2025高考数学一轮复习-函数的概念及其表示-专项训练【含解析】

这是一份2025高考数学一轮复习-函数的概念及其表示-专项训练【含解析】，共6页。


1．函数f(x)＝eq \f(ln x,x－1)的定义域为( )
A．(0，＋∞) B．(0,1)∪(1，＋∞)
C．[0，＋∞)D．[0,1)∪(1，＋∞)
2．已知函数f(2x－1)＝x2－3，则f(3)＝( )
A．1B．2
C．4D．6
．
3．网购女鞋时，常常会看到一张女鞋尺码对照表如下，第一行是我们习惯称呼的“鞋号”(单位：号)，第二行是脚长(单位：mm)，请根据表中数据，思考：他们家正好有一款“32号”的女鞋在搞打折活动，那么适合购买这款鞋的脚长的取值范围是( )
A．[201,205]B．[206,210]
C．[211,215]D．[216,220]
4．设函数f(x)＝eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(2x－3，x≥1，,x2－2x－2，x<1，))若f(x0)＝1，则x0＝( )
A．－1或2B．2或3
C．－1或3D．－1或2或3
5．(多选)如图所示是函数y＝f(x)的图象，图中x正半轴曲线与虚线无限接近但是永不相交，则以下描述正确的是( )
A．函数f(x)的定义域为[－4,4)
B．函数f(x)的值域为[0，＋∞)
C．此函数在定义域内是增函数
D．对于任意的y∈(5，＋∞)，都有唯一的自变量x与之对应
6．(多选)设f(x)＝eq \f(ex－e－x,2)，g(x)＝eq \f(ex＋e－x,2)，则下列结论正确的有( )
A．[g(x)]2－[f(x)]2＝1B．[g(x)]2＋[f(x)]2＝g(2x)
C．g(2x)＝2f(x)g(x)D．f(2x)＝2f(x)g(x)
7．(多选)已知函数f(x)＝eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x＋2，x≤－1，,x2＋1，－1A．f(x)的定义域是R
B．f(x)的值域是(－∞，5)
C．若f(x)＝3，则x的值为eq \r(2)
D．f(x)图象与y＝2有两个交点
8．已知f(x)是二次函数且满足f(0)＝1，f(x＋1)－f(x)＝2x则函数f(x)的解析式为________．
9．已知函数f(x)＝eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x＋1，x≥0，,4x，x<0，))若f(a)＝2，则实数a＝___________．
10．已知函数f(x)＝eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(2－x，x≤－1，,x＋1，x>－1.))
(1)求f(f(－2))的值；
(2)求不等式f(x)≥2的解集．
11．已知函数f(x)的定义域为[－1,0]，若g(x)＝f(x＋a)－f(x－a)有定义，则实数a的取值范围是( )
A．eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(－\f(1,2)，0))B．eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(－1，－\f(1,2)))
C．eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(0，\f(1,2)))D．eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(－\f(1,2)，\f(1,2)))
12．如果几个函数的定义域相同、值域也相同，但解析式不同，称这几个函数为“同域函数”．函数y＝eq \r(x－1)－eq \r(2－x)的值域为________，则与y是“同域函数”的一个解析式为____________．
13．已知函数y＝eq \r(x2＋ax－1＋2a)的值域为[0，＋∞)，求a的取值范围．
14．高斯是德国著名的数学家，近代数学奠基者之一，享有“数学王子”的称号，用其名字命名的“高斯函数”为：设x∈R，用[x]表示不超过x的最大整数，则y＝[x]称为高斯函数．例如：[－2．1]＝－3，[3．1]＝3，已知函数f(x)＝eq \f(2x＋3,2x＋1)，求函数y＝[f(x)]的值域．
课时过关检测(五)
函数的概念及其表示【解析版】
1．函数f(x)＝eq \f(ln x,x－1)的定义域为( )
A．(0，＋∞) B．(0,1)∪(1，＋∞)
C．[0，＋∞)D．[0,1)∪(1，＋∞)
2．已知函数f(2x－1)＝x2－3，则f(3)＝( )
A．1B．2
C．4D．6
解析：A 令2x－1＝3，得x＝2，则f(3)＝22－3＝1．故选A．
3．网购女鞋时，常常会看到一张女鞋尺码对照表如下，第一行是我们习惯称呼的“鞋号”(单位：号)，第二行是脚长(单位：mm)，请根据表中数据，思考：他们家正好有一款“32号”的女鞋在搞打折活动，那么适合购买这款鞋的脚长的取值范围是( )
A．[201,205]B．[206,210]
C．[211,215]D．[216,220]
4．设函数f(x)＝eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(2x－3，x≥1，,x2－2x－2，x<1，))若f(x0)＝1，则x0＝( )
A．－1或2B．2或3
C．－1或3D．－1或2或3
解析：A 当x0≥1时，f(x0)＝2x0－3，∴2x0－3＝1，∴x0＝2；当x0<1时，f(x0)＝xeq \\al(2,0)－2x0－2，∴xeq \\al(2,0)－2x0－2＝1，解得x0＝3(舍去)，x0＝－1，故选A．
5．(多选)如图所示是函数y＝f(x)的图象，图中x正半轴曲线与虚线无限接近但是永不相交，则以下描述正确的是( )
A．函数f(x)的定义域为[－4,4)
B．函数f(x)的值域为[0，＋∞)
C．此函数在定义域内是增函数
D．对于任意的y∈(5，＋∞)，都有唯一的自变量x与之对应
解析：BD 对于A，由函数的图象可知，函数的定义域为[－4,0]∪[1,4)，故A错误；
对于B，由函数的图象可知，函数的值域为[0，＋∞)，故B正确；
对于C，函数在[－4,0]，[1,4)是增函数，结合图象可知，此函数在定义域内不是增函数，故C错误；
对于D，由函数的图象可知，对于任意的y∈(5，＋∞)，都有唯一的自变量x与之对应，故D正确．故选B、D．
6．(多选)设f(x)＝eq \f(ex－e－x,2)，g(x)＝eq \f(ex＋e－x,2)，则下列结论正确的有( )
A．[g(x)]2－[f(x)]2＝1B．[g(x)]2＋[f(x)]2＝g(2x)
C．g(2x)＝2f(x)g(x)D．f(2x)＝2f(x)g(x)
解析：ABD 因为[g(x)]2－[f(x)]2＝(g(x)＋f(x))·(g(x)－f(x))＝ex·e－x＝1，所以A正确；
因为[g(x)]2＋[f(x)]2＝eq \f(e2x＋e－2x,2)，g(2x)＝eq \f(e2x＋e－2x,2)，所以B选项正确；
因为2f(x)g(x)＝eq \f(e2x－e－2x,2)，g(2x)＝eq \f(e2x＋e－2x,2)，所以C选项不正确；
因为f(2x)＝eq \f(e2x－e－2x,2)，2f(x)g(x)＝eq \f(e2x－e－2x,2)，所以D选项正确．故选A、B、D．
7．(多选)已知函数f(x)＝eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x＋2，x≤－1，,x2＋1，－1A．f(x)的定义域是R
B．f(x)的值域是(－∞，5)
C．若f(x)＝3，则x的值为eq \r(2)
D．f(x)图象与y＝2有两个交点
解析：BC 由函数f(x)＝eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x＋2，x≤－1，,x2＋1，－18．已知f(x)是二次函数且满足f(0)＝1，f(x＋1)－f(x)＝2x则函数f(x)的解析式为________．
解析：由题意，设f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)，因为f(0)＝1，即c＝1，所以f(x)＝ax2＋bx＋1，所以f(x＋1)－f(x)＝[a(x＋1)2＋b(x＋1)＋1]－(ax2＋bx＋1)＝2ax＋a＋b＝2x，从而有eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(2a＝2，,a＋b＝0，))解得a＝1，b＝－1，所以f(x)＝x2－x＋1．
答案：f(x)＝x2－x＋1
9．已知函数f(x)＝eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x＋1，x≥0，,4x，x<0，))若f(a)＝2，则实数a＝___________．
解析：当a≥0时，f(a)＝a＋1＝2，解得a＝1，符合条件．当a<0时，f(a)＝4a＝2，解得a＝eq \f(1,2)，不符合条件，所以实数a＝1．
答案：1
10．已知函数f(x)＝eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(2－x，x≤－1，,x＋1，x>－1.))
(1)求f(f(－2))的值；
(2)求不等式f(x)≥2的解集．
解：(1)根据函数f(x)＝eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(2－x，x≤－1，,x＋1，x>－1，))可得f(－2)＝22＝4，则f(f(－2))＝f(4)＝4＋1＝5．
(2)由不等式f(x)≥2，可得①eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x≤－1，,2－x≥2))或②eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x>－1，,x＋1≥2，))
解①得x≤－1，解②得x≥1，
故不等式的解集为(－∞，－1]∪[1，＋∞)．
11．已知函数f(x)的定义域为[－1,0]，若g(x)＝f(x＋a)－f(x－a)有定义，则实数a的取值范围是( )
A．eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(－\f(1,2)，0))B．eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(－1，－\f(1,2)))
C．eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(0，\f(1,2)))D．eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(－\f(1,2)，\f(1,2)))
解析：D 由题意可得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(－1≤x＋a≤0，,－1≤x－a≤0，))解得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(－1－a≤x≤－a，,a－1≤x≤a.))因为g(x)有定义，所以当a<0时，由－1－a≤a，得－eq \f(1,2)≤a<0；当a>0时，由a－1≤－a，得012．如果几个函数的定义域相同、值域也相同，但解析式不同，称这几个函数为“同域函数”．函数y＝eq \r(x－1)－eq \r(2－x)的值域为________，则与y是“同域函数”的一个解析式为____________．
解析：因为y＝eq \r(x－1)－eq \r(2－x)，所以eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x－1≥0，,2－x≥0，))所以函数的定义域为[1,2]．下面求函数y的值域，不妨先求函
数y2的值域，令f(x)＝y2＝1－2eq \r(x－12－x)，令g(x)＝(x－1)(2－x)，x∈[1,2]，所以g(x)∈eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(0，\f(1,4)))，从而得出f(x)∈[0,1]，所以y∈[－1,1]，即函数的值域为[－1,1]．只要满足定义域为[1,2]，且值域为[－1,1]的函数均符合题意，例如y＝sin(2πx)，x∈[1,2]或y＝2x－3，x∈[1,2]或y＝3x－1－2，x∈[1,2]．
答案：[－1,1] y＝2x－3，x∈[1,2](答案不唯一)
13．已知函数y＝eq \r(x2＋ax－1＋2a)的值域为[0，＋∞)，求a的取值范围．
解：令t＝g(x)＝x2＋ax－1＋2a，要使函数y＝eq \r(t)的值域为[0，＋∞)，则说明[0，＋∞)⊆{y|y＝g(x)}，即二次函数的判别式Δ≥0，即a2－4(2a－1)≥0，即a2－8a＋4≥0，解得a≥4＋2eq \r(3)或a≤4－2eq \r(3)，∴a的取值范围是{a|a≥4＋2eq \r(3)或a≤4－2eq \r(3)}．
14．高斯是德国著名的数学家，近代数学奠基者之一，享有“数学王子”的称号，用其名字命名的“高斯函数”为：设x∈R，用[x]表示不超过x的最大整数，则y＝[x]称为高斯函数．例如：[－2．1]＝－3，[3．1]＝3，已知函数f(x)＝eq \f(2x＋3,2x＋1)，求函数y＝[f(x)]的值域．
解：f(x)＝eq \f(2x＋3,2x＋1)＝eq \f(2x＋1＋2,2x＋1)＝1＋eq \f(2,2x＋1)，
∵2x＞0，∴1＋2x＞1，∴0＜eq \f(1,2x＋1)＜1，
则0＜eq \f(2,2x＋1)＜2，∴1＜1＋eq \f(2,2x＋1)＜3，即1＜f(x)＜3，
当1＜f(x)＜2时，[f(x)]＝1，
当2≤f(x)＜3时，[f(x)]＝2．
综上，函数y＝[f(x)]的值域为{1,2}．
鞋码
35
36
37
38
39
脚长
225
230
235
240
245
鞋码
35
36
37
38
39
脚长
225
230
235
240
245