2022-2023学年四川省巴中市恩阳区高一下学期期中数学试题含答案

2022-2023学年四川省巴中市恩阳区高一下学期期中数学试题

一、单选题

1．若角、的终边相同，则的终边在（    ）．

A．x轴的正半轴上 B．x轴的负半轴上

C．y轴的正半轴上 D．y轴的负半轴上

【答案】A

【分析】结合终边相同的角的概念可得，进而即得.

【详解】因为角α，β的终边相同，

所以，，

所以的终边落在x轴的正半轴上.

故选：A.

2．下列四个式子中可以化简为是（    ）

①；

②；

③；

④

A．①④ B．①② C．②③ D．③④

【答案】A

【分析】根据向量的加法和减法法则，逐一分析，即可选择.

【详解】①，

②，

③，

④，

故四个式子中可以化简为是①④.

故选：.

3．函数，x∈R在（    ）

A．上是增函数

B．上是减函数

C．上是减函数

D．上是减函数

【答案】B

【分析】化简，根据余弦函数的知识确定正确选项.

【详解】，

所以在上递增，在上递减.B正确，ACD选项错误.

故选：B

4．将函数的图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），再将所得的图象向左平移个单位，得到的图象对应的解析式是（   ）

A． B．

C． D．

【答案】B

【分析】利用三角函数图像变换规则解题即可.

【详解】将函数的图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变)得到图象对应的函数解析式为，

将的图象向左平移个单位得到的图象对应的解析式为.

故选：B.

5．已知，点是线段上的点，且，则点的坐标是

A． B． C． D．

【答案】D

【分析】设点，求出，的坐标，再代入等式，求出的值。

【详解】设点，，，

所以解得故选D.

【点睛】本题考查向量共线的坐标运算，考查基本运算求解能力。

6．已知向量，，，则实数的值为（    ）

A． B． C． D．

【答案】D

【分析】对两边平方即可得出，然后进行向量坐标的数量积运算即可求出的值．

【详解】，

，

即，解得，

，解得．

故选：D

7．已知，则

A． B． C． D．

【答案】C

【详解】.

故选．

8．设函数（是常数，）．若在区间上具有单调性，且，则（    ）

A．的周期为

B．的单调递减区间为

C．的图像与的图像重合

D．的对称轴为

【答案】C

【分析】利用题意求出，然后再判断每一个选项的正误即可.

【详解】选项A:∵在区间上具有单调性，且，∴和均不是的最值点，其最值应该在处取得，∵，∴也不是函数的最值点，又在区上具有单调性，∴，得 为一个与对称轴相邻的对称中心，故函数的最小正周期，所以A错误；

选项B:由选项A可知，所以，因为，，过点可得 ，所以，令，得的单调递减区间为，所以B错误；

选项C：，所以C正确；

选项D：令，得的对称轴为，所以D错误．

故选：C．

二、多选题

9．设是任意的非零向量，则下列结论不正确的是（    ）

A． B．

C． D．

【答案】AB

【分析】根据数量积的定义与数量积的运算律逐一判断即可.

【详解】由是任意的非零向量，

对于A，，故A错误；

对于B，表示与共线的向量，表示与共线的向量，

而不一定共线，故B错误；

对于C，因为非零向量，若，则，故C正确；

对于D，，故D正确.

故选：AB.

10．已知向量，若，则实数m的值可以为（    ）

A． B．0 C．1 D．2

【答案】ABC

【分析】根据向量垂直列出方程，求出实数m的值.

【详解】因为，所以，

解得或0或．

故选：ABC

11．下列三角式中，值为1的是（    ）

A． B．

C． D．

【答案】ABC

【分析】对A、B、C三个选项都套用2倍角公式计算即可，D选项直接计算就可选出答案.

【详解】A选项,，故正确.

B选项，，故正确.

C选项，，故正确.

D选项，，故错误

故选：ABC

12．已知奇函数的定义域为，且满足：对任意的，都有.设，且当时，的值域为，则下列说法正确的有（    ）

A．的图象关于直线轴对称

B．在内至少有个零点

C．的图象关于点中心对称

D．在上的值域为

【答案】ACD

【解析】利用函数的奇偶性，对称性，周期性判断各选项对错.

【详解】由为奇函数，，

且，

故函数关于直线对称，且周期，

故函数关于直线对称，且关于点中心对称，故A、C选项正确；

即，故在内至少有个零点，B选项错误；

又，故函数为奇函数，

当时，的值域为，

所以当时，的值域为，

当时，，的值域为，

当时，，的值域为，

综上当时，的值域为，D选项正确；

故选：ACD.

【点睛】正确理解奇函数和偶函数的定义，必须把握好两个问题：(1)定义域关于原点对称是函数f(x)为奇函数或偶函数的必要非充分条件；(2)f(－x)＝－f(x)或f(－x)＝f(x)是定义域上的恒等式．奇函数的图象关于原点对称，偶函数的图象关于y轴对称，反之也成立．利用这一性质可简化一些函数图象的画法，也可以利用它去判断函数的奇偶性．

三、填空题

13．已知向量与的夹角为，且，，则的值为        ．

【答案】－6

【分析】由数量积的定义计算．

【详解】．

故答案为：．

14．一质点受到同一平面上的三个力，，（单位：牛顿）的作用而处于平衡状态，已知，成120°角，且，的大小都为6牛顿，则的大小为      牛顿.

【答案】6

【分析】根据向量的合成法则以及向量的模长公式，进行计算即可

【详解】设三个力，，分别对于的向量为：

则由题知

所以

所以

又

所以

所以的大小为：6

故答案为：6

15．数学中处处存在着美,机械学家莱洛发现的莱洛三角形就给人以对称的美感.莱洛三角形的画法:先画等边三角形,再分别以、、为圆心,线段长为半径画圆弧,便得到莱洛三角(如图所示).若莱洛三角形的周长为,则其面积是          ．

【答案】

【分析】根据图形分析,利用扇形面积和三角形面积求解即可.

【详解】如图,

由条件可知,弧长,等边三角形的边长,

则以点、、为圆心,圆弧所对的扇形面积为,

中间等边的面积,

所以莱洛三角形的面积是.

故答案为:.

16．已知,且，，则的值是       ．

【答案】

【分析】由辅助角公式得到，，利用同角三角函数关系求出则，，结合诱导公式和正弦两角和公式求解即可．

【详解】已知,，

则，，

即，，

又,，

则，，

则，，

则

故答案为：

四、解答题

17．已知向量，．

(1)求；

(2)已知，且，求向量与向量的夹角．

【答案】(1)

(2)

【分析】（1）根据向量的坐标运算求向量的模即可；（2）由向量的模，根据向量的数量积公式转化求向量的夹角即可.

【详解】（1）由题知，，

所以，

所以.

（2）由题知，，，，

所以，，

所以，

所以，

所以，

所以，

因为，

向量与向量的夹角为.

18．已知为锐角，，.

(1)求的值；

(2)求的值.

【答案】(1)

(2)2

【分析】（1）利用同角三角函数的基本关系进行计算求解.

（2）利用同角三角函数的基本关系以及两角差的正切公式进行求值.

【详解】（1）因为为锐角，所以，又因为，

所以.

（2）由（1）有：，又，

所以.

19．已知在中，点在线段上，且，延长到，使.设，.

(1)用、表示向量、；

(2)若向量与共线，求的值.

【答案】(1)，

(2)

【分析】（1）分析可知为的中点，利用平面向量的线性运算可得出关于、的表达式，结合平面向量的减法可得出关于、的表达式；

（2）分析可知，存在，使得，根据平面向量的基本定理可得出关于、的方程组，即可解得实数的值.

【详解】（1）解：因为，结合图形可知为的中点，

所以，，

因为，则，

所以，.

（2）解：因为，

因为向量与共线，则存在，使得，

即，所以，，解得.

20．已知．

（1）化简，并求；

（2）求函数的值域．

【答案】（1）；；（2）．

【分析】（1）利用诱导公式及同角基本关系即可化简函数解析式，利用特殊角的三角函数值即可计算求解；（2）先对已知函数化简成，然后结合正弦函数及二次函数的性质即可求解.

【详解】解：（1）由题意可得

，

故.

（2）因为，，

所以，

因为，

所以当时，，

当时，

所以的值域为．

21．如图所示，摩天轮的半径为，最高点距离地面高度为，摩天轮的圆周上均匀地安装着个座舱，并且运行时按逆时针匀速旋转，转一周大约需要.甲，乙两游客分别坐在，两个座舱里，且他们之间间隔个座舱(本题中将座舱视为圆周上的点).

（1）求劣弧的弧长(单位：)；

（2）设游客丙从最低点处进舱，开始转动后距离地面的高度为，求在转动一周的过程中，关于时间的函数解析式；

（3）若游客在距离地面至少的高度能够获得最佳视觉效果，请问摩天轮转动一周能有多长时间使甲，乙两位游客都有最佳视觉效果.

【答案】（1）；（2），其中；（3）.

【分析】（1）根据弧长的计算公式可求的长度.

（2）建立如图所示的平面直角坐标系，利用三角函数的定义可求关于时间的函数解析式.

（3）利用（2）中所得的解析式并令，求出不等式的解后可得甲，乙两位游客都有最佳视觉效果的时间长度.

【详解】（1）因为摩天轮的圆周上均匀地安装着个座舱，

故每个座舱与中心连线所成的扇形的圆心角为，

故.

（2）建立如图所示的平面直角坐标系，设，

由题意知，，所以，

又由，所以，

当时，可得，所以，

故关于时间的函数解析式为，其中.

（3）令，即，

令，解得，

因为甲乙两人相差，

又由，所以有甲乙都有最佳视觉效果.

【点睛】三角函数实际应用问题的处理策略：

1、已知函数模型求解数学问题；

2、把实际问题抽象转化成数学问题，利用三角函数的有关知识解决问题；

3、根据实际问题转化为已知条件转化为三角函数的解析式和图象，然后在根据数形结合思想研究三角函数的性质，进而加深理解函数的性质.

22．已知函数．

(1)当时，做出的草图，并写出的单调区间；

(2)若存在使得成立，求实数的取值范围．

【答案】(1)作图见解析，单调递减区间为，单调递增区间为,；

(2)

【分析】（1）当时，将函数的解析式表示为分段函数的形式，可作出函数的图象，根据图形可写出函数的增区间和减区间；

（2）设，则问题转化为存在，使得，注意到当时，，可知问题等价于存在，，即在上有解，利用参变量分离法可求得实数的取值范围．

【详解】（1）当时，，

作出函数的图象如下图所示：

由图可知，函数的单调递减区间为，单调递增区间为，．

（2）设，则问题转化为存在，使得，

又注意到时，，且，

可知问题等价于存在，，即在上有解．

即在上有解，于是或在上有解，

进而或在上有解，

由对勾函数性质可知，函数在上单调递减，在上单调递增，

则，

因为函数，在上单调递增，

则函数在上单调递增，

所以，，

则或，

故的取值范围是．