四川省成都市第三十八中学校2022-2023学年高一下学期期中考试数学试题（解析版）

这是一份四川省成都市第三十八中学校2022-2023学年高一下学期期中考试数学试题（解析版），共18页。试卷主要包含了单项选择题，多项选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

高一年级期中考试数学试题
一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符题目要求的．
1. 计算的结果等于（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】由诱导公式结合差角公式求解即可.
【详解】
故选：A
2 已知，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】直接由二倍角的正切公式计算即可.
【详解】由二倍角的正切公式得.
故选：C.
3. 已知向量，且，则向量（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】根据平面向量互相垂直的坐标表示公式，结合平面向量线性运算的坐标表示公式进行求解即可.
【详解】因为，所以，
因为，
所以，
故选：A
4. 在平行四边形中，，，设，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】分别利用与表示，，进而确定，即可得解.
【详解】
如图所示，
因为，，
所以，
所以，
所以，，故，
故选：B.
5. 下列直线中，可以作为曲线的对称轴的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】利用诱导公式化简函数式，再利用正弦函数的性质，逐项代入验证作答.
详解】，
对于A，当时，，则是曲线的对称轴，A是；
对于B，当时，，则不是曲线的对称轴，B不是；
对于C，当时，，则不是曲线的对称轴，C不是；
对于D，当时，，则不是曲线的对称轴，D不是.
故选：A
6. 在中，已知，则中最大角的余弦值为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根据，设，得到为最大角，再利用余弦定理求解.
【详解】解：因为，
设，则为最大角，
由余弦定理得，
故选：B.
7. 2023年是农历癸卯兔年，在中国传统文化中，兔被视为一种祥瑞之物，寓意福寿安康．故宫博物院就收藏着这样一副蕴含“吉祥团圆”美好愿景的名画——《梧桐双兔 图》，该绢本设色画纵约176cm，横约95cm，其挂在墙壁上的最低点B离地面205cm．小南眼睛距地面的距离为150cm，为使观赏视角最大，小南离墙距离S应为（ ）

A. 11cm B. 8cm C. 11cm D. 44cm
【答案】A
【解析】
【分析】由题意可得只需要最大，设小南眼睛所在的位置为点，过点作直线的垂线，垂足为，求出，，设，，则，，，代入，利用基本不等式，求解即可.
【详解】由题意可得为锐角，故要使得最大，只需要最大，设小南眼睛所在的位置为点，过点作直线的垂线，垂足为，如图，依题意得：

，，，
设，，则，
，，
故
，
当且仅当，即时等号成立，
故使观赏视角最大，小南离墙距离S应为.
故选：A.
8. 在中，角，，所对的边分别为，，，，则面积的最大值是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根据正弦定理进行边角互化，结合余弦定理可得，进而可得，根据面积公式可得，根据二次函数的最值可得面积的最大值.
【详解】由题意可得，
所以由正弦定理得，
由余弦定理得，
所以，所以，
因为，所以，
所以，
则当时，取最大值为.
故选：B.
二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．
9. 若向量，，，则（ ）
A. B. 在方向上的投影数量为
C. D.
【答案】ABD
【解析】
【分析】根据平面向量的数量积的坐标运算判断选项A；根据投影的定义判断选项B；根据平面向量共线的坐标运算判断选项C；根据平面向量的数量积的坐标运算判断选项D．
【详解】由题意得，，故A正确；
在方向上的投影数量为，故B正确；
因为，且，所以与不平行，C错误；
因为，，所以，D正确．
故选：ABD
10. 在中，角的对边分别为，下列说法正确的是（ ）
A. 若，则只有一解
B. 若，则是锐角三角形
C. 若，则.
D. 若，则的形状是等腰或直角三角形
【答案】ACD
【解析】
【分析】对于A，利用正弦定理及特殊角三角函数值直接求解即可；对于B，利用向量的数量积的定义即可求解；对于C，利用正弦定理直接进行判断；对于D，利用正弦定理及两角和的正弦展开式化简计算求解.
【详解】对于A，由正弦定理，则，因为，所以，只有一解，故A正确；
对于B，若，则，则为锐角，无法确定，不一定是锐角三角形，故B错误；
对于C，由正弦定理，又，可得，故C正确；
对于D，已知，
由正弦定理可得，
因为，所以，
即，
则，解得或，
所以，或，
所以的形状是等腰或直角三角形，故D正确.
故选：ACD.
11. 函数的部分图象如图所示，则下列选项中正确的有（ ）．

A. 的最小正周期为
B. 是的最小值
C. 在区间上的值域为
D. 把函数的图象上所有点向右平移个单位长度，可得到函数的图象
【答案】ABD
【解析】
【分析】由图象可推出；然后求出，根据，可推得.取，则，代入，可得出B项；求出，即可根据正弦函数的图象，得出值域；利用图象平移，即可得出D项.
【详解】对于A项，由图象可知，，所以，故A项正确；
对于B项，因为，所以，所以.
因为，所以，
所以.
取，则，
所以，是的最小值，故B项正确；
对于C项，因为，所以，
根据正弦函数的图象可知，
当，即时，函数有最小值为；
当，即时，函数有最大值为，故C项错误；
对于D项，把函数的图象上所有点向右平移个单位长度，得到的函数解析式为，故D项正确.
故选：ABD.
12. 下列结论正确的是（ ）
A. 若，∠ABC为锐角，则实数m的取值范围是
B. 点O在△ABC所在的平面内，若，则点O为△ABC的重心
C. 点O在△ABC所在的平面内，若，，分别表示△AOC，△ABC的面积，则
D. 点O在△ABC所在的平面内，满足且，则点O是且△ABC的外心
【答案】BC
【解析】
【分析】对于A，由∠ABC为锐角，可得且两向量不共线；对于B，设边上的中点为，证明在边的中线上即可；对于C，由，得，设的中点为，的中点为，可知三点共线，且，从而可判断；对于D，证明是的角平分线，是的角平分线，即可判断.
【详解】对于A，由，
得，
因为∠ABC为锐角，故且不共线，
所以，解得且，故A错误；
对于B，设边上的中点为，则，
因为，所以，
所以，又点为公共端点，所以三点共线，
即点在边的中线上，
同理可得点也在两边的中线上，
所以点O为△ABC的重心，故B正确；
对于C，因为，所以，
如图，设的中点为，的中点为，
则，所以，
又点为公共端点，所以三点共线，且，
所以，
又，
所以，即，故C正确；

对于D，由，
可得，即，
又因，所以，
所以是的角平分线，
由，
可得，即，
又，所以，
所以是的角平分线，
所以点O是且△ABC的内心，故D错误.
故选：BC.
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．
13. 函数y＝sin x在[0,2π]上的单调递减区间为________，最大值为________.
【答案】 ①. ②. 1
【解析】
【分析】由函数y＝sin x的性质可得答案.
【详解】因函数y＝sin x在，上单调递减，则y＝sin x在[0,2π]上的单调递减区间为；当时，y＝sin x的最大值为1.
故答案为：；1.
14. 已知两个单位向量，的夹角为，，若，则_____．
【答案】2；
【解析】
【详解】试题分析：由可得，
即，
故填2.
考点：1.向量的运算.2.向量的数量积.

15. 在中，，则边上的高为____.
【答案】
【解析】
【分析】首先利用求出，再利用正弦定理即可得到答案.
【详解】由三角形内角和得，由正弦定理得，解得,
故边上高.
故答案为：.
16. 中国最高的摩天轮是“南昌之星”，它的最高点离地面160米，直径为156米，并以每30分钟一周的速度匀速旋转，若摩天轮某座舱A经过最低点开始计时，则10分钟后A离地面的高度为________米.

【答案】121
【解析】
【分析】设座舱A与地面的高度与时间t的关系为∶，求出各参数，可得函数解析式，将代入，即可求得答案.
【详解】设座舱A与地面的高度与时间t的关系为∶,
由题意可知,,
,即,
又：，即,由于，故，
故，
所以（米），
故答案为：121
四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出必要的文字说明、证明过程及演算步骤．
17. 已知向量，满足，，且.
（1）求；
（2）在中，若，，求||.
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）利用数量积公式，结合条件，即可求解；
（2）利用向量的线性运算得，展开后代入数量积公式，即可求解.
【小问1详解】
因为，
所以，
所以，
又夹角在上，所以；
【小问2详解】
因为，
所以，
所以BC边的长度为||=.
18. 在中，内角A，B，C对边的边长分别是a，b，c，已知，．
若，求a，b；
若，求的值．
【答案】1，. ； 2
【解析】
【分析】根据，，结合余弦定理得到关系式，再由，得到，两式联立即可求出；
根据，求出，再由即可求出结果.
【详解】，，
由余弦定理得：，即，
，由正弦定理化简得：，
联立解得：，；
，B为三角形内角，
，
，
．
【点睛】本题主要考查解三角形，熟记正弦定理和余弦定理即可，属于基础题型.
19. 已知，，其中，
（1）求角；
（2）求．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）根据，然后利用两角差的余弦代入即可.
（2）根据，利用倍角公式算出，代入即可求解.
【小问1详解】
解：由题意得：




又

【小问2详解】
，


20 已知函数.
（1）求的单调增区间；
（2）中，角，，所对的边分别为，，，且为锐角，若，，，求的面积.
【答案】（1），
（2）
【解析】
【分析】（1）利用倍角公式、辅助角公式、正弦函数的性质以及整体代入法求解.
（2）利用三角函数的性质、余弦定理以及三角形的面积公式求解.
【小问1详解】
，
令，解得，
则的单调增区间是，；
【小问2详解】
由题可知，，所以，
解得，，为锐角，，
由余弦定理得：，即，
所以，又，所以，
则的面积.
21. 已知的内角的对边分别为，若，
（1）求；
（2）若为锐角三角形，求的取值范围．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）根据条件，利用正弦定理，角转边得到，再结合余弦定理，即可得到，从而求出结果.
（2）根据条件，利用正弦定理得到，从而得到，再利用的图像与性质及角的范围，可求出结果.
【小问1详解】
由，得到，
根据正弦定理可化简为：，
又由由余弦定理可知：
，所以，
又因为，所以.
【小问2详解】
由（1）知：，所以由三角形内角和定理可知：，
由正弦定理可得：
所以
,
又因为为锐角三角形，所以，且，得到，所以，
根据的图像与性质可知，所以.
22. 已知函数的部分图像如图所示．

（1）求函数的解析式；
（2）将的图像上所有点的横坐标缩短到原来的，纵坐标不变，再向右平移个单位长度得到的图像，求函数的解析式与单调递增区间；
（3）在第（2）问前提下，对于任意，是否总存在实数，使得成立？若存在，求出实数m的值或取值范围；若不存在，说明理由．
【答案】（1）
（2），单调递增区间为
（3）存在；
【解析】
【分析】（1）根据三角函数的图形，观察最值，周期，对称性，分别求解，即可求解；
（2）利用三角函数的图象变换求函数的解析式，再根据三角函数的性质求解；
（3）将问题转化为函数的值域是值域的子集，建立不等式求解.
【小问1详解】
由图可知，，则，，所以，．所以，即
又，所以当时，，所以．
【小问2详解】
将的图像上所有点的横坐标缩短到原来的，纵坐标不变，得：，再向右平移个单位长度得到：，由，，解得，，所以函数的单调递增区间为
【小问3详解】
由，得，由，得，所以，所以．又，得，所以．
由题可知，得，解得，所以存在，使得成立．