四川省巴中市恩阳区2022-2023学年高二下学期期中文科数学试题

巴中市恩阳区2023年春高中二年级期中学业水平检测

文科数学试题

注意事项：1、本试题分试卷和答题卡两部分；

2、考生将答案填写在答题卡中，考试结束后，只交答题卡；

3、本试卷满分150分，考试时间120分钟．

一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）

1．下列命题中，真命题是（    ）

A．命题“若，则”

B．命题“若，则”的逆命题

C．命题“当时，”的否命题

D．命题“终边相同的角的同名三角函数值相等”的逆否命题

2．命题：的否定是（    ）

A．  B．

C．  D．

3．的图象如图所示，下列数值的排序正确的是（    ）

A． B．

C． D．

4．函数（    ）

A．有极大值1，无极小值  B．无极大值，也无极小值

C．有极小值0，极大值1  D．有极小值1，无极大值

5．使“”成立的一个充分不必要条件是（    ）

A．  B．

C．  D．

6．已知、分别是双曲线的左、右焦点，为双曲线上的动点，，点到双曲线一条渐近线的距离为，则下列选项不正确的有（    ）

A．  B．双曲线的离心率为

C．的最小值为2  D．双曲线的实轴长为3

7．已知的对应值如下表所示：

若与线性相关，且求得的回归直线方程为，则（    ）

A．0 B．1 C．2 D．3

8．双曲线的一条渐近线与圆：交于第一象限的一点，记双曲线的右焦点为，左顶点为，则的值为（    ）

A．0 B．4 C．7 D．12

9．矩形中，，沿将矩形折起，使面面，则四面体的外接球的体积为（    ）

A． B． C． D．

10．函数的大致图像为（    ）

A． B． C． D．

11．已知则（    ）

A． B． C． D．

12．如图所示，用一束与平面成角的平行光线照射半径为的球O，在平面上形成的投影为椭圆及其内部，则椭圆的（    ）

A．长轴长为3 B．离心率为 C．焦距为2 D．面积为

二、填空题（每小題5分，共20分）

13．过点作曲线的切线，写出一条切线的方程______．

14．已知抛物线的焦点为，点，点在抛物线上，且，则______．

15．已知圆的圆心为，点是圆上的动点，点，线段的垂直平分线交于点．则点的轨迹的方程为______．

16．从商业化书店到公益性城市书房，再到“会呼吸的文化森林”——图书馆，建设高水平、现代化、开放式的图书馆一直以来是大众的共同心声，现有一块不规则的地，其平面图形如图1所示，（百米），建立如图2所示的平面直角坐标系，将曲线看成函数图象的一部分，为一次函数图象的一部分，若在此地块上建立一座图书馆，平面图为直角梯形（如图2），则图书馆占地面积（万平方米）的最大值为______．

三、解答题（共70分．其中17题10分，18-22每题12分，解答应写出文字说明、证明过程和演算步骤．）

17．已知：方程表示圆；：方程表示焦点在轴上的椭圆．

（1）若为真命题，求实数的取值范围；

（2）若命题有且仅有一个为真，求实数的取值范围．

18．相关统计数据显示，中国经常参与体育锻炼的人数比例为，城乡居民达到《国民体质测定标准》合格以上的人数比例达到以上．某市一健身连锁机构对其会员进行了统计，制作成如下两个统计图，图1为会员年龄分布图（年龄为整数），图2为会员一个月内到健身房次数分布扇形图，若将会员按年龄分为“年轻人”（20岁-39岁）和“非年轻人”（19岁及以下或40岁及以上）两类，将一个月内到健身房锻炼16次及以上的会员称为“健身达人”，15次及以下的会员称为“健身爱好者”，且已知在“健身达人”中有是“年轻人”．

（1）现从该健身连锁机构会员中随机抽取一个容量为100的样本，计算健身达人中的非年轻人的人数；

（2）现从该健身连锁机构会员中随机抽取一个容量为100的样本，补全列联表，并判断是否有的把握认为“健身达人”与年龄有关？

附：

19．已知函数．

（1）求的单调递增区间；

（2）求在上的值域．

20．如图，已知菱形所在平面与矩形所在平面相互垂直，且是线段的中点，是线段上的动点．

（1）与所成的角是否为定值，试说明理由；

（2）若二面角为，求四面体的体积．

21．在平面直角坐标系中，抛物线方程为，其顶点到焦点的距离为2．

（1）求抛物线的方程；

（2）若点，设直线与抛物线交于两点，且直线的斜率之和为0，证明：直线必过定点，并求出该定点．

22．已知函数．

（1）求函数的极值；

（2）若对任意，都有成立，求的取值范围．

高二半期（文科数学）

一、选择题

1．【答案】D

【分析】根据不等式的性质和四种命题的关系判断各选项．

【详解】A．当时，不成立，A错；

B．命题“若，则”的逆命题是若，则，错误，也可能是；

C.命趣“当时，”的否命题是若，则，错误，时，也有；

D.命题“终边相同的角的同名三角函数值相等”是真命题，逆否命题也是真命题．故选：D．

2．【答案】D

【分析】全称命题的否定：将任意改存在并否定原结论，即可得答案．

【详解】由全称命题的否定为特称命题，则原命题的否定为．

故选：D

3．【答案】B

【分析】利用导数的几何意义即可求解．

【详解】

由图可知：，即．

故选：B

4．【答案】D

【分析】直接求导得，利用导数与极值的关系即可得到答案．

【详解】，

当时，，此时函数单调递减，

当时，，此时函数单调递增，

所以当时，函数有极小值1，无极大值，

故选：D．

5．【答案】B

【分析】根据不等式的关系结合充分不必要条件分别进行判断即可．

【详解】对于A，若，当时，成立，

所以“”“”，A不满足条件；

对于B，，则，即，

所以“”“”，

若，则，不妨取，则，

所以“”“”，

所以“”是“”的充分不必要条件，B满足条件；

对于C，若，则，使得，即，

即“”“”，

所以“”是“”的充分条件，C不满足条件；

对于D，若，则，即，当且仅当时，等号成立，

所以“”“”，不满足条件．

故选：B．

6．【答案】D

【分析】根据双曲线的定义求出a的值，可判断A选项：利用双曲线的离心率公式可判断B选项：利用双曲线的焦半径公式可判断C选项：利用点到直线的距离公式可判断D选项．

【详解】对于A选项，由双曲线的定义可得，可得，

所以，双曲线的实轴长为6，A错；

对于B选项，因为，则，所以，双曲线的离心率为，B对；

对于C选项，因为，故点在双曲线的右支上，

易知，则双曲线的方程为，

设点，则，易知点，且，可得，

所以，

，当且仅当时，等号成立，C对；

对于D选项，双曲线的渐近线方程为，即，

所以，双曲线的焦点到渐近线的距离为，D对．

故选：BCD．

7．【答案】C

【分析】根据样本中心必在回归直线上求解．

【详解】，

所以这组数据的样本中心点是，

又点在回归直线上，所以，

解得．

故选：C．

8．【答案】B

【分析】首先得出双曲线的渐近线方程，右焦点及左顶点的坐标，再将渐近线方程与圆方程联立求出点的坐标，根据向量数量积的坐标运算即可得出答案．

【详解】由题可知，与圆在第一象限有交点的双曲线的渐近线方程为，双曲线的右焦点坐标为，左顶点坐标为，

由得，，

因为双曲线的一条渐近线与圆交点在第一象限，

所以，即，所以点的坐标为，

因为，所以，

故选：B．

9．【答案】A

【分析】矩形中，由，设交于，由于到点，，，的距离均为，所以为四面体的外接球的球心，由此能求出四面体的外接球的体积．

【详解】如图：

10．略

11．略

12．【详解】

由题意知：，

椭圆的长轴长，A错误；

椭圆短轴长为球的直径，即,

椭圆的焦距为，C正确；

椭圆的离心率，B正确；

由图可知：椭圆的面积大于球大圆的面积，又球大圆的面积，

椭圆的面积大于，D错误．

故选：BC．

【点睛】关键点点睛：本题解题关键是能够根据投影的特点确定椭圆C的a，b的取值与球O半径长之间的关系．

三、填空题

13．【答案】（答案不唯一）

【分析】设切点坐标，利用导数求切线斜率，代入点求出未知数即可得到切线方程．

【详解】，

设切点坐标为，则切线斜率为，得方程，代入点，得，即，解得或，当时，切线方程为，当时，切线方程为．

故答案为：（或）．

14．【答案】；0.5

【分析】利用抛物线的性质结合正弦定理即可得解．

【详解】

由点，可知点为准线与轴的交点，

如图所示，过点作于，

由抛物线定义可知，

所以在中，，

则，所以，

所以在中，．

故答案为：．

15．【答案】

【分析】由垂直平分线的性质结合椭圆的定义得出点的轨迹的方程．

【详解】由题意知，线段的垂直平分线交于点；所以，

，

点在以为焦点，长轴长为4的椭圆上，，

点的轨迹的方程为．

故答案为：

16．当时，，当时，，

在上单调递增，在上单调递增，

，

即图书馆占地面积（万平方米）的最大值为．

故答案为：．

【点睛】关键点点睛：本题考查利用导数求解面积最值的问题，解题关键是能够将所求直角梯形面积表示为关于某一变量的函数的形式，从而利用导数求解函数的单调性，进而确定最值．

四、解答题

17．【答案】（1）．（2）．

【分析】（1）把方程化为，得到，即可求解；

（2）由方程表示焦点在轴上的椭圆，求得，再分类讨论，列出不等式组，即可求解．

【详解】（1）由题意，命题：方程，可化得，则，解得，所以实数的取值范围．

（2）命题：方程表示焦点在轴上的椭圆，则，

当为真，为假时，，解得．

当为假，为真时，，解得．

综上，实数的取值范围为：．

【点晴】本题主要考查了充分条件、必要条件的应用，以及圆与椭圆的标准方程的应用，其中解答中正确求解命题，合理分类讨论是解答的关键，着重考查了推理与计算能力，属于基础题．

18．【答案】（1）10人

（2）列联表见解析，没有

【分析】（1）利用饼图数据分析即可求解；

（2）利用独立性检验方法求解．

【详解】（1）根据图2表格得健身达人所占比，所以其人数为，根据其中年轻人占比，

所以健身达人中年轻人人数为，非年轻人为10人；

（2）根据年轻人标准结合图1可得年轻人占比为，

则年轻人人数为，则非年轻人为20人，

健身爱好者人数为，再通过总共年轻人合计为80人，

则健身爱好者中年轻人人数为，

根据非年轻人总共为20人，

则健身爱好者中非年轻人人数为，

所以列联表为下图：

则，

所以没有的把握认为“健身达人”与年龄有关．

19．【答案】（1）的单调递增区间为；

（2）．

【分析】（1）求导后，根据导数的正负可求出函数的单调区间；

（2）根据导数与函数最值的关系结合条件即得．

【详解】（1）因为．

所以，

由，可得或，

的变化情况如下：

所以函数的单调递增区间为；

（2）由（1）知，在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增．

所以为极大值点，为极小值点，又，，

所以在上的值域为．

20．【答案】（1）与所成角为定值，理由见解析

（2）

【分析】（1）利用线面垂直的判它定理可证明平面，由线面垂直证明线线垂直，即可确定与所成角为定值；

（2）根据题意可得为二面角的平面角，即可求解各边长度，利用棱锥的体积公式即可求解．

【详解】（1）解：（1）因为平面平面，所以平面，

平面，所以，同理可证．

又为菱形，，

所以．

又为的中点，所以．

设，连接，所以．

又，所以平面．

又平面，所以，

故与所成角为定值．

（2）解：为中点，

为二面角的平面角，所以，

由题意知，解得，

又，可得，

由（1）得平面，

所以四面体的体积为：．

21．【答案】（1）；

（2）详见解析；

【分析】（1）根据题意求出抛物线的焦点坐标，可求得的值，进而可求得抛物线的方程；

（2）设点，将直线的方程与抛物线的方程联立，列出韦达定理，根据直线的斜率之和为0求得实数的值，即可求得直线所过定点的坐标．

【详解】（1），且抛物线的顶点到焦点的距离为2，

则该抛物线的焦点坐标为，解得，

因此，该抛物线的方程为；

（2）设点，

将直线的方程与抛物线的方程联立，消去并整理得，

由韦达定理得．

直线的斜率为，同理直线的斜率为，

由题意得，

上式对任意的非零实数都成立，则，解得，

所以，直线的方程为，该直线过定点．

【点睛】设而不求、联立方程，利用韦达定理解题是本类题目常用思路．本题中表示出是解题关键，也是计算难点．

22．【答案】（1）的极大值为，无极小值

（2）

【分析】（1）利用导数讨论函数的单调性即可求极值；

（2）利用导数讨论单调性求出函数的最小值即可求的取值范围．

【详解】（1），

今，解得：，令，解得：，

故在上递增，在上递减，

的极大值为，无极小值．

（2）若对任意，都有成立，

则对任意恒成立，

令，则，

令，则，

在上递增，即在上恒成立，

在上递增，故，故，即的取值范围是．