江苏专版2023_2024学年新教材高中数学第一章空间向量与立体几何测评新人教A版选择性必修第一册

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第一章测评（时间：120分钟 满分：150分）一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1. 在长方体中，等于( )A. B. C. D. 2. 已知，，，若，，三向量共面，则实数 等于( )A. 1 B. 2 C. 3 D. 43. 若向量，，且与的夹角的余弦值为，则等于( )A. 3 B. C. D. 3或4. 如图，将边长为1的正方形沿对角线折成直二面角，若点满足，则的值为( )A. B. 3 C. D. 5. 已知空间向量，，若与垂直，则等于( )A. B. C. D. 6. 如图所示，在空间直角坐标系中，，原点是的中点，点，点在平面内，且 ， ，则的长为( )A. B. C. D. 7. 如图，在四棱锥中，底面为直角梯形，，，且，， 平面,且，则与平面所成角的正弦值为( )A. B. C. D. 8. 如图，已知四棱锥，底面是边长为2的正方形，是以为斜边的等腰直角三角形， 平面，点是线段上的动点（不含端点），若线段上存在点（不含端点），使得异面直线与成 的角，则线段长的取值范围是( )A. B. C. D. 二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.9. 已知空间三点，，.若，且，则点的坐标为( )A. B. C. D. 10. 如图,在空间四边形中,,分别是,的重心,设,,,下列结论正确的是( )A. B. 若 , ,则C. D. 11. 如图所示，在直三棱柱中，底面是以为直角的等腰直角三角形，，，是的中点，点在棱上，要使 平面，则的值可能是( )A. B. C. D. 12. 将正方形沿对角线翻折，使平面与平面的夹角为，以下四个结论正确的是( )A. B. 是等边三角形C. 直线 与平面 所成的角为 D. 与 所成的角为三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13. 将正方形沿对角线折起，当以，，，四点为顶点的三棱锥体积最大时，异面直线与所成的角为.14. ①若向量，与空间任意向量都不能构成基底，则；②若非零向量，，满足,,则有;③若是空间的一个基底，且,则，，，四点共面；④若是空间的一个基底，则也是空间的一个基底.上述说法中，正确的有.15. 如图所示，在直平行六面体中，，，点在上，且，则点到平面的距离为.16. 如图，正方形，的边长都是1，而且平面，互相垂直，点在上移动，点在上移动，若，则线段最短为.四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17. （10分）已知，，，，，求：（1） ，，；（2） 向量与夹角的余弦值.18. （12分）如图所示，在四棱锥中， 平面，，在四边形中，， ，，，点在上，且， ，求证：平面.19. （12分）如图，正方形与梯形所在的平面互相垂直，，，，，为的中点.求证：（1） 平面；（2） 平面.20. （12分）在三棱柱中，底面为正三角形，且侧棱 底面，且底面边长与侧棱长都等于2，，分别为，的中点，求平面与平面间的距离.21. [2023湖北荆州期末]（12分）如图1，四边形为等腰梯形，，，将沿折起，为的中点，连接，，如图2，.图1图2（1） 求线段的长；（2） 求直线与平面所成的角的正弦值.22. （12分）如图，在四棱锥中， ，，，.（1） 求证：平面 平面；（2） 若点在线段上，且 ，平面与平面的夹角为 ，求 的值.第一章测评一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1. A[解析].2. A[解析]若向量，，共面，则，其中，，即，则有解得3. A[解析]因为，且与的夹角的余弦值为，所以，且，解得或（舍去）.4. D[解析]由题意知，，. ， ， ，所以.5. B[解析]因为，，所以因为与垂直，所以，所以，解得，所以,所以.6. D[解析]因为点在平面内，所以点的横坐标为0，又，原点是的中点， ， ，所以点的竖坐标，纵坐标，所以.所以.7. C[解析]依题意，以为坐标原点，分别以，，所在直线为轴、轴、轴建立如图所示的空间直角坐标系，因为，，，则，，，，从而，，，设平面的法向量为，则即不妨取，则，，所以平面的一个法向量为，设与平面所成角为 ,则.8. B[解析]由是以为斜边的等腰直角三角形， 平面，底面为正方形，取的中点，建立如图所示的空间直角坐标系，则，，，，，设，，设，，故，，.又，异面直线与成 的角，故 ，即，即,，,,.二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.9. AB[解析]设.又，，解得，或.设点的坐标为，则，或解得或故点的坐标为或.10. ABD[解析]对于和选项,是的重心,，，，，,故正确,错误；对于,若,,则，，，,故正确；对于，，，，,故正确.11. AC[解析]以为坐标原点，，，所在直线分别为轴、轴、轴，建立如图所示的空间直角坐标系，则，，.设点的坐标为，则，，.由 平面，得，，故即解得或，即或.12. ABD[解析]如图所示，以的中点为坐标原点，，，所在直线分别为轴、轴、轴，建立空间直角坐标系，设正方形的边长为，则，，，，所以，，.故，正确.又，，，所以为等边三角形，正确.对于，为平面的一个法向量，，.因为直线与平面所成的角的范围是,所以与平面所成的角为，故错误.又,因为异面直线所成的角为锐角或直角，所以与所成的角为，故正确.三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13. [解析]根据题意可知，当最大时，平面 平面，设的中点为，连接，,建立空间直角坐标系，如图所示，令，则，，，，，，，因此，所以异面直线与所成的角为.14. ①③④[解析]对于①,若向量,与空间任意向量都不能构成基底，则,必共线，即,故①正确；对于②,若非零向量,,满足,,当非零向量,,不共面时，与不一定共线，故②不正确；对于③,由于,则,所以,因此，，共面，所以，，，四点共面，故③正确；对于④,若不是空间的一个基底，则,,共面，不妨设,则,,于是向量,,共面，与是空间一个基底矛盾，故④正确.15. [解析]建立如图所示的空间直角坐标系，则，，，,,,，，，设平面的法向量为，则令，则，，. 点到平面的距离.16. [解析]建立空间直角坐标系如图所示，则，，.因为，且四边形，为正方形，所以,,所以.所以,即的长为.当时，，即，分别为，的中点时，的长最小，最小值为.四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17. （1） 解因为，易知,所以，解得，，则，又，所以，即，解得，于是（2） 由（1）得，，设向量与的夹角为 ，因为，所以向量与夹角的余弦值为.18. 证明建立如图所示的空间直角坐标系， ，， 平面，，，，，，，，，，，，.设平面的一个法向量为，则即令，解得，，故.又,. 平面，平面.19. （1） 证明平面 平面 ，平面 平面 ， ， 平面 ， 平面 .以 为原点， ， ， 分别为 轴、 轴、 轴的正方向建立如图所示的空间直角坐标系,则 ， ， ， ， ， .19. （1） 为的中点，，则，，，，故，，共面.又 平面，平面.（2） ，，，，.又，.又，， 平面， 平面.20. 解如图，连接，根据题意， 底面，则以为原点，分别以，，所在的直线为轴、轴、轴建立空间直角坐标系.，，，， 平面平面. 平面与平面间的距离即为点到平面的距离.，，，，，，.设为平面的法向量，则即 可取点到平面的距离记为，则. 平面与平面间的距离为.21. （1） 解在题图1中作，交于（图略），则，,,,，， 在题图2中，.又，，, 平面， 平面，取中点，连接，，则，，两两垂直，以为坐标原点，建立空间直角坐标系，如图，,, 线段的长为.（2） ,,,,,设平面的法向量为，则取,得.设直线与平面所成的角为 ，则直线与平面所成的角的正弦值为.22. （1） 证明因为, ，故 ，所以.又，，， 平面，所以 平面.因为 平面，所以平面 平面.（2） 解由（1）可得，平面 平面，设为的中点，连接，因为，所以，故 平面.如图，建立空间直角坐标系，则，，，.因为 ，所以，易得平面的一个法向量为.设为平面的法向量，，，由得不妨取因为平面与平面的夹角为 ，所以，且，解得或（舍去）,故 的值为.