2022-2023学年四川省巴中市恩阳区高一（下）期中数学试卷（含解析）

2022-2023学年四川省巴中市恩阳区高一（下）期中数学试卷

一、单选题（本大题共8小题，共40.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）

1.  已知角、的终边相同，那么的终边在(    )

A. 轴的非负半轴上 B. 轴的非负半轴上 C. 轴的非正半轴上 D. 轴的非正半轴上

2.  下列四个式子中可以化简为的是(    )
；
；
；
．

A.  B.  C.  D.

3.  函数是(    )

A. 上是增函数 B. 上是减函数
C. 上是减函数 D. 上是减函数

4.  将函数的图象上所有点的横坐标伸长到原来的倍纵坐标不变，再将所得的图象向左平移个单位，得到的图象对应的解析式是(    )

A.  B.  C.  D.

5.  已知，，点是线段上的点，且，则点的坐标是(    )

A.  B.  C.  D.

6.  已知向量，，，则实数的值为(    )

A.  B.  C.  D.

7.  已知，则(    )

A.  B.  C.  D.

8.  设函数是常数，，若在区间上具有单调性，且，则(    )

A. 的周期为
B. 的单调递减区间为
C. 的图像与的图像重合
D. 的对称轴为

二、多选题（本大题共4小题，共20.0分。在每小题有多项符合题目要求）

9.  设，，是任意的非零向量，则下列结论不正确的是(    )

A.  B.
C.  D.

10.  已知向量，若，则实数的值可以为(    )

A.  B.  C.  D.

11.  下列三角式中，值为的是(    )

A.  B.
C.  D.

12.  已知奇函数的定义域为，且满足：对任意的，都有设，且当时，的值域为，则下列说法正确的有(    )

A. 的图象关于直线轴对称 B. 在内至少有个零点
C. 的图象关于点中心对称 D. 在上的值域为

三、填空题（本大题共4小题，共20.0分）

13.  已知向量与的夹角为，且，，则的值为______ ．

14.  一质点受到同一平面上的三个力，，单位：牛顿的作用而处于平衡状态，已知，成角，且，的大小都为牛顿，则的大小为______ 牛顿．

15.  数学中处处存在着美，机械学家莱洛发现的莱洛三角形就给人以对称的美感莱洛三角形的画法：先画等边三角形，再分别以、、为圆心，线段长为半径画圆弧，便得到莱洛三角如图所示若莱洛三角形的周长为，则其面积是______ ．

16.  已知且，，则的值是______ ．

四、解答题（本大题共6小题，共70.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）

17.  本小题分
已知向量，．
求；
已知，且，求向量与向量的夹角．

18.  本小题分
已知，为锐角，，．
求的值；
求的值．

19.  本小题分
已知中，点在线段上，且，延长到，使设．
用表示向量；
若向量与共线，求的值．

 

20.  本小题分
已知．
化简，并求；
求函数的值域．

21.  本小题分
如图所示，摩天轮的半径为，最高点距离地面高度为，摩天轮的圆周上均匀地安装着个座舱，并且运行时按逆时针匀速旋转，转一周大约需要甲，乙两游客分别坐在，两个座舱里，且他们之间间隔个座舱本题中将座舱视为圆周上的点．

Ⅰ求劣弧的弧长单位：；
Ⅱ设游客丙从最低点处进舱，开始转动后距离地面的高度为，求在转动一周的过程中，关于时间的函数解析式；
Ⅲ若游客在距离地面至少的高度能够获得最佳视觉效果，请问摩天轮转动一周能有多长时间使甲，乙两位游客都有最佳视觉效果．

22.  本小题分
已知函数．
当时，做出的草图，并写出的单调区间；
若存在，使得成立，求实数的取值范围．

答案和解析

1.【答案】 

【解析】解：角、终边相同，，．
作差得，，的终边在轴的非负半轴上．
故选：．
由题意得，，作差得．
本题考查终边相同的角之间的关系，终边相同的角的表达形式．
 

2.【答案】 

【解析】解：；
；
；
，综上，可化成，
故选：．
由向量的加减法运算法则，即可求解．
本题考查平面向量的加减法运算，属基础题．
 

3.【答案】 

【解析】解：当，，先增后减，错误；
B.当时，，为减函数，正确；
C.当时，，为增函数，错误；
D.当时，，先增后减，错误．
故选：．
根据的范围，确定的范围，根据正弦函数的单调性确定在相应的区间上的增减性．
本题考查了三角函数的单调性，属于基础题．
 

4.【答案】 

【解析】解：将图象上所有点的横坐标伸长到原来的倍纵坐标不变，
可得函数，再将所得的图象向左平移个单位，
得函数，即，
故选：．
根据三角函数的图象的平移法则，依据原函数横坐标伸长到原来的倍可得到新的函数的解析式，进而通过左加右减的法则，依据图象向左平移个单位得到，整理后答案可得．
本题主要考查了三角函数的图象的变换．要特别注意图象平移的法则．
 

5.【答案】 

【解析】解：设，则，，
，，  
点的坐标为，故选D．
先写出个向量的坐标，利用个向量相等，则他们的坐标对应相等．
本题考查两个向量相等的条件，两个向量相等时，他们的坐标相等．
 

6.【答案】 

【解析】解：，
，
，解得．
故选：．
对两边平方即可得出，然后进行向量坐标的数量积运算即可求出的值．
本题考查了向量数量积的运算及坐标运算，考查了计算能力，属于基础题．
 

7.【答案】 

【解析】

【分析】
由条件利用诱导公式进行化简所给的式子，可得结果．
本题主要考查利用诱导公式进行化简三角函数式，属于基础题．
【解答】
解：已知，

，
故选：．  

8.【答案】 

【解析】解：对于选项A，在区间上具有单调性，且，
和均不是的最值点，其最值应该在处取得．
，也不是函数的最值点，又在区上具有单调性，
，可得为一个与对称轴相邻的对称中心，
故函数的最小正周期，所以A错误．
对于选项B：由选项A可知，所以．
因为，，过点可得，所以．
令，得的单调递减区间为，故B错误．
对于选项C，，故C正确．
对于选项D：令，得的对称轴为，故D错误．
故选：．
由题意，利用正弦函数的图象和性质，先求出，然后再判断每一个选项的正误即可．
本题主要考查正弦函数的图象和性质，属于中档题．
 

9.【答案】 

【解析】解：对于，数量积的运算结果是实数，故A错误；
对于，都是实数，故等号左边是的共线向量，同理右边是的共线向量，的方向未必相同，且左右两边的模长未必相等，故B错误；
对于，因为皆为非零向量，故，故C正确；
对于，根据数量积的运算性质及运算律可知该式成立，故D正确．
故选：．
根据数量积的性质和运算规律逐一判断即可．
本题考查平面向量的数量积的性质及运算，属于基础题．
 

10.【答案】 

【解析】解：因为，
所以，
解得或或．
故选：．
根据向量垂直列出方程，求出实数的值．
本题主要考查向量垂直的性质，属于基础题．
 

11.【答案】 

【解析】解：对于选项A：，故选项A正确，
对于选项B：，故选项B正确，
对于选项C：，故选项C正确，
对于选项D：，故选项D错误，
故选：．
利用二倍角公式化简选项A，，的式子，求出结果再判断，选项D直接计算即可．
本题主要考查了二倍角公式在三角函数化简中的应用，是基础题．
 

12.【答案】 

【解析】

【分析】

本题考查函数的奇偶性，对称性，周期性等性质的综合运用，考查逻辑推理能力及运算求解能力，属于较难题．
先推导出关于直线对称，且周期为，进而判断选项A，正误；由，判断选项B错误；分类讨论可求得当时，的值域为，即选项D正确．

【解答】

解：是奇函数，
，
又，
，
即，
关于直线对称，
又，，
，即函数的周期为，
函数的图象关于直线轴对称，且关于点中心对称，故A，选项正确；
显然在，，
故在内至少有个零点，故选项B错误；
又，故为奇函数，
当时，的值域为，
则当时，的值域为，
当时，，的值域为，
当时，，的值域为，
综上，当时，的值域为，故选项D正确．
故选：．

13.【答案】 

【解析】解：因为向量与的夹角为，且，，
所以．
故答案为：．
由平面向量数量积的定义直接计算即可．
本题考查平面向量数量积的定义，属于基础题．
 

14.【答案】 

【解析】解：质点受到同一平面上的三个力，，的作用而处于平衡状态，
，
，


，
故．
即的大小为牛顿．
故答案为：．
根据平衡条件得出，利用模长公式求出，即可得出的值．
本题考查了平面向量的线性运算的应用及向量的模的应用．
 

15.【答案】 

【解析】解：如图，

由条件可知，弧长，等边三角形的边长，
则以点、、为圆心，圆弧，，所对的扇形面积为，
中间等边的面积，
所以莱洛三角形的面积是．
故答案为：．
根据图形分析，利用扇形面积公式和三角形面积公式求解即可．
本题考查了扇形面积公式和三角形面积公式的应用，属于基础题．
 

16.【答案】． 

【解析】解：已知，
则，，
即，，
又，，
则，，
则，，
则．
故答案为：．
由诱导公式，结合两角和与差的三角函数求解即可．
本题考查了诱导公式，重点考查了两角和与差的三角函数，属中档题．
 

17.【答案】解：，
所以，
所以；
由题知，，，，
所以，，
所以，
所以，
所以，
因为，
所以向量与向量的夹角为． 

【解析】根据向量的坐标运算求向量的模即可；
由向量的模，根据向量的数量积公式转化求向量的夹角即可．
本题主要考查平面向量的数量积运算，属于基础题．
 

18.【答案】解：，为锐角，
，
，
；
，，
． 

【解析】，为锐角，，利用平方关系可求得的值；
依题意，可得，又，利用两角差的正切可求出的值．
本题主要考查两角和与差的三角函数，考查运算求解能力，属于中档题．
 

19.【答案】解：，
为的中点，
，
可得，
而．
由，得，
与共线，
设，
即，
根据平面向量基本定理，得，
解得． 

【解析】本题考查了向量的线性运算，平面向量基本定理，属于基础题．
由是中点，得，从而算出，再由向量减法法则即可得到；
根据的结论，可得关于向量的表示式，而，结合向量共线建立方程组，解之即可得到实数的值．
 

20.【答案】解：因为，
故；
，
因为，
所以当时，函数取得最大值，当时，函数取得最小值．
故函数的值域为 

【解析】本题考查求正弦型函数的值域或最值、利用诱导公式化简、利用同角三角函数基本关系化简、二次函数的最值，属于基础题．
先利用诱导公式和同角三角函数基本关系，化简的解析式，再代入即可求得的值；
先利用诱导公式化简和同角三角函数基本关系，化简函数的解析式，再结合正弦函数和二次函数的性质，即可求得的值域．
 

21.【答案】解：Ⅰ，
由弧长公式可得，；
Ⅱ设，其中
由题意，，
，
，，
，
当时，可得，
，得；
Ⅲ令，
，
则，，
，
而甲乙相差，
又，有甲乙都有最佳视觉效果． 

【解析】本题考查三角函数模型的应用，考查运算求解能力，是中档题．
Ⅰ求出，再由弧长公式求；
Ⅱ设，由题意求得、与，得到，当时，可得，求得，则函数解析式可求；
Ⅲ由，结合甲乙相差，即可求得甲乙都有最佳视觉效果的时间．
 

22.【答案】解：当时，，
作出函数的图象如下图所示：

由图可知，函数的单调递减区间为，单调递增区间为、．
设，，则问题转化为存在，，使得，
又注意到时，，且，
可知问题等价于存在，，即在上有解．
即在上有解，于是或在上有解，
进而或在上有解，
由函数上单调递减，在上单调递增，
则，
因为函数、在上单调递增，
则函数在上单调递增，
所以，，
则或，
故的取值范围是． 

【解析】当时，将函数的解析式表示为分段函数的形式，可作出函数的图象，根据图形可写出函数的增区间和减区间；
设，，则问题转化为存在，，使得，注意到当时，，可知问题等价于存在，，即在上有解，利用参变量分离法可求得实数的取值范围．
本题考查分段函数图象，函数恒成立问题，属于中档题．