2012年青岛市中考数学试卷和答案

2012年青岛市中考数学试卷

一、选择题（本题满分24分，共8小题，每小题3分）

1．－2的绝对值是（   ）

A．－            B．－2            C．            D．2

2．下列图形中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（   ）

A．            B．            C．            D．

3．如图，正方体表面上画有一圈黑色线条，则它的左视图是（   ）

A．            B．            C．            D．

4．已知⊙O1与⊙O2的半径分别为4和6，O1O2＝2，则⊙O1与⊙O2的位置关系是（   ）

A．内切            B．相交            C．外切            D．外离

5．某次知识竞赛中，10名学生的成绩统计如下：

则下列说明正确的是【   】

A．学生成绩的极差是4                 B．学生成绩的众数是5

C．学生成绩的中位数是80分            D．学生成绩的平均分是80分

6．如图，将四边形ABCD先向左平移3个单位，再向上平移2个单位，那么点A的对应点A1的坐标是（   ）             A．(6，1)        B．(0，1)       C．(0，－3)      D．(6，－3)

7．用图中两个可自由转动的转盘做“配紫色”游戏：分别旋转两个转盘，若其中一个转出红色，另一个转出蓝色即可配成紫色，那么可配成紫色的概率是（   ）

A．            B．            C．            D．

8．点A(x1，y1)、B(x2，y2)、C(x3，y3)都在反比例函数y＝－的图象上，且x1＜x2＜0＜x3，则y1、y2、y3的大小关系是（   ）

A．y3＜y1＜y2          B．y1＜y2＜y3          C．y3＜y2＜y1          D．y2＜y1＜y3

二、填空题（本题满分18分，共6小题，每小题3分）

9．(－3)0＋×＝      ．

10．为改善学生的营养状况，中央财政从2011年秋季学期起，为试点地区在校生提供营养膳食补助，一年所需资金约为160亿元，用科学记数法表示为                元．

11．如图，点A、B、C在⊙O上，∠AOC＝60º，则∠ABC＝        º．

12．如图，在一块长为22m、宽为17m的矩形地面上，要修建同样宽的两条互相垂直的道路（两条

道路各与矩形一边平行），剩余部分种上草坪，使草坪面积为300m2．若设道路宽为xm，则根据题意

可列方程为                 ．

13．如图，在△ABC中，∠ACB＝90º，∠ABC＝30º，AC＝1．现在将△ABC绕点C逆时针旋转至△A′B′C，

使得点A′恰好落在AB上，连接BB′，则BB′的长度为      ．

14．如图，圆柱形玻璃杯高为12cm、底面周长为18cm，在杯内离杯底4cm的点C处有一滴蜂蜜，一

只蚂蚁正好在杯外壁，离杯上沿4cm与蜂蜜相对的点A处，则蚂蚁到达蜂蜜的最短距离为       cm．

三、作图题（本题满分4分）

15．用圆规、直尺作图，不写作法，但要保留作图痕迹．

已知：线段a、c，∠．求作：△ABC，使BC＝a，AB＝c，∠ABC＝∠．

结论：

四、解答题（本题满分94分，共9小题）

16．(8分)(1)化简：÷；            (2)解不等式组：

17．(6分)某校为开展每天一小时阳光体育活动，准备组建篮球、排球、足球、乒乓球四个兴趣小组，并规定每名学

生至少参加1个小组，即可以兼报多个小组．该校对八年级全体学生报名情况进行了调查，并将所得数据绘制成如

下两幅统计图：

根据图中的信息，解答下列问题：

(1)补全条形统计图；

(2)若该校八年级共有400名学生，估计报名参加2个兴趣小组的人数；

(3)综合上述信息，谈谈你对该校即将开展的兴趣小组活动的意见和建议(不超过30字)．

18．(6分)某商场为了吸引顾客，举行抽奖活动，并规定：顾客每购买100元的商品，就可以随机抽取一张奖券，抽得奖券“紫气东来”、“化开富贵”、“吉星高照”，就可以分别获得100元、50元、20元的购物券，抽得“谢谢惠顾”不赠购物券；如果顾客不愿意抽奖，可以直接获得购物券10元，小明购买了100元的商品，他看到商场公布的前10000张奖券的抽奖结果如下：

(1)求“紫气东来”奖券出现的频率；

(2)请你帮助小明判断，抽奖和直接获得购物券，哪种方式更合算？说明理由．

19．(6分)小丽乘坐汽车从青岛到黄岛奶奶家，她去时经过环湾高速公路，全程约84km，返回时经过跨海大桥，全程约45km．小丽所乘汽车去时的平均速度是返回时的1.2倍，所用时间却比返回时多20min．求小丽所乘汽车返回时的平均速度．

20．(8分)如图，某校教学楼AB的后面有一建筑物CD，当光线与地面的夹角是22º时，教学楼在建

筑物的墙上留下高2m的影子CE；而当光线与地面的夹角是45º时，教学楼顶A在地面上的影子F与

墙角C有13m的距离(B、F、C在一条直线上)．(1)求教学楼AB的高度；(2)学校要在A、E之间挂一些

彩旗，请你求出A、E之间的距离(结果保留整数)．(参考数据：sin22º≈，cos22º≈，tan22º≈)

21．(8分)如图，四边形ABCD的对角线AC、BD交于点O，BE⊥AC于E，DF⊥AC于F，点O既是AC的中点，又是EF的中点．(1)求证：△BOE≌△DOF；(2)若OA＝BD，则四边形ABCD是什么特殊四边形？请说明理由．

22．(10分)在“母亲节”期间，某校部分团员参加社会公益活动，准备购进一批许愿瓶进行销售，并将所得利润捐给慈善机构．根据市场调查，这种许愿瓶一段时间内的销售量y(个)于销售单价x(元/个)之间的对应关系如图所示．

(1)试判断y与x之间的函数关系，并求出函数关系式；

(2)若许愿瓶的进价为6元/个，按照上述市场调查销售规律，求利润w(元)与销售单价x(元/个)之间的函数关系式；

(3)若许愿瓶的进货成本不超过900元，要想获得最大利润，试求此时这种许愿瓶的销售单价，并求出最大利润．

23． (10分)问题提出：以n边形的n个顶点和它内部的m个点，共(m＋n)个点作为顶点，可把原n边形分割成多少个互不重叠的小三角形？

问题探究：为了解决上面的问题，我们将采取一般问题特殊化的策略，先从简单和具体的情形入手：

探究一：以△ABC的3个顶点和它内部的1个点P，共4个点为顶点，可把△ABC分割成多少个互不重叠的小三角形？

如图①，显然，此时可把△ABC分割成3个互不重叠的小三角形．

探究二：以△ABC的3个顶点和它内部的2个点P、Q，共5个点为顶点，可把△ABC分割成多少个互不重叠的小三角形？

在探究一的基础上，我们可看作在图①△ABC的内部，再添加1个点Q，那么点Q的位置会有两种情况：

一种情况，点Q在图①分割成的某个小三角形内部．不妨设点Q在△PAC的内部，如图②；

另一种情况，点Q在图①分割成的小三角形的某条公共边上．不妨设点Q在PA上，如图③．

显然，不管哪种情况，都可把△ABC分割成5个互不重叠的小三角形．

探究三：以△ABC的三个顶点和它内部的3个点P、Q、R，共6个点为顶点，可把△ABC分割成      个互不重叠的小三角形，并在图④中画出一种分割示意图．

探究四：以△ABC的三个顶点和它内部的m个点，共(m＋3)个点为顶点，可把△ABC分割成        个互不重叠的小三角形．

探究拓展：以四边形的4个顶点和它内部的m个点，共(m＋4)个点为顶点，可把四边形分割成        个互不重叠的小三角形．

问题解决：以n边形的n个顶点和它内部的m个点，共(m＋n)个点作为顶点，可把原n边形分割成        个互不重叠的小三角形．

实际应用：以八边形的8个顶点和它内部的2012个点，共2020个顶点，可把八边形分割成多少个互不重叠的小三角形？(要求列式计算)

24．(12分)如图，在△ABC中，∠C＝90º，AC＝6cm，BC＝8cm，D、E分别是AC、AB的中点，连接DE．点P从点D出发，沿DE方向匀速运动，速度为1cm/s；同时，点Q从点B出发，沿BA方向匀速运动，速度为2cm/s，当点P停止运动时，点Q也停止运动．连接PQ，设运动时间为t(0＜t＜4)s．解答下列问题：

(1)当t为何值时，PQ⊥AB？

(2)当点Q在B、E之间运动时，设五边形PQBCD的面积为ycm2，求y与t之间的函数关系式；

(3)在(2)的情况下，是否存在某一时刻t，使得PQ分四边形BCDE所成的两部分的面积之比为S△PQE∶S五边形PQBCD＝1∶29？若存在，求出此时t的值以及点E到PQ的距离h；若不存在，请说明理由．

2012年青岛市中考数学试卷答案

1．D　2．C　3．B  4．A　5．C  6．B  7． D  8． A　

9．7．10．1.6×1010．11．150°．12．（22﹣x）（17﹣x）=300．13．．14．5．

四、解答题（本题满分74分，共有9道小题）

16．解：（1）原式==…4分

解：（2）

解不等式①，x＞，解不等式②，x≤4，

∴原式不等式组的解集为＜x≤4．

17．解：（1）∵从统计图知报名参加丙小组的有15人，占总数的30%

∴总人数有15÷30%=50人，

∴报名参加丁小组的有50﹣10﹣20﹣15=5人，

统计图为：

（2）报名参加2个兴趣小组的有400×=160人

（3）合理即可：如：利用课余时间多参加几个兴趣小组．

18．解：（1）或5%；

（2）平均每张奖券获得的购物券金额为

+0×=14（元）

∵14＞10

∴选择抽奖更合算．　

19．解：设小丽所乘汽车返回时的平均速度是x千米/时，根据题意得：

，

解这个方程，得x=75，

经检验，x=75是原方程的解．

答：小丽所乘汽车返回时的速度是75千米/时．　

20．解：（1）过点E作EM⊥AB，垂足为M．设AB为x．

Rt△ABF中，∠AFB=45°，

∴BF=AB=x，

∴BC=BF+FC=x+13，

在Rt△AEM中，∠AEM=22°，AM=AB﹣BM=AB﹣CE=x﹣2，

tan22°=，

则=，解得：x=12．

即教学楼的高12m．

（2）由（1）可得ME=BC=x+13=12+13=25．

在Rt△AME中，cos22°=．∴AE=，

即A、E之间的距离约为27m．

21．（1）证明：∵BE⊥AC．DF⊥AC，

∴∠BEO=∠DFO=90°，

∵点O是EF的中点，∴OE=OF，

又∵∠DOF=∠BOE，∴△BOE≌△DOF（ASA）；

（2）解：四边形ABCD是矩形．理由如下：

∵△BOE≌△DOF，∴OB=OD，

又∵OA=OC，∴四边形ABCD是平行四边形，

∵OA=BD，OA=AC，∴BD=AC，

∴▱ABCD是矩形．

22．解：（1）y是x的一次函数，设y=kx+b，

图象过点（10，300），（12，240），

，

解得，

∴y=﹣30x+600，

当x=14时，y=180；当x=16时，y=120，

即点（14，180），（16，120）均在函数y=﹣30x+600图象上．

∴y与x之间的函数关系式为y=﹣30x+600；

（2）w=（x﹣6）（﹣30x+600）=﹣30x2+780x﹣3600，

即w与x之间的函数关系式为w=﹣30x2+780x﹣3600；

（3）由题意得：6（﹣30x+600）≤900，

解得x≥15．

w=﹣30x2+780x﹣3600图象对称轴为：x=﹣=13．

∵a=﹣30＜0，

∴抛物线开口向下，当x≥15时，w随x增大而减小，

∴当x=15时，w最大=1350，

即以15元/个的价格销售这批许愿瓶可获得最大利润1350元．　

23．解：探究三：如图，三角形内部的三点共线与不共线时都分成了7部分，

故答案为：7；分割示意图（答案不唯一）

探究四：三角形内部1个点时，共分割成3部分，3=3+2（1﹣1），

三角形内部2个点时，共分割成5部分，5=3+2（2﹣1），

三角形内部3个点时，共分割成7部分，7=3+2（3﹣1），

…，

所以，三角形内部有m个点时，3+2（m﹣1）或2m+1；…4分

探究拓展：四边形的4个顶点和它内部的m个点，

则分割成的不重叠的三角形的个数为：4+2（m﹣1）或2m+2；…6分

问题解决：n+2（m﹣1）或2m+n﹣2；…8分

实际应用：把n=8，m=2012代入上述代数式，得

2m+n﹣2，=2×2012+8﹣2，=4024+8﹣2，=4030．…10分

24．解：（1）如图①，在Rt△ABC中，AC=6，BC=8

∴AB=．

∵D、E分别是AC、AB的中点．

AD=DC=3，AE=EB=5，DE∥BC且DE=BC=4

∵PQ⊥AB，∴∠PQB=∠C=90°

又∵DE∥BC

∴∠AED=∠B

∴△PQE∽△ACB

由题意得：PE=4﹣t，QE=2t﹣5，

即，

解得t=．

（2）如图②，过点P作PM⊥AB于M，

由△PME∽△ABC，得，

∴，得PM=（4﹣t）．

S△PQE=EQ•PM=（5﹣2t）•（4﹣t）=t2﹣t+6，

S梯形DCBE=×（4+8）×3=18，

∴y=18﹣（t2﹣t+6）=t2+t+12．

（3）假设存在时刻t，使S△PQE：S四边形PQBCD=1：29，

则此时S△PQE=S梯形DCBE，

∴t2﹣t+6=×18，

即2t2﹣13t+18=0，

解得t1=2，t2=（舍去）．

当t=2时，

PM=×（4﹣2）=，ME=×（4﹣2）=，

EQ=5﹣2×2=1，MQ=ME+EQ=+1=，

∴PQ===．

∵PQ•h=，

∴h=•=（或）．