2022-2023学年四川省成都市城厢中学校高二下学期第一次月考数学（理）试题含答案

2022-2023学年四川省成都市城厢中学校高二下学期第一次月考数学（理）试题

一、单选题

1．复数（i是虚数单位）的在复平面上对应的点位于第（   ）象限.

A．一 B．二 C．三 D．四

【答案】D

【分析】化简复数，确定其代数形式，由复数的几何意义确定其对应的点的坐标，再确定点所在象限.

【详解】由题意可得，

所以复数在复平面上对应的点为（2，-3），该点在第四象限，

故选：D.

2．下列导数运算正确的是（    ）

A． B．

C． D．

【答案】C

【分析】根据导数公式运算对选项一一验证即可.

【详解】对于A，，故A错；

对于B，，故B错；

对于C，，故C正确；

对于D，，故D错．

故选：C．

3．某市的A，B，C三个学校共有学生3000名，且这三个学校学生人数之比为3:3:4.如果用分层抽样的方法从所有学生中抽取1个容量为200的样本，那么学校C应抽取的学生数为（    ）

A．60 B．70 C．80 D．30

【答案】C

【分析】先求得学校学生占的比例，由此求得学校应抽取的学生数.

【详解】学校C中的学生占的比例为，

故学校C应抽取的人数为，

故选C.

【点睛】本小题主要考查分层抽样有关计算，属于基础题.

4．如图，直三棱柱中，若，，，则等于（    ）

A． B． C． D．

【答案】D

【分析】由空间向量的线性运算求解．

【详解】因为三棱柱是直三棱柱，

所以四边形是平行四边形，故，

所以．

故选：D．

5．曲线在点处的切线方程为（    ）

A． B．

C． D．

【答案】A

【分析】利用导数求曲线在切点处的切线斜率，点斜式求切线方程，再化为一般式.

【详解】由题意，把代入导数得切线斜率为，

所以曲线在点处的切线方程为，即.

故选：A

6．设，则“”是“”的（    ）

A．充分不必要条件 B．必要不充分条件

C．充要条件 D．既不充分也不必要条件

【答案】B

【分析】解一元二次不等式可得的解，由推出关系可得结果.

【详解】由得：；

，，

“”是“”的必要不充分条件.

故选：B.

7．“大衍数列”来源于《乾坤谱》中对《易传》“大衍之数五十”的推论，主要用于解释中华传统文化中的太极衍生原理．如图是求“大衍数列”前n项和的程序框图．执行该程序框图，输入，则输出的（    ）

A．6 B．14 C．26 D．44

【答案】C

【分析】由已知中的程序语句可知：该程序的功能是利用循环结构计算并输出变量的值，模拟程序的运行过程，分析循环中各变量值的变化情况，可得答案．

【详解】，，，n是奇数，，，否，；

，n不是奇数，，，否，；

，n是奇数，，，否，；

，n不是奇数，，，否，；

，n是奇数，，，是，则输出．

故选：C.

8．用数学归纳法证明“对任意的，都有，第一步应该验证的等式是（    ）

A． B．

C． D．

【答案】D

【分析】根据数学归纳法的知识确定正确答案.

【详解】在等式中，

当时，，

故等式的左边为，右边为.

所以第一步应该验证的等式是.

故选：D

9．已知函数在处取得极大值，则a的值为（    ）

A．或 B．1或2 C．1 D．2

【答案】C

【分析】由三次函数的图像特征和极值定义，即可得出结果.

【详解】由题意可知，，

令，可得或,

当，，可得,

此时的单调递增区间是，

单调递减区间是时取得极大值，满足题意；

当，，可得（舍），

故.

故选：C.

10．已知函数的导函数的图象如图所示，给出下列判断：①函数在区间内单调递增；②函数在区间内单调递减；③函数在区间内单调递增；④当时，函数有极小值；⑤当时，函数有极大值，则上述判断中正确的是（    ）

A．①② B．②③ C．③④⑤ D．③

【答案】D

【分析】根据导函数在图象中的正负，判断函数的单调性，并判断是否存在极值．

【详解】根据导数图象，可知在区间内导函数小于0，此时函数单调递减，

在区间内导函数大于0，此时函数单调递增，

所以函数在区间内有增有减，①错误；

根据导数图象，可知在区间内导函数大于0，此时函数单调递增，

在区间内导函数小于0，此时函数单调递减，

所以函数在区间内有增有减，②错误；

函数在区间内导函数大于0，此时函数单调递增，

所以函数在区间内单调递增，③正确；

根据导数图象，可知在区间上单调递减，

在上单调递增，所以当时，函数有极大值，故④⑤错误.

故选：D.

11．若函数在上单调递减，则的取值范围为

A． B． C． D．

【答案】C

【分析】将原问题进行等价转化为恒成立的问题，然后利用导数的性质可得实数k的取值范围.

【详解】由函数的解析式可得：，

函数在上单调递减，则恒成立，即：，

据此可得：恒成立，

令，则，

故函数在区间上单调递增，在区间上单调递减，

函数的最大值为，由恒成立的结论可得：，

表示为区间形式即.

故选C.

【点睛】本题主要考查导函数研究函数的单调性，函数最值的求解，恒成立问题的处理方法等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.

12．函数是定义在区间上的可导函数，其导函数为，且满足，则不等式的解集为（    ）

A． B．

C． D．

【答案】D

【分析】根据题意构造函数，求导后可判断在区间上为增函数，然后化简不等式可得，即，再利用函数的单调性可求得结果.

【详解】根据题意，，则导函数，

函数在区间上，满足，则有，

所以，即函数在区间上为增函数，

，

所以，

则有，

解得，

即此不等式的解集为.

故选：D

【点睛】关键点点睛：此题考查导数的应用，考查利用函数的单调性解不等式，解题的关键是根据已知条件构造函数，求导后根据已知条件可判断其单调性，从而可求解不等式，考查数学转化思想，属于较难题.

二、填空题

13．已知复数满足，则的值为       .

【答案】10.

【详解】分析：根据待定系数法及共轭复数的概念求出复数，再求出．

详解：设，则．

∵，

∴，

 ∴，解得．

∴，

∴．

点睛：本题考查复数的概念和加减运算，解题的关键是根据待定系数法求出复数z的代数形式，然后再根据复数模的概念求解．

14．天府绿道是成都人民朋友圈的热门打卡地，经统计，天府绿道旅游人数x（单位：万人）与天府绿道周边商家经济收入y（单位：万元）之间具有线性相关关系，且满足回归直线方程为，对近五个月天府绿道旅游人数和周边商家经济收入统计如下表：

则表中的值为           .

【答案】88

【分析】根据样本平均值满足回归直线方程求解.

【详解】样本平均值满足回归直线方程，x的平均值为，

则y的平均值，解得，

故答案为：88.

15．函数的单调减区间为           .

【答案】

【分析】首先求出函数的定义域为，再求出，令，解不等式即可求解.

【详解】函数的定义域为，

且，

令，即，解不等式可得，

所以函数的单调递减区间为.

故答案为：

【点睛】本题考查了利用导数研究函数的单调性，解题的关键是求出导函数，属于基础题.

16．若不等式对恒成立，则实数的取值范围是       .

【答案】

【分析】由条件转化为，设函数，利用导数求函数的最小值，求得的取值范围.

【详解】不等式对恒成立，

，，即

令，则，

由得，或，

当时，，函数单调递减，

当时，，函数单调递增，

所以当时，函数取得最小值，

所以.

故答案为：

【点睛】本题考查利用导数研究不等式恒成立，重点考查转化思想，计算能力，属于基础题型.

三、解答题

17．已知函数

（1）求函数的单调区间；

（2）求在区间上的最大值和最小值．

【答案】（1）的单调递增区间为和，单调递减区间为；（2），.

【解析】（1）对函数求导，求得、的解集即可得解；

（2）结合函数的单调性确定函数的极值，再与端点值比较即可得解.

【详解】（1）因为，所以，

当或时，，所以在和上单调递增；

当时，，所以在上单调递减；

所以的单调递增区间为，，单调递减区间为；

（2）由（1）知是的极大值点，是的极小值点，

所以极大值，极小值，

又，，

所以在区间上的最大值，最小值．

18．第24届冬奥会于2022年2月在北京举行，志愿者的服务工作是冬奥会成功举办的重要保障．某高校承办了北京志愿者选拔的面试工作．现随机抽取了100名候选者的面试成绩，并分成五组：第一组，第二组，第三组，第四组，第五组，绘制成如图2所示的频率分布直方图．已知第三、四、五组的频率之和为0.7，第一组和第五组的频率相同．

(1)求a，b的值；

(2)估计这100名候选者面试成绩的平均数和第分位数（分位数精确到0.1）；

(3)在第四、第五两组志愿者中，现采用分层抽样的方法，从中抽取5人，然后再从这5人中选出2人，以确定组长人选，求选出的两人来自不同组的概率．

【答案】(1)；

(2)估计平均数为69.5，第分位数为71.7；

(3).

【分析】（1）根据频率之和为1，及第三、四、五组的频率之和为0.7列出方程组，求出a，b的值；（2）中间值作代表估计出平均数，利用百分位数求解方法进行求解；（3）先分层抽样求出列举法求出抽取的第四、第五两组志愿者人数，再利用列举法求出古典概型求概率公式.

【详解】（1），解得：，所以；

（2），故估计这100名候选者面试成绩的平均数为69.5；

前两组志愿者的频率为，前三组志愿者的频率为，所以第分位数落在第三组志愿者中，设第分位数为，则，解得：，故第分位数为71.7

（3）第四、第五两组志愿者的频率比为，故按照分层抽样抽得的第四组志愿者人数为4，分别设为，第五组志愿者人数为1，设为，这5人中选出2人，所有情况有，共有10种情况，其中选出的两人来自不同组的有共4种情况，故选出的两人来自不同组的概率为

19．如图，长方体中，，E为的中点.

(1)求证：直线平面；

(2)求二面角的余弦值.

【答案】(1)证明见解析

(2)

【分析】（1）为的中点，通过证明得证//平面；

（2）以A为坐标原点建立空间直角坐标系，利用向量法求二面角的余弦值.

【详解】（1）证明：设和交于点，则为的中点，连接

又∵E为的中点，∴.

又∵⊂平面，平面，

∴直线//平面.

（2）如图，以A为坐标原点，AD，AB，所在的直线分别为x，y，z轴建立如下图所示的空间直角坐标系，

则点，，，，

则.

设平面的法向量，则有

令，得平面的一个法向量为；

易知平面的的一个法向量为；

由图形可以看出二面角为钝角，设钝二面角的大小为，

则.

∴二面角的余弦值为－.

20．随着人们经济收入的不断增长，个人购买家庭轿车已不再是一种时尚车的使用费用，尤其是随着使用年限的增多，所支出的费用到底会增长多少，一直是购车一族非常关心的问题某汽车销售公司作了一次抽样调查，并统计得出某款车的使用年限与所支出的总费用（万元）有如表的数据资料：

(1)    在给出的坐标系中作出散点图；

（2）求线性回归方程中的、；

（3）估计使用年限为年时，车的使用总费用是多少？

（最小二乘法求线性回归方程系数公式， .）

【答案】（1）见解析； （2） ； （3）估计使用12年时，支出总费用是14.84万元．.

【分析】（1）在坐标系中描点可得散点图；（2）代入公式可求；（3）根据方程代入x=12可得费用.

【详解】（1）散点图如图，由图知与间有线性相关关系．

（2）∵，，，，

∴；

．

（3）线性回归直线方程是，

当（年）时，（万元）．

即估计使用12年时，支出总费用是14.84万元．

【点睛】本题主要考查回归直线在生活中的应用，明确所给公式中各个模块的含义，代入公式可求.题目难度不大，侧重于应用性.

21．已知函数.

（1）讨论的单调性；

（2）若有两个零点，求的取值范围.

【答案】（1）答案不唯一，具体见解析；（2）.

【解析】（1）求出函数的导数，分为和两种情形，得出导数与0的关系，进而可得单调性；

（2）由（1）知显然不满足，当时，可得，分为和两种情形，判断其与0的关系，结合零点存在性定理可得结果.

【详解】解：（1）的定义域为，且，

当时，，此时，在上单调递增，

当时，，，

即在上单调递增，在上单调递减，

综上可知：当时，在上单调递增，

当时，在上单调递增，在上单调递减.

（2）由（1）知当时，在上单调递增，函数至多有一个零点，不合题意，

当时，在上单调递增，在上单调递减，

，

当时，，

函数至多有一个零点，不合题意；

当时，

由于，且，

由零点存在性定理知：在上存在唯一零点，

由于，且（由于）

由零点存在性定理知：在上存在唯一零点，

所以实数的取值范围是.

【点睛】利用导数研究函数的零点常见方法：

（1）求出函数的导数，结合单调性得到函数的大致图象，研究其与轴的交点；

（2）利用分离参数思想，分离参数研究函数的单调性.

22．已知函数（是自然对数的底数）.

（1）求证：；

（2）若不等式在上恒成立，求正实数的取值范围.

【答案】（1）证明见解析；（2）

【解析】(1)要证f（x）=ex-x-1≥0，求导得f′（x）=ex-1，利用导数性质能证明ex≥x+1；

(2)不等式f(x)>ax−1在上恒成立,即a<在上恒成立,令g(x)=，利用导数性质求g(x)在上的最小值，由此能求出正数a的取值范围.

【详解】（1）,可得，

当，解得,

∴当时，为增函数，

当时，为减函数，

的最小值为.

.

（2）∵不等式在上恒成立，

在上恒成立，

即在上恒成立.

令，

,当时，解得,

∴当时，为减函数，

当时，为增函数，

的最小值为，

∴，

则正数的取值范围为.

【点睛】本题考查不等式的证明及参数的取值范围的求法，运用转化思想将参数分离，转化为利用导数求区间上函数的最值问题即可解决，是中等题.