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数学七年级下册9.5 多项式的因式分解当堂检测题
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这是一份数学七年级下册9.5 多项式的因式分解当堂检测题，共16页。
2．能用提公因式法进行因式分解（指数是正整数）
3.经历通过单项式乘以多项式探索提公因式法因式分解的过程，体会单项式乘以多项式与提取公因式之间的联系，发展逆向思维的能力。
一．因式分解的意义
1、分解因式的定义：
把一个多项式化为几个整式的积的形式，这种变形叫做把这个多项式因式分解，也叫做分解因式．
2、因式分解与整式乘法是相反方向的变形，即互逆运算，二者是一个式子的不同表现形式．因式分解是两个或几个因式积的表现形式，整式乘法是多项式的表现形式．例如：
3、因式分解是恒等变形，因此可以用整式乘法来检验．
二．公因式
1、定义：多项式ma+mb+mc中，各项都含有一个公共的因式m，因式m叫做这个多项式各项的公因式．
2、确定多项式中各项的公因式，可概括为三“定”：
①定系数，即确定各项系数的最大公约数；
②定字母，即确定各项的相同字母因式（或相同多项式因式）；
③定指数，即各项相同字母因式（或相同多项式因式）的指数的最低次幂．
三．因式分解-提公因式法
1、提公因式法：如果一个多项式的各项有公因式，可以把这个公因式提出来，从而将多项式化成两个因式乘积的形式，这种分解因式的方法叫做提公因式法．
2、具体方法：
（1）当各项系数都是整数时，公因式的系数应取各项系数的最大公约数；字母取各项的相同的字母，而且各字母的指数取次数最低的；取相同的多项式，多项式的次数取最低的．
（2）如果多项式的第一项是负的，一般要提出“﹣”号，使括号内的第一项的系数成为正数．
提出“﹣”号时，多项式的各项都要变号．
3、口诀：找准公因式，一次要提净；全家都搬走，留1把家守；提负要变号，变形看奇偶．
4、提公因式法基本步骤：
（1）找出公因式；
（2）提公因式并确定另一个因式：
①第一步找公因式可按照确定公因式的方法先确定系数再确定字母；
②第二步提公因式并确定另一个因式，注意要确定另一个因式，可用原多项式除以公因式，所得的商即是提公因式后剩下的一个因式，也可用公因式分别除去原多项式的每一项，求的剩下的另一个因式；
③提完公因式后，另一因式的项数与原多项式的项数相同．
四．因式分解-运用公式法
1、如果把乘法公式反过来，就可以把某些多项式分解因式，这种方法叫公式法．
平方差公式：a2﹣b2＝（a+b）（a﹣b）；
完全平方公式：a2±2ab+b2＝（a±b）2；
2、概括整合：
①能够运用平方差公式分解因式的多项式必须是二项式，两项都能写成平方的形式，且符号相反．
②能运用完全平方公式分解因式的多项式必须是三项式，其中有两项能写成两个数（或式）的平方和的形式，另一项是这两个数（或式）的积的2倍．
3、要注意公式的综合应用，分解到每一个因式都不能再分解为止．
五．提公因式法与公式法的综合运用
先提取公因式，再对余下的多项式利用完全平方公式继续分解即可．
六．因式分解-分组分解法
1、分组分解法一般是针对四项或四项以上多项式的因式分解，分组有两个目的，一是分组后能出现公因式，二是分组后能应用公式．
2、对于常见的四项式，一般的分组分解有两种形式：①二二分法，②三一分法．
例如：①ax+ay+bx+by
＝x（a+b）+y（a+b）
＝（a+b）（x+y）
②2xy﹣x2+1﹣y2
＝﹣（x2﹣2xy+y2）+1
＝1﹣（x﹣y）2
＝（1+x﹣y）（1﹣x+y）
七．因式分解-十字相乘法等
借助画十字交叉线分解系数，从而帮助我们把二次三项式分解因式的
方法，通常叫做十字相乘法．
①x2+（p+q）x+pq型的式子的因式分解．
这类二次三项式的特点是：二次项的系数是1；常数项是两个数的积；
可以直接将某些二次项的系数是1的二次三项式因式分解：
x2+（p+q）x+pq＝（x+p）（x+q）
②ax2+bx+c（a≠0）型的式子的因式分解
这种方法的关键是把二次项系数a分解成两个因数a1，a2的积a1•a2，
把常数项c分解成两个因数c1，c2的积c1•c2，并使a1c2+a2c1正好是一
次项b，那么可以直接写成结果：ax2+bx+c＝（a1x+c1）（a2x+c2）．
八．因式分解的应用
1、利用因式分解解决求值问题．
2、利用因式分解解决证明问题．
3、利用因式分解简化计算问题．
【规律方法】因式分解在求代数式值中的应用
1．因式分解是研究代数式的基础，通过因式分解将多项式合理变形，是求代数式值的常用解题方法，具体做法是：根据题目的特点，先通过因式分解将式子变形，然后再进行整体代入．
2．用因式分解的方法将式子变形时，根据已知条件，变形的可以是整个代数式，也可以是其中的一部分．
一．因式分解的意义（共3小题）
1．（2023春•镇江期中）下面各式从左到右的变形，属于因式分解的是
A．B．
C．D．
2．（2023春•大丰区期中）若，则的值是
A．B．5C．D．2
3．（2023春•玄武区期中）甲、乙两个同学分解因式时，甲看错了，分解结果为；乙看错了，分解结果为，则 ．
二．公因式（共2小题）
4．（2023春•亭湖区期中）多项式的公因式是
A．B．C．D．
5．（2023春•盐都区期中），的公因式为 ．
三．因式分解-提公因式法（共4小题）
6．（2023春•吴江区期中）能被下列哪个数整除？
A．3B．5C．7D．9
7．（2023春•句容市期末）因式分解： ．
8．（2023春•江都区期中）因式分解： ．
9．（2023春•宜兴市月考）分解因式：
（1）； （2）．
四．因式分解-运用公式法（共7小题）
10．（2023春•兴化市期末）已知二次三项式能用完全平方公式分解因式，则的值为 ．
11．（2023•泉山区校级三模）因式分解： ．
12．（2023春•兴化市期中）若有理数使得二次三项式能用完全平方公式因式分解，则 ．
13．（2023春•盐都区期中）因式分解：
（1）； （2）．
14．（2023春•盱眙县期中）下列多项式中，能用平方差公式进行因式分解的是
A．B．C．D．
15．（2023春•靖江市月考）若能用完全平方公式因式分解，则的值为
A．B．C．或11D．13或
16．（2023春•宜兴市期中）已知，．求的值．
五．提公因式法与公式法的综合运用（共6小题）
17．（2023春•灌南县期末）下列因式分解正确的是
A．B．
C．D．
18．（2023春•盐都区期中）如果，，，4，，分别对应6个字：鹿，鸣，数，我，爱，学，现将因式分解，结果呈现的可能是哪句话
A．我爱鹿鸣B．爱鹿鸣C．鹿鸣数学D．我爱数学
19．（2023春•秦淮区期末）因式分解： ．
20．（2023春•玄武区校级月考）分解因式： ．
21．（2023春•南京期中）因式分解：
（1）； （2）．
22．（2023春•泰兴市期末）因式分解：
（1）； （2）．
六．因式分解-分组分解法（共3小题）
23．（2021春•金坛区期末）因式分解： ．
24．（2021春•阜宁县期中）很久以前，有一位老人临终前，准备将自己所养的7头牛全部分给两个儿子饲养，大儿先得一半，小儿再得剩余的四分之三，两儿正踌躇不决时，热心的邻居从自家牵了一头牛参与分配，给大儿分了四头牛，小儿分了三头牛，余下的一头牛邻居又牵回家了，皆大欢喜，聪明的邻居合理地解决了这个问题．初中数学里也有这种“转化”的思考方法．
例如：先阅读下列多项式的因式分解：
．
按照这种方法分别把多项式分解因式：
（1）；
（2）．
25．（2023春•靖江市月考）将一个多项式分组后，可提公因式或运用公式继续分解的方法是因式分解中的分组分解法，一般的分组分解法有四种形式，即“”分法、“”分法、“”分法及“”分法等．
如“”分法：
请你仿照以上方法，探索并解决下列问题：
（1）分解因式：；
（2）分解因式：；
（3）分解因式：．
七．因式分解-十字相乘法等（共6小题）
26．（2023春•泰州期末）若多项式能分解成两个一次因式的积，且其中一个一次因式，则的值为
A．1B．5C．D．
27．（2023春•宝应县期中）下列各式因式分解正确的是
A．B．
C．D．
28．（2023春•常州期中）若多项式可分解成，则的值是
A．B．13C．1D．
29．（2023春•吴江区期中）因式分解时，甲看错了的值，分解的结果是，乙看错了，分解的结果是，那么因式分解正确的结果是 ．
30．（2023春•句容市期末）若，则 ．
31．（2023春•秦淮区校级月考）分解因式
（1）； （2）．
八．因式分解的应用（共9小题）
32．（2023春•鼓楼区校级期中）已知、、是的三条边，且满足，则一定是
A．等腰三角形B．等边三角形
C．直角三角形D．等腰直角三角形
33．（2023春•宝应县期中）已知，那么的值是
A．2021B．2022C．2023D．2024
34．（2023春•天宁区校级期中）如果一个正整数可以表示为两个连线奇数的平方差，那么称该正整数为“和谐数”，比如，，即8，16均为“和谐数”．在不超过2023的正整数中，所有的“和谐数“之和为
A．255024B．253008C．257048D．255054
35．（2023春•高新区期中）刘徽是我国魏晋时期伟大的数学家，他在《九章算术注》中指出：“勾、股幂合为弦幂，明矣．”也就是说，图1中直角三角形的三边、、存在的关系．他在书中构造了一些基本图形来解决问题．如图2，分别将以为边长的正方形和为边长的正方形置于以为边长的大正方形的左下角和右上角，若，则 ．
36．（2023春•鼓楼区校级期中）我们知道，对于一个图形，通过两种不同的方法计算它的面积，可以得到一个数学等式．例如图①可以得到．请回答下列问题：
（1）写出图②中所表示的数学等式 ；
（2）猜测 ．
（3）利用（1）中得到的结论，解决下面的问题：
已知，，求的值；
（4）在（3）的条件下，若、、分别是一个三角形的三边长，请判断该三角形的形状，并说明理由．
37．（2023春•丹阳市期中）借助图形直观，感受数与形之间的关系，我们常常可以发现一些重要结论．
【初步应用】
（1）①如图1，大长方形的面积可以看成4个小长方形的面积之和，由此得到多项式乘多项式的运算法则： （用图中字母表示）．
②如图2，借助①，写出一个我们学过的乘法公式： （用图中字母表示）．
【深入探究】
（2）①仿照图2，构造图形并计算．
②根据上面的等式，如果，，求的值．
38．（2023春•沭阳县期末）如果一个正整数能表示为两个连续偶数的平方差，那么称这个正整数为“神秘数”如：，，，因此4，12，20都是“神秘数”．
（1）请说明28是否为“神秘数”；
（2）下面是两个同学演算后的发现，请判断真假，并说明理由．
①嘉嘉发现：两个连续偶数和（其中取非负整数）构造的“神秘数”也是4的倍数．
②洪淇发现：2024是“神秘数”．
39．（2023春•江都区期中）先阅读下列材料：我们已经学过将一个多项式分解因式的方法有提公因式法和运用公式法，其实分解因式的方法还有分组分解法、拆项法、十字相乘法等等．
（1）分组分解法：将一个多项式适当分组后，可提公因式或运用公式继续分解的方法．如：
①
②
（2）拆项法：将一个多项式的某一项拆成两项后，可提公因式或运用公式继续分解的方法．如：
请你仿照以上方法，探索并解决下列问题：
（1）分解因式：；
（2）分解因式：；
（3）多项式有最小值吗？如果有，当它取最小值时的值为多少？
40．（2023春•新吴区期中）阅读材料：
利用公式法，可以将一些形如的多项式变形为的形式，我们把这样的变形方法叫做多项式的配方法，运用多项式的配方法及平方差公式能对一些多项式进行因式分解例如．
根据以上材料，解答下列问题．
（1）分解因式（利用公式法）；
（2）求多项式的最小值；
（3）已知，，是的三边长，且满足，求的周长．
一．选择题（共5小题）
1．（2023春•玄武区期中）下列从左到右的变形是因式分解的是
A．B．
C．D．
2．（2023春•玄武区校级月考）把多项式因式分解时，应提取的公因式是
A．B．C．D．
3．（2023春•梁溪区校级期中）已知，，则代数式的值为
A．6B．7C．8D．9
4．（2023春•盐城期末）下列各式中，能用完全平方公式因式分解的
A．B．C．D．
5．（2023春•江都区期中）如果一个数等于两个连续偶数的平方差，那么我们称这个数为“和融数”，如：因为，所以称20为“和融数”，下面4个数中为“和融数”的是
A．2020B．2021C．2022D．2023
二．填空题（共6小题）
6．（2023春•淮安期末）已知能用完全平方公式因式分解，则的值为 ．
7．（2023春•工业园区期中）若在实数范围内可以因式分解，则的值可以为 ．（只填一个）．
8．（2023春•亭湖区校级期中）已知正整数，，（其中满足，则的最小值是 ．
9．（2023春•盐都区期中）已知，，，则 ．
10．（2023春•泗洪县期末）已知，，则 ．
11．（2023春•鼓楼区校级月考）为自然数，若为两个连续自然数之积，则的值是 ．
三．解答题（共6小题）
12．（2023春•东海县期中）因式分解：
（1）； （2）．
13．（2023春•亭湖区期中）【阅读理解】在苏科版七下教材第九章的学习中，我们了解了因式分解，除了提取公因式、运用公式法外，还有其他方法可帮助我们快速对一个多项式进行因式分解．以为例，小明参考教材数学活动“拼图公式”，拼出了如图2的长方形；
小红则参考课外阅读，认识了“配方法”，给到如下过程：
，
，
，
【尝试解决】
（1）由拼图可得等式 ；
（2）请接着小红的思路补全解答过程；
（3）上述两种方法，任选一种将因式分解．（注：若选择拼图法，请画出图形，并做适当标注；若选配方法，请写完整过程）
【实际应用】
（4）学校有一长方形空地，为了美化校园环境，现欲规划1块型、6块型正方形和5块型小长方形区域、都是正整数），种植不同种类的花草．若长方形空地总面积为，求出、的值分别是多少？
14．（2023春•盐都区期中）阅读与思考：分组分解法指通过分组分解的方式来分解用提公因式法和公式法无法直接分解的多项式，比如：四项的多项式一般按照“两两”分组或“三一”分组，进行分组分解．
例1：“两两分组”：
解：原式
例2：“三一分组”：
解：原式
归纳总结：用分组分解法分解因式要先恰当分组，然后用提公因式法或运用公式法继续分解．
请同学们在阅读材料的启发下，解答下列问题：
（1）分解因式：
①；
②．
（2）已知的三边，，满足，试判断的形状．
15．（2023春•淮安期末）【知识生成】我们已经知道，对于一个图形，通过不同的方法计算图形的面积可以得到一个数学等式，例如由图1可以得到，请解答下列问题：
（1）写出图2中所表示的数学等式 ；
（2）利用（1）中所得到的结论，解决下面的问题：
已知，，求的值；
（3）小明同学用图3中张边长为的正方形，张边长为的正方形，张宽、长分别为、的长方形纸片拼出一个面积为长方形，则 ；
【知识迁移】（4）事实上，通过计算几何图形的体积也可以表示一些代数恒等式，图4①表示的是一个棱长为的正方体挖去一个棱长为的小正方体，小明由图2操作得到启发，请你根据分割如图4②的操作，写出一个数学等式： ．
【解决问题】（5）分解因式： ， ．
16．（2023春•江阴市期中）如图1，现有3种不同型号的型、型、型卡片若干张．
（1）已知1张型卡片，1张型卡片，2张型卡片可拼成如图2所示的正方形，用不同的方法计算图2中阴影部分的面积，可得到等式： ；
（2）请用上述三种型号的卡片若干张拼出一个面积为的长方形（无空隙，不重叠），在图4虚线框内画出你的拼接示意图，并根据拼图直接写出多项式因式分解的结果；
（3）取出一张型卡片，一张型卡片，放入边长为的正方形大卡片内，如图3所示，图中，型卡片重叠部分面积记为，边长为的正方形未被覆盖部分面积记为，，若，，，求出大正方形的面积（即的值）．
17．（2023春•新吴区期中）先阅读下面的内容，再解决问题：
问题：对于形如，这样的二次三项式，可以用公式法将它分解成的形式．但对于二次三项式，就不能直接运用公式了．此时，我们可以在二次三项式中先加上一项，使它与的和成为一个完全平方式，再减去，整个式子的值不变，于是有：像这样，先添一适当项，使式中出现完全平方式，再减去这个项，使整个式子的值不变的方法称为“配方法”．利用“配方法”，解决下列问题：
（1）分解因式：；
（2）若；
①当，，满足条件：时，求的值；
②若的三边长是，，，且边的长为奇数，求的周长．
2．能用提公因式法进行因式分解（指数是正整数）
3.经历通过单项式乘以多项式探索提公因式法因式分解的过程，体会单项式乘以多项式与提取公因式之间的联系，发展逆向思维的能力。
一．因式分解的意义
1、分解因式的定义：
把一个多项式化为几个整式的积的形式，这种变形叫做把这个多项式因式分解，也叫做分解因式．
2、因式分解与整式乘法是相反方向的变形，即互逆运算，二者是一个式子的不同表现形式．因式分解是两个或几个因式积的表现形式，整式乘法是多项式的表现形式．例如：
3、因式分解是恒等变形，因此可以用整式乘法来检验．
二．公因式
1、定义：多项式ma+mb+mc中，各项都含有一个公共的因式m，因式m叫做这个多项式各项的公因式．
2、确定多项式中各项的公因式，可概括为三“定”：
①定系数，即确定各项系数的最大公约数；
②定字母，即确定各项的相同字母因式（或相同多项式因式）；
③定指数，即各项相同字母因式（或相同多项式因式）的指数的最低次幂．
三．因式分解-提公因式法
1、提公因式法：如果一个多项式的各项有公因式，可以把这个公因式提出来，从而将多项式化成两个因式乘积的形式，这种分解因式的方法叫做提公因式法．
2、具体方法：
（1）当各项系数都是整数时，公因式的系数应取各项系数的最大公约数；字母取各项的相同的字母，而且各字母的指数取次数最低的；取相同的多项式，多项式的次数取最低的．
（2）如果多项式的第一项是负的，一般要提出“﹣”号，使括号内的第一项的系数成为正数．
提出“﹣”号时，多项式的各项都要变号．
3、口诀：找准公因式，一次要提净；全家都搬走，留1把家守；提负要变号，变形看奇偶．
4、提公因式法基本步骤：
（1）找出公因式；
（2）提公因式并确定另一个因式：
①第一步找公因式可按照确定公因式的方法先确定系数再确定字母；
②第二步提公因式并确定另一个因式，注意要确定另一个因式，可用原多项式除以公因式，所得的商即是提公因式后剩下的一个因式，也可用公因式分别除去原多项式的每一项，求的剩下的另一个因式；
③提完公因式后，另一因式的项数与原多项式的项数相同．
四．因式分解-运用公式法
1、如果把乘法公式反过来，就可以把某些多项式分解因式，这种方法叫公式法．
平方差公式：a2﹣b2＝（a+b）（a﹣b）；
完全平方公式：a2±2ab+b2＝（a±b）2；
2、概括整合：
①能够运用平方差公式分解因式的多项式必须是二项式，两项都能写成平方的形式，且符号相反．
②能运用完全平方公式分解因式的多项式必须是三项式，其中有两项能写成两个数（或式）的平方和的形式，另一项是这两个数（或式）的积的2倍．
3、要注意公式的综合应用，分解到每一个因式都不能再分解为止．
五．提公因式法与公式法的综合运用
先提取公因式，再对余下的多项式利用完全平方公式继续分解即可．
六．因式分解-分组分解法
1、分组分解法一般是针对四项或四项以上多项式的因式分解，分组有两个目的，一是分组后能出现公因式，二是分组后能应用公式．
2、对于常见的四项式，一般的分组分解有两种形式：①二二分法，②三一分法．
例如：①ax+ay+bx+by
＝x（a+b）+y（a+b）
＝（a+b）（x+y）
②2xy﹣x2+1﹣y2
＝﹣（x2﹣2xy+y2）+1
＝1﹣（x﹣y）2
＝（1+x﹣y）（1﹣x+y）
七．因式分解-十字相乘法等
借助画十字交叉线分解系数，从而帮助我们把二次三项式分解因式的
方法，通常叫做十字相乘法．
①x2+（p+q）x+pq型的式子的因式分解．
这类二次三项式的特点是：二次项的系数是1；常数项是两个数的积；
可以直接将某些二次项的系数是1的二次三项式因式分解：
x2+（p+q）x+pq＝（x+p）（x+q）
②ax2+bx+c（a≠0）型的式子的因式分解
这种方法的关键是把二次项系数a分解成两个因数a1，a2的积a1•a2，
把常数项c分解成两个因数c1，c2的积c1•c2，并使a1c2+a2c1正好是一
次项b，那么可以直接写成结果：ax2+bx+c＝（a1x+c1）（a2x+c2）．
八．因式分解的应用
1、利用因式分解解决求值问题．
2、利用因式分解解决证明问题．
3、利用因式分解简化计算问题．
【规律方法】因式分解在求代数式值中的应用
1．因式分解是研究代数式的基础，通过因式分解将多项式合理变形，是求代数式值的常用解题方法，具体做法是：根据题目的特点，先通过因式分解将式子变形，然后再进行整体代入．
2．用因式分解的方法将式子变形时，根据已知条件，变形的可以是整个代数式，也可以是其中的一部分．
一．因式分解的意义（共3小题）
1．（2023春•镇江期中）下面各式从左到右的变形，属于因式分解的是
A．B．
C．D．
2．（2023春•大丰区期中）若，则的值是
A．B．5C．D．2
3．（2023春•玄武区期中）甲、乙两个同学分解因式时，甲看错了，分解结果为；乙看错了，分解结果为，则 ．
二．公因式（共2小题）
4．（2023春•亭湖区期中）多项式的公因式是
A．B．C．D．
5．（2023春•盐都区期中），的公因式为 ．
三．因式分解-提公因式法（共4小题）
6．（2023春•吴江区期中）能被下列哪个数整除？
A．3B．5C．7D．9
7．（2023春•句容市期末）因式分解： ．
8．（2023春•江都区期中）因式分解： ．
9．（2023春•宜兴市月考）分解因式：
（1）； （2）．
四．因式分解-运用公式法（共7小题）
10．（2023春•兴化市期末）已知二次三项式能用完全平方公式分解因式，则的值为 ．
11．（2023•泉山区校级三模）因式分解： ．
12．（2023春•兴化市期中）若有理数使得二次三项式能用完全平方公式因式分解，则 ．
13．（2023春•盐都区期中）因式分解：
（1）； （2）．
14．（2023春•盱眙县期中）下列多项式中，能用平方差公式进行因式分解的是
A．B．C．D．
15．（2023春•靖江市月考）若能用完全平方公式因式分解，则的值为
A．B．C．或11D．13或
16．（2023春•宜兴市期中）已知，．求的值．
五．提公因式法与公式法的综合运用（共6小题）
17．（2023春•灌南县期末）下列因式分解正确的是
A．B．
C．D．
18．（2023春•盐都区期中）如果，，，4，，分别对应6个字：鹿，鸣，数，我，爱，学，现将因式分解，结果呈现的可能是哪句话
A．我爱鹿鸣B．爱鹿鸣C．鹿鸣数学D．我爱数学
19．（2023春•秦淮区期末）因式分解： ．
20．（2023春•玄武区校级月考）分解因式： ．
21．（2023春•南京期中）因式分解：
（1）； （2）．
22．（2023春•泰兴市期末）因式分解：
（1）； （2）．
六．因式分解-分组分解法（共3小题）
23．（2021春•金坛区期末）因式分解： ．
24．（2021春•阜宁县期中）很久以前，有一位老人临终前，准备将自己所养的7头牛全部分给两个儿子饲养，大儿先得一半，小儿再得剩余的四分之三，两儿正踌躇不决时，热心的邻居从自家牵了一头牛参与分配，给大儿分了四头牛，小儿分了三头牛，余下的一头牛邻居又牵回家了，皆大欢喜，聪明的邻居合理地解决了这个问题．初中数学里也有这种“转化”的思考方法．
例如：先阅读下列多项式的因式分解：
．
按照这种方法分别把多项式分解因式：
（1）；
（2）．
25．（2023春•靖江市月考）将一个多项式分组后，可提公因式或运用公式继续分解的方法是因式分解中的分组分解法，一般的分组分解法有四种形式，即“”分法、“”分法、“”分法及“”分法等．
如“”分法：
请你仿照以上方法，探索并解决下列问题：
（1）分解因式：；
（2）分解因式：；
（3）分解因式：．
七．因式分解-十字相乘法等（共6小题）
26．（2023春•泰州期末）若多项式能分解成两个一次因式的积，且其中一个一次因式，则的值为
A．1B．5C．D．
27．（2023春•宝应县期中）下列各式因式分解正确的是
A．B．
C．D．
28．（2023春•常州期中）若多项式可分解成，则的值是
A．B．13C．1D．
29．（2023春•吴江区期中）因式分解时，甲看错了的值，分解的结果是，乙看错了，分解的结果是，那么因式分解正确的结果是 ．
30．（2023春•句容市期末）若，则 ．
31．（2023春•秦淮区校级月考）分解因式
（1）； （2）．
八．因式分解的应用（共9小题）
32．（2023春•鼓楼区校级期中）已知、、是的三条边，且满足，则一定是
A．等腰三角形B．等边三角形
C．直角三角形D．等腰直角三角形
33．（2023春•宝应县期中）已知，那么的值是
A．2021B．2022C．2023D．2024
34．（2023春•天宁区校级期中）如果一个正整数可以表示为两个连线奇数的平方差，那么称该正整数为“和谐数”，比如，，即8，16均为“和谐数”．在不超过2023的正整数中，所有的“和谐数“之和为
A．255024B．253008C．257048D．255054
35．（2023春•高新区期中）刘徽是我国魏晋时期伟大的数学家，他在《九章算术注》中指出：“勾、股幂合为弦幂，明矣．”也就是说，图1中直角三角形的三边、、存在的关系．他在书中构造了一些基本图形来解决问题．如图2，分别将以为边长的正方形和为边长的正方形置于以为边长的大正方形的左下角和右上角，若，则 ．
36．（2023春•鼓楼区校级期中）我们知道，对于一个图形，通过两种不同的方法计算它的面积，可以得到一个数学等式．例如图①可以得到．请回答下列问题：
（1）写出图②中所表示的数学等式 ；
（2）猜测 ．
（3）利用（1）中得到的结论，解决下面的问题：
已知，，求的值；
（4）在（3）的条件下，若、、分别是一个三角形的三边长，请判断该三角形的形状，并说明理由．
37．（2023春•丹阳市期中）借助图形直观，感受数与形之间的关系，我们常常可以发现一些重要结论．
【初步应用】
（1）①如图1，大长方形的面积可以看成4个小长方形的面积之和，由此得到多项式乘多项式的运算法则： （用图中字母表示）．
②如图2，借助①，写出一个我们学过的乘法公式： （用图中字母表示）．
【深入探究】
（2）①仿照图2，构造图形并计算．
②根据上面的等式，如果，，求的值．
38．（2023春•沭阳县期末）如果一个正整数能表示为两个连续偶数的平方差，那么称这个正整数为“神秘数”如：，，，因此4，12，20都是“神秘数”．
（1）请说明28是否为“神秘数”；
（2）下面是两个同学演算后的发现，请判断真假，并说明理由．
①嘉嘉发现：两个连续偶数和（其中取非负整数）构造的“神秘数”也是4的倍数．
②洪淇发现：2024是“神秘数”．
39．（2023春•江都区期中）先阅读下列材料：我们已经学过将一个多项式分解因式的方法有提公因式法和运用公式法，其实分解因式的方法还有分组分解法、拆项法、十字相乘法等等．
（1）分组分解法：将一个多项式适当分组后，可提公因式或运用公式继续分解的方法．如：
①
②
（2）拆项法：将一个多项式的某一项拆成两项后，可提公因式或运用公式继续分解的方法．如：
请你仿照以上方法，探索并解决下列问题：
（1）分解因式：；
（2）分解因式：；
（3）多项式有最小值吗？如果有，当它取最小值时的值为多少？
40．（2023春•新吴区期中）阅读材料：
利用公式法，可以将一些形如的多项式变形为的形式，我们把这样的变形方法叫做多项式的配方法，运用多项式的配方法及平方差公式能对一些多项式进行因式分解例如．
根据以上材料，解答下列问题．
（1）分解因式（利用公式法）；
（2）求多项式的最小值；
（3）已知，，是的三边长，且满足，求的周长．
一．选择题（共5小题）
1．（2023春•玄武区期中）下列从左到右的变形是因式分解的是
A．B．
C．D．
2．（2023春•玄武区校级月考）把多项式因式分解时，应提取的公因式是
A．B．C．D．
3．（2023春•梁溪区校级期中）已知，，则代数式的值为
A．6B．7C．8D．9
4．（2023春•盐城期末）下列各式中，能用完全平方公式因式分解的
A．B．C．D．
5．（2023春•江都区期中）如果一个数等于两个连续偶数的平方差，那么我们称这个数为“和融数”，如：因为，所以称20为“和融数”，下面4个数中为“和融数”的是
A．2020B．2021C．2022D．2023
二．填空题（共6小题）
6．（2023春•淮安期末）已知能用完全平方公式因式分解，则的值为 ．
7．（2023春•工业园区期中）若在实数范围内可以因式分解，则的值可以为 ．（只填一个）．
8．（2023春•亭湖区校级期中）已知正整数，，（其中满足，则的最小值是 ．
9．（2023春•盐都区期中）已知，，，则 ．
10．（2023春•泗洪县期末）已知，，则 ．
11．（2023春•鼓楼区校级月考）为自然数，若为两个连续自然数之积，则的值是 ．
三．解答题（共6小题）
12．（2023春•东海县期中）因式分解：
（1）； （2）．
13．（2023春•亭湖区期中）【阅读理解】在苏科版七下教材第九章的学习中，我们了解了因式分解，除了提取公因式、运用公式法外，还有其他方法可帮助我们快速对一个多项式进行因式分解．以为例，小明参考教材数学活动“拼图公式”，拼出了如图2的长方形；
小红则参考课外阅读，认识了“配方法”，给到如下过程：
，
，
，
【尝试解决】
（1）由拼图可得等式 ；
（2）请接着小红的思路补全解答过程；
（3）上述两种方法，任选一种将因式分解．（注：若选择拼图法，请画出图形，并做适当标注；若选配方法，请写完整过程）
【实际应用】
（4）学校有一长方形空地，为了美化校园环境，现欲规划1块型、6块型正方形和5块型小长方形区域、都是正整数），种植不同种类的花草．若长方形空地总面积为，求出、的值分别是多少？
14．（2023春•盐都区期中）阅读与思考：分组分解法指通过分组分解的方式来分解用提公因式法和公式法无法直接分解的多项式，比如：四项的多项式一般按照“两两”分组或“三一”分组，进行分组分解．
例1：“两两分组”：
解：原式
例2：“三一分组”：
解：原式
归纳总结：用分组分解法分解因式要先恰当分组，然后用提公因式法或运用公式法继续分解．
请同学们在阅读材料的启发下，解答下列问题：
（1）分解因式：
①；
②．
（2）已知的三边，，满足，试判断的形状．
15．（2023春•淮安期末）【知识生成】我们已经知道，对于一个图形，通过不同的方法计算图形的面积可以得到一个数学等式，例如由图1可以得到，请解答下列问题：
（1）写出图2中所表示的数学等式 ；
（2）利用（1）中所得到的结论，解决下面的问题：
已知，，求的值；
（3）小明同学用图3中张边长为的正方形，张边长为的正方形，张宽、长分别为、的长方形纸片拼出一个面积为长方形，则 ；
【知识迁移】（4）事实上，通过计算几何图形的体积也可以表示一些代数恒等式，图4①表示的是一个棱长为的正方体挖去一个棱长为的小正方体，小明由图2操作得到启发，请你根据分割如图4②的操作，写出一个数学等式： ．
【解决问题】（5）分解因式： ， ．
16．（2023春•江阴市期中）如图1，现有3种不同型号的型、型、型卡片若干张．
（1）已知1张型卡片，1张型卡片，2张型卡片可拼成如图2所示的正方形，用不同的方法计算图2中阴影部分的面积，可得到等式： ；
（2）请用上述三种型号的卡片若干张拼出一个面积为的长方形（无空隙，不重叠），在图4虚线框内画出你的拼接示意图，并根据拼图直接写出多项式因式分解的结果；
（3）取出一张型卡片，一张型卡片，放入边长为的正方形大卡片内，如图3所示，图中，型卡片重叠部分面积记为，边长为的正方形未被覆盖部分面积记为，，若，，，求出大正方形的面积（即的值）．
17．（2023春•新吴区期中）先阅读下面的内容，再解决问题：
问题：对于形如，这样的二次三项式，可以用公式法将它分解成的形式．但对于二次三项式，就不能直接运用公式了．此时，我们可以在二次三项式中先加上一项，使它与的和成为一个完全平方式，再减去，整个式子的值不变，于是有：像这样，先添一适当项，使式中出现完全平方式，再减去这个项，使整个式子的值不变的方法称为“配方法”．利用“配方法”，解决下列问题：
（1）分解因式：；
（2）若；
①当，，满足条件：时，求的值；
②若的三边长是，，，且边的长为奇数，求的周长．
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