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苏科版七年级下册9.5 多项式的因式分解一课一练
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这是一份苏科版七年级下册9.5 多项式的因式分解一课一练，共8页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1、下列各式中，从左到右的变形是因式分解的是（ ）
A．x2+2x+3＝（x+1）2+2B．（x+y）（x﹣y）＝x2﹣y2
C．x2+6xy+9y2＝（x+3y）2D．2x+2y+1＝2（x+y+1）
2、下列各式中，分解因式结果为2a(x－3)2的是 ( )
A．2ax2－6x＋9 B．2ax2－18a C．2ax2＋12ax＋18a D．2ax2－12ax＋18a
3、把代数式ax2-4ax+4a分解因式，下列结果中正确的是（ ）
A．a（x-2）2 B．a（x+2）2 C．a（x-4）2 D．a（x+2）（x-2）
4、多项式ax2﹣a与多项式ax2﹣2ax+a的公因式是（ ）
A．aB．x﹣1C．a（x﹣1）D．a（x2﹣1）
5、下列代数式：①10am－15a；②4xm2－9x；③4am2－12am＋9a；④－4m2－9．
其中，含有因式2m－3的有 ( )
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
6、把多项式ac-bc+a2-b2分解因式的结果是（ ）
A．（a-b）（a+b+c） B．（a-b）（a+b-c） C．（a+b）（a-b-c） D．（a+b）（a-b+c）
7、把多项式ax2-ax-2a分解因式，下列结果正确的是（ ）
A．a（x-2）（x+1） B．a（x+2）（x-1） C．a（x-1）2 D．（ax-2）（ax+1）
8、已知a+b=2，则a-b+4b的值是（ ）
A．2 B．3 C．4 D．6
9、利用因式分解简便计算57×99+44×99-99正确的是（ ）
A．99×（57+44）=99×101=9 999 B．99×（57+44-1）=99×100=9 900
C．99×（57+44+1）=99×102=10 098 D．99×（57+44-99）=99×2=198
10、下列各式中，分解因式正确的是 ( )
A．x2y2－2x2y＋x2＝x2(y2－2y) B．4(x2＋1)－y2＝(4x2＋4＋y)(4x2＋4－y)
C．x4－8x2＋16＝(x2－4)2 D．－xn+1＋xn-1＝－xn-1(x＋1)(x－1)
11、一次课堂练习，小颖同学做了如下4道因式分解题，你认为小颖做得不够完整的一题是( )
A．x2－y2＝(x－y)(x＋y) B．x2－2xy＋y2＝(x－y)2 C．x2y－xy2＝xy(x－y) D．x3－x＝x(x2－1)
12、对于任何整数m，多项式(4m＋5)2－9一定能( )
A．被8整除 B．被m整除 C．被(m－1)整除 D．被(2m－1)整除
13、已知x+y＝1，则=（ ）
A．1B．C．2D．1或2
14、已知d＝x4﹣2x3+x2﹣12x﹣5，则当x2﹣2x﹣5＝0时，d的值为（ ）
A．25B．20C．15D．10
二、填空题
15、填空：(1)因式分解：x2y－9y＝_______．
(2)若xy＝5，a＋b＝4，a－b＝3，则a2xy－b2xy的值为_______．
(3)已知x、y，互为相反数，且(x＋2)2－(y＋2)2＝4，则x－y＝__________．
(4)已知a<0，b<0，比较大小：－a3b3＋2a2b2－ab_______0．
16、分解因式：a2(a－b)－4(a－b)＝________．
17、把a4b－6a3b＋9a2b分解因式的正确结果为__________
18、分解因式：2a（y﹣z）﹣3b（z﹣y）＝ ，x3y﹣xy＝ ．
19、已知x+y＝6，xy＝7，则x2y+xy2的值是 ．
20、如果x2＋kx＋64是一个完全平方式，那么常数k的值是_______．
21、已知x2－x－1＝0，则－x3＋2x2＋2019的值为________．
22、已知xy＝﹣1，x+y＝2，则x3y+x2y2+xy3＝ ．
23、若a+b﹣2＝0，则代数式a2﹣b2+4b的值等于 ．
24、已知△ABC的三边的长分别是a，b，c，且满足a2+2b2﹣2b（a+c）+c2＝0，
判断此三角形的形状为 ．
三、解答题
25、把下列各式分解因式：
(1)3ax2－3ay4； (2)3ax2＋6axy＋3ay2； (3)x4－81； (4)x4－2x2＋1.
26、把下列各式分解因式：
(1)4x2y2－64x2z2； (2) 2a2b2－28ab＋98； (3)－3ma3＋6ma2－12ma；
(4)(x－1)2(3x－2)＋(2－3x)； (5)(4m2＋1)2－16m2； (6) (x2＋2x)2＋2(x2＋2x)＋1．
27、探究性学习 小明同学把多项式x2－xy＋4x－4y分解因式的过程如下：
x2－xy＋4x－4y
＝(x2－xy)＋(4x－4y)(分成两组)
＝x(x－y)＋4(x－y)(直接提公因式)
＝(x－y)(x＋4)．
请你在小明同学解法的启发下，把下列各式分解因式：
(1)m2－mn＋mx－nx； (2)x2－2xy＋y2－9.
28、利用因式分解计算：
(1)21×3.14＋62×3.14＋17×3.14； (2)20192－2019×2018.
(3) 1.222×9－1.332×4 (4) 342＋34×32＋162．
29、（阅读材料）
把代数式通过配凑等手段，得到局部完全平方式，再进行有关运算和解题，这种解题方法叫做配方法．
配方法在代数式求值、解方程、最值问题中都有着广泛的应用．
例如：①用配方法因式分解：a2+6a+8．
原式＝a2+6a+9－1＝(a+3) 2－1＝(a+3－1)( a+3+1)＝(a+2)(a+4)
②求x2+6x+11的最小值．
解：x2+6x+11＝x2+6x+9+2＝(x+3) 2+2；
由于(x+3) 2≥0，
所以(x+3) 2+2≥2，
即x2+6x+11的最小值为2．
请根据上述材料解决下列问题：
(1)在横线上添上一个常数项使之成为完全平方式：a2+4a+ ；
(2)用配方法因式分解：a2－12a+35；
(3)用配方法因式分解：x4+4；
(4)求4x2+4x+3的最小值．
30、阅读理解以下文字：
我们知道，多项式的因式分解就是将一个多项式化成几个整式的积的形式．通过因式分解，我们常常将一个次数比较高的多项式转化成几个次数较低的整式的积，来达到降次化简的目的．这个思想可以引领我们解决很多相对复杂的代数问题．
例如：方程就可以这样来解：
解：原方程可化为
所以或者．
解方程，得
所以解为，．
根据你的理解，结合所学知识，解决以下问题：
（1）解方程：；
（2）解方程：；
（3）已知的三边长为，，，请你判断代数式的值的符号．
9.5.4提公因式法与公式法因式分解的综合运用-苏科版七年级数学下册 培优训练（答案）
一、选择题
1、下列各式中，从左到右的变形是因式分解的是（ ）
A．x2+2x+3＝（x+1）2+2B．（x+y）（x﹣y）＝x2﹣y2
C．x2+6xy+9y2＝（x+3y）2D．2x+2y+1＝2（x+y+1）
【解答】解：A、等式的右边不是几个整式的积，所以不是因式分解，故此选项不符合题意；
B、是整式乘法，所以不是因式分解，故此选项不符合题意；
C、是因式分解，故此选项符合题意；
D、提公因式错误，没有公因式2，故此选项不符合题意；
故选：C．
2、下列各式中，分解因式结果为2a(x－3)2的是 ( D )
A．2ax2－6x＋9 B．2ax2－18a C．2ax2＋12ax＋18a D．2ax2－12ax＋18a
3、把代数式ax2-4ax+4a分解因式，下列结果中正确的是（A ）
A．a（x-2）2 B．a（x+2）2 C．a（x-4）2 D．a（x+2）（x-2）
4、多项式ax2﹣a与多项式ax2﹣2ax+a的公因式是（ ）
A．aB．x﹣1C．a（x﹣1）D．a（x2﹣1）
【解析】多项式ax2﹣a＝a（x+1）（x﹣1），多项式ax2﹣2ax+a＝a（x﹣1）2，
则两多项式的公因式为a（x﹣1）．
故选：C．
5、下列代数式：①10am－15a；②4xm2－9x；③4am2－12am＋9a；④－4m2－9．
其中，含有因式2m－3的有 ( C )
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
6、把多项式ac-bc+a2-b2分解因式的结果是（ A ）
A．（a-b）（a+b+c） B．（a-b）（a+b-c） C．（a+b）（a-b-c） D．（a+b）（a-b+c）
7、把多项式ax2-ax-2a分解因式，下列结果正确的是（ A ）
A．a（x-2）（x+1） B．a（x+2）（x-1） C．a（x-1）2 D．（ax-2）（ax+1）
8、已知a+b=2，则a-b+4b的值是（ C ）
A．2 B．3 C．4 D．6
9、利用因式分解简便计算57×99+44×99-99正确的是（ B ）
A．99×（57+44）=99×101=9 999 B．99×（57+44-1）=99×100=9 900
C．99×（57+44+1）=99×102=10 098 D．99×（57+44-99）=99×2=198
10、下列各式中，分解因式正确的是 ( D )
A．x2y2－2x2y＋x2＝x2(y2－2y) B．4(x2＋1)－y2＝(4x2＋4＋y)(4x2＋4－y)
C．x4－8x2＋16＝(x2－4)2 D．－xn+1＋xn-1＝－xn-1(x＋1)(x－1)
11、一次课堂练习，小颖同学做了如下4道因式分解题，你认为小颖做得不够完整的一题是( D )
A．x2－y2＝(x－y)(x＋y) B．x2－2xy＋y2＝(x－y)2 C．x2y－xy2＝xy(x－y) D．x3－x＝x(x2－1)
12、对于任何整数m，多项式(4m＋5)2－9一定能( )
A．被8整除 B．被m整除 C．被(m－1)整除 D．被(2m－1)整除
[解析] (4m＋5)2－9＝(4m＋8)(4m＋2)＝8(m＋2)(2m＋1)，因为m是整数，
而(m＋2)和(2m＋1)都是随着m的变化而变化的数，所以该多项式肯定能被8整除．
故选A.
13、已知x+y＝1，则=（ ）
A．1B．C．2D．1或2
【分析】利用提公因式法和完全平方公式将进行因式分解，再整体代入计算即可．
【解答】解：
故选：B．
14、已知d＝x4﹣2x3+x2﹣12x﹣5，则当x2﹣2x﹣5＝0时，d的值为（ ）
A．25B．20C．15D．10
【分析】根据已知条件得到x2﹣2x﹣5＝0，将其代入整理后的d的代数式．
【解答】解法一：∵x2﹣2x﹣5＝0，∴x2＝2x+5，
∴d＝x4﹣2x3+x2﹣12x﹣5，
＝（2x+5）2﹣2x（2x+5）+x2﹣12x﹣5
＝4x2+20x+25﹣4x2﹣10x+x2﹣12x﹣5
＝x2﹣2x﹣5+25
＝25．
解法二：∵x2﹣2x﹣5＝0，∴x2﹣2x＝5，
∴d＝x4﹣2x3+x2﹣12x﹣5
＝x2（x2﹣2x+1）﹣12x﹣5
＝6x2﹣12x﹣5
＝6（x2﹣2x）﹣5
＝6×5﹣5
＝25．
故选：A．
二、填空题
15、填空：
(1)因式分解：x2y－9y＝_______．
(2)若xy＝5，a＋b＝4，a－b＝3，则a2xy－b2xy的值为_______．
(3)已知x、y，互为相反数，且(x＋2)2－(y＋2)2＝4，则x－y＝__________．
(4)已知a<0，b<0，比较大小：－a3b3＋2a2b2－ab_______0．
答案： (1) y(x＋3)(x－3) (2)60 (3)1 (4)≤
16、分解因式：a2(a－b)－4(a－b)＝________．
[解析] a2(a－b)－4(a－b)＝(a－b)(a2－4)＝(a－b)(a－2)(a＋2)．
17、把a4b－6a3b＋9a2b分解因式的正确结果为__________
[解析] 先提取公因式a2b，再根据完全平方公式进行二次分解即可求得答案．
a4b－6a3b＋9a2b＝a2b(a2－6a＋9)＝a2b(a－3)2.
18、分解因式：2a（y﹣z）﹣3b（z﹣y）＝ ，x3y﹣xy＝ ．
【解答】解：2a（y﹣z）﹣3b（z﹣y）＝2a（y﹣z）+3b（y﹣z）＝（y﹣z）（2a+3b），
x3y﹣xy＝xy（x2﹣1）＝xy（x+1）（x﹣1）．
故答案为：（y﹣z）（2a+3b）；xy（x+1）（x﹣1）．
19、已知x+y＝6，xy＝7，则x2y+xy2的值是 ．
【解答】解：∵x+y＝6，xy＝7，∴x2y+xy2＝xy（x+y）＝7×6＝42，
故答案为：42．
20、如果x2＋kx＋64是一个完全平方式，那么常数k的值是___±16_____．
21、已知x2－x－1＝0，则－x3＋2x2＋2019的值为________．
[解析] 因为x2－x－1＝0，所以x2－x＝1，
所以原式＝－x(x2－x)＋x2＋2019＝－x＋x2＋2019＝2020.
22、已知xy＝﹣1，x+y＝2，则x3y+x2y2+xy3＝ ．
【解答】解：∵xy＝﹣1，x+y＝2，
∴x3y+x2y2+xy3=xy() = =×(-1)×2＝﹣2．
故答案为：﹣2．
23、若a+b﹣2＝0，则代数式a2﹣b2+4b的值等于 ．
【解答】解：∵a+b﹣2＝0，∴a+b＝2．
∴a2﹣b2+4b＝（a+b）（a﹣b）+4b＝2（a﹣b）+4b＝2a﹣2b+4b＝2a+2b
＝2（a+b）＝2×2＝4．
故答案为4．
24、已知△ABC的三边的长分别是a，b，c，且满足a2+2b2﹣2b（a+c）+c2＝0，
判断此三角形的形状为 ．
【分析】将题目中的式子变形，然后利用完全平方公式和非负数的性质，可以求得a、b、c的关系，从而可以判断△ABC的形状．
【解答】解：∵a2+2b2﹣2b（a+c）+c2＝0，∴a2+2b2﹣2ab﹣2bc+c2＝0，
∴（a2﹣2ab+b2）+（c2﹣2bc+b2）＝0，∴（a﹣b）2+（c﹣b）2＝0，
∴a﹣b＝0，c﹣b＝0， ∴a＝b，c＝b，
∴a＝b＝c，∴△ABC是等边三角形，
故答案为：等边三角形
三、解答题
25、把下列各式分解因式：
(1)3ax2－3ay4； (2)3ax2＋6axy＋3ay2； (3)x4－81； (4)x4－2x2＋1.
[解析] 综合运用提公因式法和公式法分解因式．如果多项式各项有公因式，应先提公因式，
再进一步分解；分解因式必须分解到每个多项式的因式都不能再分解为止．
解： (1)3ax2－3ay4＝3a(x2－y4)＝3a(x＋y2)(x－y2)．
(2)3ax2＋6axy＋3ay2＝3a(x2＋2xy＋y2)＝3a(x＋y)2.
(3)x4－81＝(x2＋9)(x2－9)＝(x2＋9)(x＋3)(x－3)．
(4)x4－2x2＋1＝(x2－1)2＝(x＋1)2(x－1)2.
26、把下列各式分解因式：
(1)4x2y2－64x2z2； (2) 2a2b2－28ab＋98； (3)－3ma3＋6ma2－12ma；
(4)(x－1)2(3x－2)＋(2－3x)； (5)(4m2＋1)2－16m2； (6) (x2＋2x)2＋2(x2＋2x)＋1．
答案： (1) 4x2( y＋4z)(y－4z) (2) 2(ab－7)2 (3) －3ma (a2－2a＋4)
(4) x(3x－2)(x－2) (5) (2m＋1)2(2m－1)2 (6)(x＋1)4
27、探究性学习 小明同学把多项式x2－xy＋4x－4y分解因式的过程如下：
x2－xy＋4x－4y
＝(x2－xy)＋(4x－4y)(分成两组)
＝x(x－y)＋4(x－y)(直接提公因式)
＝(x－y)(x＋4)．
请你在小明同学解法的启发下，把下列各式分解因式：
(1)m2－mn＋mx－nx； (2)x2－2xy＋y2－9.
解：(1)m2－mn＋mx－nx＝m(m－n)＋x(m－n)＝(m－n)(m＋x)．
(2)x2－2xy＋y2－9＝(x－y)2－32＝(x－y＋3)(x－y－3)．
28、利用因式分解计算：
(1)21×3.14＋62×3.14＋17×3.14； (2)20192－2019×2018.
(3) 1.222×9－1.332×4 (4) 342＋34×32＋162．
解：(1)原式＝3.14×(21＋62＋17)＝3.14×100＝314.
(2)20192－2019×2018＝2019×(2019－2018)＝2019.
（3）原式=（1.22×3）-（1.33×2）=3.66-2.66=（3.66-2.66）（3.66+2.66）=6.32
(4) 342＋34×32＋162=342＋2×34×16＋162=（34+16）=2 500
29、（阅读材料）
把代数式通过配凑等手段，得到局部完全平方式，再进行有关运算和解题，这种解题方法叫做配方法．
配方法在代数式求值、解方程、最值问题中都有着广泛的应用．
例如：①用配方法因式分解：a2+6a+8．
原式＝a2+6a+9－1＝(a+3) 2－1＝(a+3－1)( a+3+1)＝(a+2)(a+4)
②求x2+6x+11的最小值．
解：x2+6x+11＝x2+6x+9+2＝(x+3) 2+2；
由于(x+3) 2≥0，
所以(x+3) 2+2≥2，
即x2+6x+11的最小值为2．
请根据上述材料解决下列问题：
(1)在横线上添上一个常数项使之成为完全平方式：a2+4a+ ；
(2)用配方法因式分解：a2－12a+35；
(3)用配方法因式分解：x4+4；
(4)求4x2+4x+3的最小值．
解：(1) 故答案为：
(2)
(3)
(4)
的最小值是
答案：(1)；(2) ；(3) ；(4)
30、阅读理解以下文字：
我们知道，多项式的因式分解就是将一个多项式化成几个整式的积的形式．通过因式分解，我们常常将一个次数比较高的多项式转化成几个次数较低的整式的积，来达到降次化简的目的．这个思想可以引领我们解决很多相对复杂的代数问题．
例如：方程就可以这样来解：
解：原方程可化为
所以或者．
解方程，得
所以解为，．
根据你的理解，结合所学知识，解决以下问题：
（1）解方程：；
（2）解方程：；
（3）已知的三边长为，，，请你判断代数式的值的符号．
解：（1），∴，
∴x=0或x-5=0，∴x1=0或x2=5；
（2）（x+3）2-4x2=0，
∴（x+3+2x）（x+3-2x）=0，
∴（3x+3）（-x+3）=0，
∴3x+3=0或-x+3=0，
解方程得：x1 =-1，x2=3；
（3）∵△ABC的三边长为4，x，y，
∴x+y＞4，x+4＞y，
∴x+y-4＞0，x-y+4＞0，y+4+x＞0，
∵y2-8y+16-x2=（y-4-x）（y-4+x）＜0，
即代数式y2-8y+16-x2的值的符号为负号．
1、下列各式中，从左到右的变形是因式分解的是（ ）
A．x2+2x+3＝（x+1）2+2B．（x+y）（x﹣y）＝x2﹣y2
C．x2+6xy+9y2＝（x+3y）2D．2x+2y+1＝2（x+y+1）
2、下列各式中，分解因式结果为2a(x－3)2的是 ( )
A．2ax2－6x＋9 B．2ax2－18a C．2ax2＋12ax＋18a D．2ax2－12ax＋18a
3、把代数式ax2-4ax+4a分解因式，下列结果中正确的是（ ）
A．a（x-2）2 B．a（x+2）2 C．a（x-4）2 D．a（x+2）（x-2）
4、多项式ax2﹣a与多项式ax2﹣2ax+a的公因式是（ ）
A．aB．x﹣1C．a（x﹣1）D．a（x2﹣1）
5、下列代数式：①10am－15a；②4xm2－9x；③4am2－12am＋9a；④－4m2－9．
其中，含有因式2m－3的有 ( )
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
6、把多项式ac-bc+a2-b2分解因式的结果是（ ）
A．（a-b）（a+b+c） B．（a-b）（a+b-c） C．（a+b）（a-b-c） D．（a+b）（a-b+c）
7、把多项式ax2-ax-2a分解因式，下列结果正确的是（ ）
A．a（x-2）（x+1） B．a（x+2）（x-1） C．a（x-1）2 D．（ax-2）（ax+1）
8、已知a+b=2，则a-b+4b的值是（ ）
A．2 B．3 C．4 D．6
9、利用因式分解简便计算57×99+44×99-99正确的是（ ）
A．99×（57+44）=99×101=9 999 B．99×（57+44-1）=99×100=9 900
C．99×（57+44+1）=99×102=10 098 D．99×（57+44-99）=99×2=198
10、下列各式中，分解因式正确的是 ( )
A．x2y2－2x2y＋x2＝x2(y2－2y) B．4(x2＋1)－y2＝(4x2＋4＋y)(4x2＋4－y)
C．x4－8x2＋16＝(x2－4)2 D．－xn+1＋xn-1＝－xn-1(x＋1)(x－1)
11、一次课堂练习，小颖同学做了如下4道因式分解题，你认为小颖做得不够完整的一题是( )
A．x2－y2＝(x－y)(x＋y) B．x2－2xy＋y2＝(x－y)2 C．x2y－xy2＝xy(x－y) D．x3－x＝x(x2－1)
12、对于任何整数m，多项式(4m＋5)2－9一定能( )
A．被8整除 B．被m整除 C．被(m－1)整除 D．被(2m－1)整除
13、已知x+y＝1，则=（ ）
A．1B．C．2D．1或2
14、已知d＝x4﹣2x3+x2﹣12x﹣5，则当x2﹣2x﹣5＝0时，d的值为（ ）
A．25B．20C．15D．10
二、填空题
15、填空：(1)因式分解：x2y－9y＝_______．
(2)若xy＝5，a＋b＝4，a－b＝3，则a2xy－b2xy的值为_______．
(3)已知x、y，互为相反数，且(x＋2)2－(y＋2)2＝4，则x－y＝__________．
(4)已知a<0，b<0，比较大小：－a3b3＋2a2b2－ab_______0．
16、分解因式：a2(a－b)－4(a－b)＝________．
17、把a4b－6a3b＋9a2b分解因式的正确结果为__________
18、分解因式：2a（y﹣z）﹣3b（z﹣y）＝ ，x3y﹣xy＝ ．
19、已知x+y＝6，xy＝7，则x2y+xy2的值是 ．
20、如果x2＋kx＋64是一个完全平方式，那么常数k的值是_______．
21、已知x2－x－1＝0，则－x3＋2x2＋2019的值为________．
22、已知xy＝﹣1，x+y＝2，则x3y+x2y2+xy3＝ ．
23、若a+b﹣2＝0，则代数式a2﹣b2+4b的值等于 ．
24、已知△ABC的三边的长分别是a，b，c，且满足a2+2b2﹣2b（a+c）+c2＝0，
判断此三角形的形状为 ．
三、解答题
25、把下列各式分解因式：
(1)3ax2－3ay4； (2)3ax2＋6axy＋3ay2； (3)x4－81； (4)x4－2x2＋1.
26、把下列各式分解因式：
(1)4x2y2－64x2z2； (2) 2a2b2－28ab＋98； (3)－3ma3＋6ma2－12ma；
(4)(x－1)2(3x－2)＋(2－3x)； (5)(4m2＋1)2－16m2； (6) (x2＋2x)2＋2(x2＋2x)＋1．
27、探究性学习 小明同学把多项式x2－xy＋4x－4y分解因式的过程如下：
x2－xy＋4x－4y
＝(x2－xy)＋(4x－4y)(分成两组)
＝x(x－y)＋4(x－y)(直接提公因式)
＝(x－y)(x＋4)．
请你在小明同学解法的启发下，把下列各式分解因式：
(1)m2－mn＋mx－nx； (2)x2－2xy＋y2－9.
28、利用因式分解计算：
(1)21×3.14＋62×3.14＋17×3.14； (2)20192－2019×2018.
(3) 1.222×9－1.332×4 (4) 342＋34×32＋162．
29、（阅读材料）
把代数式通过配凑等手段，得到局部完全平方式，再进行有关运算和解题，这种解题方法叫做配方法．
配方法在代数式求值、解方程、最值问题中都有着广泛的应用．
例如：①用配方法因式分解：a2+6a+8．
原式＝a2+6a+9－1＝(a+3) 2－1＝(a+3－1)( a+3+1)＝(a+2)(a+4)
②求x2+6x+11的最小值．
解：x2+6x+11＝x2+6x+9+2＝(x+3) 2+2；
由于(x+3) 2≥0，
所以(x+3) 2+2≥2，
即x2+6x+11的最小值为2．
请根据上述材料解决下列问题：
(1)在横线上添上一个常数项使之成为完全平方式：a2+4a+ ；
(2)用配方法因式分解：a2－12a+35；
(3)用配方法因式分解：x4+4；
(4)求4x2+4x+3的最小值．
30、阅读理解以下文字：
我们知道，多项式的因式分解就是将一个多项式化成几个整式的积的形式．通过因式分解，我们常常将一个次数比较高的多项式转化成几个次数较低的整式的积，来达到降次化简的目的．这个思想可以引领我们解决很多相对复杂的代数问题．
例如：方程就可以这样来解：
解：原方程可化为
所以或者．
解方程，得
所以解为，．
根据你的理解，结合所学知识，解决以下问题：
（1）解方程：；
（2）解方程：；
（3）已知的三边长为，，，请你判断代数式的值的符号．
9.5.4提公因式法与公式法因式分解的综合运用-苏科版七年级数学下册 培优训练（答案）
一、选择题
1、下列各式中，从左到右的变形是因式分解的是（ ）
A．x2+2x+3＝（x+1）2+2B．（x+y）（x﹣y）＝x2﹣y2
C．x2+6xy+9y2＝（x+3y）2D．2x+2y+1＝2（x+y+1）
【解答】解：A、等式的右边不是几个整式的积，所以不是因式分解，故此选项不符合题意；
B、是整式乘法，所以不是因式分解，故此选项不符合题意；
C、是因式分解，故此选项符合题意；
D、提公因式错误，没有公因式2，故此选项不符合题意；
故选：C．
2、下列各式中，分解因式结果为2a(x－3)2的是 ( D )
A．2ax2－6x＋9 B．2ax2－18a C．2ax2＋12ax＋18a D．2ax2－12ax＋18a
3、把代数式ax2-4ax+4a分解因式，下列结果中正确的是（A ）
A．a（x-2）2 B．a（x+2）2 C．a（x-4）2 D．a（x+2）（x-2）
4、多项式ax2﹣a与多项式ax2﹣2ax+a的公因式是（ ）
A．aB．x﹣1C．a（x﹣1）D．a（x2﹣1）
【解析】多项式ax2﹣a＝a（x+1）（x﹣1），多项式ax2﹣2ax+a＝a（x﹣1）2，
则两多项式的公因式为a（x﹣1）．
故选：C．
5、下列代数式：①10am－15a；②4xm2－9x；③4am2－12am＋9a；④－4m2－9．
其中，含有因式2m－3的有 ( C )
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
6、把多项式ac-bc+a2-b2分解因式的结果是（ A ）
A．（a-b）（a+b+c） B．（a-b）（a+b-c） C．（a+b）（a-b-c） D．（a+b）（a-b+c）
7、把多项式ax2-ax-2a分解因式，下列结果正确的是（ A ）
A．a（x-2）（x+1） B．a（x+2）（x-1） C．a（x-1）2 D．（ax-2）（ax+1）
8、已知a+b=2，则a-b+4b的值是（ C ）
A．2 B．3 C．4 D．6
9、利用因式分解简便计算57×99+44×99-99正确的是（ B ）
A．99×（57+44）=99×101=9 999 B．99×（57+44-1）=99×100=9 900
C．99×（57+44+1）=99×102=10 098 D．99×（57+44-99）=99×2=198
10、下列各式中，分解因式正确的是 ( D )
A．x2y2－2x2y＋x2＝x2(y2－2y) B．4(x2＋1)－y2＝(4x2＋4＋y)(4x2＋4－y)
C．x4－8x2＋16＝(x2－4)2 D．－xn+1＋xn-1＝－xn-1(x＋1)(x－1)
11、一次课堂练习，小颖同学做了如下4道因式分解题，你认为小颖做得不够完整的一题是( D )
A．x2－y2＝(x－y)(x＋y) B．x2－2xy＋y2＝(x－y)2 C．x2y－xy2＝xy(x－y) D．x3－x＝x(x2－1)
12、对于任何整数m，多项式(4m＋5)2－9一定能( )
A．被8整除 B．被m整除 C．被(m－1)整除 D．被(2m－1)整除
[解析] (4m＋5)2－9＝(4m＋8)(4m＋2)＝8(m＋2)(2m＋1)，因为m是整数，
而(m＋2)和(2m＋1)都是随着m的变化而变化的数，所以该多项式肯定能被8整除．
故选A.
13、已知x+y＝1，则=（ ）
A．1B．C．2D．1或2
【分析】利用提公因式法和完全平方公式将进行因式分解，再整体代入计算即可．
【解答】解：
故选：B．
14、已知d＝x4﹣2x3+x2﹣12x﹣5，则当x2﹣2x﹣5＝0时，d的值为（ ）
A．25B．20C．15D．10
【分析】根据已知条件得到x2﹣2x﹣5＝0，将其代入整理后的d的代数式．
【解答】解法一：∵x2﹣2x﹣5＝0，∴x2＝2x+5，
∴d＝x4﹣2x3+x2﹣12x﹣5，
＝（2x+5）2﹣2x（2x+5）+x2﹣12x﹣5
＝4x2+20x+25﹣4x2﹣10x+x2﹣12x﹣5
＝x2﹣2x﹣5+25
＝25．
解法二：∵x2﹣2x﹣5＝0，∴x2﹣2x＝5，
∴d＝x4﹣2x3+x2﹣12x﹣5
＝x2（x2﹣2x+1）﹣12x﹣5
＝6x2﹣12x﹣5
＝6（x2﹣2x）﹣5
＝6×5﹣5
＝25．
故选：A．
二、填空题
15、填空：
(1)因式分解：x2y－9y＝_______．
(2)若xy＝5，a＋b＝4，a－b＝3，则a2xy－b2xy的值为_______．
(3)已知x、y，互为相反数，且(x＋2)2－(y＋2)2＝4，则x－y＝__________．
(4)已知a<0，b<0，比较大小：－a3b3＋2a2b2－ab_______0．
答案： (1) y(x＋3)(x－3) (2)60 (3)1 (4)≤
16、分解因式：a2(a－b)－4(a－b)＝________．
[解析] a2(a－b)－4(a－b)＝(a－b)(a2－4)＝(a－b)(a－2)(a＋2)．
17、把a4b－6a3b＋9a2b分解因式的正确结果为__________
[解析] 先提取公因式a2b，再根据完全平方公式进行二次分解即可求得答案．
a4b－6a3b＋9a2b＝a2b(a2－6a＋9)＝a2b(a－3)2.
18、分解因式：2a（y﹣z）﹣3b（z﹣y）＝ ，x3y﹣xy＝ ．
【解答】解：2a（y﹣z）﹣3b（z﹣y）＝2a（y﹣z）+3b（y﹣z）＝（y﹣z）（2a+3b），
x3y﹣xy＝xy（x2﹣1）＝xy（x+1）（x﹣1）．
故答案为：（y﹣z）（2a+3b）；xy（x+1）（x﹣1）．
19、已知x+y＝6，xy＝7，则x2y+xy2的值是 ．
【解答】解：∵x+y＝6，xy＝7，∴x2y+xy2＝xy（x+y）＝7×6＝42，
故答案为：42．
20、如果x2＋kx＋64是一个完全平方式，那么常数k的值是___±16_____．
21、已知x2－x－1＝0，则－x3＋2x2＋2019的值为________．
[解析] 因为x2－x－1＝0，所以x2－x＝1，
所以原式＝－x(x2－x)＋x2＋2019＝－x＋x2＋2019＝2020.
22、已知xy＝﹣1，x+y＝2，则x3y+x2y2+xy3＝ ．
【解答】解：∵xy＝﹣1，x+y＝2，
∴x3y+x2y2+xy3=xy() = =×(-1)×2＝﹣2．
故答案为：﹣2．
23、若a+b﹣2＝0，则代数式a2﹣b2+4b的值等于 ．
【解答】解：∵a+b﹣2＝0，∴a+b＝2．
∴a2﹣b2+4b＝（a+b）（a﹣b）+4b＝2（a﹣b）+4b＝2a﹣2b+4b＝2a+2b
＝2（a+b）＝2×2＝4．
故答案为4．
24、已知△ABC的三边的长分别是a，b，c，且满足a2+2b2﹣2b（a+c）+c2＝0，
判断此三角形的形状为 ．
【分析】将题目中的式子变形，然后利用完全平方公式和非负数的性质，可以求得a、b、c的关系，从而可以判断△ABC的形状．
【解答】解：∵a2+2b2﹣2b（a+c）+c2＝0，∴a2+2b2﹣2ab﹣2bc+c2＝0，
∴（a2﹣2ab+b2）+（c2﹣2bc+b2）＝0，∴（a﹣b）2+（c﹣b）2＝0，
∴a﹣b＝0，c﹣b＝0， ∴a＝b，c＝b，
∴a＝b＝c，∴△ABC是等边三角形，
故答案为：等边三角形
三、解答题
25、把下列各式分解因式：
(1)3ax2－3ay4； (2)3ax2＋6axy＋3ay2； (3)x4－81； (4)x4－2x2＋1.
[解析] 综合运用提公因式法和公式法分解因式．如果多项式各项有公因式，应先提公因式，
再进一步分解；分解因式必须分解到每个多项式的因式都不能再分解为止．
解： (1)3ax2－3ay4＝3a(x2－y4)＝3a(x＋y2)(x－y2)．
(2)3ax2＋6axy＋3ay2＝3a(x2＋2xy＋y2)＝3a(x＋y)2.
(3)x4－81＝(x2＋9)(x2－9)＝(x2＋9)(x＋3)(x－3)．
(4)x4－2x2＋1＝(x2－1)2＝(x＋1)2(x－1)2.
26、把下列各式分解因式：
(1)4x2y2－64x2z2； (2) 2a2b2－28ab＋98； (3)－3ma3＋6ma2－12ma；
(4)(x－1)2(3x－2)＋(2－3x)； (5)(4m2＋1)2－16m2； (6) (x2＋2x)2＋2(x2＋2x)＋1．
答案： (1) 4x2( y＋4z)(y－4z) (2) 2(ab－7)2 (3) －3ma (a2－2a＋4)
(4) x(3x－2)(x－2) (5) (2m＋1)2(2m－1)2 (6)(x＋1)4
27、探究性学习 小明同学把多项式x2－xy＋4x－4y分解因式的过程如下：
x2－xy＋4x－4y
＝(x2－xy)＋(4x－4y)(分成两组)
＝x(x－y)＋4(x－y)(直接提公因式)
＝(x－y)(x＋4)．
请你在小明同学解法的启发下，把下列各式分解因式：
(1)m2－mn＋mx－nx； (2)x2－2xy＋y2－9.
解：(1)m2－mn＋mx－nx＝m(m－n)＋x(m－n)＝(m－n)(m＋x)．
(2)x2－2xy＋y2－9＝(x－y)2－32＝(x－y＋3)(x－y－3)．
28、利用因式分解计算：
(1)21×3.14＋62×3.14＋17×3.14； (2)20192－2019×2018.
(3) 1.222×9－1.332×4 (4) 342＋34×32＋162．
解：(1)原式＝3.14×(21＋62＋17)＝3.14×100＝314.
(2)20192－2019×2018＝2019×(2019－2018)＝2019.
（3）原式=（1.22×3）-（1.33×2）=3.66-2.66=（3.66-2.66）（3.66+2.66）=6.32
(4) 342＋34×32＋162=342＋2×34×16＋162=（34+16）=2 500
29、（阅读材料）
把代数式通过配凑等手段，得到局部完全平方式，再进行有关运算和解题，这种解题方法叫做配方法．
配方法在代数式求值、解方程、最值问题中都有着广泛的应用．
例如：①用配方法因式分解：a2+6a+8．
原式＝a2+6a+9－1＝(a+3) 2－1＝(a+3－1)( a+3+1)＝(a+2)(a+4)
②求x2+6x+11的最小值．
解：x2+6x+11＝x2+6x+9+2＝(x+3) 2+2；
由于(x+3) 2≥0，
所以(x+3) 2+2≥2，
即x2+6x+11的最小值为2．
请根据上述材料解决下列问题：
(1)在横线上添上一个常数项使之成为完全平方式：a2+4a+ ；
(2)用配方法因式分解：a2－12a+35；
(3)用配方法因式分解：x4+4；
(4)求4x2+4x+3的最小值．
解：(1) 故答案为：
(2)
(3)
(4)
的最小值是
答案：(1)；(2) ；(3) ；(4)
30、阅读理解以下文字：
我们知道，多项式的因式分解就是将一个多项式化成几个整式的积的形式．通过因式分解，我们常常将一个次数比较高的多项式转化成几个次数较低的整式的积，来达到降次化简的目的．这个思想可以引领我们解决很多相对复杂的代数问题．
例如：方程就可以这样来解：
解：原方程可化为
所以或者．
解方程，得
所以解为，．
根据你的理解，结合所学知识，解决以下问题：
（1）解方程：；
（2）解方程：；
（3）已知的三边长为，，，请你判断代数式的值的符号．
解：（1），∴，
∴x=0或x-5=0，∴x1=0或x2=5；
（2）（x+3）2-4x2=0，
∴（x+3+2x）（x+3-2x）=0，
∴（3x+3）（-x+3）=0，
∴3x+3=0或-x+3=0，
解方程得：x1 =-1，x2=3；
（3）∵△ABC的三边长为4，x，y，
∴x+y＞4，x+4＞y，
∴x+y-4＞0，x-y+4＞0，y+4+x＞0，
∵y2-8y+16-x2=（y-4-x）（y-4+x）＜0，
即代数式y2-8y+16-x2的值的符号为负号．
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