2022-2023学年四川省成都市第三十八中学校高一下学期期中考试数学试题含答案

2022-2023学年四川省成都市第三十八中学校高一下学期期中考试数学试题

一、单选题

1．计算的结果等于（    ）

A． B． C． D．

【答案】A

【分析】由诱导公式结合差角公式求解即可.

【详解】

故选：A

2．已知，则（    ）

A． B． C． D．

【答案】C

【分析】直接由二倍角的正切公式计算即可.

【详解】由二倍角的正切公式得.

故选：C.

3．已知向量，且，则向量（    ）

A． B． C． D．

【答案】A

【分析】根据平面向量互相垂直的坐标表示公式，结合平面向量线性运算的坐标表示公式进行求解即可.

【详解】因为，所以，

因为，

所以，

故选：A

4．在平行四边形中，，，设，则（    ）

A． B． C． D．

【答案】B

【分析】分别利用与表示，，进而确定，即可得解.

【详解】

如图所示，

因为，，

所以，

所以，

所以，，故，

故选：B.

5．下列直线中，可以作为曲线的对称轴的是（    ）

A． B． C． D．

【答案】A

【分析】利用诱导公式化简函数式，再利用正弦函数的性质，逐项代入验证作答.

【详解】，

对于A，当时，，则是曲线的对称轴，A是；

对于B，当时，，则不是曲线的对称轴，B不是；

对于C，当时，，则不是曲线的对称轴，C不是；

对于D，当时，，则不是曲线的对称轴，D不是.

故选：A

6．在中，已知，则中最大角的余弦值为（    ）

A． B． C． D．

【答案】B

【分析】根据，设，得到为最大角，再利用余弦定理求解.

【详解】解：因为，

设，则为最大角，

由余弦定理得，

故选：B.

7．2023年是农历癸卯兔年，在中国传统文化中，兔被视为一种祥瑞之物，寓意福寿安康．故宫博物院就收藏着这样一副蕴含“吉祥团圆”美好愿景的名画——《梧桐双兔 图》，该绢本设色画纵约176cm，横约95cm，其挂在墙壁上的最低点B离地面205cm．小南眼睛距地面的距离为150cm，为使观赏视角最大，小南离墙距离S应为（    ）

A．11cm B．8cm C．11cm D．44cm

【答案】A

【分析】由题意可得只需要最大，设小南眼睛所在的位置为点，过点作直线的垂线，垂足为，求出，，设，，则，，，代入，利用基本不等式，求解即可.

【详解】由题意可得为锐角，故要使得最大，只需要最大，设小南眼睛所在的位置为点，过点作直线的垂线，垂足为，如图，依题意得：

，，，

设，，则，

，，

故

，

当且仅当，即时等号成立，

故使观赏视角最大，小南离墙距离S应为.

故选：A.

8．在中，角，，所对的边分别为，，，，则面积的最大值是（    ）

A． B． C． D．

【答案】B

【分析】根据正弦定理进行边角互化，结合余弦定理可得，进而可得，根据面积公式可得，根据二次函数的最值可得面积的最大值.

【详解】由题意可得，

所以由正弦定理得，

由余弦定理得，

所以，所以，

因为，所以，

所以，

则当时，取最大值为.

故选：B.

二、多选题

9．若向量，，，则（    ）

A． B．在方向上的投影数量为

C． D．

【答案】ABD

【分析】根据平面向量的数量积的坐标运算判断选项A；根据投影的定义判断选项B；根据平面向量共线的坐标运算判断选项C；根据平面向量的数量积的坐标运算判断选项D．

【详解】由题意得，，故A正确；

在方向上的投影数量为，故B正确；

因为，且，所以与不平行，C错误；

因为，，所以，D正确．

故选：ABD

10．在中，角的对边分别为，下列说法正确的是（    ）

A．若，则只有一解

B．若，则是锐角三角形

C．若，则.

D．若，则的形状是等腰或直角三角形

【答案】ACD

【分析】对于A，利用正弦定理及特殊角三角函数值直接求解即可；对于B，利用向量的数量积的定义即可求解；对于C，利用正弦定理直接进行判断；对于D，利用正弦定理及两角和的正弦展开式化简计算求解.

【详解】对于A，由正弦定理，则，因为，所以，只有一解，故A正确；

对于B，若，则，则为锐角，无法确定，不一定是锐角三角形，故B错误；

对于C，由正弦定理，又，可得，故C正确；

对于D，已知，

由正弦定理可得，

因为，所以，

即，

则，解得或，

所以，或，

所以的形状是等腰或直角三角形，故D正确.

故选：ACD.

11．函数的部分图象如图所示，则下列选项中正确的有（    ）．

A．的最小正周期为

B．是的最小值

C．在区间上的值域为

D．把函数的图象上所有点向右平移个单位长度，可得到函数的图象

【答案】ABD

【分析】由图象可推出；然后求出，根据，可推得.取，则，代入，可得出B项；求出，即可根据正弦函数的图象，得出值域；利用图象平移，即可得出D项.

【详解】对于A项，由图象可知，，所以，故A项正确；

对于B项，因为，所以，所以.

因为，所以，

所以.

取，则，

所以，是的最小值，故B项正确；

对于C项，因为，所以，

根据正弦函数的图象可知，

当，即时，函数有最小值为；

当，即时，函数有最大值为，故C项错误；

对于D项，把函数的图象上所有点向右平移个单位长度，得到的函数解析式为，故D项正确.

故选：ABD.

12．下列结论正确的是（    ）

A．若，∠ABC为锐角，则实数m的取值范围是

B．点O在△ABC所在的平面内，若，则点O为△ABC的重心

C．点O在△ABC所在的平面内，若，，分别表示△AOC，△ABC的面积，则

D．点O在△ABC所在的平面内，满足且，则点O是且△ABC的外心

【答案】BC

【分析】对于A，由∠ABC为锐角，可得且两向量不共线；对于B，设边上的中点为，证明在边的中线上即可；对于C，由，得，设的中点为，的中点为，可知三点共线，且，从而可判断；对于D，证明是的角平分线，是的角平分线，即可判断.

【详解】对于A，由，

得，

因为∠ABC为锐角，故且不共线，

所以，解得且，故A错误；

对于B，设边上的中点为，则，

因为，所以，

所以，又点为公共端点，所以三点共线，

即点在边的中线上，

同理可得点也在两边的中线上，

所以点O为△ABC的重心，故B正确；

对于C，因为，所以，

如图，设的中点为，的中点为，

则，所以，

又点为公共端点，所以三点共线，且，

所以，

又，

所以，即，故C正确；

对于D，由，

可得，即，

又因，所以，

所以是的角平分线，

由，

可得，即，

又，所以，

所以是的角平分线，

所以点O是且△ABC的内心，故D错误.

故选：BC.

三、双空题

13．函数y＝sin x在[0,2π]上的单调递减区间为        ，最大值为        .

【答案】          1

【分析】由函数y＝sin x的性质可得答案.

【详解】因函数y＝sin x在，上单调递减，则y＝sin x在[0,2π]上的单调递减区间为；当时，y＝sin x的最大值为1.

故答案为：；1.

四、填空题

14．已知两个单位向量，的夹角为，，若，则_____．

【答案】2；

【详解】试题分析：由可得，

即，

故填2.

【解析】1.向量的运算.2.向量的数量积.

15．在中，，则边上的高为    .

【答案】

【分析】首先利用求出，再利用正弦定理即可得到答案.

【详解】由三角形内角和得，由正弦定理得，解得,

故边上的高.

故答案为：.

16．中国最高的摩天轮是“南昌之星”，它的最高点离地面160米，直径为156米，并以每30分钟一周的速度匀速旋转，若摩天轮某座舱A经过最低点开始计时，则10分钟后A离地面的高度为        米.

【答案】121

【分析】设座舱A与地面的高度与时间t的关系为∶，求出各参数，可得函数解析式，将代入，即可求得答案.

【详解】设座舱A与地面的高度与时间t的关系为∶,

由题意可知,,

 ,即,

又：，即,由于，故，

故，

所以（米），

故答案为：121

五、解答题

17．已知向量，满足，，且.

(1)求；

(2)在中，若，，求||.

【答案】(1)

(2)

【分析】（1）利用数量积公式，结合条件，即可求解；

（2）利用向量的线性运算得，展开后代入数量积公式，即可求解.

【详解】（1）因为，

所以，

所以，

又夹角在上，所以；

（2）因为，

所以，

所以BC边的长度为||=.

18．在中，内角A，B，C对边的边长分别是a，b，c，已知，．

若，求a，b；

若，求的值．

【答案】1，. ； 2

【分析】根据，，结合余弦定理得到关系式，再由，得到，两式联立即可求出；

根据，求出，再由即可求出结果.

【详解】，，

由余弦定理得：，即，

，由正弦定理化简得：，

联立解得：，；

，B为三角形内角，

，

，

．

【点睛】本题主要考查解三角形，熟记正弦定理和余弦定理即可，属于基础题型.

19．已知，，其中，

(1)求角；

(2)求．

【答案】(1)

(2)

【分析】（1）根据，然后利用两角差的余弦代入即可.

（2）根据，利用倍角公式算出，代入即可求解.

【详解】（1）解：由题意得：

又

（2），

20．已知函数.

(1)求的单调增区间；

(2)中，角，，所对的边分别为，，，且为锐角，若，，，求的面积.

【答案】(1)，

(2)

【分析】（1）利用倍角公式、辅助角公式、正弦函数的性质以及整体代入法求解.

（2）利用三角函数的性质、余弦定理以及三角形的面积公式求解.

【详解】（1），

令，解得，

则的单调增区间是，；

（2）由题可知，，所以，

解得，，为锐角，，

由余弦定理得：，即，

所以，又，所以，

则的面积.

21．已知的内角的对边分别为，若，

(1)求；

(2)若为锐角三角形，求的取值范围．

【答案】(1)

(2)

【分析】（1）根据条件，利用正弦定理，角转边得到，再结合余弦定理，即可得到，从而求出结果.

（2）根据条件，利用正弦定理得到，从而得到，再利用的图像与性质及角的范围，可求出结果.

【详解】（1）由，得到，

根据正弦定理可化简为：，

又由由余弦定理可知：

，所以，

又因为，所以.

（2）由（1）知：，所以由三角形内角和定理可知：，

由正弦定理可得：

所以

,

又因为为锐角三角形，所以，且，得到，所以，

根据的图像与性质可知，所以.

22．已知函数的部分图像如图所示．

(1)求函数的解析式；

(2)将的图像上所有点的横坐标缩短到原来的，纵坐标不变，再向右平移个单位长度得到的图像，求函数的解析式与单调递增区间；

(3)在第（2）问的前提下，对于任意，是否总存在实数，使得成立？若存在，求出实数m的值或取值范围；若不存在，说明理由．

【答案】(1)

(2)，单调递增区间为

(3)存在；

【分析】（1）根据三角函数的图形，观察最值，周期，对称性，分别求解，即可求解；

（2）利用三角函数的图象变换求函数的解析式，再根据三角函数的性质求解；

（3）将问题转化为函数的值域是值域的子集，建立不等式求解.

【详解】（1）由图可知，，则，，所以，．所以，即

又，所以当时，，所以．

（2）将的图像上所有点的横坐标缩短到原来的，纵坐标不变，得：，再向右平移个单位长度得到：，由，，解得，，所以函数的单调递增区间为

（3）由，得，由，得，所以，所以．又，得，所以．

由题可知，得，解得，所以存在，使得成立．