2022-2023学年四川省成都市城厢中学校高二下学期期中考试数学（文）试题含解析

2022-2023学年四川省成都市城厢中学校高二下学期期中考试数学（文）试题

一、单选题

1．已知集合，，则（    ）

A． B． C． D．

【答案】B

【分析】先求出集合，再根据交集运算求出即可.

【详解】由题意知：，又，故.

故选：B.

2．复数 (为虚数单位)在复平面内表示的点的坐标为

A． B． C． D．

【答案】A

【详解】分析：求出复数的代数形式，再写出在复平面内表示的点的坐标．

详解：复数，所以复数在复平面内表示的点的坐标为，选A.

点睛：本题主要考查了复数的四则运算，以及复数在复平面内所表示的点的坐标，属于容易题．

3．函数，则=（    ）

A． B．0 C． D．2

【答案】D

【分析】先计算出，再计算的值.

【详解】，故.

故选：D

4．在极坐标系中，圆的圆心的极坐标是（    ）

A． B．

C． D．

【答案】D

【分析】把圆的极坐标方程化为直角坐标方程，求出圆心的直角坐标，再把它化为极坐标

【详解】解：圆即，

即，

即，表示以为圆心，半径等于的圆．

而点的极坐标为

故选：D．

5．下列函数中，在定义域内既是奇函数又是增函数的是（    ）

A． B．

C． D．

【答案】C

【分析】利用基本初等函数的奇偶性与单调性逐项判断，可得出合适的选项.

【详解】对于A选项，函数为奇函数，但该函数在定义域内不单调，A选项不满足条件；

对于B选项，函数为奇函数，但该函数在定义域内不单调，B选项不满足条件；

对于C选项，函数的定义域为，

且，所以，函数为奇函数，

因为函数、均为上的增函数，故函数在上为增函数，C选项满足条件；

对于D选项，函数的定义域为，该函数为非奇非偶函数，D选项不满足条件.

故选：C.

6．执行如图所示的程序框图，输出的结果是（    ）

A． B． C． D．

【答案】C

【分析】根据框图，模拟运算即可得解.

【详解】模拟程序运算：

第一次，，，

第二次，，，

第三次，，，结束循环，

输出，

故选：C

7．已知：，那么命题的一个必要非充分条件是（    ）

A． B．

C． D．

【答案】B

【分析】先解不等式求出，然后结合选项根据必要不充分条件的概念即可判断.

【详解】因为，所以，然后结合选项根据必要不充分条件的概念可判断，

故选：B.

8．收集一只棉铃虫的产卵数与温度的几组数据后发现两个变量有相关关系，按不同的曲线来拟合与之间的回归方程，并算出了对应的决定系数如下表：

则这组数据模型的回归方程的最好选择应是（    ）

A． B．

C． D．

【答案】B

【分析】根据决定系数的大小与拟合效果的关系判定即可.

【详解】由决定系数来刻画回归效果，的值越大越接近1，说明模型的拟合效果最好．由表可知指数模型的决定系数最接近1.

故选：B．

9．已知函数，则函数的单调递增区间为（    ）

A． B．，

C． D．

【答案】C

【分析】判断定义域，求导函数，分析的解，从而得单调递增区间.

【详解】定义域为，，

解得，当时，，

所以的单调递增区间为.

故选：C

10．函数的图象大致是（    ）

A． B．

C． D．

【答案】D

【分析】由函数的奇偶性排除选项B，再代入特殊值排除选项A，利用导数分析单调性可排除C,即可得到答案.

【详解】函数的定义域为，且，

函数为偶函数，排除选项B；

，排除选项A；

当时，，则，

所以当时，，函数单调递减，排除C.

故选：D.

11．函数,当时,有恒成立,则实数m的取值范围是    （　　）

A． B． C． D．

【答案】D

【分析】要使原式恒成立，只需 m2﹣14m≤f（x）min，然后再利用导数求函数f（x）＝﹣x3﹣2x2+4x的最小值即可．

【详解】因为f（x）＝﹣x3﹣2x2+4x，x∈[﹣3，3]

所以f′（x）＝﹣3x2﹣4x+4，令f′（x）＝0得，

因为该函数在闭区间[﹣3，3]上连续可导，且极值点处的导数为零，

所以最小值一定在端点处或极值点处取得，

而f（﹣3）＝﹣3，f（﹣2）＝﹣8，f（），f（3）＝﹣33，

所以该函数的最小值为﹣33，

因为f（x）≥m2﹣14m恒成立，

只需m2﹣14m≤f（x）min，

即m2﹣14m≤﹣33，即m2﹣14m+33≤0

解得3≤m≤11．

故选D．

【点睛】本题考查了函数最值，不等式恒成立问题，一般是转化为函数的最值问题来解决，而本题涉及到了可导函数在闭区间上的最值问题，因此我们只要从端点值和极值中找最值，注意计算的准确，是基础题

12．设函数定义域为，为奇函数，为偶函数，当时，，则下列结论错误的是（    ）

A． B．为奇函数

C．在上是减函数 D．方程仅有6个实数解

【答案】C

【分析】由题设可得关于、对称且周期为8，利用对称性和周期性求、判断奇偶性及在上的单调性，由与交点情况，数形结合判断根的个数.

【详解】由题设，则关于对称，即，

，则关于对称，即，

所以，则，故，

所以，即，故，

所以的周期为8，

，A正确；

由周期性知：，故为奇函数，B正确；

由题意，在与上单调性相同，而上递增，

关于对称知：上递增，故上递增，

所以在上是增函数，C错误；

的根等价于与交点横坐标，

根据、对数函数性质得：，，

所以如下图示函数图象：函数共有6个交点，D正确.

故选：C

二、填空题

13．复数的共轭复数为_______.

【答案】

【分析】先化简复数，再利用共轭复数的概念求解.

【详解】解：因为复数，

所以其共轭复数为，

故答案为：

14．曲线的一条切线的斜率为2，则该切线的方程为______________.

【答案】

【分析】设切线的切点坐标为，对函数求导，利用，求出，代入曲线方程求出，得到切线的点斜式方程，化简即可.

【详解】设切线的切点坐标为，

，所以切点坐标为，

所求的切线方程为，即.

故答案为：.

【点睛】本题考查导数的几何意义，属于基础题.

15．已知甲，乙，丙三个人中，只有一个人会中国象棋．甲说：“我会”；乙说：“我不会”；丙说：“甲不会”如果这三句话只有一句是真的，那么甲，乙，丙三个人中会中国象棋的是________．

【答案】乙

【分析】分别假设甲会、乙会、丙会，推理分析，即可得答案.

【详解】假设甲会，那么甲、乙说的都是真话，与题意矛盾，所以甲不会；

假设乙会，那么甲、乙说的都是假话，丙说的真话，符合题意；

假设丙会，那么乙、丙说的都是真话，与题意矛盾，不符合．

故答案为：乙．

16．若函数在区间(－2，1)上恰有一个极值点，则实数a的取值范围为____

【答案】

【分析】转化函数在区间(－2，1)上恰有一个极值点，为在区间(－2，1)上有唯一的变号零点，利用二次函数根的分布，转化为，再验证端点即得解

【详解】由题意，

函数在区间(－2，1)上恰有一个极值点，即在区间(－2，1)上恰有一个变号零点

令，即在区间(－2，1)上有唯一的变号零点

根据二次函数根的分布可知：

，即

此时端点值是否成立不确定.

（1）当时，在区间(－2，1)上有唯一的变号零点，成立；

（2）当时，在区间(－2，1)上恒小于0，不成立；

综上，实数a的取值范围为

故答案为：

三、解答题

17．在平面直角坐标系中，曲线所对应的图形经过伸缩变换得到图形.

(1)写出曲线的平面直角坐标方程；

(2)点在曲线上，求点到直线的距离的最小值及此时点的坐标.

【答案】(1)

(2)，

【分析】（1）通过得到，然后带回到曲线的方程即可；

（2）利用三角换元设出曲线上的点，然后利用点到直线的距离公式求解.

【详解】（1）由可得，代入到中，得.

即为曲线的直角坐标方程；

（2）设，则点到直线的距离为

，其中（）

当时，即，于是，

同理，此时，即距离最小值为，此时点.

18．已知函数在处取得极大值.

(1)求的值；

(2)当时，求的最大值.

【答案】(1)

(2)5

【分析】（1）求导得，根据函数极值与导数的关系得到关于方程组，解出并检验即可；

（2）直接求导，列出函数与导函数变化的表格，通过表格即可求出最大值.

【详解】（1），且函数在处有极值1，

，解得.                             

又当时，

当或时，，

当时，，

故在处取得极大值，满足题意.

综上，.

（2）当，时，．则．

当变化时，与的变化情况如下表：

所以时，的最大值为.

19．新高考3+3最大的特点就是取消文理科，除语文、数学、外语之外，从物理、化学、生物、政治、历史、地理这6科中自由选择三门科目作为选考科目．某研究机构为了了解学生对全理（选择物理、化学、生物）的选择是否与性别有关，决定从某学校高一年级的650名学生中随机抽取男生，女生各25人进行模拟选科．经统计，选择全理的人数比不选全理的人数多10人．

（1）请完成下面的2×2列联表；

（2）估计有多大把握认为选择全理与性别有关，并说明理由；

（3）现从这50名学生中已经选取了男生3名，女生2名进行座谈，从中抽取2名代表作问卷调查，求至少抽到一名女生的概率．

附：，其中．

【答案】（1）见解析；（2），证明见解析；（3）

【分析】（1）直接完善列联表得到答案.

（2）计算，对比临界值表得到答案.

（3）设选取了男生3名为，女生2名为，列出所有情况，统计满足条件的情况，相除得到答案.

【详解】（1）

（2），故有的把握认为选择全理与性别有关.

（3）设选取了男生3名为，女生2名为.

故所有情况为：；；；，共10种情况.

满足条件的有：，；，共7种情况.

故.

【点睛】本题考查了列联表，独立性检验，概率的计算，意在考查学生的计算能力和应用能力.

20．太阳能是人类取之不尽用之不竭的可再生能源，光伏发电是利用太阳能电池及相关设备将太阳光能直接转化为电能，近几年，在政府出台的光伏发电补贴政策的引导下，西北某地光伏发电装机量急剧上升，如下表：

李明同学分别用两种模型：①，②进行拟合，得到相应的回归方程并进行残差分析，残差图如下（注：残差等于）：

经过计算得，，，，其中，，

（1）根据残差图，比较模型①，②的拟合效果，应该选择哪个模型？并简要说明理由．

（2）根据（1）的判断结果及表中数据建立关于的回归方程，并预测该地区2021年新增光伏装机量是多少．（在计算回归系数时精确到0.01）

附：回归直线的斜率和截距的最小二乘估计公式分别为：，．

【答案】（1）选择模型①；答案见解析；（2）；预测该地区2021年新增光伏装机量为（兆瓦）．

【分析】（1）根据残差图，由估计值和真实值的接近程度判断；

（2）由（1）知：关于的回归方程为，令，转化为，由所给数据分别求得得，，进而得到，，写出关于的回归方程，再将t=10代入求解.

【详解】（1）选择模型①．

理由如下：根据残差图可以看出，模型①的估计值和真实值相对比较接近，模型②的残差相对较大一些，所以模型①的拟合效果相对较好．

（2）由（1）知，关于的回归方程为，令，则．

由所给数据可得，

，

所以，

由线性回归方程经过样本中心点可得，．

所以关于的回归方程为．

预测该地区2021年新增光伏装机量为（兆瓦）．

21．已知函数．

(1)讨论函数的单调性；

(2)①若恒成立，求实数的取值集合；

②证明：．

【答案】(1)当时，函数在区间上单调递增；当时，在上单调递减，在上单调递增．

(2)①实数的取值集合为，②证明见解析.

【分析】（1）首先求函数的导数，再讨论和两种情况，求函数的单调性；

（2）①根据（1）由条件可得且，解不等式确定实数的取值集合；

②先证明，根据①可得，由此完成证明.

【详解】（1）因为,定义域为R，所以，

①当时，，函数在区间上单调递增；

②当时，令，，令，，

所以在上单调递减，在上单调递增．

（2）①由（1）可得当，函数在区间上单调递增，又

所以，则，与条件矛盾，

当时，在上单调递减，在上单调递增

所以，由，恒成立可得，

所以，

设，则，

所以当时，，函数单调递增，

时，，函数单调递减，

又，

所以不等式的解集为，

②设，则，

当时，，函数单调递减，

时，，函数单调递增，

又，所以，即，当且仅当时取等号，

由①，当且仅当时取等号，

所以

【点睛】对于恒成立问题，常用到以下两个结论：

(1)a≥f(x)恒成立⇔a≥f(x)max；

(2)a≤f(x)恒成立⇔a≤f(x)min.

22．在极坐标系中，点P的极坐标是，曲线C的极坐标方程为，以极点为坐标原点，极轴为x轴的正半轴建立平面直角坐标系，斜率为-1的直线l经过点P．

(1)写出直线l的参数方程和曲线C的直角坐标方程；

(2)若直线l和曲线C相交于两点A，B，求的值．

【答案】(1)（t为参数），

(2)

【分析】（1）直接写出直线l的参数方程；由直角坐标与极坐标互化公式得到曲线C的直角坐标方程；

（2）利用直线参数方程t的几何意义即可求解.

【详解】（1）点P的直角坐标是，直线l的倾斜角为

∴直线l的参数方程为（t为参数）

又由直角坐标与极坐标互化公式得，曲线C的直角坐标方程为

（2）将代入得

设A，B对应参数分别为，，则，，

根据直线参数方程t的几何意义得：

.