2013年广东省中考数学试卷与答案

2013年广东省中考数学试卷

一、选择题（共10小题，每小题3分，满分30分）

1．2的相反数是（　　）

A． B． C．﹣2 D．2

2．下列四个几何体中，俯视图为四边形的是（　　）

A． B． C． D．

3．据报道，2013年第一季度，广东省实现地区生产总值约1260 000 000 000元，用科学记数法表示为（　　）

A．0.126×1012元 B．1.26×1012元 C．1.26×1011元 D．12.6×1011元

4．已知实数a、b，若a＞b，则下列结论正确的是（　　）

A．a﹣5＜b﹣5 B．2+a＜2+b C． D．3a＞3b

5．数字1、2、5、3、5、3、3的中位数是（　　）

A．1 B．2 C．3 D．5

6．如图，AC∥DF，AB∥EF，点D、E分别在AB、AC上，若∠2=50°，则∠1的大小是（　　）

A．30° B．40° C．50° D．60°

7．下列等式正确的是（　　）

A．（﹣1）﹣3=1 B．（﹣4）0=1 C．（﹣2）2×（﹣2）3=﹣26 D．（﹣5）4÷（﹣5）2=﹣52

8．不等式5x﹣1＞2x+5的解集在数轴上表示正确的是（　　）

A． B． C． D．

9．下列图形中，不是轴对称图形的是（　　）

A． B． C． D．

10．已知k1＜0＜k2，则函数y=k1x﹣1和y=的图象大致是（　　）

A． B． C． D．

二、填空题（本大题6小题，每小题4分，共24分）

11．分解因式：x2﹣9=　　．

12．若实数a、b满足|a+2|，则=　　．

13．一个六边形的内角和是　　．

14．在Rt△ABC中，∠ABC=90°，AB=3，BC=4，则sinA=　　．

15．如图，将一张直角三角形纸片ABC沿中位线DE剪开后，在平面上将△BDE绕着CB的中点D逆时针旋转180°，点E到了点E′位置，则四边形ACE′E的形状是　　．

16．如图，三个小正方形的边长都为1，则图中阴影部分面积的和是　　（结果保留π）．

三、解答题（一）（本大题3小题，每小题5分，共15分）

17．解方程组．

18．从三个代数式：①a2﹣2ab+b2，②3a﹣3b，③a2﹣b2中任意选两个代数式构造分式，然后进行化简，并求出当a=6，b=3时该分式的值．

19．如图，已知▱ABCD．

（1）作图：延长BC，并在BC的延长线上截取线段CE，使得CE=BC（用尺规作图法，保留作图痕迹，不要求写作法）；

（2）在（1）的条件下，连结AE，交CD于点F，求证：△AFD≌△EFC．

四、解答题（二）（本大题3小题，每小题8分，共24分）

20．某校教导处为了解该校七年级同学对排球、乒乓球、羽毛球、篮球和足球五种球类运动项目的喜爱情况（每位同学必须且只能选择最喜爱的一项运动项目），进行了随机抽样调查，并将调查结果统计后绘制成了如 图和所示的不完整统计图表．

（1）请你补全下列样本人数分布表和条形统计图（如图）；

（2）若七年级学生总人数为920人，请你估计七年级学生喜爱羽毛球运动项目的人数．

                       样本人数分布表

21．雅安地震牵动着全国人民的心，某单位开展了“一方有难，八方支援”赈灾捐款活动．第一天收到捐款10 000元，第三天收到捐款12 100元．

（1）如果第二天、第三天收到捐款的增长率相同，求捐款增长率；

（2）按照（1）中收到捐款的增长率速度，第四天该单位能收到多少捐款？

22．如图，矩形ABCD中，以对角线BD为一边构造一个矩形BDEF，使得另一边EF过原矩形的顶点C．

（1）设Rt△CBD的面积为S1，Rt△BFC的面积为S2，Rt△DCE的面积为S3，则S1　　S2+S3（用“＞”、“=”、“＜”填空）；

（2）写出如图中的三对相似三角形，并选择其中一对进行证明．

四、解答题（三）（本大题3小题，每小题9分，共27分）

23．已知二次函数y=x2﹣2mx+m2﹣1．

（1）当二次函数的图象经过坐标原点O（0，0）时，求二次函数的解析式；

（2）如图，当m=2时，该抛物线与y轴交于点C，顶点为D，求C、D两点的坐标；

（3）在（2）的条件下，x轴上是否存在一点P，使得PC+PD最短？若P点存在，求出P点的坐标；若P点不存在，请说明理由．

24．如图，⊙O是Rt△ABC的外接圆，∠ABC=90°，弦BD=BA，AB=12，BC=5，BE⊥DC交DC的延长线于点E．

（1）求证：∠BCA=∠BAD；

（2）求DE的长；

（3）求证：BE是⊙O的切线．

25．有一副直角三角板，在三角板ABC中，∠BAC=90°，AB=AC=6，在三角板DEF中，∠FDE=90°，DF=4，DE=．将这副直角三角板按如图1所示位置摆放，点B与点F重合，直角边BA与FD在同一条直线上．现固定三角板ABC，将三角板DEF沿射线BA方向平行移动，当点F运动到点A时停止运动．

（1）如图2，当三角板DEF运动到点D与点A重合时，设EF与BC交于点M，则∠EMC=　　度；

（2）如图3，在三角板DEF运动过程中，当EF经过点C时，求FC的长；

（3）在三角板DEF运动过程中，设BF=x，两块三角板重叠部分的面积为y，求y与x的函数解析式，并求出对应的x取值范围．

2013年广东省中考数学试卷答案

1． C．2． C．3． B．4． D．5． C．6． C．7． B．8． A．9．A．10． A．

11．（x+3）（x﹣3）．12． 1．13． 720°．14． ．15．平行四边形．16． ．

17．解：，

将①代入②得：2（y+1）+y=8，

去括号得：2y+2+y=8，

解得：y=2，

将y=2代入①得：x=2+1=3，

则方程组的解为．

18．解：选②与③构造出分式，，

原式==，

当a=6，b=3时，原式==．

19．（1）解：如图所示：

（2）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，

∴AD∥BC，AD=BC，

∵BC=CE，∴AD=CE，

∵AD∥BC，

∴∠DAF=∠CEF，

∵在△AFD和△EFC中，

，

∴△AFD≌△EFC（AAS）．

20．解：（1）3÷6%=50人，

则篮球的人数为50×20%=10人，

则补全条形统计图如下：

羽毛球占总数的百分比为：15÷50=30%，

补全人数分布表为：

（2）920×30%=276人．

则七年级学生喜爱羽毛球运动项目的人数为276人．

21．解：（1）设捐款增长率为x，根据题意列方程得，

10000×（1+x）2=12100，

解得x1=0.1，x2=﹣2.1（不合题意，舍去）；

答：捐款增长率为10%．

（2）12100×（1+10%）=13310元．

答：第四天该单位能收到13310元捐款．

22．（1）解：∵S1=BD×ED，S矩形BDEF=BD×ED，

∴S1=S矩形BDEF，

∴S2+S3=S矩形BDEF，

∴S1=S2+S3．

（2）答：△BCD∽△CFB∽△DEC．

证明△BCD∽△DEC；

证明：∵∠EDC+∠BDC=90°，∠CBD+∠BDC=90°，

∴∠EDC=∠CBD，

又∵∠BCD=∠DEC=90°，

∴△BCD∽△DEC．

23．解：（1）∵二次函数的图象经过坐标原点O（0，0），

∴代入二次函数y=x2﹣2mx+m2﹣1，得出：m2﹣1=0，

解得：m=±1，

∴二次函数的解析式为：y=x2﹣2x或y=x2+2x；

（2）∵m=2，

∴二次函数y=x2﹣2mx+m2﹣1得：y=x2﹣4x+3=（x﹣2）2﹣1，

∴抛物线的顶点为：D（2，﹣1），

当x=0时，y=3，

∴C点坐标为：（0，3），

∴C（0，3）、D（2，﹣1）；

（3）当P、C、D共线时PC+PD最短，

过点D作DE⊥y轴于点E，

∵PO∥DE，

∴=，

∴=，

解得：PO=，

∴PC+PD最短时，P点的坐标为：P（，0）．

24．（1）证明：∵BD=BA，

∴∠BDA=∠BAD，

∵∠BCA=∠BDA（圆周角定理），

∴∠BCA=∠BAD．

（2）解：∵∠BDE=∠CAB（圆周角定理）且∠BED=∠CBA=90°，

∴△BED∽△CBA，

∴=，即=，

解得：DE=．

（3）证明：连结OB，OD，

在△ABO和△DBO中，

，

∴△ABO≌△DBO（SSS），

∴∠DBO=∠ABO，

∵∠ABO=∠OAB=∠BDC，

∴∠DBO=∠BDC，

∴OB∥ED，

∵BE⊥ED，

∴EB⊥BO，

∴BE是⊙O的切线．

25．解：（1）如题图2所示，

∵在三角板DEF中，∠FDE=90°，DF=4，DE=，

∴tan∠DFE==，∴∠DFE=60°，

∴∠EMC=∠FMB=∠DFE﹣∠ABC=60°﹣45°=15°；

（2）如题图3所示，当EF经过点C时，

FC====；

（3）在三角板DEF运动过程中，

（I）当0≤x≤2时，如答图1所示：

设DE交BC于点G．

过点M作MN⊥AB于点N，则△MNB为等腰直角三角形，MN=BN．

又∵NF==MN，BN=NF+BF，

∴NF+BF=MN，即MN+x=MN，解得：MN=x．

y=S△BDG﹣S△BFM

=BD•DG﹣BF•MN

=（x+4）2﹣x•x

=x2+4x+8；

（II）当2＜x≤6﹣时，如答图2所示：

过点M作MN⊥AB于点N，则△MNB为等腰直角三角形，MN=BN．

又∵NF==MN，BN=NF+BF，

∴NF+BF=MN，即MN+x=MN，解得：MN=x．

y=S△ABC﹣S△BFM

=AB•AC﹣BF•MN

=×62﹣x•x

=x2+18；

（III）当6﹣＜x≤6时，如答图3所示：

由BF=x，则AF=AB﹣BF=6﹣x，

设AC与EF交于点M，则AM=AF•tan60°=（6﹣x）．

y=S△AFM=AF•AM=（6﹣x）•（6﹣x）=x2﹣x+．

综上所述，y与x的函数解析式为：

y=．