2022-2023学年四川省成都市郫都区高一下学期期中数学试题含答案

2022-2023学年四川省成都市郫都区高一下学期期中数学试题

一、单选题

1．已知扇形的半径为1，圆心角为30°，则扇形的面积为（    ）

A．30 B． C． D．

【答案】B

【分析】根据扇形的面积公式求得结果.

【详解】已知扇形圆心角为30°，即，扇形半径为1，

所以扇形的面积.

故选：B.

2．电流强度随时间变化的关系式是，则当时，电流强度为

A．5A B．2.5A C．2A D．－5A

【答案】B

【分析】由已知直接把代入，利用诱导公式及特殊角的三角函数值即可求出.

【详解】解：当时，.

故选：.

【点睛】本题考查三角函数的简单应用，属于基础题.

3． （    ）

A． B． C． D．

【答案】B

【分析】根据诱导公式和两角差的余弦公式即可求出答案．

【详解】

．

故选：B．

4．函数在区间的图象大致为（    ）

A． B．

C． D．

【答案】A

【分析】由函数的奇偶性结合指数函数、三角函数的性质逐项排除即可得解.

【详解】令，

则，

所以为奇函数，排除BD；

又当时，，所以，排除C.

故选：A.

5．关于函数的性质，下列叙述不正确的是（    ）

A．是偶函数

B．的图象关于直线对称

C．的最小正周期是

D．在内单调递增

【答案】C

【分析】作出的图象，结合正切函数的性质对选项逐一判断，

【详解】作出的图象如图所示，

对于A，，故是偶函数，故A正确，

对于B，结合正切函数的性质知的图象关于直线对称，故B正确，

对于C，的最小正周期是，故C错误

对于D，结合正切函数的性质知在内单调递增，故D正确，

故选：C

6．若，，则（    ）

A． B．

C． D．

【答案】D

【分析】利用同角三角函数的基本关系求出的值，再利用两角差的正弦公式可求得的值.

【详解】因为，则，

因为，则，

所以，

.

故选：D.

7．下列选项中正确的是（    ）

A． B．

C． D．

【答案】D

【分析】直接利用三角函数的关系式的恒等变换判断各选项的结论．

【详解】对于A：因为，

又函数在上单调递增，所以，所以，故A错误；

对于B：由于，故B错误；

对于C：由于，所以，

则，故C错误；

对于D：，故D正确．

故选：D．

8．已知，函数在上单调递减，则的取值范围是（    ）

A． B． C． D．

【答案】A

【分析】由题意可得，再根据的单调区间，列出不等式组求解即可.

【详解】解：因为，，

所以，

又因为在上单调递减，

所以，,解得：，

因为，故，而，故，故.

故选：A

二、多选题

9．下列结论正确有（    ）

A．若与都是单位向量，则

B．方向为南偏西60°的向量与北偏东60°的向量是共线向量

C．直角坐标平面上的x轴､y轴都是向量

D．若用有向线段表示的向量与不相等，则点M与N不重合

【答案】BD

【分析】根据题意，由平面向量的相关定义，对选项逐一判断，即可得到结果.

【详解】对于A，因为与的方向可能不同，故错误；

对于B，因为这两个向量的方向是相反的，所以是共线向量，故正确；

对于C，因为轴与轴只有方向没有大小，所以都不是向量，故错误；

对于D，假设点与点重合，则向量，与已知矛盾，所以假设不成立，即点M与N不重合，故正确；

故选:BD

10．设函数，给出下列命题，不正确的是（    ）．

A．的图象关于直线对称

B．的图象关于点对称

C．把的图象向左平移个单位长度，得到一个偶函数的图象

D．的最小正周期为，且在上为增函数

【答案】ABD

【分析】对A，判断是否为0；对B，判断能否取得最值；对C，根据平移变换后可得解析式为；对D，举出特例即可；

【详解】因为，所以A不正确；

因为，所以B不正确；

因为函数的最小正周期为，但，所以D不正确；把函数的图象向左平移个单位长度，得到函数的图象，函数为偶函数，所以C正确．

故选：ABD.

【点睛】本题考查正弦函数的对称中心、对称轴及单调性等性质，考查逻辑推理能力、运算求解能力.

11．如图是函数在区间上的图象．为了得到这个函数的图象，只要将的图象上所有的点（    ）．

A．向左平移个单位长度，再把所得各点的横坐标缩短到原来的，纵坐标不变

B．向左平移个单位长度，再把所得各点的横坐标伸长到原来的，纵坐标不变

C．把所得各点的横坐标缩短到原来的，纵坐标不变，再向左平移个单位长度

D．向左平移个单位长度，再把所得各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变

【答案】AC

【分析】先根据图象求函数解析式，应先观察图象，确定“振幅”“周期”，再通过计算求，再借助图象变换规则即可得出结果.

【详解】由图象知，A=1,T=π，所以=2，y=sin（2x+），将（，0）代入得：sin()=0，所以=kπ，，取=，得y=sin（2x+），

向左平移，得．然后各点的横坐标缩短到原来的，得．故A正确．

各点的横坐标缩短到原来的，得．然后向左平移个单位，得．故C正确．

故选：AC

【点睛】本题主要考查了三角函数的图象变换及三角函数性质，图象的伸缩变换的规律：（1）把函数的图像向左平移个单位长度，则所得图像对应的解析式为，遵循“左加右减”；（2）把函数图像上点的纵坐标保持不变，横坐标变为原来的倍（），那么所得图像对应的解析式为，属于中档题.

12．已知函数，有下列四个结论，其中正确的结论为（　　）

A．在区间上单调递增 B．π是的一个周期

C．的值域为 D．的图象关于y轴对称

【答案】CD

【分析】分段去绝对值，然后作图，由图象即可得答案.

【详解】

作函数图象如图：

∴在区间上为常函数，∴A选项错误；

周期为2π，∴B选项错误；

值域为，∴C选项正确；

又易知，∴为偶函数，

∴的图象关于y轴对称，∴D选项正确．

故选：CD．

三、填空题

13．已知，则        .

【答案】

【分析】在等式两边平方，结合二倍角的正弦公式可求得的值.

【详解】在等式两边平方可得，所以，.

故答案为：.

14．向量，其中是单位向量且，则        .

【答案】或/或

【分析】分、两种情况讨论，结合平面向量的减法可求得的值.

【详解】因为，其中是单位向量且，则，

①若，则；

②若，则.

因此，或.

故答案为：或.

15．已知函数，则的最小值为        .

【答案】

【分析】利用二倍角的余弦公式，结合二次函数的基本性质可求得函数的最小值.

【详解】因为，则，

所以，，

故当时，函数取得最小值，即.

故答案为：.

16．在角、、、…、的终边上分别有一点、、、…、，如果点的坐标为，，，则      ．

【答案】

【解析】利用诱导公式将点的坐标变为，然后根据三角函数定义可得，再利用诱导公式及两角差的正弦即可得到结果.

【详解】，即

由三角函数定义知

=

.

故答案为：.

【点睛】本题主要考查的是诱导公式，三角函数定义的理解和应用，两角和的正弦公式，考查学生的分析问题和解决问题的能力，是中档题.

四、解答题

17．（1）已知，，求的值；

（2）已知，，求的值．

【答案】（1）；（2）

【分析】（1）利用两角和与差的余弦函数公式化简可求进而根据同角三角函数基本关系式化简即可求解．

（2）将两边同时平方，再相加即可得解；

【详解】解：（1），

．

（2）因为，，

所以，，

上述两式相加得

即解得

18．已知.

(1)求的值；

(2)若，求及的值.

【答案】(1)

(2)，

【分析】（1）根据已知条件，结合三角函数的诱导公式，即可求解；

（2）结合（1）的结论，以及三角函数的同角公式，即可求解．

【详解】（1），

∴.

（2），得，

∴.

19．已知，且．

(1)求的值；

(2)求的值．

【答案】(1)

(2)

【分析】（1）利用运算求解；

（2）先求出，再分析得到，即得解.

【详解】（1）由题意可得：.

（2）由（1）可知：，

则，

∵，，则，，

可得，

故

20．某同学用“五点法”画函数（其中A，，为常数，且，，）在某一个周期内的图象时，列表并已经正确地填入了部分数据，如下表：

(1)请将上表数据补充完整，并求函数的解析式；

(2)将图象上所有点向左平移个单位长度，得到的图象．若图象的一个对称中心为，求的最小值．

【答案】(1)，表格见详解；

(2)

【分析】（1）利用三角函数的性质可得，进而可补充表格并求出函数的解析式；

（2）利用三角函数的平移变换原则可得，根据整体代入法可得解方程即可求解.

【详解】（1）根据表中的数据，得

又，

函数的解析式为

分别令，依次解得

数据补全如下表：

所以函数的解析式为；

（2）由（1）知得，

因为函数图像的对称中心为，令

解得.  因为函数图像的一个对称中心为，

所以，解得.

由可知，当时，取得最小值为.

21．已知函数，且的最小正周期为.

(1)求函数的单调增区间；

(2)若函数在有且仅有两个零点，求实数的取值范围.

【答案】(1)

(2)

【分析】（1）利用三角函数中的恒等变换应用可得，依题意，可求得，利用正弦函数性质可求得函数的单调区间；

（2）原问题等价于函数在有且仅有2个不同的零点，分析在上的单调性与取值情况，可得实数的取值范围．

【详解】（1）函数，

因为，所以，解得

所以.

由得，

故函数的单调递增区间为.

（2）由（1）可知，

在上为增函数；在上为减函数

由题意可知：，即

解得，故实数的取值范围为.

22．某游乐场的摩天轮示意图如图．已知该摩天轮的半径为30米，轮上最低点与地面的距离为2米，沿逆时针方向匀速旋转，旋转一周所需时间为分钟．在圆周上均匀分布12个座舱，标号分别为1~12（可视为点），在旋转过程中，座舱与地面的距离h与时间t的函数关系基本符合正弦函数模型，现从图示位置，即1号座舱位于圆周最右端时开始计时，旋转时间为t分钟．

(1)求1号座舱与地面的距离h与时间t的函数关系的解析式；

(2)在前24分钟内，求1号座舱与地面的距离为17米时t的值；

(3)记1号座舱与5号座舱高度之差的绝对值为H米，求当H取得最大值时t的值．

【答案】(1)

(2)或

(3)

【分析】（1）设1号座舱与地面的距离与时间的函数关系的解析式为，，根据所给条件求出、、、，即可得到函数解析式；

（2）由（1）中的解析式，结合正弦函数的性质计算可得；

（3）依题意可得，，从而得到高度差函数，利用两角和差的正弦公式化简，再结合正弦函数的性质求出函数取得最大值时的值，即可得解；

【详解】（1）设1号座舱与地面的距离h与时间t的函数关系的解析式为

则，

∴，

依题意，∴，

当时，∴，

∴．

（2）令，即，

∴，

∵，∴，

∴或，

解得或，

∴或时，1号座舱与地面的距离为17米．

（3）依题意，

∴

令，解得，

所以当时，H取得最大值