2016年广东省中考数学试卷与答案

2016年广东省中考数学试卷

一、选择题（共10小题，每小题3分，满分30分）

1．﹣2的相反数是（　　）

A．2 B．﹣2 C． D．﹣

2．如图所示，a与b的大小关系是（　　）

A．a＜b B．a＞b C．a=b D．b=2a

3．下列所述图形中，是中心对称图形的是（　　）

A．直角三角形 B．平行四边形 C．正五边形 D．正三角形

4．据广东省旅游局统计显示，2016年4月全省旅游住宿设施接待过夜游客约27700000人，将27700000用科学记数法表示为（　　）

A．0.277×107 B．0.277×108 C．2.77×107 D．2.77×108

5．如图，正方形ABCD的面积为1，则以相邻两边中点连线EF为边正方形EFGH的周长为（　　）

A． B．2 C．+1 D．2+1

6．某公司的拓展部有五个员工，他们每月的工资分别是3000元，4000元，5000元，7000元和10000元，那么他们工资的中位数是（　　）

A．4000元 B．5000元 C．7000元 D．10000元

7．在平面直角坐标系中，点P（﹣2，﹣3）所在的象限是（　　）

A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限

8．如图，在平面直角坐标系中，点A的坐标为（4，3），那么cosα的值是（　　）

A． B． C． D．

9．已知方程x﹣2y+3=8，则整式x﹣2y的值为（　　）

A．5 B．10 C．12 D．15

10．如图，在正方形ABCD中，点P从点A出发，沿着正方形的边顺时针方向运动一周，则△APC的面积y与点P运动的路程x之间形成的函数关系图象大致是（　　）

  A．B． C.D．

二、填空题（共6小题，每小题4分，满分24分）

11．9的算术平方根是　   　．

12．分解因式：m2﹣4=　   　．

13．不等式组的解集是　   　．

14．如图，把一个圆锥沿母线OA剪开，展开后得到扇形AOC，已知圆锥的高h为12cm，OA=13cm，则扇形AOC中的长是　   　cm（计算结果保留π）．

15．如图，矩形ABCD中，对角线AC=2，E为BC边上一点，BC=3BE，将矩形ABCD沿AE所在的直线折叠，B点恰好落在对角线AC上的B′处，则AB=　   　．

16．如图，点P是四边形ABCD外接圆上任意一点，且不与四边形顶点重合，若AD是⊙O的直径，AB=BC=CD．连接PA、PB、PC，若PA=a，则点A到PB和PC的距离之和AE+AF=　   　．

三、解答题（共3小题，每小题6分，满分18分）

17．（6分）计算：|﹣3|﹣（2016+sin30°）0﹣（﹣）﹣1．

18．（6分）先化简，再求值：•+，其中a=﹣1．

19．（6分）如图，已知△ABC中，D为AB的中点．

（1）请用尺规作图法作边AC的中点E，并连接DE（保留作图痕迹，不要求写作法）；

（2）在（1）的条件下，若DE=4，求BC的长．

四、解答题（共3小题，每小题7分，满分21分）

20．（7分）某工程队修建一条长1200m的道路，采用新的施工方式，工效提升了50%，结果提前4天完成任务．

（1）求这个工程队原计划每天修建道路多少米？

（2）在这项工程中，如果要求工程队提前2天完成任务，那么实际平均每天修建道路的工效比原计划增加百分之几？

21．（7分）如图，Rt△ABC中，∠B=30°，∠ACB=90°，CD⊥AB交AB于D，以CD为较短的直角边向△CDB的同侧作Rt△DEC，满足∠E=30°，∠DCE=90°，再用同样的方法作Rt△FGC，∠FCG=90°，继续用同样的方法作Rt△HIC，∠HCI=90°．若AC=a，求CI的长．

22．（7分）某学校准备开展“阳光体育活动”，决定开设以下体育活动项目：足球、乒乓球、篮球和羽毛球，要求每位学生必须且只能选择一项，为了解选择各种体育活动项目的学生人数，随机抽取了部分学生进行调查，并将通过调查获得的数据进行整理，绘制出以下两幅不完整的统计图，请根据统计图回答问题：

（1）这次活动一共调查了　   　名学生；

（2）补全条形统计图；

（3）在扇形统计图中，选择篮球项目的人数所在扇形的圆心角等于　   　度；

（4）若该学校有1500人，请你估计该学校选择足球项目的学生人数约是　   　人．

五、解答题（共3小题，每小题9分，满分27分）

23．（9分）如图，在直角坐标系中，直线y=kx+1（k≠0）与双曲线y=（x＞0）相交于点P（1，m ）．

（1）求k的值；

（2）若点Q与点P关于直线y=x成轴对称，则点Q的坐标是Q（　   　）；

（3）若过P、Q二点的抛物线与y轴的交点为N（0，），求该抛物线的函数解析式，并求出抛物线的对称轴方程．

24．（9分）如图，⊙O是△ABC的外接圆，BC是⊙O的直径，∠ABC=30°，过点B作⊙O的切线BD，与CA的延长线交于点D，与半径AO的延长线交于点E，过点A作⊙O的切线AF，与直径BC的延长线交于点F．

（1）求证：△ACF∽△DAE；

（2）若S△AOC=，求DE的长；

（3）连接EF，求证：EF是⊙O的切线．

25．（9分）如图，BD是正方形ABCD的对角线，BC=2，边BC在其所在的直线上平移，将通过平移得到的线段记为PQ，连接PA、QD，并过点Q作QO⊥BD，垂足为O，连接OA、OP．

（1）请直接写出线段BC在平移过程中，四边形APQD是什么四边形？

（2）请判断OA、OP之间的数量关系和位置关系，并加以证明；

（3）在平移变换过程中，设y=S△OPB，BP=x（0≤x≤2），求y与x之间的函数关系式，并求出y的最大值．

2016年广东省中考数学试卷答案

1． A．2． A3． B．4． C．5． B．6． B．7． C．8． D．9． A10． C．

11． 3．12．（m+2）（m﹣2）．13．﹣3＜x≤1．14． 10π．15． ．16． a．

17．解：|﹣3|﹣（2016+sin30°）0﹣（﹣）﹣1

=3﹣1+2

=2+2

=4．

18．解：原式=•+=+==，

当a=﹣1时，原式===+1．

19．解：（1）作线段AC的垂直平分线MN交AC于E，点E就是所求的点．

（2）∵AD=DB，AE=EC，∴DE∥BC，DE=BC，

∵DE=4，∴BC=8．

20．解：（1）设原计划每天修建道路x米，

可得：，

解得：x=100，

经检验x=100是原方程的解，

答：原计划每天修建道路100米；

（2）设实际平均每天修建道路的工效比原计划增加y%，

可得：，

解得：y=20，

经检验y=20是原方程的解，

答：实际平均每天修建道路的工效比原计划增加百分之二十．

21．解：解法一：在Rt△ACB中，∠B=30°，∠ACB=90°，∴∠A=90°﹣30°=60°，

∵CD⊥AB，∴∠ADC=90°，∴∠ACD=30°，

在Rt△ACD中，AC=a，

∴AD=a，

由勾股定理得：CD==，

同理得：FC=×=，CH=×=，

在Rt△HCI中，∠I=30°，∴HI=2HC=，

由勾股定理得：CI==，

解法二：∠DCA=∠B=30°，

在Rt△DCA中，cos30°=，

∴CD=AC•cos30°=a，

在Rt△CDF中，cos30°=，

CF=×a=a，

同理得：CH=cos30°CF=×a=a，

在Rt△HCI中，∠HIC=30°，

tan30°=，

CI=a÷=a；

答：CI的长为．

22．解：（1）这次活动一共调查学生：80÷32%=250（人）；

（2）选择“篮球”的人数为：250﹣80﹣40﹣55=75（人），

补全条形图如图：

（3）选择篮球项目的人数所在扇形的圆心角为：×360°=108°；

（4）估计该学校选择足球项目的学生人数约是：1500×32%=480（人）；

故答案为：（1）250；（3）108；（4）480．

23．解：（1）∵直线y=kx+1与双曲线y=（x＞0）交于点A（1，m），

∴m=2，

把A（1，2）代入y=kx+1得：k+1=2，

解得：k=1；

（2）连接PO，QO，PQ，作PA⊥y轴于A，QB⊥x轴于B，则PA=1，OA=2，

∵点Q与点P关于直线y=x成轴对称，

∴直线y=x垂直平分PQ，

∴OP=OQ，

∴∠POA=∠QOB，

在△OPA与△OQB中，

，

∴△POA≌△QOB，

∴QB=PA=1，OB=OA=2，

∴Q（2，1）；

故答案为：2，1；

（3）设抛物线的函数解析式为y=ax2+bx+c，

∵过P、Q二点的抛物线与y轴的交点为N（0，），

∴，

解得：，

∴抛物线的函数解析式为y=﹣x2+x+，

∴对称轴方程x=﹣=．

24．（1）证明：∵BC是⊙O的直径，

∴∠BAC=90°，

∵∠ABC=30°，

∴∠ACB=60°

∵OA=OC，

∴∠AOC=60°，

∵AF是⊙O的切线，

∴∠OAF=90°，

∴∠AFC=30°，

∵DE是⊙O的切线，

∴∠DBC=90°，

∴∠D=∠AFC=30°

∴∠DAE=∠ACF=120°，

∴△ACF∽△DAE；

（2）∵∠ACO=∠AFC+∠CAF=30°+∠CAF=60°，

∴∠CAF=30°，

∴∠CAF=∠AFC，

∴AC=CF

∴OC=CF，

∵S△AOC=，

∴S△ACF=，

∵∠ABC=∠AFC=30°，

∴AB=AF，

∵AB=BD，

∴AF=BD，

∴∠BAE=∠BEA=30°，

∴AB=BE=AF，

∴=，

∵△ACF∽△DAE，

∴=（）2=，

∴S△DAE=，

过A作AH⊥DE于H，

∴AH=DH=DE，

∴S△ADE=DE•AH=וDE2=，

∴DE=；

（3）∵∠EOF=∠AOB=120°，

在△AOF与△BOE中，，

∴△AOF≌△BEO，

∴OE=OF，

∴∠OFG=（180°﹣∠EOF）=30°，∴∠AFO=∠GFO，

过O作OG⊥EF于G，∴∠OAF=∠OGF=90°，

在△AOF与△OGF中，，

∴△AOF≌△GOF，∴OG=OA，∴EF是⊙O的切线．

25．（1）四边形APQD为平行四边形；

（2）OA=OP，OA⊥OP，理由如下：

∵四边形ABCD是正方形，

∴AB=BC=PQ，∠ABO=∠OBQ=45°，

∵OQ⊥BD，∴∠PQO=45°，

∴∠ABO=∠OBQ=∠PQO=45°，

∴OB=OQ，

在△AOB和△OPQ中，

∴△AOB≌△POQ（SAS），

∴OA=OP，∠AOB=∠POQ，

∴∠AOP=∠BOQ=90°，

∴OA⊥OP；

（3）如图，过O作OE⊥BC于E．

①如图1，当P点在B点右侧时，

则BQ=x+2，OE=，

∴y=וx，即y=（x+1）2﹣，

又∵0≤x≤2，

∴当x=2时，y有最大值为2；

②如图2，当P点在B点左侧时，

则BQ=2﹣x，OE=，

∴y=וx，即y=﹣（x﹣1）2+，

又∵0≤x≤2，∴当x=1时，y有最大值为；

综上所述，∴当x=2时，y有最大值为2；