奥数五年级上册 第15讲：错中求解 教案

（ 五年级 ）                                      备课教员：××× 

第十五讲    错中求解

一、教学目标：

1. 学会采用倒推的方法，从错误入手，分析错误原因，找到

   正确结果。

2. 在加、减法中，利用和与差的变化求出加数或被减数、减

   数。

3. 在乘、除法中，利用积与商的变化求出因数或被除数、除

   数。

4. 训练学生正确面对错误的能力，激发学生学习的热情，同

   时养成独立思考的好习惯。

二、教学重点：

从错误答案入手，分析错误原因，用倒推的方法正确解答。

三、教学难点：

从错误答案入手，分析错误原因，用倒推的方法正确解答。

四、教学准备：

PPT

五、教学过程：

第一课时（50分钟）

一、导入（5分)

师：在上今天的课之前我们来看这样一道题目：7.8+3.4=4.4。

生：老师，你这道题目算错啦，7.8+3.4=11.2，不是等于4.4。

师：同学们观察得很仔细，这确实是一道错题，而且是我们班的其中一位同学

    犯的错。同学们能不能找到这位同学为什么做错呀？

生：把加法看成了减法。

师：对，非常好，这位同学就是把加法看成了减法，从而导致了答案的错误。

老师认为，虽然我们不能保证每一次计算都是百分百正确的，但是我们可

以在做完题目的时候，再检查一遍，让我们的正确率提高哪怕是一点点也

好，大家能不能做到？

生：能！

师：好，芭啦啦星球的小伙伴们虽然都跟同学们一样特别聪明，但是也会犯一

些简单的错误，下面就让我们来帮助他们，从他们的错误答案中找出正确

的答案吧！

【板书课题： 错中求解】

二、探索发现授课（40分）

（一）例题1：（13分）

    卡尔在计算12.5加上一个小数时，把“＋”看成了“－”，得5.02，你能算出正确的结果吗？

师：首先我们来看看粗心的卡尔犯了什么错误呢？（出示例题一）

生：她把“＋”看成了“－”。

师：对，卡尔把“＋”看成了“－”，那整个式子是不是变成了另一个式子，

    求和变成了求差。

生：是的。

师：那我们能不能根据题目提供的条件和信息，帮助卡尔找到正确的答案呢？

    同学们思考一下。

生：……

师：我们先把已知的条件列出来。已知的条件有？

生：12.5，“＋”看成了“－”，5.02。

师：我们先不管算式是否是正确的，如果我们就把“＋”当做“－”，那12.5

    是算式中的什么数？

生：被减数。

师：5.02呢？

生：差。

师：非常好，已知被减数和差，我们能求出什么？

生：减数。

师：很好，减数是？

生：12.5-5.02=7.48。

师：不错，那现在我们知道原来的式子是什么了吗？

生：是12.5+7.48=。

师：对，同学们反应很快。这时，卡尔错误式子中的被减数和减数,其实就是原

    来式子的两个加数。所以我们的正确的答案是？

生：19.98。

师：非常棒。其实我们在计算这道题目的时候，用到了数学中一个特别重要的

方法，那就是倒推法。我们可以根据已知的条件或者说信息，从这些信息

中反向推导，最后得出结论。

板书：

     12.5-5.02=7.48

     12.5+7.48=19.98

答：能，正确的结果是19.98。

练习1：（6分）

卡尔在计算4.9减去一个数时，把“－”看成“＋”，得7.5，你能算出正确的结果吗？

分析：

练习跟例题原理相同，上课有认真听讲的同学都能完成，主要锻炼学生的倒推能力。卡尔因为把“－”看成“＋”，算出了错误的答案。因此4.9加某个数字后等于7.5，通过错误的算式可以求出另一个加数。这时，两个加数其实就是原来的被减数和减数。通过正确地计算，就能得出正确的结果。

【课件出示练习题，挑选两位中等程度的学生上台演板，教师下去指导。然后讲解计算过程，重点指导还有些不懂的学生。】

板书：

 7.5-4.9=2.6

 4.9-2.6=2.3

答：能，正确的结果是2.3。   

（二）例题2：（13分）

    阿派在计算8.4乘一个数时，把“×”看成了“÷”，得7，你能算出正确的结果吗？

师：我们帮助粗心的卡尔改正了错误，再来看看“吃货”阿派又犯了什么错误

    呢？（出示例题二）

生：阿派把“×”看成了“÷”。

师：对，“吃货”阿派啊，把“×”看成了“÷”，那整个式子是不是变成了

    另一个式子，求积变成了求商。

生：是的。

师：同理，我们根据题目提供的条件和信息，来帮助阿派找到正确的答案，同

    学们有没有信心？

生：有。

师：跟例题一一样，我们先把已知的条件列出来。已知的条件有？

生：8.4，把“×”看成了“÷”，7。

师：同样，我们先不管算式是否是正确的，如果我们就把“×”看成了“÷”，

    那8.4是算式中的什么数？

生：被除数。

师：7呢？

生：商。

师：非常好，已知被除数和商，我们能求出什么？

生：除数。

师：很好，除数是？

生：8.4÷7=1.2。

师：不错，那现在我们知道原来的式子是什么了吗？

生：是8.4×1.2=。

师：对，同学们反应很快。这时，阿派错误式子中的被除数和除数其实就是原

    来式子的两个因数。所以我们的正确的答案是？

生：10.08。

师：非常棒。这道题目我们也是用了什么方法？

生：倒推法。

师：我们用了倒推法，从错误入手，分析错误原因，最后找到了正确结果。

板书：

 8.4÷7=1.2

 8.4×1.2=10.08

答：能，正确的答案是10.08。

练习2：（8分）

阿派在计算13.5除以一个数时，把“÷”看成了“×”，得20.25，你能算出正确的结果吗？

分析：

阿派因为把“÷”看成了“×”，算出了错误的答案。因此13.5乘以某个数字后等于20.25，通过错误的算式可以求出另一个因数。这时，两个因数其实就是原来的被除数和除数。通过正确地计算，就能得出正确的结果。

板书：

20.25÷13.5=1.5

13.5÷1.5=9

答：能，正确的结果是9。

三、小结：（5分）

师：今天我们学习了一个数学中非常重要的方法，那就是？

生：倒推法。

师：对，倒推法，我们用倒推法，从错误入手，分析错误原因，最后找到了正

确结果。我们发现卡尔和阿派犯了一些错误，我们在这节课用倒推法帮助

了他们找到了正确的结果。那木讷的欧拉和聪明的米德会不会出错呢？我

们下一节课来揭晓吧。

第二课时（50分）

一、复习导入（3分）

师：同学们，回顾一下上节课我们学习了哪些知识？

生：我们学了用倒推法解决问题。用倒推法，从错误入手，分析错误原因，最

    后找到了正确结果。

师：我们上节课帮助了谁改正了错误？

生：卡尔和阿派。

师：那我们来看看欧拉和米德有没有犯错呢？

（出示PPT)

二、探索发现授课（42分）

（一）例题3：（13分）

欧拉在计算8.56加上一个一位小数时，由于错误地把数的末尾对齐，结果得到了10.21，正确的结果应该是多少？

师：经过卡尔的教训，欧拉在计算小数加法的时候注意到了符号，但是他却没

有对齐小数点，最后还是得到了错误的答案。让我们一起来看看欧拉是怎

么做错的，也用我们上节课学习的倒推法来帮帮他吧。（出示例题三）

师：首先，我们跟上节课一样，先找出题目告诉我们的条件，并罗列出来，条

件有？

生：8.56,一位小数，10.21，错误地把数的末尾对齐。

师：那8.56是算式中的什么数？

生：加数。

师：那10.21呢？

生：和。

师：我们已知一个加数与和，我们是不是能求另一个加数呢？

生：是的。

师：另一个加数是？

生：10.21-8.56=1.65。

师：非常棒，现在我们怎么来推导原来正确的加数是什么呢？

生：……

师：我们罗列出来的条件还有什么没有用上。

生：一位小数，和错误地把数的末尾对齐。

师：对，那我们是否能通过这两个条件求出那个正确加数是什么呢？

生：……

师：根据题目中所说的一位小数，我们把1.65中的小数点向右移，变成一位小

数16.5。这是不是我们所要求的正确的加数呢？我来检验一下。本来我们

列竖式：

   8.56                                                   8.56

+16.5 但是欧拉错误地把数的末尾对齐所以欧拉列出的式子是：+1.65

                                                             10.21

     所以我们求出的加数16.5是正确的。所以题目中正确的结果是？

生：8.56+16.5=25.06

师：非常好，同学们都学会这样的倒推方法了吗？

生：学会了。

师：那我们就做一道练习题，也是木讷的欧拉犯的错。（出示练习题）

板书：

10.21-8.56=1.65

8.56+16.5=25.06

答：正确的结果应该是25.06。

练习3：（7分）

    欧拉在计算3.45减一个一位小数时，由于错误地把数的末位对齐，结果得到3.13。正确的得数应当是多少？

分析：

    例题主要是老师讲和引导为主，练习就让学生独立思考题目，完成题目。欧拉在计算时没有把小数点对齐，因此得到了错误的答案。已知被减数和差，可以算出减数。把计算得到的错误的减数重新对齐小数点就可以算出正确的结果。

板书：

3.45-3.13=0.32

3.45-3.2=0.25

答：正确的得数应当是0.25。

（二）例题4：（13分）

 米德做题时，把减数十位上的9错写成6，把被减数十分位上的3错写成8，这样算得的差是45.7，正确的差是多少？

师：卡尔、阿派、欧拉都出过错，那聪明的米德会出错吗？我们一起来看看。

生：……

师：看来聪明的米德也不能保证每一次都是正确的，所以同学们在平时做题的

    时候也要注意审题仔细，做完检查。能不能做到？

生：能。

师：好，既然出现了错误，我们就要来解决，那我们要用什么方法来解决呢？

生：倒推法。

师：不错，看来倒推法同学们掌握得都不错，那用倒推法解决此类问题，我们

    首先应该怎么做呢？　　　　　　　　

生：找出题目中的条件，并且罗列出来。

师：很好，那本题中的条件是？

生：把减数十位上的９错写成６，把被减数十分位上的３错写成８，算得的差

    是45.7。

师：不错，同学找得很全。不过大家知道怎么求正确答案了吗？

生：不知道。

师：那好的，我们先把这个问题放一放，我们来复习一下减法的变化规律。如

    果被减数增加（或减少）一个数，减数不变，那么它们的差也？

生：增加（或减少）同一个数。

师：如果减数增加（或减少）一个数，被减数不变，那么它们的差反而？

生：减少（或增加）同一个数。

师：如果被减数和减数都增加（或减少）同一个数，那么它们的差？

生：不变。

师：很好，我们为什么要来回忆减法的变化规律呢？因为这道题目要用到。

生：怎么用呢？

师：好，我们一起来看，我们刚刚所列出的条件：减数十位上由“9”变成“6”，

在被减数不变的情况下，减数越小，差越大。减数十位上减３，即减数减

少了30，所以我们的差增加了30。那第二个条件我们能得出什么结论呢？

生：被减数十分位上的３错写成８，在减数不变的情况下，被减数越大，差越

大。所以被减数十分位上增加了５，也就是被减数增加了0.5，所以差也增

加了0.5。（老师引导学生讲出来，增加理解。）

师：同学们讲得非常好，我们因为米德的失误，所以导致现在的差增加了30.5，

增加了30.5后我们得到的差是45.7。我们要求原来的差是多少，该怎么计

算呢？

生：我们把所得的差45.7减去因失误增加的30.5就能得出正确的差了。

师：非常棒。所以正确的差是？

生：45.7-30.5＝15.2

板书：

45.7-30-0.5＝15.2

答：正确的差是15.2。

练习4：（7分）

   米德在计算加法时，把一个加数个位上的6错写成9，百分位上的8错写成3，所得的和是17.86，正确的和应该是多少？

分析：

    练习四题目较前面例题略难，解题是注重培养学生要有清晰的解题思路。并且要对以前学习的加法、减法的变化规律进行复习。在加法里，一个加数增加（减少）一个数，另一个加数不变，和就随着增加（减少）这个数。加数个位上6错写成9，也就是和增加了3，百分位上的8错写成3，也就是和减少了0.05。所以正确的和就是17.86-3+0.05=14.91。

板书：

17.86-3+0.05=14.91

答：正确的和应该是14.91。

（三）例题5（选讲）：

欧拉和阿尔法在做一道乘法算式题时，欧拉误将一个因数增加1.4，计算的积增加了8.4，阿尔法误将另一个因数增加1.4，积增加了16.8。那么，正确的积应是多少？

师：看来我们芭啦啦星球的每一个小伙伴，都避免不了错误啊。

生：老师，还有阿尔法呢？

师：对，这位同学记性很好，阿尔法到底会不会出错呢？我们来看一看。欧拉

和阿尔法一起做一道乘法算式题，可是啊，这两个糊涂蛋每个人都犯了一

个错误。（出示例题五）

生：……

师：同样的，我们先找出题目所给的条件有什么？

生：欧拉误将一个因数增加1.4，计算的积增加了8.4，阿尔法误将另一个因数

    增加1.4，积增加了16.8。

师：将一个因数增加了一点，相应的它的积也增加了。那其中的关系到底是怎

    么样的呢？

生：……

师：我们来借助最简单的算式1×2=2来研究一下。假如我们把其中一个因数增

加了1，就比如说把1增加了1，式子是不是变成了这样（1+1）×2=1×2+1

×2=4，它的积增加了2，假如我们把1增加了1.4，那式子又会如何变化

呢?

生：（1+1.4）×2=1×2+1.4×2=4.8。

师：所以我们把其中一个因数增加了一个数，那它的积就会增加这个数乘以另

    一个因数所得的积。同学们听明白了吗？

生：明白了。

师：所以现在我们可以使用倒推法来解决这道题目了，欧拉将一个因数增加了

    1.4，所得的积增加了8.4，那我们可以求出其中的一个因数是？

生：8.4÷1.4=6

师：非常好。那我们是不是能根据“阿尔法误将另一个因数增加1.4，积增加了

    16.8”这个条件求出另一个因数呢？

生：可以。

师：怎么求呢？

生：16.8÷1.4=12。

师：所以正确的积是？

生：12×6=72。

师：非常棒。

板书：

8.4÷1.4=6

16.8÷1.4=12

12×6=72

答：正确的积应是72。

练习5：

阿派和卡尔在做一道除法算式题时，阿派误将被除数减少了2.8，计算的商减少了2，卡尔在验算的时候，将除数和商相乘的时候，误将除数增加了0.2，结果算得的积增加了2.4。那么，被除数是多少？

分析：

    练习题主要是对例题的一个扩展和练习，此题主要让学生在掌握乘法变化规律的基础上，掌握除法的变化规律。我们把被除数减少了一个数，那它的商就会减少这个数乘以除数所得的积。所以我们能用倒推法求出它的除数，之后根据卡尔验算的条件求出商，最后求出被除数。

板书：

   2.4÷0.2=12

   2.8÷2=1.4

   1.4×12=16.8

答：被除数是16.8。

三、总结：（5分）

师：今天我们又帮助了几位小伙伴解决了问题，同学们都学会了什么呀？

生：学会了倒推法和加、减法的变化规律以及乘、除法的变化规律。

师：好，看来同学们掌握得都非常好啊，我也相信大家能学会这节课的内容，

    并把它运用到题目中去。大家有没有信心？

生：有！

四、随堂练习：

1. 阿派在计算12.8加上一个数时，把“＋”看成“－”，得8.2，你能算出正

   确的结果吗？

    12.8-8.2=4.6

    12.8+4.6=17.4

答：能，正确的结果是17.4。

2. 米德计算20.4乘一个数时，把“×”看成了“÷”，得5.1，你能算出正确

   答案吗？

   20.4÷5.1=4

   20.4×4=81.6

答：能，正确的答案是81.6。

3. 卡尔在计算7.91加上一个一位小数时，由于错误地把数的末尾对齐，结果

   得到了7.97，正确的结果应当是多少？

   7.97-7.91=0.06

   7.91+0.6=8.51

答：正确的结果应当是8.51。

4. 欧拉在计算加法时，把一个加数百分位上的1错写成8，把另一个加数十分

   位上的2错写成6，所得的和是965.4，正确的和应该是多少？

   965.4-0.07-0.4=964.93

答：正确的和应该是964.93。

5. 两个数相乘，如果一个因数增加10，另一个因数不变，那么积增加80；如

   果一个因数不变，另一个因数增加6，那么积增加72。原来的积是多少？

  80÷10=8

  72÷6=12

  8×12=96                   

答：原来的积是96。

家庭作业

主管评价

主管评分

课后反思

（不少于60字）

整体效果

设计不足之处

设计优秀之处