七年级下册第9章 整式乘法与因式分解9.5 多项式的因式分解授课ppt课件

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理解十字相乘法的意义，掌握用十字相乘分解二次项系数为1的二次三项式的方法，能熟练地运用十字相乘法对形如x2+(p+q)x+pq的二次三项式进行因式分解
能较熟练地运用十字相乘法对形如x2+(p+q)xy+pqy2的二次三项式进行因式分解
二次项系数为1十字相乘法
Q：乘法运算（1）(x+p)(x+q)=_________________________；（2）(x-p)(x-q)=__________________________.
x2+(p+q)x+pq
x2-(p+q)x+pq
将上述两个式子左右颠倒
x2+(p+q)x+pq=(x+p)(x+q)
(x+p)(x+q)=x2+(p+q)x+pq
x2-(p+q)x+pq=(x-p)(x-q)
(x-p)(x-q)=x2-(p+q)x+pq
再对两个式子x2+(p+q)x+pq、x2-(p+q)x+pq分别进行如下拆分：
x2可拆成两个x相乘，(p+q)x、-(p+q)x是交叉相乘后的两项的和，pq是两数之积
黑色框对应因式分解的结果：(x+p)(x+q)、(x+p)(x+q)
【十字相乘法】借助画十字交叉线分解二次项与常数项，从而帮助我们把二次三项式分解因式的方法，叫做十字相乘法
【注意点】十字相乘法主要适用于二次三项式
分解因式：x2+3x+2
2=(-1)×(-2)
-x-2x=-3x≠3x
【解答】x2+3x+2=(x+1)(x+2)
【x2+(p+q)x+pq型的十字相乘】（1）结构特征：①原式是一元二次三项式；②二次项的系数是1；③常数项是两个数的积，一次项的系数是这两个数的和.（2）可直接因式分解为：(x+p)(x+q)
【1】x2+(p+q)x+pq型的十字相乘：（1）x2+5x+6 （2）x2-5x+6
【分析】（1）∵两数之积是6，∴这两数要么同正，要么同负又∵这两数之和是5，∴这两数同正，分别为2和3
（2）∵两数之积是6，∴这两数要么同正，要么同负又∵这两数之和是-5，∴这两数同负，分别为-2和-3
【解答】（1）原式=(x+2)(x+3)
（2）原式=(x-2)(x-3)
【1】x2+(p+q)x+pq型的十字相乘：（3）x2-5x-6 （4）x2+5x-6
【分析】（3）∵两数之积是-6，∴这两数一正一负又∵这两数之和是-5，∴负数的绝对值大，∴这两数分别为1和-6
（4）∵两数之积是-6，∴这两数一正一负又∵这两数之和是5，∴正数的绝对值大，∴这两数分别为-1和6
【解答】（3）原式=(x+1)(x-6)
（4）原式=(x-1)(x+6)
【1】x2+(p+q)x+pq型的十字相乘：（5）x2+x-6 （6）x2-x-6
【分析】（5）∵两数之积是-6，∴这两数一正一负又∵这两数之和是1，∴正数的绝对值大，∴这两数分别为-2和3
（6）∵两数之积是-6，∴这两数一正一负又∵这两数之和是-1，∴负数的绝对值大，∴这两数分别为2和-3
【解答】（5）原式=(x-2)(x+3)
（6）原式=(x+2)(x-3)
例1、把多项式-x2-3x+54分解因式，其结果是__________________．
【因式分解——十字相乘法】
-(x-6)(x+9)
【分析】原式=-(x2+3x-54)
通常，当二次项的系数为负数时，把“-”号作为公因式的符号写在括号外，使括号内第一项的系数为正数
∵两数之积为-54，两数之和为3，∴这两数分别为-6和9，∴x2+3x-54=(x-6)(x+9)∴原式=-(x-6)(x+9)
例2、若x2+mx-15=(x+3)(x+n)，则m-n的值为________．
【利用十字相乘法求参】
【分析】根据题意：-15＝3n，m＝n+3，解得：m=-2，n=-5，则m-n=-2+5=3．
例3、如果二次三项式x2-ax-9（a为整数）在整数范围内可以分解因式，那么a可取值的个数是（　　）A．2个B．3个C．4个D．无数个
【分析】当-9=-9×1时，-a=-9+1，∴a=8，当-9=-1×9时，-a=-1+9，∴a=-8，∴如果二次三项式x2-ax-9（a为整数）在整数范围内可以分解因式，那么a可取值：±8．
分解因式：x2+3xy+2y2
多了一个字母y，怎么办？
may be we can(灬ꈍ ꈍ灬)把y看作1，最后再将y还原
【解答】①把y看作1，则原式=x2+3x+2=(x+1)(x+2)②将y还原，则原式=(x+y)(x+2y)
分解因式：x2+3xy+2y2——【解答】原式=(x+y)(x+2y)
若就是不想把y看作1，怎么办？能不能直接用十字相乘？
(x+y)(x+2y)
【进阶：x2+(p+q)xy+pqy2型的十字相乘】（1）结构特征：①原式为二元二次三项式；②x2的系数是1；③pqy2的系数是两个数的积，(p+q)xy的系数是这两个数的和.（2）可因式分解为：(x+py)(x+qy)
【2】x2+(p+q)xy+pqy2型的十字相乘：（1）a2+8ab+7b2
【分析】∵两数之积是7，∴这两数要么同正，要么同负又∵这两数之和是8，∴这两数同正，分别为1和7
【2】x2+(p+q)xy+pqy2型的十字相乘：（1）a2+8ab+7b2
原式=(a+b)(a+7b)
【解答】法一：①把b看作1，则原式=a2+8a+7=(a+1)(a+7)②将b还原，则原式=(a+b)(a+7b)
【2】x2+(p+q)xy+pqy2型的十字相乘：（2）x2+2xy-63y2
【分析】∵两数之积是-63，∴这两数一正一负又∵这两数之和是2，∴正数的绝对值大，∴这两数分别为-7和9
【2】x2+(p+q)xy+pqy2型的十字相乘：（2）x2+2xy-63y2
原式=(x-7y)(x+9y)
【解答】法一：①把y看作1，则原式=x2+2x-63=(x-7)(x+9)②将y还原，则原式=(x-7y)(x+9y)
【2】x2+(p+q)xy+pqy2型的十字相乘：（3）x2+5xy-24y2
【分析】∵两数之积是-24，∴这两数一正一负又∵这两数之和是5，∴正数的绝对值大，∴这两数分别为-3和8
【2】x2+(p+q)xy+pqy2型的十字相乘：（3）x2+5xy-24y2
原式=(x-3y)(x+8y)
【解答】法一：①把y看作1，则原式=x2+5x-24=(x-3)(x+8)②将y还原，则原式=(x-3y)(x+8y)
【2】x2+(p+q)xy+pqy2型的十字相乘：（4）x2-20mxy+64m2y2
【分析】∵两数之积是64，∴这两数要么同正，要么同负又∵这两数之和是-20，∴这两数同负，分别为-4和-16
将my看作整体，则原式=x2-20x(my)+64(my)2
【2】x2+(p+q)xy+pqy2型的十字相乘：（4）x2-20mxy+64m2y2 =x2-20x(my)+64(my)2
原式=(x-4my)(x-16my)
【解答】法一：①把my看作1，则原式=x2-20x+64=(x-4)(x-16)②将my还原，则原式=(x-4my)(x-16my)
【十字相乘法】借助画十字交叉线分解二次项与常数项，从而帮助我们把二次三项式分解因式的方法，叫做十字相乘法【注意点】十字相乘法主要适用于二次三项式