2025高考数学一轮复习-2.1-函数的概念及其表示-专项训练【含解析】

这是一份2025高考数学一轮复习-2.1-函数的概念及其表示-专项训练【含解析】，共10页。


第一节-函数的概念及其表示-专项训练【原卷版】
1.函数f(x)=1-x+lg(3x-1)的定义域为( )
A.(13,1]B.(0,1]
C.(-∞,13)D.(0,13)
2.已知函数f(x)满足f(1x)+1xf(-x)=2x(x≠0),则f(-2)=( )
A.-72B.92
C.72D.-92
3.已知函数f(x)=2x,g(x)=x2-a,若f[g(1)]=1,则a=( )
A.-1B.1
C.2D.3
4.定义域是一个函数的三要素之一,已知函数f(x)的定义域为[211,985],则函数g(x)=f(2 018x)+
f(2 021x)的定义域为( )
A.[2112 018,9852 021]B.[2112 021,9852 018]
C.[2112 018,9852 018]D.[2112 021,9852 021]
5.下列四个函数:①y=3-x;②y=2x-1(x>0);③y=x2+2x-10;
④y=x,x≤0,1x,x>0,其中定义域与值域相同的函数的个数为( )
A.1B.2C.3D.4
6.(多选题)下列函数中,满足f(2x)=2f(x)的是( )
A.f(x)=|2x|B.f(x)=x
C.f(x)=xD.f(x)=x-|x|
7.已知函数f(x)的定义域是[12,8],则f(2x)的定义域是 .
8.已知函数f(x)=x+3,x<0,x2+x-1,x≥0,则f(2)= ;不等式f(x)> f(1)的解集为 .
9.设函数f(x)=x2-2(x≥2),lg2x(x<2),若f(m)=7,则实数m= .
10.已知函数f(x)=(1-2a)x+3a,x<1,lnx,x≥1的值域为R,则实数a的取值范围是 .
11.设函数f(x)=lg 3+x3-x,则f(x3)+f(3x)的定义域为( )
A.(-9,0)∪(0,9) B.(-9,-1)∪(1,9)
C.(-3,-1)∪(1,3)D.(-9,-3)∪(3,9)
12.(多选题)函数f(x)=1,x为有理数,0,x为无理数,则下列结论正确的是( )
A.任意x都有f(x)=f(-x)
B.方程f(f(x))=f(x)的解只有x=1
C.f(x)的值域是{0,1}
D.方程f(f(x))=x的解只有x=1
13.(多选题)已知函数f(x)=x2,-2≤x<1,-x+2,x≥1,关于函数f(x)的结论正确的是( )
A.f(x)的定义域为R
B.f(x)的值域为(-∞,4]
C.若f(x)=2,则x的值是-2
D.f(x)<1的解集为(-1,1)
14.若一系列函数的解析式和值域相同,但其定义域不同,则称这些函数为“同族函数”,请写出一个与函数y=x2,x∈[0,2]同族的函数: .
15.设函数f(x)=x(x-1),x≥0,-f(-x),x<0,则满足f(x)+f(x-1)<2的x的取值范围是 .
16.设函数f(x)=x3-3x+3(x∈R).已知a>0,且f(x)-f(a)=(x-b)(x-a)2,b∈R,则ab= .

第二章
第一节-函数的概念及其表示-专项训练【解析版】
1.函数f(x)=1-x+lg(3x-1)的定义域为( A )
A.(13,1]B.(0,1]
C.(-∞,13)D.(0,13)
解析:要使f(x)=1-x+lg(3x-1)有意义,则有1-x≥0,3x-1>0,解得13所以函数f(x)=1-x+lg(3x-1)的定义域为(13,1].故选A.
2.已知函数f(x)满足f(1x)+1xf(-x)=2x(x≠0),则f(-2)=( C )
A.-72B.92
C.72D.-92
解析:法一 由f(1x)+1xf(-x)=2x,①
可得f(-x)-xf(1x)=-2x,②
将①乘以x+②得2f(-x)=2x2-2x,
所以f(-x)=x2-1x.所以f(-2)=72.故选C.
法二 根据题意,函数f(x)满足f(1x)+1xf(-x)=2x(x≠0),
令x=2可得f(12)+12f(-2)=4,①
令x=-12可得f(-2)-2f(12)=-1,②
联立①②解得f(-2)=72.故选C.
3.已知函数f(x)=2x,g(x)=x2-a,若f[g(1)]=1,则a=( B )
A.-1B.1
C.2D.3
解析:因为函数f(x)=2x,g(x)=x2-a,所以f[g(1)]=21-a=1,解得a=1.故选B.
4.定义域是一个函数的三要素之一,已知函数f(x)的定义域为[211,985],则函数g(x)=f(2 018x)+
f(2 021x)的定义域为( A )
A.[2112 018,9852 021]B.[2112 021,9852 018]
C.[2112 018,9852 018]D.[2112 021,9852 021]
解析:根据题意得211≤2 018x≤985,211≤2 021x≤985,解得x∈[2112 018,9852 021].故选A.
5.下列四个函数:①y=3-x;②y=2x-1(x>0);③y=x2+2x-10;
④y=x,x≤0,1x,x>0,其中定义域与值域相同的函数的个数为( B )
A.1B.2C.3D.4
解析:①y=3-x的定义域与值域均为R;②y=2x-1(x>0)的定义域为(0,+∞),值域为(12,+∞);③y=x2+2x-10的定义域为R,值域为[-11,+∞);④y=x,x≤0,1x,x>0的定义域和值域均为R.所以定义域与值域相同的函数是①④,共有2个.故选B.
6.(多选题)下列函数中,满足f(2x)=2f(x)的是( ABD )
A.f(x)=|2x|B.f(x)=x
C.f(x)=xD.f(x)=x-|x|
解析:f(x)=|2x|,f(2x)=4|x|,2f(x)=4|x|,所以A正确;
f(x)=x,满足f(2x)=2f(x),所以B正确;
f(x)=x,f(2x)=2x,2f(x)=2x,不满足f(2x)=2f(x),所以C不正确;
f(x)=x-|x|,f(2x)=2x-2|x|,2f(x)=2x-2|x|,所以D正确.故选ABD.
7.已知函数f(x)的定义域是[12,8],则f(2x)的定义域是 .
解析:因为函数f(x)的定义域是[12,8],所以12≤2x≤8,得-1≤x≤3.
所以f(2x)的定义域为[-1,3].
答案:[-1,3]
8.已知函数f(x)=x+3,x<0,x2+x-1,x≥0,则f(2)= ;不等式f(x)> f(1)的解集为 .
解析:f(2)=22+2-1=5,
f(x)>f(1)等价于x<0,x+3>1或者x≥0,x2+x-1>1,
解得-21.
答案:5 (-2,0)∪(1,+∞)
9.设函数f(x)=x2-2(x≥2),lg2x(x<2),若f(m)=7,则实数m= .
解析:①当m≥2时,f(m)=7,即m2-2=7,解得m=3或m=-3(舍去),则m=3;
②当m<2时,f(m)=7,即lg2m=7,解得m=27>2,舍去.综上可得,实数m的值为3.
答案:3
10.已知函数f(x)=(1-2a)x+3a,x<1,lnx,x≥1的值域为R,则实数a的取值范围是 .
解析:由题意知f(x)=ln x(x≥1)的值域为[0,+∞),故要使f(x)的值域为R,则必有f(x)=(1-2a)x+3a为增函数,且1-2a+3a≥0,所以1-2a>0且a≥-1,解得-1≤a<12,所以实数a的取值范围是[-1,12).
答案:[-1,12)
11.设函数f(x)=lg 3+x3-x,则f(x3)+f(3x)的定义域为( B )
A.(-9,0)∪(0,9) B.(-9,-1)∪(1,9)
C.(-3,-1)∪(1,3)D.(-9,-3)∪(3,9)
解析:因为函数f(x)=lg3+x3-x,
所以3+x3-x>0⇒-3所以-31或x<-1,
所以-912.(多选题)函数f(x)=1,x为有理数,0,x为无理数,则下列结论正确的是( ACD )
A.任意x都有f(x)=f(-x)
B.方程f(f(x))=f(x)的解只有x=1
C.f(x)的值域是{0,1}
D.方程f(f(x))=x的解只有x=1
解析:当x为有理数时,-x为有理数,则f(x)=f(-x)=1,当x为无理数时,-x为无理数,则f(x)=f(-x)=0,故A正确;
当x为有理数时,方程f(f(x))=f(1)=1=f(x)成立;当x为无理数时,方程f(f(x))=f(0)=1≠f(x).所以方程f(f(x))=f(x)的解为任意有理数,故B错误;
因为f(x)的值域是{0,1},故C正确;
当x为有理数时,方程f(f(x))=f(1)=1=x,解得x=1;当x为无理数时,方程f(f(x))=f(0)=1,无解,故D正确.故选ACD.
13.(多选题)已知函数f(x)=x2,-2≤x<1,-x+2,x≥1,关于函数f(x)的结论正确的是( BC )
A.f(x)的定义域为R
B.f(x)的值域为(-∞,4]
C.若f(x)=2,则x的值是-2
D.f(x)<1的解集为(-1,1)
解析:函数f(x)的定义域是[-2,1)∪[1,+∞)=[-2,+∞),故A错误;当-2≤x<1时f(x)=x2,值域为[0,4],当x≥1时,f(x)=-x+2,值域为(-∞, 1],故f(x)的值域为(-∞,1]∪[0,4]=(-∞,4],故B正确;由函数值的分布情况可知,f(x)=2在x≥1上无解,故由-2≤x<1,即f(x)=x2=2,得到x=-2,故C正确;当-2≤x<1时,令f(x)=x2<1,解得x∈(-1,1),当x≥1时,令f(x)=-x+2<1,解得x∈(1,+∞),故f(x)<1的解集为(-1,1)∪(1,+∞),故D错误.故选BC.
14.若一系列函数的解析式和值域相同,但其定义域不同,则称这些函数为“同族函数”,请写出一个与函数y=x2,x∈[0,2]同族的函数: .
解析:函数y=x2,x∈[0,2]的值域为[0,4],因此其同族函数的函数解析式可以是y=x2,x∈[-2,t](0≤t≤2),也可以是y=x2,x∈[m,2](-2≤m≤0)中的任意一个.
答案:y=x2,x∈[-2,1](答案不唯一,参考解析中的t,m的值)
15.设函数f(x)=x(x-1),x≥0,-f(-x),x<0,则满足f(x)+f(x-1)<2的x的取值范围是 .
解析:当x<0时,f(x)=-f(-x)=
-[-x(-x-1)]=-x(x+1),
①若x<0,则x-1<-1,
由f(x)+f(x-1)<2得-x(x+1)-(x-1)x<2,
即-2x2<2,即x2>-1,此式恒成立,此时x<0.
②若x≥1,则x-1≥0,
由f(x)+f(x-1)<2得x(x-1)+(x-1)(x-2)<2,
即x2-2x<0,即0③若0≤x<1,则x-1<0,
由f(x)+f(x-1)<2得x(x-1)-(x-1)x<2,
即0<2,此时不等式恒成立,此时0≤x<1.
综上x<2,即不等式的解集为(-∞,2).
答案:(-∞,2)
16.设函数f(x)=x3-3x+3(x∈R).已知a>0,且f(x)-f(a)=(x-b)(x-a)2,b∈R,则ab= .
解析:因为f(x)=x3-3x+3(x∈R),
所以f(x)-f(a)=x3-3x+3-(a3-3a+3)=x3-a3-3(x-a)
=(x-a)(x2+ax+a2)-3(x-a)=(x-a)[x2+ax+a2-3],
因为f(x)-f(a)=(x-b)(x-a)2,
所以(x-a)[x2+ax+a2-3]=(x-b)(x-a)2,对任意的x恒成立,
因为x-a不恒为0,所以x2+ax+a2-3=(x-b)(x-a).
展开整理可得ax+a2-3=-(a+b)x+ab,
所以a=-(a+b),a2-3=ab,解得a=1,b=-2
或a=-1,b=2(舍去),
所以ab=1×(-2)=-2.
答案:-2