2015年广东省中考数学试卷与答案

2015年广东省中考数学试卷

一、选择题：本大题10小题，每小题3分，共30分。

1．|﹣2|=（　　）

A．2 B．﹣2 C． D．

2．据国家统计局网站2014年12月4日发布的消息，2014年广东省粮食总产量约为13 573 000吨，将13 573 000用科学记数法表示为（　　）

A．1.3573×106 B．1.3573×107 C．1.3573×108 D．1.3573×109

3．一组数据2，6，5，2，4，则这组数据的中位数是（　　）       A．2   B．4   C．5  D．6

4．如图，直线a∥b，∠1=75°，∠2=35°，则∠3的度数是（　　）

A．75° B．55° C．40° D．35°

5．下列所述图形中，既是中心对称图形，又是轴对称图形的是（　　）

A．矩形 B．平行四边形 C．正五边形 D．正三角形

6．（﹣4x）2=（　　）

A．﹣8x2 B．8x2 C．﹣16x2 D．16x2

7．在0，2，（﹣3）0，﹣5这四个数中，最大的数是（　　）

A．0 B．2 C．（﹣3）0 D．﹣5

8．若关于x的方程x2+x﹣a+=0有两个不相等的实数根，则实数a的取值范围是（　　）

A．a≥2 B．a≤2 C．a＞2 D．a＜2

9．如图，某数学兴趣小组将边长为3的正方形铁丝框ABCD变形为以A为圆心，AB为半径的扇形（忽略铁丝的粗细），则所得扇形DAB的面积为（　　）

A．6 B．7 C．8 D．9

10．如图，已知正△ABC的边长为2，E、F、G分别是AB、BC、CA上的点，且AE=BF=CG，设△EFG的面积为y，AE的长为x，则y关于x的函数图象大致是（　　）

   A．B．C． D．

二、填空题：本大题6小题，每小题4分，共24分。

11．正五边形的外角和等于　　（度）．

12．如图，菱形ABCD的边长为6，∠ABC=60°，则对角线AC的长是　　．

13．分式方程=的解是　　．

14．若两个相似三角形的周长比为2：3，则它们的面积比是　　．

15．观察下列一组数：，…，根据该组数的排列规律，可推出第10个数是　　．

16．如图，△ABC三边的中线AD、BE、CF的公共点为G，若S△ABC=12，则图中阴影部分的面积是　　．

三、解答题（一）：本大题3小题，每小题6分，共18分。

17．（6分）解方程：x2﹣3x+2=0．

18．（6分）先化简，再求值：÷（1+），其中x=﹣1．

19．（6分）如图，已知锐角△ABC．

（1）过点A作BC边的垂线MN，交BC于点D（用尺规作图法，保留作图痕迹，不要求写作法）；

（2）在（1）的条件下，若BC=5，AD=4，tan∠BAD=，求DC的长．

四、解答题（二）：本大题3小题，每小题7分，共21分。

20．（7分）老师和小明同学玩数学游戏．老师取出一个不透明的口袋，口袋中装有三张分别标有数字1，2，3的卡片，卡片除数字外其余都相同，老师要求小明同学两次随机抽取一张卡片，并计算两次抽到卡片上的数字之积是奇数的概率．于是小明同学用画树状图的方法寻求他两次抽取卡片的所有可能结果．如图是小明同学所画的正确树状图的一部分．

（1）补全小明同学所画的树状图；

（2）求小明同学两次抽到卡片上的数字之积是奇数的概率．

21．（7分）如图，在边长为6的正方形ABCD中，E是边CD的中点，将△ADE沿AE对折至△AFE，延长EF交边BC于点G，连接AG．

（1）求证：△ABG≌△AFG；

（2）求BG的长．

22．（7分）某电器商场销售A、B两种型号计算器，两种计算器的进货价格分别为每台30元，40元，商场销售5台A型号和1台B型号计算器，可获利润76元；销售6台A型号和3台B型号计算器，可获利润120元．

（1）求商场销售A、B两种型号计算器的销售价格分别是多少元？（利润=销售价格﹣进货价格）

（2）商场准备用不多于2500元的资金购进A、B两种型号计算器共70台，问最少需要购进A型号的计算器多少台？

五、解答题（三）：本大题3小题，每小题9分，共27分。

23．（9分）如图，反比例函数y=（k≠0，x＞0）的图象与直线y=3x相交于点C，过直线上点A（1，3）作AB⊥x轴于点B，交反比例函数图象于点D，且AB=3BD．

（1）求k的值；

（2）求点C的坐标；

（3）在y轴上确定一点M，使点M到C、D两点距离之和d=MC+MD最小，求点M的坐标．

24．（9分）⊙O是△ABC的外接圆，AB是直径，过的中点P作⊙O的直径PG交弦BC于点D，连接AG、CP、PB．

（1）如图1，若D是线段OP的中点，求∠BAC的度数；

（2）如图2，在DG上取一点K，使DK=DP，连接CK，求证：四边形AGKC是平行四边形；

（3）如图3，取CP的中点E，连接ED并延长ED交AB于点H，连接PH，求证：PH⊥AB．

25．（9分）如图，在同一平面上，两块斜边相等的直角三角板Rt△ABC和Rt△ADC拼在一起，使斜边AC完全重合，且顶点B，D分别在AC的两旁，∠ABC=∠ADC=90°，∠CAD=30°，AB=BC=4cm

（1）填空：AD=　　（cm），DC=　　（cm）

（2）点M，N分别从A点，C点同时以每秒1cm的速度等速出发，且分别在AD，CB上沿A→D，C→B方向运动，点N到AD的距离（用含x的式子表示）

（3）在（2）的条件下，取DC中点P，连接MP，NP，设△PMN的面积为y（cm2），在整个运动过程中，△PMN的面积y存在最大值，请求出y的最大值．

（参考数据sin75°=，sin15°=）

2015年广东省中考数学试卷答案

1． A．　2． B．3． B．　4． C．5． A．　6． D．7． B．　8． C．　9． D．　10． D．　

11． 360°．　12． 6．　13． x=2．　14．4：9．15． ．　16． 4．

17．解：∵x2﹣3x+2=0，

∴（x﹣1）（x﹣2）=0，

∴x﹣1=0或x﹣2=0，

∴x1=1，x2=2．　

18．解：

=÷（+）

=÷

=×

=，

把，代入原式====．　

19．解：（1）如图，

（2）∵AD⊥BC，

∴∠ADB=∠ADC=90°，

在Rt△ABD中，∵tan∠BAD==，

∴BD=×4=3，

∴CD=BC﹣BD=5﹣3=2．

四、解答题（二）：本大题3小题，每小题7分，共21分。

20．解：（1）补全小明同学所画的树状图：

（2）∵共有9种等可能的结果，小明同学两次抽到卡片上的数字之积是奇数的有4种情况，

∴小明同学两次抽到卡片上的数字之积是奇数的概率为：．　

21．解：（1）在正方形ABCD中，AD=AB=BC=CD，∠D=∠B=∠BCD=90°，

∵将△ADE沿AE对折至△AFE，

∴AD=AF，DE=EF，∠D=∠AFE=90°，

∴AB=AF，∠B=∠AFG=90°，

又∵AG=AG，

在Rt△ABG和Rt△AFG中，

，

∴△ABG≌△AFG（HL）；

（2）∵△ABG≌△AFG，

∴BG=FG，

设BG=FG=x，则GC=6﹣x，

∵E为CD的中点，

∴CE=EF=DE=3，

∴EG=3+x，

∴在Rt△CEG中，32+（6﹣x）2=（3+x）2，解得x=2，

∴BG=2．

22．解：（1）设A种型号计算器的销售价格是x元，B种型号计算器的销售价格是y元，由题意得：

，

解得：；

答：A种型号计算器的销售价格是42元，B种型号计算器的销售价格是56元；

（2）设购进A型计算器a台，则购进B台计算器：（70﹣a）台，

则30a+40（70﹣a）≤2500，

解得：a≥30，

答：最少需要购进A型号的计算器30台．　

23．解：（1）∵A（1，3），

∴AB=3，OB=1，

∵AB=3BD，

∴BD=1，

∴D（1，1）

将D坐标代入反比例解析式得：k=1；

（2）由（1）知，k=1，

∴反比例函数的解析式为；y=，

解：，

解得：或，

∵x＞0，

∴C（，）；

（3）如图，作C关于y轴的对称点C′，连接C′D交y轴于M，则d=MC+MD最小，

∴C′（﹣，），

设直线C′D的解析式为：y=kx+b，

∴，∴，

∴y=（﹣3+2）x+2﹣2，

当x=0时，y=2﹣2，

∴M（0，2﹣2）．

24．（1）解：∵点P为的中点，AB为⊙O直径，

∴BP=PC，PG⊥BC，CD=BD，

∴∠ODB=90°，

∵D为OP的中点，

∴OD=OP=OB，

∴cos∠BOD==，

∴∠BOD=60°，

∵AB为⊙O直径，

∴∠ACB=90°，

∴∠ACB=∠ODB，

∴AC∥PG，

∴∠BAC=∠BOD=60°；

（2）证明：由（1）知，CD=BD，

在△PDB和△CDK中，，

∴△PDB≌△CDK（SAS），

∴CK=BP，∠OPB=∠CKD，

∵∠AOG=∠BOP，

∴AG=BP，

∴AG=CK，

∵OP=OB，

∴∠OPB=∠OBP，

又∵∠G=∠OBP，

∴AG∥CK，

∴四边形AGCK是平行四边形；

（3）证明：∵CE=PE，CD=BD，

∴DE∥PB，

即DH∥PB

∵∠G=∠OPB，

∴PB∥AG，

∴DH∥AG，

∴∠OAG=∠OHD，

∵OA=OG，

∴∠OAG=∠G，

∴∠ODH=∠OHD，

∴OD=OH，

在△OBD和△HOP中，，

∴△OBD≌△HOP（SAS），

∴∠OHP=∠ODB=90°，

∴PH⊥AB．　

25．解：（1）∵∠ABC=90°，AB=BC=4cm，

∴AC===4，

∵∠ADC=90°，∠CAD=30°，

∴DC=AC=2，

∴AD=DC=2；

故答案为：2，2；

（2）过点N作NE⊥AD于E，作NF⊥DC，交DC的延长线于F，如图所示：

则NE=DF，

∵∠ABC=∠ADC=90°，AB=BC，∠CAD=30°，

∴∠ACB=45°，∠ACD=60°，

∴∠NCF=180°﹣45°﹣60°=75°，∠FNC=15°，

∵sin∠FNC=，NC=x，

∴FC=x，

∴NE=DF=x+2，

∴点N到AD的距离为x+2；

（3）∵sin∠NCF=，

∴FN=x，

∵P为DC的中点，

∴PD=CP=，

∴PF=x+，

∴△PMN的面积y=梯形MDFN的面积﹣△PMD的面积﹣△PNF的面积

=（x+2﹣x）（x+2）﹣（2﹣x）×﹣（x+）（x）

=x2+x+2，

即y是x的二次函数，

∵＜0，

∴y有最大值，

当x=﹣=时，

y有最大值为=．