产量
7．下列命题中，正确的有（　　）个
①对应：A=R，B=R，f：x→y=1x2+1是映射，也是函数；
②若函数f(x−1)的定义域是（1，2），则函数f(2x)的定义域为(0，，12)；
③幂函数y=x−23与y=x4图像有且只有两个交点；
④当b>0时，方程|2x−1|−b=0恒有两个实根.
A．1 B．2 C．3 D．4
8．已知集合A={x|0≤x≤4}，集合B={x|0≤x≤2}，下列图象能建立从集合A到集合B的函数关系的是（　　）
A． B．
C． D．
9．存在函数y=f(x)，满足对任意x∈R都有（　　）
A．f(|x|−1)=|x+1| B．f(|x−1|)=|x+1|
C．f(x2+2x)=|x+1| D．f(x2−1)=|x+1|
10．有以下判断，其中是正确判断的有（　　）
A．f(x)=|x|x与g(x)=1，x≥0−1，xb”是“ac2>bc2”的必要不充分条件
D．若f(x)=|x−1|−|x|，则f(f(12))=1
二、填空题
11．[x]表示不超过x的最大整数，如[3.5]=3，则[log25]+[log250]=　 　．
12．十九世纪德国数学家狄利克雷提出了“狄利克雷函数”D(x)=1，x∈Q0，x∈∁RQ“狄利克雷函数”在现代数学的发展过程中有着重要意义，根据“狄利克雷函数”求得D(2+D(π))+D(0)＝　 　．
13．若函数f(x)满足f(1−lnx)=1x，则f(2)等于　 　.
14．如图展示了由区间(0，4)到实数集R的一个映射过程：区间(0，4)中的实数m对应数轴上的点M(如图甲)，将线段AB围成一个正方形，使两端点A，B
A(B)恰好重合(如图乙)，再将这个正方形放在平面直角坐标系中，使其中两个顶点在y轴上(如图丙)，点A的坐标为(0，4)，若图丙中直线AM与x轴交于点N(n，0)，则m的象就是n，记作f(m)=n．现给出以下命题：

①f(2)=0；
②f(x)的图象关于点(2，0)对称；
③f(x)在区间(3，4)上为常数函数；
③f(x)在区间(3，4)上为常数函数；
④f(x)为偶函数．
其中真命题的序号为 　 　．(写出所有真命题的序号)
15．在一个展现人脑智力的综艺节目中，一位参加节目的少年能将圆周率 π 准确地记忆到小数点后面200位，更神奇的是，当主持人说出小数点后面的位数时，这位少年都能准确地说出该数位上的数字．如果记圆周率小数点后第 n 位上的数字为 y ，那么你认为： y　 　（填“是”或“不是”） n 的函数，理由是　 　.
16．为了保护水资源，提倡节约用水，某城市对居民生活用水实行“阶梯水价”，计费方法如下表.
每户每月用水量
水价
不超过12 m3 的部分
3元/ m3
超过12 m3 但不超过18 m3 的部分
6元/ m3
超过18 m3 的部分
9元/ m3
已知某户10月份用水量超过 20 m3 ，则该户该月应缴纳的水费 y （元）关于用水量 x （ m3 ）的函数关系式是y= 　 　.
17．已知 f(x) 不是常数函数，写出一个同时具有下列四个性质的函数 f(x) ：　 　.
①定义域为R；②f(x)=f(x+π2) ；③1+f(2x)=2f2(x) ；④f(π4)≠−1 .
18．若存在实数 k ， b 使得不等式在某区间上恒成立，则称 f(x) 与 g(x) 为该区间上的一对“分离函数”，下列各组函数中是对应区间上的“分离函数”的有　 　.（填上所有正确答案的序号）
①x∈[0，π2) ， f(x)=sinx ， g(x)=tanx ；
②x∈[1，+∞) ， f(x)=x2−1 ， g(x)=x2+1 ；
③x∈R ， f(x)=x2+2 ， g(x)=ex+e−x ；
④x∈(0，+∞) ， f(x)=x−1x ， g(x)=2xlnx .
19．下列对应或关系式中是A到B的函数的序号为　 　.
①A∈R，B∈R ， x2+y2=1 ；
②A＝{1，2，3，4}，B＝{0，1}，对应关系如图：

③A=R，B=R ， f:x→y=1x−2 ；
④A=Z，B=Z ， f:x→y=2x−1 .
20．请写出满足条件“ f(x)≤f(1) 对任意的 x∈[0,1] 恒成立，且 f(x) 在 [0,1] 上不是增函数”的一个函数：　 　．
三、解答题
21．已知集合A和定义域为R的函数y=f(x)，若对任意t∈A，x∈R，都有f(x+t)−f(x)∈A，则称f(x)是关于A的同变函数.
（1）当A=(0，+∞)与(0，1)时，分别判断f(x)=2x是否为关于A的同变函数，并说明理由；
（2）若f(x)是关于{2}的同变函数，且当x∈[0，2)时，f(x)=2x，试求f(x)在[2k，2k+2)(k∈Z)上的表达式，并比较f(x)与x+12的大小；
（3）若n为正整数，且f(x)是关于[2−n，21−n]的同变函数，求证：f(x)既是关于{m⋅2−n}(m∈Z)的同变函数，也是关于[0，+∞)的同变函数.
22．定义在R上的函数f(x)满足：对任意的x1∈[k，+∞)，都存在唯一的x2∈(−∞，k)，使得f(x2)=f(x1)，则称函数f(x)是“V(k)型函数”.
（1）判断f(x)=x2+1是否为“V(−1)型函数”?并说明理由；
（2）若存在实数k，使得函数g(x)=log2(x2+ax+1)始终是“V(k)型函数”，求k的最小值；
（3）若函数ℎ(x)=x+ax−1，x≥1|x−a|，x3−2，x0)为倒函数，求实数m、n的值；判定函数y=ℎ(x)的单调性，并说明理由．
27．已知函数f(x)的定义域为R，若存在常数k和A，对任意的x∈R，都有|f(x)−kx|≤A成立，则称函数f(x)为“拟线性函数”，其中数组(k，A)称为函数f(x)的拟合系数.
（1）数组(2，1)是否是函数g(x)=2x31+x2的拟合系数？
（2）判断函数s(x)=xsinx是否是“拟线性函数”，并说明理由；
（3）若奇函数ℎ(x)在区间[0，p](p>0)上单调递增，且ℎ(x)的图像关于点(p，q)成中心对称（其中p，q为常数），证明：ℎ(x)是“拟线性函数”.
28．若函数f（x）满足：存在整数m，n，使得关于x的不等式 m⩽f(x)⩽n 的解集恰为[m，n]，则称函数f（x）为P函数．
（1）判断函数 f(x)=1x，x∈(0，+∞) 是否为P函数，并说明理由；
（2）是否存在实数a使得函数 f(x)=x2−ax+a−1 为P函数，若存在，请求出a的值；若不存在，请说明理由．
29．若对于任意 x1 ， x2∈R ，使得 x1−x2∈W ，都有 f(x1)−f(x2)∈W ，则称 f(x) 是W陪伴的．
（1）判断 f(x)=3x−1 是否为 [0，+∞) 陪伴的，并证明；
（2）若 f(x)=ax(a>0，a≠1) 是 [0，+∞) 陪伴的，求a的取值范围；
（3）若 f(x) 是 {2} 陪伴的，且是 (0，+∞) 陪伴的，求证： f(x) 是 (2，4) 陪伴的．
30．定义在 R 上的函数 f(x) 是单调函数，满足 f(3)=6 ，且 f(x+y)=f(x)+f(y) ，（ x ， y∈R ）．
（1）求 f(0) ， f(1) ；
（2）判断 f(x) 的奇偶性，并证明；
（3）若对于任意 x∈[12，3] ，都有 f(kx2)+f(2x−1)0，所以当x=0时，g(0)g(−0)=1，即g(0)=1，A符合题意；
对于B，由g(x)g(−x)=1，即g(−x)=1g(x)，g(−x)随g(x)的增大而减小，若g(x)max=g(4)=4，则g(x)min=g(−4)=14成立，B符合题意；
对于C，由g(x)在(0，+∞)上单调递增，所以g(−x)=1g(x)，在x∈(0，+∞)上单调递减，设t=−x∈(−∞，0)，∴g(t)在t∈(−∞，0)上单调递增，即g(x)在x∈(−∞，0)上单调递增，C不符合题意；
对于D，由g(x)g(−x)=1，ℎ(x)ℎ(−x)=1，所以G(x)G(−x)=g(x)g(−x)ℎ(x)ℎ(−x)=1，所以函数G(x)=g(x)ℎ(x)也是“类奇函数”，所以D符合题意；
故答案为：C

【分析】由“类奇函数”的定义，所以g(x)g(−x)=1且g(x)>0，再结合代入法得出g(0)的值；由g(x)g(−x)=1结合单调函数的定义，进而判断出函数g(x)的单调性，从而得出函数的最值；由g(x)在(0，+∞)上单调递增，所以g(−x)=1g(x)，设t=−x∈(−∞，0)，再利用函数的图象的对称性判断出g(t)在t∈(−∞，0)上的单调性，从而判断出g(x)在x∈(−∞，0)上的单调性；由g(x)g(−x)=1，ℎ(x)ℎ(−x)=1，所以G(x)G(−x)=1，再利用“类奇函数”的定义判断出函数G(x)=g(x)ℎ(x)也是“类奇函数”，进而找出错误的选项。
3．【答案】A,B,C
【知识点】函数的概念及其构成要素；利用导数研究函数最大（小）值；利用导数研究曲线上某点切线方程
【解析】【解答】A，f(x)=sinx+cosx=2(22sinx+22cosx)=2sin(x+π4)，
f′(x)=2cos(x+π4)，x=2kπ+π4，k∈Z时，f′(x)=0，f(x)取得最大值2，
直线y=2是函数图象的切线，且过点(2kπ+π4，2)，k∈Z，函数是“切线重合函数”；
B，f(x)=sin(cosx)，f′(x)=−sinxcos(sinx)，x=2kπ，k∈Z时，f′(x)=0，cosx=1，−sin1≤f(x)≤sin1，此时f(x)=sin1是函数的最大值，
直线y=sin1是函数图象的切线，且过点(2kπ，sin1)，k∈Z，函数是“切线重合函数”；
C，f(x)=x+sinx，f′(x)=1+cosx，
x=2kπ+π2，k∈Z时，f′(x)=1，f(2kπ+π2)=2kπ+π2，
过点(2kπ+π2，2kπ+π2+1)，k∈Z的切线方程是y−(2kπ+π2+1)=x−(2kπ+π2)，即y=x+1，因此该切线过f(x)图象上的两个以上的点，函数是“切线重合函数”；
D，f(x)=x2+sinx，f′(x)=2x+cosx，令g(x)=f′(x)=2x+cosx，
则g′(x)=2−sinx>0，所以g(x)即f′(x)是R增函数，因此函数图象上不存在两点，它们的切线斜率相等，也就不存在切线过图象上的两点，因此函数不是“切线重合函数”．
故答案为：ABC．

【分析】利用已知条件结合导数求切线的方法和导数判断函数的单调性，进而得出函数的最值的方法，从而利用 “切线重合函数” 的定义，从而得出“切线重合函数”的函数。
4．【答案】D
【知识点】函数的概念及其构成要素
【解析】【解答】对于A，当x=1时，f(|1|)=f(1)=1；当x=−1时，f(|−1|)=f(1)=−1，
不符合函数定义，A不符合题意；
对于B，令x=0，则f(sinx)=f(0)=0，令x=π，则f(sinπ)=f(0)=π2，
不符合函数定义，B不符合题意；
对于C， 令x=0，则f(0)=0，令x=−2，则f(0)=f((−2)2+2(−2))=2，
不符合函数定义，C不符合题意；
对于D， f(|x|)=x2+1=|x|2+1，x∈R，则|x|≥0，则存在x≥0时，f(x)=x2+1，
符合函数定义，即存在函数f(x)=x2+1，(x≥0)满足：对任意x∈R都有f(|x|)=x2+1，D符合题意，
故答案为：D

【分析】利用x的特殊值，通过函数的定义逐项进行判断，可得答案.
5．【答案】C
【知识点】函数的概念及其构成要素
【解析】【解答】∵(i+1)f(i+1，j)=(j−i)f(i，j)，∴f(i+1，j)f(i，j)=j−ii+1，
令i=j，则f(j+1，j)f(j，j)=0，∴f(j+1，j)=0，A不符合题意；
∵f(2，j)f(1，j)=j−12，f(3，j)f(2，j)=j−23，f(4，j)f(3，j)=j−34，⋯，f(i，j)f(1，j)=j−i+1i，
累乘得：f(i，j)f(1，j)=(j−1)(j−2)(j−3)⋯(j−i+1)2×3×4×5×⋯×i=1jCji，
∵f(1，j)=1，∴f(i，j)=1jCji，(i≤j)，令i=1，则B不符合题意；
因为(1+1)n=Cn0+Cn1+Cn2+⋯+Cnn，所以Cn1+Cn2+⋯+Cnn=2n−1，
i=1j[j2⋅f(i，j)]=ji=1jCji=j(2j−1)，则C符合题意；
j=1ni=1j[j⋅f(i，j)]=j=1n(2j−1)=2(1−2n)1−2−n=2n+1−n−2，则D不符合题意．
故答案为：C．

【分析】利用对任意正整数对(ℎ，k)，定义函数f(ℎ，k)如下：f(1，j)=1，(i+1)f(i+1，j)=(j−i)f(i，j)，i≤j， 再结合代入法和函数的解析式以及求和法得出正确的选项。
6．【答案】A
【知识点】函数的概念及其构成要素；变量相关关系
【解析】【解答】由函数关系和相关关系的定义可知，A中 Δ=b2−4ac ，因为 a ， c 是已知常数， b 为自变量，所以给定一个 b 的值，就有唯一确定的 Δ 与之对应，所以 Δ 与 b 之间是一种确定的关系，是函数关系．B，C，D中两个变量之间的关系都是随机的、不确定的，所以不是函数关系．
故答案为：A
【分析】利用已知条件结合变量间函数关系的判断方法，进而找出正确的选项。
7．【答案】C
【知识点】函数的概念及其构成要素；函数的定义域及其求法；映射；函数单调性的性质；幂函数的图象与性质；函数的零点与方程根的关系
【解析】【解答】对于①，对应：A=R，B=R，f：x→y=1x2+1是映射，也是函数；符合映射，函数的定义，故①对；
对于②，若函数f(x−1)的定义域是（1，2），则x−1∈(0，1)，∴2x∈(0，1)⇒x∈(0，12) 故函数f(2x)的定义域为(0，12)，故②对
对于③，幂函数y=x−23=13x2为偶函数，在(−∞，0)上单调递增，在(0，+∞)上单调递减且图像过(1，1)，(−1，1) ，y=x4为偶函数，在(−∞，0)上单调递减，在(0，+∞)上单调递增且图像过(1，1)，(−1，1) 所以两个图像有且只有两个交点；故③对；

于④，当x>1时，|2x−1|单调递增，且函数值大于1，所以当b>1时，方程|2x−1|−b=0只有一个实根.故④错；

故答案为：C

【分析】利用已知条件结合映射和函数的定义、函数的定义域求解方法、幂函数的图象求交点个数的方法、两函数的图象的交点的横坐标与方程的根的等价关系，进而找出真命题的个数。
8．【答案】D
【知识点】函数的概念及其构成要素；函数的图象
【解析】【解答】对A：存在点使一个x与两个y对应，不符合，排除；
对B：当2b时c=0则ac2>bc2不成立，当ac2>bc2时，左右同乘1c2，可得a>b，正确；
D，f(12)=0，f(f(12))=f(0)=1，正确.
故答案为：BCD

【分析】利用两个函数的定义域可判断A；根据函数的定义可判断B；根据不等式的基本性质结合充分条件，必要条件的定义可判断C；将函数值代入可判断D.
11．【答案】7
【知识点】函数的概念及其构成要素
【解析】【解答】2=log2420 .
【分析】根据已知条件求出函数解析式即可求解.
17．【答案】f(x)=cos8x（答案不唯一）
【知识点】函数的概念及其构成要素；奇函数与偶函数的性质；函数的图象；诱导公式
【解析】【解答】由 1+f(2x)=2f2(x) ，得 f(2x)=2f2(x)−1 ，
联想到 cos2x=2cos2x−1 ，可推测 f(x)=cosωx ，
由 f(x)=f(x+π2) ，得 π2=k⋅2π|ω|(k∈N∗) ，则 |ω|=4k(k∈N∗) ，
又 f(π4)≠−1 ，所以 f(x)=cos(4kx) （ k∈Z ， k 为偶数，且 |k|>1 ），
则当k=2时，f(x)=cos8x.
故答案为：f(x)=cos8x（答案不唯一）.

【分析】由已知条件即可得出f(x)=cosωx，再由诱导公式以整理即可得出|ω|=4k(k∈N∗)，结合特殊值代入法即可得出f(x)=cos(4kx)，对k赋值计算出结果即可。
18．【答案】①②④
【知识点】函数的概念及其构成要素；利用导数研究函数的单调性；利用导数研究函数最大（小）值
【解析】【解答】解：①x∈[0，π2)时，令f0(x)=x-sinx，则f0'(x)=1−cosx≥0，f0(x)单调递增，
f0(x)≥f(x)，即x≥sinx ，
令g0(x)=x-tanx，则g0'(x)=1−1cos2x≤0，g0(x)单调递减，
g0(x)≤g(x)=0，即x≤tanx，因此sinx≤x≤tanx，满足题意.
②x∈[1，+∞)时，易知x2+1>x>x2−1， 满足题意.
③注意到f(0)=g(0)=2，因此如果存在直线y=kx+b，只有可能是f(x) (或g(x)在x=0处的切线，
f'(x)=2x，f'(0)=0， 因此切线为y=2，易知g(x)≥2ex·e−x=2，f(x)≥2，因此不存在直线y=kx+b满足题意
④x∈(0，+∞)时，注意到f(1)=g(1)=0，因此如果存在直线y=kx+b，只有可能是f(x) (或g(x)在x=1处的切线，g'(x)=2lnx+2，g'(1)=2，因此切线为y=2x-2，
令f0(x)=x−1x−2x−2=2−x−1x，则f0'(x)=1x2−1，
易知f0(x)在(0，1)上单调递增，在(1，+∞)上单调递减，所以f0(x)≤f0(1)=0，
则x−1x≤2x−2，
令g0(x)=2xlnx-(2x-2)，则g0'(x)=2lnx，
易知g0(x)在(0，1)上单调递减，在(1，+∞)上单调递增，所以g0(x)≥g0(1)=0
则2xlnx≥2x-2，
因此x−1x≤2x−2≤2xlnx，满足题意
故答案为：①②④

【分析】利用导数研究函数的单调性与最值，结合函数的新定义求解即可.
19．【答案】②
【知识点】函数的概念及其构成要素
【解析】【解答】①A∈R，B∈R ， x2+y2=1 ，存在 x 对应两个 y 的情况，所以不是A到B的函数；
②符合函数的定义，是A到B的函数；
③A=R，B=R ， f:x→y=1x−2 ，对于集合A中的 x=2 没有对应 y ，所以不是A到B的函数；
④A=Z，B=Z ， f:x→y=2x−1 ，对于集合A中的 {x|x≤0,x∈z} 没有对应 y ，所以不是A到B的函数.
故答案为：②。

【分析】利用已知条件结合函数的定义，从而找出对应或关系式中是A到B的函数的序号。
20．【答案】f(x)=sin5π2x （答案不唯一）
【知识点】函数的概念及其构成要素；函数的值域
【解析】【解答】答案不唯一，如： f(x)=(x−14)2 ， f(x)=sin5π2x 等．
【分析】 由题意f(x)的最大值f(1)且f(x)在[0，1]上不是增函数，结合基本初等函数的性质可求出.
21．【答案】（1）解：当A=(0，+∞)时，对任意的t∈A，x∈R，f(x+t)−f(x)=2x(2t−1)，
由2t>1，可得2t−1>0，又2x>0，所以f(x+t)−f(x)∈A，
故f(x)=2x是关于(0，+∞)的同变函数；
当A=(0，1)时，存在12∈A，2∈R，使得f(x+t)−f(x)=22(2−1)>1，即f(x+t)−f(x)∉A，所以f(x)不是关于(0，1)的同变函数.
（2）解：由f(x)是关于{2}的同变函数，可知f(x+2)=f(x)+2恒成立，
所以f(x+2)−(x+2)=f(x)−x恒成立，故y=f(x)−x是以2为周期的周期函数.
当x∈[2k，2k+2)(k∈Z)时，x−2k∈[0，2)，由f(x)−x=f(x−2k)−(x−2k)，
可知f(x)=f(x−2k)+2k=2(x−2k)+2k.
（提示：f(x)=f(x−2k)+2k也可通过分类讨论与累加法予以证明，下面的*式也同理可证）
对任意的x∈R，都存在(k∈Z)，使得x∈[2k，2k+2)，故f(x)=2(x−2k)+2k.
所以f(x)−(x+12)=2(x−2k)+2k−x−12
令2(x−2k)=t，则x−2k=t22，可得t∈[0，2)，
所以f(x)−(x+12)=t−t22−12=−12(t−1)2≤0（当且仅当t=1，即x=2k+12时取等号）.
所以当x=2k+12(k∈Z)时，f(x)=x+12；
当x≠2k+12(k∈Z)时，f(x)f(x1)，矛盾．
若f(x1)1
（3）因为 f(x) 是 {2} 陪伴的，任取 x1 ， x2∈R 且 x1−x2=2
所以 f(x+2)−f(x)=2①
所以 f(x+4)−f(x+2)=f(x+4)−f(x)−2=2
即 f(x+4)−f(x)=4②
因为 f(x) 是 (0，+∞) 陪伴的，任取 x1 ， x2∈R 且 x1−x2>0
所以 f(x1)−f(x2)>0 ，说明 f(x) 在R上单调递增
再任取 x1 ， x2∈R 且 x1−x2∈(2，4) ，即 x1>x2+2 ， x1f(x2+2)−f(x2)=2
所以结合②可得： f(x1)−f(x2)