2022-2023学年四川省巴中市恩阳区高二上学期期末数学试题含解析

2022-2023学年四川省巴中市恩阳区高二上学期期末数学试题

一、单选题

1．下列调查方式中合适的是（    ）

A．要了解一批节能灯的使用寿命，采用普查方式

B．调查你所在班级同学的身高，采用抽样调查方式

C．调查沱江某段水域的水质情况，采用抽样调查方式

D．调查全市中学生每天的就寝时间，采用普查方式

【答案】C

【解析】根据普查与抽样调查的性质进行判断即可.

【详解】要了解节能灯的使用寿命，由于普查具有破坏性，所以宜采取抽样调查的方式；

要调查所在班级同学的身高，由于人数较少，宜采用普查的方式；

对全市中学生每天的就寝时间的调查不宜采用普查的方式.

故选C.

【点睛】本题主要考查了普查与抽样的合理选取，属于基础题.

2．演讲比赛共有9位评委分别给出某选手的原始评分9.2，9.5，9.6，9.1，9.3，9.0，8.8，9.3，9.6，评定该选手的成绩时，从9个原始评分中去掉1个最高分、1个最低分，得到7个有效评分．7个有效评分与9个原始评分相比，不变的数字特征是（    ）

A．极差 B．中位数 C．平均数 D．方差

【答案】B

【分析】分别计算9个原始评分和7个有效评分的极差、中位数、平均数和方差的，即可得出答案.

【详解】从9个原始评分中去掉1个最高分、1个最低分，得到7个有效评分为：

9.2，9.5，9.6，9.1，9.3，9.0，9.3，

极差：，

将7个有效评分从小到大排列为：9.0，9.1，9.2，9.3，9.3，9.5，9.6，

所以中位数为：9.3；

平均数为：，

9个原始评分的极差为：，

将9个有效评分从小到大排列为：8.8，9.0，9.1，9.2，9.3，9.3，9.5，9.6，9.6，

所以中位数为：9.3；

平均数为：，

所以不变的数字特征是中位数.

故选：B.

3．点与圆的位置关系是（    ）

A．在圆上 B．在圆内 C．在圆外 D．不能确定

【答案】C

【分析】直接利用点与圆心的距离与半径的大小关系判断.

【详解】因为，

所以点在圆外，

故选：C

【点睛】本题主要考查点与圆的位置关系，属于基础题.

4．如图程序框图的算法思路源于我因古代数学名著《九章算术》中的“更相减损术”，执行该程序相图，若输入分别为2，6，则输出的a等于（    ）

A．4 B．0 C．2 D．14

【答案】C

【分析】模拟程序运行，确定变量值的变化，可得正确结论．

【详解】程序运行时，变量值变化为：，满足，不满足，；满足，不满足，，不满足，输出．

故选：C．

【点睛】本题考查程序框图，解题时可模拟程序运行，观察变量值的变化，判断运行条件，得出正确结论．

5．从装有两个红球和三个黑球的口袋里任取两个球，那么互斥而不对立的两个事件是（    ）

A．“至少有一个黑球”与“都是黑球” B．“至少有一个黑球”与“都是红球”

C．“至少有一个黑球”与“至少有一个红球” D．“恰好有一个黑球”与“恰好有两个黑球”

【答案】D

【分析】根据互斥事件和独立事件的概念，结合试验条件逐项判定，即可求解.

【详解】对于A中，当从口袋中取出两个黑球时，事件“至少有一个黑球”与“都是黑球”同时发生，

所以事件“至少有一个黑球”与“都是黑球”不是互斥事件，所以A不符合题意；

对于B中，从口袋中取出两个球，事件“至少有一个黑球”与“都是红球”不能同时发生，但必有一个事件发生，

所以事件“至少有一个黑球”与“都是红球”对立事件，所以B不符合题意；

对于C中，当从口袋中取值一红一黑时，事件“至少有一个黑球”与“至少有一个红球”同时发生，

所以事件“至少有一个黑球”与“至少有一个红球”不是互斥事件，所以C不符合题意；

对于D中，事件“恰好有一个黑球”与“恰好有两个黑球”不能同时发生，当取出两个红球时，事件都没有发生，

所以事件“恰好有一个黑球”与“恰好有两个黑球”是互斥事件但不是对立事件，符合题意.

故选：D.

6．已知平面平面，．下列结论中正确的是（    ）

A．若直线平面，则 B．若平面平面，则

C．若直线直线，则 D．若平面直线，则

【答案】D

【解析】A，利用线面平行的判定定理；B，面面垂直没有传递性；C，利用面面垂直的性质定理；D，利用面面垂直的判定定理；

【详解】A，若，，则或，故A错误；

B，若，，则或与相交，故B错误；

C，若，，，必须，利用面面垂直的性质定理可知，故C错误；

D，若，，即，利用面面垂直的判定定理知，故D正确；

故选：D.

【点睛】关键点点睛：本题主要考查空间直线，平面直线的位置关系的判断，熟练掌握平行和垂直位置关系的判定和性质是解题的关键，属于基础题.

7．一个棱锥的各棱长都相等，那么这个棱锥一定不是（    ）

A．三棱锥 B．四棱锥 C．五棱锥 D．六棱锥

【答案】D

【分析】设每个等边三角形的边长为 ，正六棱锥的高为，正六棱锥的侧棱长为 ，由正六棱锥的结构特征结合勾股定理可得，进而可以得出结论.

【详解】正六棱锥的底面是个正六边形，正六边形共由6个等边三角形构成，设每个等边三角形的边长为 ，正六棱锥的高为，正六棱锥的侧棱长为 ，由正六棱锥的高、底面的半径、侧棱长构成直角三角形得， ，故侧棱长 和底面正六边形的边长不可能相等.

故选：D.

8．连续抛掷一枚骰子次，则第次正面向上的数字比第次正面向上的数字大的概率为（    ）

A． B． C． D．

【答案】A

【分析】由古典概型概率公式计算即可.

【详解】方法一：

连续抛掷一枚骰子次，用表示第次和第次正面向上的数字分别为，，则基本事件有：

，，，，，，

，，，，，，

，，，，，，

，，，，，，

，，，，，，

，，，，，，共个，

设事件“第次正面向上的数字比第次正面向上的数字大”，

则事件中基本事件有，，，，，，，，，，，，，，，共个，

∴.

∴第次正面向上的数字比第次正面向上的数字大的概率为.

方法二：

连续抛掷一枚骰子次，第次正面向上的数字有种，第次正面向上的数字有种，

∴连续抛掷一枚骰子次，基本事件有个；

其中，第次正面向上的数字与第次正面向上的数字相等的基本事件有个，

而第次正面向上的数字比第次正面向上的数字大的基本事件，与第次正面向上的数字比第次正面向上的数字小的基本事件数量相同，

∴第次正面向上的数字比第次正面向上的数字大的基本事件有个，

∴第次正面向上的数字比第次正面向上的数字大的概率为.

故选：A.

9．在棱长为的正方体中，点在底面内运动，使得△的面积为，则动点的轨迹为（    ）

A．椭圆的一部分 B．双曲线的一部分

C．一段圆弧 D．一条线段

【答案】A

【分析】分析可知动点到弦的距离为定值,再分析所有动点的轨迹与面的交线形状即可.

【详解】易得,又的面积为,设到弦的距离为,则为定值.故点在以为中轴线,底面半径为的圆柱的侧面上.

故动点的轨迹是平面截该圆柱所得的截痕,因为平面不垂直于,且该平面与圆柱的截痕为封闭图形,故平面与该圆柱的截痕为椭圆,又点在底面内运动,故截痕是椭圆的一部分.

故选：A

【点睛】本题主要考查了空间中动点的轨迹问题,需要根据题意求得动点的所有轨迹,再分析与平面的截痕,属于基础题.

10．已知是椭圆的左、右焦点，是椭圆上的一点，若构成公比为的等比数列，则椭圆的离心率为（    ）

A． B． C． D．

【答案】A

【分析】根据构成公比为的等比数列可知,再利用椭圆的定义以及基本量与离心率的关系求解即可.

【详解】由题, .故离心率.

故选：A

【点睛】本题主要考查了等比数列的性质以及椭圆离心率的计算,属于基础题.

11．点在直线上，若椭圆上存在两点，使得是等腰三角形，则称椭圆具有性质．下列结论中正确的是（    ）

A．对于直线上的所有点，椭圆都不具有性质

B．直线上仅有有限个点，使椭圆具有性质

C．直线上有无穷多个点（但不是所有的点），使椭圆具有性质

D．对于直线上的所有点，椭圆都具有性质

【答案】D

【解析】以点为圆心作圆，则通过改变圆的半径大小，使得圆与椭圆相交于两点，这样，于是是等腰三角形，即可知结论正确的是D．

【详解】取直线上的任意点，以点为圆心作圆，通过改变圆的半径大小，使得圆与椭圆相交于两点，这样，于是是等腰三角形，所以对于直线上的所有点，椭圆都具有性质．

故选：D．

12．如图，已知球是棱长为1的正方体的内切球，则平面截球的截面面积为（    ）

A． B．

C． D．

【答案】C

【分析】画出平面截球的截面的平面图，由正方体棱长和锐角三角函数，可求出内切圆的半径，进而可求得截面面积.

【详解】平面截球的截面为的内切圆，

正方体棱长为1，.

内切圆半径.

截面面积为：.

故选：C.

二、填空题

13．若，求圆心坐标为___________.

【答案】

【分析】将圆的一般方程化为标准方程，即可得出答案.

【详解】解：由，可得圆的标准方程为，

所以圆心坐标为.

故答案为：.

14．在平面直角坐标系中，若双曲线经过点（3，4)，则该双曲线的渐近线方程是_____.

【答案】.

【分析】根据条件求，再代入双曲线的渐近线方程得出答案.

【详解】由已知得，

解得或，

因为，所以.

因为，

所以双曲线的渐近线方程为.

【点睛】双曲线的标准方程与几何性质，往往以小题的形式考查，其难度一般较小，是高考必得分题.双曲线渐近线与双曲线标准方程中的密切相关，事实上，标准方程中化1为0，即得渐近线方程.

15．在长方体中，，则异面直线与所成角的余弦值为__________.

【答案】

【分析】以D为原点，DA为x轴，DC为y轴，为z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出异面直线与所成角的余弦值.

【详解】解答：解：以D为原点，DA为x轴，DC为y轴，为z轴，建立空间直角坐标系，

∵在长方体中，，

，，

设异面直线与所成角为，

则，

∴异面直线与所成角的余弦值为.

故答案为：.

【点睛】本题考查异面直线所成角的余弦值的求法，考查运算求解能力，是基础题.

三、双空题

16．已知动点在圆上，则的取值范围是____________，若点，点，则的最小值为____________.

【答案】         

【分析】（1）令，则所求问题转化为求圆上任意一点到的斜率范围，数形结合确定边界即可求解；

（2）分析特点可知，两线段前的系数并不统一，如果要转化成最值问题，需将转化，画出图像，结合相似三角形，可得，点为，则所求问题转化为求距离最值，当点在连线与圆的交点上时，有最小值

【详解】

（1）如图，令，所求问题等价于求圆上动点与连线的斜率范围，当斜线斜率不存在时，相切于右边界，当直线斜率存在时，若相切于第二象限，设直线方程为，则，解得，则的取值范围是；

(2)

如图所示，当在轴上时，，，

；

当不在轴上时，，作点为，则有，则，则有，即，则，当点在连线与圆的交点上时，有最小值；

综上所述，的最小值为

故答案为：；

【点睛】本题考查由点与圆的位置关系求斜率范围，求动点到两定点间距离最值问题，分类讨论、数形结合思想，转化与化归思想，综合性强，属于难题

四、解答题

17．某校在全体同学中随机抽取了100名同学，进行体育锻炼时间的专项调查．将调查数据按平均每天锻炼时间的多少（单位：分钟）分成五组：，，，，，得到如图所示的频率分布直方图．将平均每天体育锻炼时间不少于60分钟的同学定义为锻炼达标，平均每天体育锻炼时间少于60分钟的同学定义为锻炼不达标．

（1）求a的值，并估计该校同学平均每天体育锻炼时间的中位数；

（2）在样本中，对平均每天体育锻炼时间不达标的同学，按分层抽样的方法抽取6名同学了解不达标的原因，再从这6名同学中随机抽取2名进行调研，求这2名同学中至少有一名每天体育锻炼时间（单位：分钟）在内的概率．

【答案】（1），中位数为64；（2）.

【分析】（1）由频率和为1求参数a，根据中位数的性质，结合频率直方图求中位数.

（2）首先由分层抽样求6名同学的分布情况，再应用列举法求概率.

【详解】（1）由题设，，可得，

∴中位数应在之间，令中位数为，则，解得.

∴该校同学平均每天体育锻炼时间的中位数为64.

（2）由题设，抽取6名同学中1名在，2名在，3名在，

若1名在为，2名在为，3名在为，

∴随机抽取2名的可能情况有共15种，

其中至少有一名在内的共12种，

∴这2名同学中至少有一名每天体育锻炼时间（单位：分钟）在内的概率为.

18．为助力四川新冠疫情后的经济复苏，某电商平台为某工厂的产品开设直播带货专场．为了对该产品进行合理定价，用不同的单价在平台试销，得到如下数据：

(1)根据以上数据，求y关于x的线性回归方程；

(2)若该产品成本是4元/件，假设该产品全部卖出，预测把单价定为多少时，工厂获得最大利润？

（参考公式：回归方程，其中，）．

【答案】(1)

(2)单价定为8.25元时，工厂获得利润最大

【分析】（1）求出，代入公式求出，得到线性回归方程；

（2）设获得的利润为L万元，表达出利润关于的关系式，配方后得到最大利润.

【详解】（1），．

，

，

∴，

∴，

所以回归直线方程为

（2）设工厂获得的利润为L万元，则，

所以该产品的单价定为8.25元时，工厂获得利润最大．

19．已知直线l经过抛物线y2＝6x的焦点F，且与抛物线相交于A，B两点．

(1)若直线l的倾斜角为60°，求|AB|的值；

(2)若|AB|＝9，求线段AB的中点M到准线的距离．

【答案】（1）8（2）

【分析】（1）由y2＝6x，得准线方程、焦点，直线的方程为，与抛物线方程联立可得x2－5x＋＝0，设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则x1＋x2＝5，由抛物线的定义可知线段AB的长；

（2），即可求线段AB的中点M到准线的距离．

【详解】(1)因为直线l的倾斜角为60°，所以其斜率k＝tan 60°＝．

又F，所以直线l的方程为y＝．

联立消去y得x2－5x＋＝0．设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则x1＋x2＝5，

而|AB|＝|AF|＋|BF|＝x1＋＋x2＋＝x1＋x2＋p，所以|AB|＝5＋3＝8．

(2)设A(x1，y1)，B(x2，y2)，由抛物线定义知|AB|＝|AF|＋|BF|＝x1＋x2＋p＝x1＋x2＋3，

所以x1＋x2＝6，于是线段AB的中点M的横坐标是3．又准线方程是x＝－，

所以M到准线的距离为3＋＝．

【点睛】本题考查抛物线的方程与性质，考查直线与抛物线的位置关系，考查抛物线的定义，属于中档题.

20．已知四棱锥中，，，，，，平面，.

（1）设平面平面，求证：；

（2）若是的中点，求四面体的体积.

【答案】（1）证明见解析；（2）.

【解析】（1）先证平面，然后由线面平行性质定理可得结论；

（2）由线面平行的性质，把体积利用等高进行转换，然后由体积公式计算，

【详解】（1）证明：因为，平面，平面，所以平面.

因为平面，平面平面，

所以.

（2）解：，

∵平面，所以两点到平面的距离相等.

由条件易得平面且

∴．

【点睛】关键点点睛：本题考查证明线线平行，考查求棱锥的体积．在立体几何的证明中，注意掌握线面间关系的判定定理和性质定理，下结论时需要满足定理的所有条件，一个不缺，一一列举，然后得出结论，否则证明过程不完整．

21．如图，在四棱锥中，底面是边长为2的菱形，是边的中点．

（1）求证：平面；

（2）若直线与底面所成的角为，求二面角的大小．

【答案】（1）证明见解析；（2）．

【分析】（1）连接，由题意可得是等边三角形，则，从而可得，再结合已知条件由线面垂直的判定定理可得结论；

（2）过在平面内做于，连接，则可得直线与平面所成角的大小为，由可得为二面角的平面角，中计算即可

【详解】（1）连接，底面是菱形，是正三角形．

点是边的中点，

平面．

（2）过在平面内做于，连接，

由（1）知面，

为在面内的射影．直线与平面所成角的大小为．

为正三角形，．

在中，．

为二面角的平面角，

在中，．

故二面角的大小为．

22．如图，中心在原点的椭圆的右焦点为，长轴长为．椭圆上有两点、，连接、，记它们的斜率为、，且满足．

(1)求椭圆的标准方程；

(2)求证：为一定值，并求出这个定值；

(3)设直线与椭圆的另一个交点为，直线和分别与直线交于点、，若和的面积相等，求点的横坐标．

【答案】(1)

(2)证明见解析，

(3)点横坐标为

【分析】（1）利用椭圆的长轴长以及焦点坐标，求解、，然后求解，得到椭圆方程；

（2）设、，通过．结合得到坐标满足方程，转化求解为一定值即可．

（3）通过，推出，转化求解点的横坐标即可．

【详解】（1）由已知条件，设椭圆，则，解得，

椭圆．

（2）证明：设、，则，整理得，

由，∴，

∵，

解得，将其代入，为定值.

（3）设、，由椭圆的对称性可知，，

∵，∴，

∴，∴或者，

或者．

∵，∴或者（舍），

解得：，

∴点横坐标为．

【点睛】易错点点睛：解决直线与椭圆的综合问题时，要注意：

（1）注意观察应用题设中的每一个条件，明确确定直线、椭圆的条件；

（2）强化有关直线与椭圆联立得出一元二次方程后的运算能力，重视根与系数之间的关系、弦长、斜率、三角形的面积等问题．